一種基于Householder變換的Simpler GMRES算法

一種基于Householder變換的SimplerGMRES算法基于Householder變換的SimplerGMRES算法1.引言廣義最小殘差法（GeneralizedMinimalResidualMethod,GMRES）是一種迭代求解非對稱矩陣線性方程組的方法。該方法通過迭代計(jì)算得到一個(gè)最佳近似解，在很多應(yīng)用問題中非常有效。然而，傳統(tǒng)的GMRES算法在每次迭代時(shí)需要解決一個(gè)稀疏矩陣的線性方程組，對于大規(guī)模問題來說計(jì)算量較大，且迭代次數(shù)也較多。為了解決這一問題，基于Householder變換的SimplerGMRES算法被提出。2.Householder變換Householder變換是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，用于將一個(gè)向量轉(zhuǎn)化為相對于特定軸對稱的向量。在GMRES算法中，Householder變換可以用于將矩陣的第一列轉(zhuǎn)化為一個(gè)特定的向量。通過一系列的Householder變換，可以將整個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為一個(gè)上Hessenberg矩陣，從而簡化GMRES算法的計(jì)算過程。3.SimplierGMRES算法的基本思想SimplierGMRES算法的基本思想是通過引入Householder變換，將待求解的線性方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)上Hessenberg矩陣問題，從而簡化GMRES算法的計(jì)算過程。算法的步驟如下：-初始化：將初始矩陣設(shè)為單位矩陣，并選取初始向量。-Householder變換：通過對初始矩陣的每一列進(jìn)行Householder變換，將矩陣轉(zhuǎn)化為上Hessenberg矩陣。-GMRES迭代過程：對上Hessenberg矩陣應(yīng)用GMRES算法，求解近似解。4.SimplierGMRES算法的詳細(xì)步驟4.1.初始化：設(shè)初始矩陣為單位矩陣I，初始向量為b。4.2.Householder變換：對初始矩陣的每一列進(jìn)行Householder變換，將矩陣轉(zhuǎn)化為上Hessenberg矩陣H。4.3.GMRES迭代過程：對上Hessenberg矩陣應(yīng)用GMRES算法，求解近似解。4.3.1.初始化：設(shè)初始?xì)埐顁0為b。4.3.2.對于每一次迭代k=1,2,...，直到滿足收斂條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)：-a.根據(jù)H中第k列的值計(jì)算Givens旋轉(zhuǎn)矩陣。-b.對向量H的第k+1行中的每一個(gè)元素應(yīng)用Givens旋轉(zhuǎn)矩陣。-c.對向量b的第k個(gè)元素應(yīng)用Givens旋轉(zhuǎn)矩陣。-d.更新解向量x和殘差r。-e.判斷是否收斂，如果收斂則跳出循環(huán)。4.4.輸出結(jié)果：輸出近似解x。5.算法的優(yōu)勢和應(yīng)用簡化的GMRES算法通過引入Householder變換，將復(fù)雜的稀疏矩陣問題轉(zhuǎn)化為上Hessenberg矩陣問題，減少了計(jì)算量和迭代次數(shù)。因此，該算法在求解大規(guī)模線性方程組的過程中具有以下優(yōu)勢：-計(jì)算速度更快：相比傳統(tǒng)的GMRES算法，簡化的GMRES算法減少了矩陣求解的復(fù)雜度，從而提高了計(jì)算速度。-內(nèi)存消耗更?。汉喕腉MRES算法不需要存儲整個(gè)矩陣，而是只需存儲上Hessenberg矩陣，因此節(jié)省了內(nèi)存消耗。-可擴(kuò)展性更好：由于簡化算法的計(jì)算量較小，它可以更好地處理大規(guī)模問題，具有更好的可擴(kuò)展性。-在科學(xué)計(jì)算、圖像處理、信號處理等眾多領(lǐng)域都具有廣泛應(yīng)用。6.總結(jié)本論文介紹了基于Householder變換的SimplerGMRES算法。該算法通過引入Householder變換將線性方程組轉(zhuǎn)化為上Hessenberg矩陣問題，簡化了計(jì)算過程。該算法在大規(guī)模問題的求解中具有較好的效果，可以在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用。未來，可以進(jìn)一步研究算法的收斂性和計(jì)算效率，以進(jìn)一步改進(jìn)算法的性能。7.參考文獻(xiàn)[1]Saad,Y.(2003).Iterativemethodsforsparselinearsystems(2nded.).SIAM.[2]Ng,E.G.(2009).GMRESmethodsformatrixfunctions.Appliednumericalmathematics,59(6),1233-1246.[3]Chen,Q.(2019).AsimplifiedGMRESalgorithmbasedonHouseholdertransformationfo