2018-2019學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二（上）

期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.請把答案填在答題卡中相應(yīng)的位置上）

1.（4分）直線％-y-1=0的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

2.（4分）設(shè)點(diǎn)A（2,3,-4）在xOy平面上的射影為3,則|而|等于（）

A.V29B.5C.D.V13

3.（4分）一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示,

心以

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

m

則截去的幾何體是（）俯視圖

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

4.（4分）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,p是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.m//a,幾u(yù)a=m〃〃B.m//a,m//p=>a//P

C.m_La,〃ua=>根_L〃D.m_Ln,nca=>m_La

2

5.（4分）方程如（m+l）y=m（m+1）（mGR）表示的曲線不可能是（）

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.直線

6.（4分）如圖，。為正方體的底面ABC。的中心，則下列直線中與510

垂直的是（）

C.AiDiD.A1C1

7.（4分）曲線C：2苫2-3孫+2/=7（）

A.關(guān)于x軸對稱

B.關(guān)于直線y=x對稱，也關(guān)于直線y=-x對稱

C.關(guān)于y軸對稱

D.關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于直線>=-無不對稱

22

8.（4分）已知為、/2分別是雙曲線C：0-'=1的左、右焦點(diǎn)，若尸2關(guān)于漸近線的

2,2

ab

對稱點(diǎn)恰落在以為為圓心，|。八|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.V2C.3D.V3

9.（4分）已知圓心C在直線y=2x-4上的圓的半徑為1,點(diǎn)4（0,3）,若圓C上存在點(diǎn)

使得|四川=2|加。|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則圓心C的橫坐標(biāo)a的最大值是（）

A.AB.旦C.絲D.也

5555

（a,a《b

10.（4分）記相iw{a,b}=J，已知矩形ABC￡>中，AB=2AD,E是邊A8的中點(diǎn)，

Vb,a>b

將△ADE沿DE翻折至△ADE（AC平面BCD）,記二面角A'-。為a,二面角A

-。。-石為伍二面角W-OE-C為丫，二面角A-BE-。為①則相譏{a,p,丫，0）

=（）

A.aB.pC.yD.0

二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分，共36分.

11.（6分）已知命題“若x>l,則/>1”的逆否命題為,逆否命題是命題

（填“真”或"假”）.

12.（6分）半徑為2?的球內(nèi)接正方體的表面積為；體積為.

22

13.（6分）已知雙曲線E與雙曲線=_工-=1共漸近線且經(jīng)過點(diǎn)尸（2,3旄），則雙曲線

49

E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

14.(6分)已知直線/i：ox+y+3〃-4=0和/2：2x+(a-1)y+a=0f則原點(diǎn)到/1的距離的

最大值是：，若11〃12,則〃=.

15.(6分)長方體ABC。-A1B1C1D中，AB=BC=1,BBI=M，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的

對稱點(diǎn)為P，則點(diǎn)尸與點(diǎn)Ci之間的距離是_______.

16.(6分)已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)尸是焦點(diǎn)為尸的拋物線y2=8x上任意一點(diǎn)，則胃-的

取值范圍是：.

17.(6分)在三棱錐S-A8C中，AB=AC=S2=SC=5,&4=4,BC=6,點(diǎn)M在平面SBC

內(nèi)，且設(shè)異面直線AM與8C所成角為a,則cosa的最大值為.

三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

18.已知條件p：“關(guān)于無，y的方程/+/-4〃覬+5%2+?7-2=0(mGR)表示圓"，條件q：

"實(shí)數(shù)機(jī)滿足(.tn-a)Cm-a-4)<0".

(I)若p為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(II)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，.平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).AB

=A尸=1,BC='、pi.

(I)證明：尸2〃平面AEC；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

20.已知直線2x+y-4=0與圓C：x2+y2-2mx-(m>0)相交于點(diǎn)M、N,且10M

m

=ON\(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若A(0,2),點(diǎn)P、。分別是直線無+y+2=0和圓C上的動點(diǎn)，求解|+|PQ|的最小

值及求得最小值時的點(diǎn)尸坐標(biāo).

21.如圖(1)所示，平面多邊形ABCZJE中，AE=ED=?AB=BD=炳,AD=2CD=2,

且現(xiàn)沿直線AD將△的)￡折起，得到四棱錐P-ABC。，如圖(2)所示.

(I)求證：PBYAD-,

（II）在圖（2）中，若直線BC與平面出。所成角的正弦值為返，求直線AB與平面

4

P2C所成角的正弦值.

22.已知橢圓。：號三=1Ca>b>Q）的焦距為4,左、右焦點(diǎn)分別為八、/2,且C1

與拋物線C2：7=%的交點(diǎn)所在的直線經(jīng)過F1.

（I）求橢圓Ci的方程；

（II）分別過F1、放作平行直線m、n,若直線m與Ci交于A,B兩點(diǎn)，與拋物線C2

無公共點(diǎn)，直線〃與Ci交于C,。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A,。在x軸上方，求四邊形AFiRD

的面積的取值范圍.

2018-2019學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二（上）

期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.請把答案填在答題卡中相應(yīng)的位置上）

1.（4分）直線尤-y-1=0的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【分析】化方程為斜截式，易得斜率，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得.

【解答】解：直線x-y-1=0的方程可化為〉=尤-1,

可得直線的斜率為1,故tan0=l,為直線的傾斜角），

又0°W0<180°,故可得6=45°

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角，和由直線的方程得出直線的斜率，屬基礎(chǔ)題.

2.（4分）設(shè)點(diǎn)A（2,3,-4）在xOy平面上的射影為2,則|而|等于（）

A.V29B.5C.2煙D.V13

【分析】根據(jù)點(diǎn)B是A（2,3,-4）在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以A與B的橫坐標(biāo)

和豎坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為0,得到B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得到結(jié)果.

【解答】解：?.?點(diǎn)A（2,3,-4）在xOy平面上的射影為2,

：.B（2,3,0）,

???IOBI=V4+9+0=V13.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查空間直角坐標(biāo)系，考查空間中兩點(diǎn)間的距離公式，是一個基礎(chǔ)題，解

題的關(guān)鍵是，一個點(diǎn)在一個坐標(biāo)平面上的射影的坐標(biāo)同這個點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系.

3.（4分）一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示,

a以

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

m

則截去的幾何體是（）俯視圖

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

【分析】由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體為直四棱柱，從而可知，截去的部分為

三棱柱.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體為直四棱柱-DCFD1,

截去的部分為三棱柱BBxE-CCxF.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

4.（4分）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a邛是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.m//a,nca^m//nB.m//a,相〃00a〃0

C.機(jī)J_a,D.m^n,wua今機(jī)J_a

【分析】在A中，機(jī)與〃平行或異面；在8中，a與0相交或平行；在C中，由線面垂

直的性質(zhì)定理得機(jī)_1_力；在。中，機(jī)"ua=>wz與a相交、平行或加ua.

【解答】解：由相，”是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，知：

在A中，根〃a,與"平行或異面，故A錯誤；

在2中，7〃〃a,相〃0今a與0相交或平行，故8錯誤；

在C中，機(jī)J_a,〃ua,由線面垂直的性質(zhì)定理得機(jī)_Lw,故C正確；

在。中，“ua今相與a相交、平行或〃?ua,故。錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，是中檔題.

2

5.(4分)方程mx+(777+1)y^—m(m+1)(wGR)表示的曲線不可能是()

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.直線

【分析】根據(jù)方程，/+(m+1)y2=mCm+1)(機(jī)6R)中不含有x(或y)的一次項，即

可得出結(jié)論.

2

【解答】解：■方程Htr+(777+1)y2=m(m+l)(TMGR)中不含有無(或y)的一次項，

，方程如(m+1)y2—m(m+1)(znGR)不可能表示拋物線，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查拋物線方程，比較基礎(chǔ).

6.(4分)如圖，。為正方體ABCD-AiBiCiDi的底面A8C￡)的中心，則下列直線中與81。

垂直的是()

【分析】連接BLDI,根據(jù)正方體的性質(zhì)，得到221，平面ALBICLDI,從而有BBiLAiCi.再

根據(jù)A1B1C1D1是正方形,得到BiDiL41c1,結(jié)合81。1、8瓦是平面內(nèi)的相交

直線，得到4G，平面221。。，可得A1CB1。，因此可得正確答案.

【解答】解：連接BLDI,

'JABCD-A1B1C1D1是正方體

.?.881，平面481口。1

：4Ciu平面4B1C1O1,

'."A1B1C1D1是正方形

.".BiDiXA1C1

:BiDi、BB1是平面BB1D1D內(nèi)的相交直線

，4Ci_L平面BB1D1D

：BiOu平面BBiZhZ)

：.AiCi±BiO

故選：D.

【點(diǎn)評】本題給出正方體內(nèi)的一條直線，讓我們尋找與之垂直的直線，著重考查了空間

中直線與直線之間的位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

7.（4分）曲線C：2/-3孫+2廿=7（）

A.關(guān)于x軸對稱

B.關(guān)于直線y=x對稱，也關(guān)于直線y=-x對稱

C.關(guān)于y軸對稱

D.關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于直線＞=-無不對稱

【分析】分別將x換為-x,y換為-y,或無換為y,y換為x；,或x換為-y,y換為-尤；

考慮方程是否不變，即可得到結(jié)論.

【解答】解：由曲線C：2,-3盯+2/=7,

將x換為-無，y換為-y,方程為2/-3xy+2/=7,即不變，

可得曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；

將x換為y,y換為無，可得2y-3孫+2x2=7,即不變，

可得曲線C關(guān)于直線y=x對稱；

將尤換為-y,y換為-x,可得2y2-3孫+2/=7,即不變，

可得曲線C關(guān)于直線＞=-x對稱；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查曲線的對稱性的判斷，注意運(yùn)用替換思想，考查運(yùn)算能力和推理能力,

屬于基礎(chǔ)題.

22

8.（4分）已知為、尸2分別是雙曲線C：%-彳=1的左、右焦點(diǎn)，若R關(guān)于漸近線的

對稱點(diǎn)恰落在以人為圓心，|。八|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為()

A.2B.A/2C.3D.V3

【分析】求出放到漸近線的距離，利用放關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰落在以Fi為圓心，|。人|

為半徑的圓上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率.

【解答】解：由題意，F(xiàn)l(-C,0),F2(C,0),一條漸近線方程為y^x，則尸2到漸

a

近線的距離為/be=4

V?T?

設(shè)R關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為尸2M與漸近線交于A,.?.|MF2|=2"A為尸2M的中點(diǎn)

又0是為尸2的中點(diǎn)，：.OA//FiM,.../為加/2為直角，

...△板歸2為直角三角形，

由勾股定理得4c2=,2+4必

/.3c2=4(c2-a2),.*.c2=4a2,

??c=2〃，??e=:2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬

于中檔題.

9.(4分)已知圓心C在直線y=2x-4上的圓的半徑為1,點(diǎn)A(0,3),若圓C上存在點(diǎn)

M,使得眼A|=2|MO|(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則圓心C的橫坐標(biāo)。的最大值是()

A.—B.—C.—D.—

5555

【分析】設(shè)出圓C的方程，點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用|M4|=2|MO|,求出〃的軌跡，通過兩個

圓的位置關(guān)系，求圓心C的橫坐標(biāo)。的取值范圍.

【解答】解：：圓C的圓心在直線/：尸2尤-4上，

...圓C的方程設(shè)為：(x-a)2+(y-(2a-4))2=i,設(shè)M(無，y),由|M4|=2|MO|,可

得:Vx2+(y-3)2=2Vx2+y2,

化簡可得x?+(j+1)2=4,點(diǎn)M在以。(0,-1)為圓心，2為半徑的圓上.

由題意，點(diǎn)M(x,y)在圓上，

.?.圓C和圓D有公共點(diǎn)，則|2-1|W|CZ)|W2+1,???々4(a-。)2+(2a-4+l)2W3,

即5a2-12。+820,可得a€R,由5a2-12aW0,

可得OWaW絲,

5

圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為［0,22］,

5

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于

中檔題.

(a,a《b

10.(4分)記加”{a,b}=I,已知矩形ABC。中，AB^IAD,E是邊A2的中點(diǎn)，

b,a>b

WAADE沿DE翻折至△ADE(AC平面BCD),記二面角4-BC-D為a,二面角A

-CO-E為仇二面角A-DE-C為丫，二面角A-BE-。為3則相譏{a,p,y,0)

=()

A.aB.pC.yD.0

【分析】當(dāng)平面A'DEL平面ABC。時，以B為原點(diǎn)，BC為無軸，8A為y軸，過2作

平面A8C。的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出機(jī)位{a,p,y,0}.

【解答】解：當(dāng)平面A'平面ABC。時，

以8為原點(diǎn)，8C為無軸，54為y軸，過8作平面A8C。的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

則平面BCD、BDE和平面CZ5E重合，它們的法向量為}=(0,0,1),

設(shè)4B=2A￡>=2,A'(」，3,返)，B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E

222

(0,1,0),

^2),-3

AyB=c-1._3_一爭行"［，平),

2222

AyE=(-1--1-,怎

222

記二面角A-8C-。為a,二面角A'-CD-E為0,二面角4-OE-C為丫，二面角A'

-BE-D為8,

設(shè)平面A'8C的法向量ir=(x,y,z),

--7-；1342c

m*AB=?x為y―^-z=0

則取>='/^，得ir=(0,V2,-3),

-.7X13加

m*AC革x方y(tǒng)—^-z=0

3_3VTi

IXVTT11

設(shè)平面A'CD的法向量［=(x,y,z),

卜TT713V2.

P*AC=yx-^y—7-z=0

則，_____r-取了=如，得。=(V2>0,1),

p-A7D^-x-t^-y^y-z=0

1_V3

1XV3V

設(shè)平面A'￡>E的法向量[=(x,y,z),

D=^x-^yy^y-z=0

則<j—,取x=1,得a=(L1,0),

--7-；iiV2.q

q?AEn5xqy—^z=0

設(shè)平面A'BE的法向量==(x,y,z),

卜7TT13V2.

r*AB=^-x-yy—^-z=0_

則《廣，?。?加，得「=(V2，0,-1),

--7-；11V2A

r*AE=5x-yy-^-z=0

.*.a<P=0<y.min[a,0,y,0}=a.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分，共36分.

11.（6分）已知命題“若x>l,則/>1”的逆否命題為若則xWl,逆否命題

是真命題（填“真”或"假”）.

【分析】根據(jù)逆否命題的定義進(jìn)行求解，結(jié)合原命題和逆否命題為等價命題進(jìn)行判斷即

可.

【解答】解：若尤>1,則/>1,則原命題為真命題，則逆否命題也為真命題，

逆否命題為：若/W1,則尤W1,

故答案為：若dWl,則xWl,真

【點(diǎn)評】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系，結(jié)合逆否命題的等價性是解決本題的關(guān)鍵.

12.（6分）半徑為2y的球內(nèi)接正方體的表面積為96；體積為64.

【分析】設(shè)半徑為2、巧的球內(nèi)接正方體的棱長為“，則有生=2會，解得。=4,由此能

求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)半徑為的球內(nèi)接正方體的棱長為a,

則華=2?,解得。=4,

半徑為2y的球內(nèi)接正方體的表面積為：S=6/=6X42=96,

體積為V=a3=43=64.

故答案為：96,64.

【點(diǎn)評】本題考查正方體的表面積、體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系、球內(nèi)接正方體等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.

22L

13.（6分）已知雙曲線E與雙曲線幺-匚=1共漸近線且經(jīng)過點(diǎn)尸（2,3旄），則雙曲線

49

E的標(biāo)準(zhǔn)方程為日一式=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±6）

~3616

22

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)要，雙曲線與雙曲線=_2_=1共漸近線，設(shè)要求雙曲線的方

49

22

程為雙曲線「-匚=入，（入W0）將尸的坐標(biāo)代入雙曲線方程，解可得入的值，即可得

49

雙曲線的方程，變形即可得答案.

22

【解答】解：根據(jù)題意，要求雙曲線與雙曲線=_2_=1共漸近線,

49

22

設(shè)要求雙曲線的方程為雙曲線幺_匚=入，（）/0）

49

又由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（2,3旄），

則有里/?=入，即入=-4,

49

2222

即雙曲線的方程為①_匚=-4,其標(biāo)準(zhǔn)方程為：一=1；

493616

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,±6）

故答案為：上1_式=1；（0,±6）.

3616

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意有共同漸近線的雙曲線方程的特點(diǎn)以及形式.

14.（6分）已知直線/i：ax+y+3a-4=0fe：2x+（a-1）y+a=0,則原點(diǎn)到/i的距離的

最大值是：5,若人〃/2,則。=-1.

【分析】直線人過定點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.根據(jù)直線平行的等價

條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

【解答】解：直線Z1：ax+y+3a-4=0等價為a（尤+3）+y-4=0,則直線過定點(diǎn)A（-3,

4）,

當(dāng)原點(diǎn)到/1的距離的最大時，滿足OAJJ1,

此時原點(diǎn)到/1的距離的最大值為|。4="13)2b7=5,

若a=0,則兩直線方程為y-4=o和2x-y=0,不滿足直線平行，

若。=1,則兩直線方程為x+y-1=0和2x+l=0,不滿足直線平行，

當(dāng)"W0且〃W1時，若兩直線平行，

則@=1w3a-4

2a_la

由包=—得/-〃-2=0得a=2,或〃=-1,

2a-1

當(dāng)。=2時，曳W型生，不成立，舍去，

2a

當(dāng)。=-1時，曳W型生，成立，

2a

即°=-1,

故答案為：5,-1

【點(diǎn)評】本題主要考查直線平行的判斷，以及點(diǎn)到直線距離的求解，根據(jù)含參直線過點(diǎn)

求出定點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵.

15.(6分)長方體ABC。-421cl￡>1中，AB=2C=1,821=、歷，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線BD1的

對稱點(diǎn)為P，則點(diǎn)P與點(diǎn)C1之間的距離是1.

【分析】根據(jù)幾何體畫出平面圖形，根據(jù)邊長得出角的大小，轉(zhuǎn)化到△PPC1中，DiCi

=1,PDI=M，NPDC1=3O°根據(jù)條件運(yùn)用余弦定理求解即可.

【解答】解：：長方體ABCD-AiBiCiOi

中，AB=BC^1,BBi=?

.,.A￡)i=V3，DiC=2,

ZADiCi=90°,

???設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線BDx的對稱點(diǎn)為P,

.?.在△AD18中，

ZADiB=30°,

：.ZPDiB=30°,

ADI=PDI=M，即/PZhCi=30°,

:在△PDCi中，DiCi=l,PDI=M，ZPDICI=30°,

?，?根據(jù)余弦定理得出：CiP=^1+3-2X1X->/3=L

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，幾何體中的對稱問題，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面

問題求解，屬于中檔題.

16.(6分)已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)尸是焦點(diǎn)為尸的拋物線y2=8x上任意一點(diǎn)，則胃-的

取值范圍是：「1,返.

【分析】過尸作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為則|PF|=|PM，可得到-=————，

|PFsinZMAP

求出過A拋物線的切線方程，即可得出結(jié)論.

【解答】解：過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為則|Pf]=|PM，

:拋物線y=8無的焦點(diǎn)為P(2,0),點(diǎn)A(-2,0),

?|PA|_1

IPFIsinZMAP；

設(shè)過A拋物線的切線方程為y=k(x+2),代入拋物線方程可得廬？+(4M-8)x+4^=0,

；.△=(4必-8))2-16「=0,

：.k=+l,則/B4阻0,—],

4

：.ZMAPE[—,—即----\---e[l,V2].

42sin/MAP

故答案為：口，6

y

【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力,

屬于中檔題.

17.(6分)在三棱錐S-ABC中，AB=AC=SB=SC=5,SA=4,BC=6,點(diǎn)M在平面SBC

內(nèi)，且設(shè)異面直線AM與BC所成角為a,則cosa的最大值為義亙.

~13~

【分析】取8C中點(diǎn)N,連結(jié)AN,PN,則可證△NV是等邊三角形，過A作平面PBC

的垂線A。，則。為PN的中點(diǎn)，求出A。的長，利用勾股定理可得出的長，即M

的軌跡.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)〃的坐標(biāo)(x,y,0),求出疝的坐標(biāo)，利

用向量求出夾角，根據(jù)x,y的范圍得出cosa的最大值.

【解答】解：取BC中點(diǎn)N,連結(jié)AN,SN,'：AB=AC=SB=SC=5,BC=6,：.AN=SN

=4,

：SA=4,.?.△SAN是等邊三角形，ZANS=60°.

'：ANLBC,SNLBC,；.NANS為二面角4-BC-S的平面角.

過A作AO_L平面SBC,連結(jié)OM,則。為SN的中點(diǎn)，：.ON=^SN=2,

2

:點(diǎn)M在平面S3C內(nèi)，且

/.°^=VAM2-AO2=1?加的軌跡是以。為圓心’以1為半徑的圓?

以平面P3C內(nèi)過。點(diǎn)平行于BC的直線為無軸，以PN為y軸，以O(shè)A為z軸建立空間

直角坐標(biāo)系如圖.

則A(0,0,2日)，8(-3,2,0),C(3,2,0),設(shè)M(%,?0),貝1]/+9=1.

AM=(x,y,-2?),BC=(6,0,0).|AM|=V13>|BC|=6,AM?BC=6x.

??.cosa=上匝

IAMI-IBCIV13'6V13

當(dāng)尤=1時，cosa取得最大值逗.

13

故答案為：Y亙.

13

s

X

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值的最大值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

18.已知條件p：“關(guān)于％,y的方程/+/一4皿+5m2+加一2二0(mGR)表示圓“，條件q：

“實(shí)數(shù)相滿足(m-a)(m-a-4)VO”.

(I)若p為真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(II)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【分析】(I)當(dāng)p為真命題時可得：-m2-m+2>0,解得：-1,

(II)解不等式(m-a)(加-。-4)VO”.得：a<m<a+^,由p是q的充分不必要條

件，可得：，,即-3W〃W-2,得解.

la+4>l

【解答】解：(I)若〃為真命題，即：“關(guān)于x,y的方程/+y-4加什5M?+徵-2=0(MER)

表示圓”，

又/+/-4mx+5m2+m-2=0可化為：(%-2m)2+y2=-m2-m+2,

由“關(guān)于x,y的方程/+y2-4小+5m2+瓶-2=0(mGR)表示圓”，

則-根2-m+2>0,

解得：

故答案為：(-2,1)；

(II)解不等式(機(jī)-〃)(m-tz-4)<0".

得：a<m<a+4,

由p是q的充分不必要條件，

即：“-2VI”是“〃<根<〃+4”的充分不必要條件，

可得」a《；2,

la+4>l

即--2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為：-3W〃W-2,

故答案為：[-3,-2]

【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件及命題的真假，屬簡單題.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，叢_L平面ABCD,E為的中點(diǎn).

=AP=1,BC=V3.

(I)證明：尸2〃平面AEC；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

【分析】(I)連結(jié)BD,交AC于。，連結(jié)0E,則OE//PB,由此能證明PB〃平面AEC.

(II)以A為原點(diǎn)，A8為龍軸，為y軸，A尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向

量法能求出二面角D-AE-C的余弦值.

【解答】證明：(I)在四棱錐尸-ABC。中，底面48。為矩形，E為尸。的中點(diǎn).

連結(jié)8。，交AC于。，由底面A8C。為矩形，得。為8。中點(diǎn)，

連結(jié)OE,貝!]OE//PB,

:尸即平面AEC,OEu平面AEC,

〃平面AEC.

解：(II)以A為原點(diǎn)，AB為無軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0),A(0,0,0),P(0,0,1),E(0,叵,-1),C(1,M，0),

22

平面AOE的法向量三=(1,0,0),

AE=(0,叵-1),AC=(1,M，0),

22

設(shè)平面ACE的法向量;=(尤，y,z),

,AE=-^-x-^z=O廣g-li—

則｛22取>=i,得1r=(-?,i,-v3),

AC=x+>/3y=0

設(shè)二面角D-AE-C的平面角為e,

則cos8=J?刃=卓=返!.

ImI?|n|W7

...二面角。-AE-C的余弦值為逞I.

7

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔

題.

20.已知直線2x+y-4=0與圓C：N+y2-2mx-當(dāng)=0(%>0)相交于點(diǎn)/、N,且|OM|

m

=ON|(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若4(0,2),點(diǎn)尸、。分別是直線x+y+2=0和圓C上的動點(diǎn)，求|%|+|PQ的最小

值及求得最小值時的點(diǎn)尸坐標(biāo).

【分析】(I)根據(jù)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)N,結(jié)合|OM=QM，建立條件關(guān)

系即可求得圓C的方程；

(II)求出點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為A'(-4,-2),根據(jù)直線和圓

相交以及點(diǎn)的對稱性即可得到結(jié)論.

2222

【解答】解：(I)化圓C：?+y-2mx-Ay=0(m>0)%(x-m)+(y-—)=m

mmm2

則圓心坐標(biāo)為C(m,Z),

m

,：\OM\^\ON\,則原點(diǎn)。在MN的中垂線上，

設(shè)MN的中點(diǎn)為H,貝；.C、H、。三點(diǎn)共線，

2_

則直線OC的斜率左=史二］，

m1n22

?*2~2.

圓心為C(2,1)或C(-2,-1),

...圓C的方程為(尤-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,

由于當(dāng)圓方程為(x+2)2+(y+1)2=5時，直線2尤+y-4=0到圓心的距離d>r,

此時不滿足直線與圓相交，故舍去，

...圓C的方程為(%-2)2+(j-1)2=5；

(II)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為A'(-4,-2),

則LR4|+|PQ=|陰'|+|PQ\|A'Q\,

又4到圓上點(diǎn)Q的最短距離為

C|-r=yj(_6)2+32-遍=3旄-芯=2后.

??.|E4|+|PQ的最小值為2旄，直線A'C的方程為〉=工，

2

則直線A'C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-9，-2).

33

【點(diǎn)評】本題考查直線和圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力，根據(jù)條件建立方程關(guān)系

是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

21.如圖(1)所示，平面多邊形ABCQE中，AE=ED=?,AB=BD=炳,AD=2CD=2,

且ADLC。，現(xiàn)沿直線將△4OE折起，得到四棱錐尸-ABC。，如圖(2)所示.

(I)求證：PBLAD-,

(II)在圖(2)中，若直線8C與平面所成角的正弦值為逅，求直線AB與平面

4

P2C所成角的正弦值.

【分析】(I)取的中點(diǎn)O,連OB、OP,證明OBLADMOP1AD,推出4。1_平

面BOP,即可證明PB±AD.

(II)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8所在的直線為了軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸BC的

一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解產(chǎn)。與平面P2C所成角的正弦值即可.

【解答】證明：(I)取的中點(diǎn)。，連。8、OP,

'：BA=BD,EA=ED,即必=P。,

OBLAD且OPLAD,

；.AO_L平面BOP,

J.PBLAD.

解：(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08為x軸，。。為y軸，過。作平面ABC。的垂線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

B(2,0,0),C(1,1,0),A(0,-1,0),D(0,1,0),設(shè)P(。，0,c),

貝!IBC=(-1,1,0),AD=(0,2,0),AP=(a,bc),

設(shè)平面的法向量13=(x,y,z),

n-AD=2y=0,得；=⑷°,q,

n*AP=ax+y+cz=0

?；直線BC與平面PAD所成角的正弦值為返，

解得包.?.tanZPOB=60o,解得。=工，：.P(-1,0,叵),