2024屆上海市長寧區(qū)市級名校高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析

2024屆上海市長寧區(qū)市級名校高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．2．如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．6 D．83．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．6．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．7．tan570°=（）A． B．- C． D．8．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．29．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[3210．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-211．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．12．數(shù)列滿足，且，，則（）A． B．9 C． D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.14．已知集合，，則________.15．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是_________16．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，則球的表面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.18．（12分）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）（2）19．（12分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）（2）如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：學生序號1234567數(shù)學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學的數(shù)學成績?yōu)?6分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.768381252620．（12分）已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.（1）證明:點在軸的右側(cè);（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）的角的對邊分別為且，，求邊上的高的最大值.22．（10分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.2、A【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1，下底為2，高為2，四棱錐的高為2，所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.3、B【解析】

每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項．4、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.5、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.6、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項A,C，當正數(shù)越來越小，趨近于0時，，所以函數(shù)，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.7、A【解析】

直接利用誘導公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b，則函數(shù)fgx10、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當時，有最大值，當時，有最小值.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，，可求出公差，即可求出．【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設(shè)切點坐標為，，，，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點坐標，并利用導數(shù)求出切線方程；（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．14、【解析】

利用交集定義直接求解．【詳解】解：集合奇數(shù)，偶數(shù)，．故答案為：．【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當，，當且僅當時，等號成立.當時，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.16、【解析】

如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而可得，即，即可證出．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，不符合題意；當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，，所以，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當，時，即在上單調(diào)遞增；又，，所以，使得，當時，；當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以，即，所以，即．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得結(jié)果.（2）同樣根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得結(jié)果.【詳解】（1）令，，則，而，，故.（2）令，，則，而，，故，化簡得到.【點睛】本題考查復合函數(shù)的導數(shù)，此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復合，再根據(jù)復合函數(shù)的求導法則可得所求的導數(shù)，本題屬于容易題.19、（1）不同的樣本的個數(shù)為.（2）①分布列見解析，.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數(shù).（2）名學生中物理和數(shù)學都優(yōu)秀的有3名學生，任取3名學生，都優(yōu)秀的學生人數(shù)服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數(shù)學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【詳解】（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，18名男同學中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，故不同的樣本的個數(shù)為.（2）①∵7名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當時，.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【點睛】在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點的橫坐標即可證出；（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點的坐標，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線（）設(shè)，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點的橫坐標，因為，所以點在軸的右側(cè)．（2）由（1）得點的縱坐標．即．所以線段的垂直平分線方程為：．令，得；令，得．