八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)17.2勾股定理的逆定理

17.2勾股定理的逆定理互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.題型1：互逆命題1.（2021八下·武侯期中）下列命題的逆命題為假命題的是（）A．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方B．若一個(gè)三角形的三邊相等，則它的三個(gè)角也相等C．若c＝d，則（a﹣b）c＝（a﹣b）dD．兩直線平行，同位角相等【變式1-1】下列命題：①同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；④垂線段最短．其中（）A．①④是真命題 B．①③是真命題C．②③是真命題 D．①②④是真命題【變式1-2】（2021八上·西湖期中）命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是，逆命題是命題（填“真”或“假”).勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.題型2：勾股定理的逆定理2.下列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【變式2-1】（2022七上·招遠(yuǎn)期末）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）．A．a(chǎn)=3，b=2，c=5 B．a(chǎn)=40，b=50，C．a(chǎn)=54，b=1，c=34 D．a(chǎn)=【變式2-2】（2022八下·承德期末）滿(mǎn)足下列條件的三邊長(zhǎng)為a、b、c的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=aC．∠C=∠B-∠A D．∠A如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.題型3：判定三邊能否構(gòu)成三角形（具體數(shù)值、比值或字母參數(shù)）3.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，a=32，b=52【變式3-1】（2021八下·云浮期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CF＝1，判斷△AEF是不是直角三角形？試說(shuō)明理由．【變式3-2】（2022八上·嘉興期中）已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a=m-n，b=2mn，c=m+n，且m>n>0【變式3-3】已知△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫(xiě)出兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，要求它們的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)．勾股數(shù)滿(mǎn)足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.注意：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；勾股數(shù)的求法：如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).題型4：勾股數(shù)及規(guī)律問(wèn)題4.下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【變式4-1】若3、4、a為勾股數(shù)，則a的相反數(shù)的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【變式4-2】觀察右面幾組勾股數(shù)，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并尋找規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第n組勾股數(shù)是．【變式4-3】滿(mǎn)足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿(mǎn)足a2+n2＝（n+1）2，這樣的三個(gè)整數(shù)a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我們稱(chēng)它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”，當(dāng)n＜150時(shí)，共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．題型5：勾股定理逆定理的應(yīng)用5.（2022八下·老河口期中）某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD（如圖所示），為了美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在空地上鋪上草坪，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若鋪一平方米草坪需要25元，鋪這塊空地需要投入多少錢(qián)？【變式5-1】（2022八下·建昌期末）在如圖所示的四邊形草坪中，∠ADC=90°，CD=12m，AD=9m，AB=36m，BC=39m，求這塊草坪的面積．【變式5-2】（2022八上·仁壽月考）如圖，在五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=1，BC=2，CD=25，DE=3，AE=4，求五邊形ABCDE【變式5-3】如圖，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）試說(shuō)明AD⊥BC；（2）試求點(diǎn)D到直線AC的距離．題型6：勾股定理逆定理探究問(wèn)題6.（2023八上·渠縣期末）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn).（1）已知M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝14，AM＝4，求BN的長(zhǎng).【變式6-1】（2022八下·濟(jì)南期末）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題：因式分解多項(xiàng)式：am+an+bm+bn，先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b：得：a（m+n）+b（m+n）再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．這種因式分解的方法叫做分組分解法．請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問(wèn)題：（1）將多項(xiàng)式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；（2）若△ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足條件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，試判斷△ABC的形狀．【變式6-2】（2022八下·巴州期中）閱讀下列內(nèi)容，設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三邊長(zhǎng)間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀；①若a2=b2+c2則該三角形是直角三角形例如一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6則最長(zhǎng)邊是6，62=36<4（1）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是2，3，4，則該三角形是三角形（2）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3，4，x且這個(gè)三角形是直角三角形則x的值為（3）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為m2-n一、單選題1．（2021八上·余杭期中）三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿(mǎn)足(a+b)2A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形2．（2020八上·德化月考）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．7，8，9 B．6，8，11 C．5，12，14 D．3，4，53．（2020八下·潮南月考）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，1，2 B．1.5，2，2C．7，24，25 D．6，12，134．（2021八上·成都月考）如圖所示，將一根長(zhǎng)為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長(zhǎng)為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤125．（2020八上·沈陽(yáng)月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，下列條件中，能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝13，b＝14，c＝1C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)＝3，b＝7，c＝26．（2020八上·臨川月考）三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿(mǎn)足(a-b)2A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形二、填空題7．（2022八下·黔西月考）如圖，一棵垂直于地面的大樹(shù)在離地面3米處折斷，樹(shù)的頂端落在離樹(shù)干底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是米.8．（2020八上·儀征月考）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面圓的周長(zhǎng)是8，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是.9．若正整數(shù)a，n滿(mǎn)足a2+n2=(n+1)2，這樣的三個(gè)整數(shù)a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我們稱(chēng)它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)"．當(dāng)n<150時(shí)，共有組“完美勾股數(shù)"．10．（2020八上·富平期末）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是cm.11．（2020八上·東陽(yáng)期末）如圖，將一根長(zhǎng)度為16cm、自然伸直的彈性皮筋A(yù)B兩端固定在水平的桌面上，然后把中點(diǎn)C豎直向上拉升6cm至點(diǎn)D，則此時(shí)該彈性皮筋被拉長(zhǎng)了cm.三、解答題12．（2019八上·畢節(jié)月考）一棵樹(shù)在離地面9米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部12米處，求樹(shù)折斷之前的高度？（自己畫(huà)圖并解答）13．（2021八上·萬(wàn)州期末）“某市道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城市街路上行駛速度不得超過(guò)40千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車(chē)速檢測(cè)儀A正前方18米的