數(shù)學(xué)-湖南雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）帶答案

大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)分.是符合題目要求的.2.全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，則陰影部分表示的集合是()xlog2xxlog2x2x+2一xA.B.C.D.A.3B.3C.4D.45.某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球第1頁/共5頁的體積為144πcm3，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為1.5g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為1.5π~4.7）6.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1>0，則“公比q>0”是“對(duì)于任意neN*，Sn>0”A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()AπC.48.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，xfx-1>0的解集為BπD.4f(2+x)=f(-x),f(-2)=-f(4)，且f(x)在[1,+構(gòu))上遞增，則C.9.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列選項(xiàng)正確的是()10.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx-cos2x+，則下列說法正確的是()A.f(x)=sin2x-第2頁/共5頁B.函數(shù)f(x)的最小正周期為πC.函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=kπ+D.函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度得到11.設(shè)Sn是公差為d（d子0）的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題正確的是()A.若d<0，則S1是數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)B.若數(shù)列{Sn}有最小項(xiàng)，則d>0C.若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：neN*，均有Sn<0D.若對(duì)任意的neN*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD一含端點(diǎn)則下列說法正確的是()A.四面體A1D1MN的體積為定值B.當(dāng)M，N分別為棱B1C1，CD的中點(diǎn)時(shí)，則在正方體中存在棱與平面A1MN平行C.直線MN與平面ABCD所成角的正切值的最小值為222D.當(dāng)M，N分別為棱B1C1，CD的中點(diǎn)時(shí)，則過A1，M，N三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為五邊形14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在圓O上，若射線OB平分ZAOC，第3頁/共5頁(34)(34)15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y=f(x)+ex是偶函數(shù)，y=f(x)-3ex是奇函數(shù)，則f(x)的最小值為.16.已知菱形ABCD中，對(duì)角線BD=2，將ΔABD沿著BD折疊，使得二面角A-BD-C為120°,AC=3，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.證明過程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn=a+an.（2）若a=8，‘ABC的內(nèi)切圓半徑為，求‘ABC的周長.（2）求二面角A1-B1C1-A的正弦值.20.如圖，已知橢圓C:+=1(a>b>0)上一點(diǎn)A(0,)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，直線AF交橢圓于B第4頁/共5頁（2）若直線y=kx(k>0)與橢圓相交于C,D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最大值.21.如圖所示，ABCP是圓錐的一部分(A為圓錐的頂點(diǎn))，O是底面圓的圓心，ZBOC=，P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合滿足ZCOP=θ.M是AB的中點(diǎn)，OA=2OB=2.（1）若MP//平面AOC，求sinθ的值；（2）若四棱錐M一OCPB的體積大于，求三棱錐A一MPC體積的取值范圍.22.混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為p(0<p<1)．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)f(X)=+KX，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù).<K<20．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽性.第5頁/共5頁大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)分.是符合題目要求的.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.故選:C.2.全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，則陰影部分表示的集合是()【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應(yīng)的集合運(yùn)算直接計(jì)算作答.第1頁/共21頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)即得.f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除答案B，D；故選:A.A.3B.3C.4D.4【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，第2頁/共21頁(2,3)，故選：A.5.某校科技社利用3D打印技術(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球的體積為144πcm3，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為1.5g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為1.5π~4.7）【答案】C【解析】【分析】由題意可知所需要材料的體積即為半球體積與圓臺(tái)體積之和，先求出圓臺(tái)的體積，再利用組合體的體積乘以打印所用原料密度可得結(jié)果.【詳解】設(shè)半球的半徑為R，因?yàn)閂半球=3,所以R=6，由題意圓臺(tái)的上底面半徑及高均是3，下底面半徑為6，3，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為207πx1.5~207x4.7=972.9g第3頁/共21頁2|a1-n1--n1|2|a1-n1--n1|2=a|1(1)1n|36.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1>0，則“公比q>0”是“對(duì)于任意n=N*，Sn>0”A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.21=a13||nn|所以由對(duì)于任意n=N*，Sn>0，推不出q>0，故必要性不成立；所以“公比q>0”是“對(duì)于任意n=N*，Sn>0”的充分不必要條件.故選:A7.若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()BπBπD.4【答案】C【解析】2【分析】根據(jù)已知不等式得到，要求y＝sinx和y＝cosx的圖象不在y＝a=2余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出y＝sinx和y＝cosx的圖象，的同一側(cè)，利用正弦函數(shù)、當(dāng)m=時(shí)，要使不等式恒成立，只有a＝，第4頁/共21頁當(dāng)m＞時(shí)，在x∈[0，m]上，必須要求y＝sinx和y＝cosx的圖象不在y＝a＝的同一側(cè).∴由圖可知m的最大值是.8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(2+x)=f(-x),f(-2)=-f(4)，且f(x)在[1,+構(gòu))上遞增，則C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)f(2+x)=f(-x)可得f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，根據(jù)f(-2)=-f(4)可得f(-2)=f(4)=0，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得函數(shù)圖象，根據(jù)圖象列不等式求解集即可.【詳解】解：函數(shù)f(x)，滿足f(2+x)=f(-x)，則f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以f(-2)=f(4)=-f(4)，即f(-2)=f(4)=0，)上遞增，所以f(x)在(-構(gòu),1)上遞減，則可得函數(shù)f(x)的大致圖象，如下圖：.故選：D.第5頁/共21頁9.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列選項(xiàng)正確的是()【答案】ABD【解析】【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可. 故選：ABD.10.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx-cos2x+，則下列說法正確的是()A.f(x)=sin2x-B.函數(shù)f(x)的最小正周期為πC.函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=kπ+D.函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.第6頁/共21頁,所以A正確；對(duì)于B，函數(shù)f(x)的最小正周期為=π,所以B正確；對(duì)于C，由2x-=+kπ,keZ，得x=+，keZ，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=+，keZ，所以C不正確；對(duì)于D，y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度，得y=sin2x-=sin2x-，所以函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，所以D不正確.故選：AB.11.設(shè)Sn是公差為d（d子0）的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題正確的是()A.若d<0，則S1是數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)B.若數(shù)列{Sn}有最小項(xiàng)，則d>0C.若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：neN*，均有Sn<0D.若對(duì)任意的neN*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.【詳解】對(duì)于A：取數(shù)列{an}為首項(xiàng)為4，公差為-2的等差數(shù)列，S1=4<S2=6，故A錯(cuò)誤；數(shù).當(dāng)數(shù)列{Sn}有最小項(xiàng)，即Sn有最小值，Sn對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，d>0，B正確；對(duì)于C：取數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1，公差為-2的等差數(shù)列，Sn=-n2+2n，第7頁/共21頁都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意neN*，均有Sn>0.故若對(duì)任意neN*，均有Sn>0，有數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，故D正確.故選：BD12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD一含端點(diǎn)則下列說法正確的是()A.四面體A1D1MN的體積為定值B.當(dāng)M，N分別為棱B1C1，CD的中點(diǎn)時(shí)，則在正方體中存在棱與平面A1MN平行C.直線MN與平面ABCD所成角的正切值的最小值為222D.當(dāng)M，N分別為棱B1C1，CD的中點(diǎn)時(shí)，則過A1，M，N三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為五邊形【答案】ACD【解析】【分析】求出四面體的體積判斷A；把正方體的棱分成3類，再判斷各類中的一條即可判斷B；作出線面角，并求出其正切表達(dá)式判斷C；利用線線、線面平行的性質(zhì)作出截面判斷D.【詳解】點(diǎn)M，N在棱B1C1，CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M到A1D1距離始終為2，N到平面A1D1M的距離始終為2，所以四面體A1D1MN的體積VN一A1MD1=x2xx2x2=恒為定值，A正確；第8頁/共21頁22又A1A,A1B1,A1D不與平面A1MN平行，則在正方體ABCD-A1B1C1D1中，不存在棱與平面A1MN平行，B錯(cuò)誤；正方體棱長為2，如圖1，過M作MM1LBC于M1，則有MM1L平面ABCD，于是MN與平面ABCD所成角即為ZMNM1，于是tanZMNM1==MN，2又M1N長度的最大值為2，所以MN與平面ABCD所成角的正切值的最小值為2如圖2，取BC中點(diǎn)M,，連接AM,,MM,，有MM,//BB1//AA1，且MM,=BB1=AA1，則四邊形AA1MM,是平行四邊形，有AM,//A1M，過N作AM,的平行線交AD于點(diǎn)E，此時(shí)DE=DA，則EN//A1M，即EN為過A1，M，N三點(diǎn)的平面與平面ABCD的交線，連接A1E，在BC上取點(diǎn)F，使得CF=CB，同證AM,//A1M的方法得A1E//B1F，在棱CC1上取點(diǎn)G，使CG=CC1，連接MG并延長交直線BC于H，則CH=C1M=CF，即FH=C1M=B1M，而FH//B1M，于是四邊形FHMB1是平行四邊形，有MG//B1F//A1E，則MG為過A1，M，N三點(diǎn)的平面與平面BCC1B1的交線，連接NG，則可得五邊形A1MGNE即為正方體中過A1，M，N三點(diǎn)的截面，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.13.若函數(shù)f(x)=x-alnx的圖象在x=1處的切線斜率為3，則a=.第9頁/共21頁【答案】-2【解析】【分析】求導(dǎo)，利用f'(1)=3求解即可.【詳解】解：因?yàn)閒(x)=x-alnx，所以f'(x)=1-，又函數(shù)f(x)=x-alnx的圖象在x=1處的切線斜率為3，故答案為：-214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在圓O上，若射線OB平分ZAOC，(34)(34)(724)(724)【解析】【詳解】由題意可知圓O的半徑為((3)2(4)235cosQ35215.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y=f(x)+ex是偶函數(shù)，y=f(x)-3ex是奇函數(shù)，則f(x)的最小值為.【解析】第10頁/共21頁【分析】由題意可得fxex2ex，再結(jié)合基本不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)yfxex為偶函數(shù)，則fxexfxex，即fxfxexex，①又因?yàn)楹瘮?shù)yfx3ex為奇函數(shù)，則fx3exfx3ex，即fxfx3ex3ex，②聯(lián)立①②可得fxex2ex，由基本不等式可得fxex2ex22，當(dāng)且僅當(dāng)ex2ex時(shí)，即當(dāng)xln2時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)fx的最小值為2.故答案為：216.已知菱形ABCD中，對(duì)角線BD2，將ΔABD沿著BD折疊，使得二面角ABDC為120°,AC3，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為.【答案】28【解析】【分析】將‘ABD沿BD折起后，取BD中點(diǎn)為E，連接AE，CE，得到AEC120，在△AEC中由余弦定理求出AE的長，進(jìn)一步求出AB的長,分別記三角形ΔABD與ΔBCD的重心為G、F，記該幾何體ABCD的外接球球心為O，連接OF，OG，證明Rt△OGE與Rt‘OFE全等，求出OE，再推出BDOE，連接OB，由勾股定理求出OB，即可得出外接球的表面積.【詳解】將‘ABD沿BD折起后，取BD中點(diǎn)為E，連接AE，CE，則AEBD，CEBD，所以AEC即為二面角ABDC的平面角，所以AEC120；設(shè)AEa，則AECEa,在△AEC中AC2AE2EC22AECEcos120，即272a22aa解得a3，即AE3，所以AB2所以ΔABD與ΔBCD是邊長為2的等邊三角形. 第11頁/共21頁分別記三角形ΔABD與ΔBCD的重心為G、F，則EG=AE=1，EF=CE=1；即EF=EG；因?yàn)棣BD與ΔBCD都是邊長為2的等邊三角形，所以點(diǎn)G是ΔABD的外心，點(diǎn)F是ΔBCD的外心；記該幾何體ABCD的外接球球心為O，連接OF，OG，根據(jù)球的性質(zhì)，可得OFL平面BCD，OGL平面ABD，所以‘OGE與△OFE都是直角三角形，且OE為公共邊，所以Rt△OGE與Rt‘OFE全等，因此ZOEG=ZOEF=ZAEC=60。，因?yàn)锳ELBD，CELBD，AEICE=E，且AE仁平面AEC，CE仁平面AEC，所以BDL平面AEC；又OE仁平面AEC，所以BDLOE，223連接OB，則外接球半徑為OB223故答案為：28π【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體外接球體積或表面積問題時(shí)，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時(shí)，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面外接圓的圓心連線垂直于截面，即可確定球心位置；有時(shí)也可將幾何體補(bǔ)型成特殊的幾何體（如長方體根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.證明過程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn=a+an.第12頁/共21頁4nnn（2）證明見解析.【解析】n,Sn的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法求得Tn，即可證明.【小問1詳解】1，annn1，兩式相減，n}為正項(xiàng)數(shù)列，故可得anan1=1，所以數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，d=1為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】T222222222222=+++...+++（2）若a=8，‘ABC的內(nèi)切圓半徑為，求‘ABC的周長.【解析】第13頁/共21頁【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；（2）利用三角形的面積公式可得出b+c+8=bc，結(jié)合余弦定理可求得b+c的值，即可求得‘ABC的周長.【小問1詳解】【小問2詳解】2π.3解：由（1）知，A=，因?yàn)椤瓵BC內(nèi)切第14頁/共21頁（2）求二面角A1-B1C1-A的正弦值.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判斷定理可得B1CL平面ABC1，從而即可證明ABLB1C；（2）建立以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OB1，OA所在直線為x，y，z軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】因?yàn)锽C=BB1，四邊形BB1C1C是平行四邊形，所以四邊形BB1C1C是菱形，所以BC1LB1C.所以B1CL平面ABC1，因?yàn)锳B仁平面ABC1，所以ABLB1C.【小問2詳解】解：以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OB1，OA所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，-,0,0，，第15頁/共21頁設(shè)平面B1C1A1的一個(gè)法向量為=(x2,22)，設(shè)二面角A1B1C1A的大小為θ,------ x7---437所以sinθ=12=437所以43所以二面角A1B1C143720.如圖，已知橢圓C:+=1(a>b>0)上一點(diǎn)A(0,)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，直線AF交橢圓于B（2）若直線y=kx(k>0)與橢圓相交于C,D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最大值.第16頁/共21頁 26【解析】標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線AF的方程為x+y-=0，與橢圓聯(lián)立求出B(,-)，求出點(diǎn)A,B到直線y=kx(k>0)的距離為d1=，d2=，聯(lián)立直線y=kx與橢圓方程結(jié)合弦長公式求出CD，求出四邊形ACBD的面積S=CD(d1+d2)，整理化簡利用二次函數(shù)求出最值.,整理得：4x2-6x=2(x2-3x)= 22設(shè)點(diǎn)A(0,)，B(,-)到直線y=kx設(shè)點(diǎn)A(0,)，d2 2k .常常kk2x-..第17頁/共21頁k2+12k2+12 .362 .362222 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.21.如圖所示，ABCP是圓錐的一部分(A為圓錐的頂點(diǎn))，O是底面圓的圓心，ZBOC=，P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不