競(jìng)賽講座自然數(shù)的性質(zhì)(奧數(shù)、小升初、公務(wù)員考試)

第六講整數(shù)問(wèn)題

整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)

整數(shù)的問(wèn)題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識(shí)以外，還必須通過(guò)課外活動(dòng)來(lái)

補(bǔ)充一些整數(shù)的知識(shí)，以及解決問(wèn)題的思路和方法。

對(duì)于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時(shí)要用下面的方法來(lái)表示：

49=4X10+9,

235=2X100+3X10+5,

7064=7X1000+6X10+4,

有時(shí)我們用字母a,b,…表示數(shù)字.例如，航展是一個(gè)五位數(shù)，也

就是

abcde=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e.

一、整除

整除是整數(shù)問(wèn)題中一個(gè)重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b,商是整數(shù)且余數(shù)為0,

我們就說(shuō)a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,記作b|a.此時(shí)，b是a的一個(gè)因數(shù)

(約數(shù))，a是b的倍數(shù).

1.整除的性質(zhì)

性質(zhì)1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除(這里設(shè)a'b).

例如：3|18,3|12,那么3|(18+12),3|(18-12).

性質(zhì)2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如：3|6,6|24,那么3|24.

性質(zhì)3如果a能同時(shí)被m、n整除，那么a也一定

能被m和n的最小公倍數(shù)整除.

例如：6I36,9I26,6和9的最小公倍數(shù)是18,18|36.

如果兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么它們稱(chēng)為互質(zhì)的.

例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.

性質(zhì)4整數(shù)a,能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被bXc整除.

例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72

能被3與4的乘積12整除.

性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘

積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.

性質(zhì)4可以說(shuō)是性質(zhì)3的特殊情形.因?yàn)閎與c互

質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是bXc.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4,我們常常運(yùn)用如下解題思路：

要使a被bXc整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

能被2,3,4,5,8,9,11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過(guò)下面講到的一些特

征來(lái)判斷許多數(shù)的整除問(wèn)題.

2.數(shù)的整除特征

（1）能被2整除的數(shù)的特征：

如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的數(shù)的特征：

如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5,那么它必能被5整除.

（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：

如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：

如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

（6）能被11整除的數(shù)的特征:

如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么

它必能被11整除.

例1四位數(shù)萬(wàn)而能被18整除，要使這個(gè)四位數(shù)盡可能的小，麻叱

是什么數(shù)字？

解：18=2X9,并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4,可以分別考慮被2和9整除.

要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.

再考慮被9整除，四個(gè)數(shù)字的和就要被9整除，己有7+4=11.

如果b=0,只有a=7,此數(shù)是7740；

如果b=2,只有a=5,此數(shù)是7542；

如果b=4,只有a=3,此數(shù)是7344；

如果b=6,只有a=l,此數(shù)是7146；

如果b=8,只有a=8,此數(shù)是7848.

因此其中最小數(shù)是7146.

根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問(wèn)題常用辦法，例1就是一個(gè)典型.

例2一本老賬本上記著：72只桶，共口67.9□元，其中口處是被蟲(chóng)蛀掉的數(shù)字，請(qǐng)把

這筆賬補(bǔ)上.

解：把口67.9口寫(xiě)成整數(shù)679,它應(yīng)被72整除.72=9X8,9與8又互質(zhì).按照前面的性

質(zhì)4,只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.

從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a=3.

這筆帳是367.92元.

例3在1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個(gè)數(shù)（有些數(shù)字

可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個(gè)數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.

解：如果選數(shù)字5,組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5,這樣就不能被偶數(shù)2,4,6整

除，也就是不能選2,4,6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5,而選其他五個(gè)

數(shù)字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,為了能整除3和6,所用的數(shù)字之和要能被3整除，

只能再添上一個(gè)2,16+2=18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整

除.組成的數(shù)是

122364.

例4四位數(shù)7口4口能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).

解：55=5X11,5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與H整除

要被5整除，個(gè)位數(shù)只能是0或5.

再考慮被11整除.

(7+4)-(百位數(shù)字+0)要能被11整除，百位數(shù)字只能是0,所得四位數(shù)是7040.

(7+4)-(百位數(shù)字+5)要能被11整除，百位數(shù)字只能是6(零能被所有不等于零的

整數(shù)整除)，所得四位數(shù)是7645.

滿(mǎn)足條件的四位數(shù)只有兩個(gè)：7040,7645.

例5一個(gè)七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪

一個(gè)？

解：為了使這個(gè)數(shù)最大，先讓前五位是98765,設(shè)這個(gè)七位數(shù)是標(biāo)充

,要使它被11整除，要滿(mǎn)足

(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0,1,2,3,4中的兩

個(gè)數(shù)，只有b=4,a=0,滿(mǎn)足條件的最大七位數(shù)是9876504.

再介紹另一種解法.

先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11(參見(jiàn)下頁(yè)除式).

要滿(mǎn)足題目的條件，這個(gè)數(shù)是9876543減6,或者再減去11的倍數(shù)中的一個(gè)數(shù)，使最

后兩位數(shù)字是0,1,2,3,4中的兩個(gè)數(shù)字.

897867

11/9876543

/-88_______

TOT

99______

86

77

74

66

83

77

6

43-6=37,37-11=26,26Tl=15,15Tl=4,因此這個(gè)數(shù)是9876504.

思考題：如果要求滿(mǎn)足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個(gè)數(shù)呢？

（答：1023495）

例6某個(gè)七位數(shù)1993口□口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三個(gè)

數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？

與上例題一樣，有兩種解法.

解一：從整除特征考慮.

這個(gè)七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.

另外，只要再分別考慮它能被9,8,7整除.

1+9+9+3=22,要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14,要被8整除，最后三

位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個(gè)數(shù)：

1993500,1993320,1993680,

其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.

解二：直接用除式來(lái)考慮.

2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍數(shù)是2520,這個(gè)七位數(shù)要被2520整除.

現(xiàn)在用1993000被2520來(lái)除，具體的除式如下：

79

2520/1993000

/17640

22900

2268。

--2200

因?yàn)?520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.

例7下面這個(gè)41位數(shù)

20個(gè)52。個(gè)9

能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？

解：因?yàn)?11111=3X7X11X13X37,所以

555555=5X111111和999999=9X111111

都能被7整除.這樣，18個(gè)5和18個(gè)9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.

右邊的三個(gè)加數(shù)中，前、后兩個(gè)數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55口99能被7整除,

原數(shù)就能被7整除.

把55口99拆成兩個(gè)數(shù)的和：

55A00+B99,

其中口=八+8.

因?yàn)?|55300,7|399,所以口=3+3=6.

注意，記住111111能被7整除是很有用的.

例8甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.

兩人先約定一個(gè)整數(shù)N.然后，由甲開(kāi)始，輪流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)

數(shù)字之一填入下面任一個(gè)方格中

每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個(gè)六位數(shù).

如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.

如果N小于15,當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙能取勝？

解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能

被N整除，乙不能獲勝.N=5,甲可以在六位數(shù)的個(gè)位，填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.

上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.

如果N=l,很明顯乙必獲勝.

如果N=3或9,那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍

或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.

考慮N=7,11,13是本題最困難的情況.注意到1001=7X11X13,乙就有一種必勝的

辦法.我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一

對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所

填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2,這個(gè)六位數(shù)，能被7,11或13整除,

乙就能獲勝.

綜合起來(lái)，使乙能獲勝的N是1,3,7,9,11,13.

記住，1001=7X11X13,在數(shù)學(xué)競(jìng)賽或者做智力測(cè)驗(yàn)題時(shí)，常常是有用的.

習(xí)題一

1.五位數(shù)痂;能被3整除，它的最末三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)還能被

2整除，求這個(gè)五位數(shù).

2.在43的右邊補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3,4,5整除，求這樣的最

小五位數(shù).

3.一個(gè)五位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，它能被3,5,7,11整除，這樣的數(shù)中最

大的是幾？

4.一個(gè)自然數(shù)與19的乘積的最后三位數(shù)是321,求滿(mǎn)足條件的最小的自然數(shù).

5.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是一個(gè)在400至440之間的三位數(shù)，并且這個(gè)和能被9整除，求

這四個(gè)連續(xù)自然數(shù).

6.如果各位數(shù)字都是1的某個(gè)整數(shù)能被33333整除,那么這個(gè)整數(shù)中1的個(gè)數(shù)最少有多

少個(gè)？

7.一個(gè)19位數(shù)能被13整除，口代表的數(shù)字是幾？

9個(gè)4

8.用數(shù)字6,7,8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除，求這個(gè)六位數(shù).

二、分解質(zhì)因數(shù)

一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱(chēng)為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）,例如，2,5,7,101,

一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱(chēng)為合數(shù).例如，4,12,99,501,….1不是

質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說(shuō)法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)

的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.

質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2,其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15,

33,….

例9O+(□+△)=209.

在。、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.

解：209可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即

209=11X19.

不論。中填11或19,□+△一定是奇數(shù)，那么口與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只

有2,不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)O填19,口要填9,9不是質(zhì)數(shù)，因此O填11,而口填17.

這個(gè)算式是HX(17+2)=209,

11X(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘

積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要

內(nèi)容.

一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2,3,7,都是42

的質(zhì)因數(shù)，6,14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).

任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如

360=2X2X2X3X3X5.

還可以寫(xiě)成360=23X32X5.

這里2,表示3個(gè)2相乘，3?表示2個(gè)3相乘.在于中，3稱(chēng)為2的指數(shù)，讀作2的3次

方，在3?中，2稱(chēng)為3的指數(shù)，讀作3的2次方.

例10有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040,

那么，他們的年齡各是多少？

解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

5040=24X32X5X7.

再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：

24X32X5X7=7X8X9X10.

所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)(包括1和它本身).為尋求一般

方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1,2,3,4,6,8,12,24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)

地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

因?yàn)?4=23義3,所以24的約數(shù)是干的約數(shù)(1,2,22,23)與3的約數(shù)(1,3)之間

的兩兩乘積.

1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,23X3.

這里有4X2=8個(gè)，即(3+1)X(1+1)個(gè)，即對(duì)于24=23*3中的2、有(3+1)

種選擇：1,2,22,23,對(duì)于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)X(1+1)種選擇.

這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，

144=24X32.

因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是(4+1)X(2+1)=15(個(gè)).

例11在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).

解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)兩種情況.

(1)27=128,符合要求，

37>150,所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

(2)23=8,

8X13=104,8X17=136,符合要求.

3，=27；

只有27X5=135符合要求.

53=135,它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150,因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128,104,135,136.

利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行

質(zhì)因數(shù)分解，例如

720=24X32X5,168=23X3X7.

那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因

數(shù)2,較低指數(shù)次方是類(lèi)似地都含有3,因此720與168的最大公約數(shù)是

23X3=24.

在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意

720中有5,而168中無(wú)5,可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

2*X32X5X7=5040.

例12兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180,最大公約數(shù)是30,已知其中一個(gè)數(shù)是90,另一個(gè)數(shù)

是多少？

解：180=22X32X5,

30=2X3X5.

對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來(lái)說(shuō)，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取

次數(shù)較低的，從2?與2就知道，一數(shù)中含于，另一數(shù)中含2；從3?與3就知道，一數(shù)中含

32,另一數(shù)中含3,從一數(shù)是

90=2X32X5.

就知道另一數(shù)是

22X3X5=60.

還有一種解法：

另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找

30,60,90,120,….

這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180,最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第

二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.

例13有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù),它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從

小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

解：把420分解質(zhì)因數(shù)

420=2X2X3X5X7.

為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同

質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從

小到大排列是

1,3,4,5,7,12,15,20.

分子再大就要超過(guò)分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是

420*140'105'84'60"35'28'21'

從小到大排列中第三個(gè)是需

兩個(gè)整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.

例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù).

利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非常基本又是很有用的方法,

再舉三個(gè)例題.

例14將8個(gè)數(shù)6,24,45,65,77,78,105,110分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，并且每組

4個(gè)數(shù)的乘積相等，請(qǐng)寫(xiě)出一種分組.

解：要想每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也

一樣才行.把8個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù).

6=2X3,24=2嘆3,

45=32X5,65=5X13,

77=7X11,78=2X3X13,

105=3X5X7,110=2X5X11.

先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個(gè)2的因子，必須

把6,78,110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13,必須把77和65放在第一組中.看

質(zhì)因數(shù)7,105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到

第一組：24,65,77,45.

第二組:6,78,110,105.

在講述下一例題之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)名詞一完全平方數(shù).

一個(gè)整數(shù)，可以分解成相同的兩個(gè)整數(shù)的乘積，就稱(chēng)為完全平方數(shù).

例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全

平方數(shù).

一個(gè)完全平方數(shù)寫(xiě)出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù).

例如：144=32X42,100=22X52,…

例15甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800,那么甲數(shù)

和乙數(shù)分別是多少？

解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).

只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí),也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).

因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).

2800=24X52X7.

在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

1,22,24,52,22X52,24X52.

在這6個(gè)數(shù)中只有22*52=100,它的約數(shù)是（2+1）X（2+1）=9（個(gè)）.

2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100=22X5、因此乙數(shù)至少要含

有24和7,而24X7=112恰好有（4+1）X（1+1）=10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是H2.

綜合起來(lái)，甲數(shù)是100,乙數(shù)是112.

例16小明買(mǎi)紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價(jià)都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆

貴.小強(qiáng)打算用35元來(lái)買(mǎi)這兩種筆（也允許只買(mǎi)其中一種），可是他無(wú)論怎么買(mǎi)都不能把

35元恰好用完，問(wèn)紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？

解：35=5義7.紅、藍(lán)的單價(jià)不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是

17-5=12（元）和17-7=10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

記?。簩?duì)筆價(jià)來(lái)說(shuō)，己排除了5,7,10,12這四個(gè)數(shù).

筆價(jià)不能是35-17=18（元）的約數(shù).如果筆價(jià)是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買(mǎi)成筆,

再把17元買(mǎi)兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價(jià)不能是18的約數(shù)：1,2,

3,6,9.

當(dāng)然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.現(xiàn)在筆價(jià)又排除

了：

1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4+13=17,就知道紅筆每支13元，藍(lán)筆每

支4元.

習(xí)題二

1.邊長(zhǎng)為自然數(shù)，面積為165的形狀不同的長(zhǎng)方形共有多少種？

2.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是11880,求此四個(gè)數(shù).

3.兩個(gè)兩位的整數(shù)，乘積是6975,這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是多少？

4.某個(gè)自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，包括1和它本身在內(nèi)共有10個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)

是幾？

5.將8個(gè)數(shù)14,30,33,75,143,169,4445,4953分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，要使每

組的4個(gè)數(shù)的乘積相等，如何分組？

6.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每一組中，任意兩數(shù)的最

大公約數(shù)是1,那么至少要分多少個(gè)組？

7.兩個(gè)整數(shù)A,B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是D.已知C不等于1,也不等于A或B,

并且C+D=187.求A+B是多少？

三、余數(shù)

在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說(shuō)過(guò)的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例

如95+3,48+5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：

654-3=21.......2,38+5=7........3.

上面兩個(gè)算式中2和3就是余數(shù)，寫(xiě)成文字是

被除數(shù)+除數(shù):商……余數(shù).

上面兩個(gè)算式可以寫(xiě)成

65=3X21+2,38=5X7+3.

也就是

被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù).

通常把這一算式稱(chēng)為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖摹坝鄶?shù)”出發(fā)去考慮問(wèn)題，這正是某些

整數(shù)問(wèn)題所需要的.

特別要提請(qǐng)注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時(shí)常作為依據(jù).

例175397被一個(gè)質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個(gè)質(zhì)數(shù).

解：這個(gè)質(zhì)數(shù)能整除

5397-15=5382,

而5382=2X31997X13X23.

因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.

當(dāng)被除數(shù)較大時(shí)，求余數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得

到余數(shù).

例18求645763除以7的余數(shù).

解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763,再去掉14000還余下1763,再去掉1400

余下363,再去掉350余13,最后得出余數(shù)是6.這個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)單地記成

645763—15763—1763—363—13-6.

如果你演算能力強(qiáng)，上面過(guò)程可以更簡(jiǎn)單地寫(xiě)成：

645763—15000—1000—6.

帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：

如果兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)之差就能被那個(gè)除數(shù)整除.

例19有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967,1000,2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是

多少？

解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除967,1000,2001的兩兩之差，即

1000-967=33=3X11,

2001-1000=1001=7X11X13,

2001-967=1034=2X11X47.

這個(gè)整數(shù)是這三個(gè)差的公約數(shù)11.

請(qǐng)注意，我們不必求出三個(gè)差，只要求出其中兩個(gè)就夠了.因?yàn)榱硪粋€(gè)差總可以由這兩

個(gè)差得到.

例如，求出差1000-967與2001-1000,

那么差

2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

=1001+33

=1034.

從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：

甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來(lái)除，得到兩個(gè)余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除,

它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).

例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余數(shù)是5+9=14

被13除的余數(shù)1.

例20有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是15,第二個(gè)數(shù)是40,從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)

數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)的和，問(wèn)這串?dāng)?shù)中，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)是多少？

解:我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫(xiě)出來(lái)，再看每一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律,

但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說(shuō)到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個(gè)數(shù)起，把前兩個(gè)數(shù)

被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3,就得到這個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十

個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：

數(shù)的序號(hào)一二三四五六七A九十

被3除余數(shù)0112022101

從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同.

因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?/p>

1998=8X249+6,

所以，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.

一些有規(guī)律的數(shù)，常常會(huì)循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

這十二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)循環(huán).

按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是

日，一，二，三，四，五，六.

這也是一個(gè)循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)

0,1,2,3,4,5,6

的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時(shí)間：鐘表、星期、月、四季，說(shuō)明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.

用數(shù)來(lái)反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.

循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱(chēng)作具有“周期性”，12個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說(shuō)周期是12,7個(gè)數(shù)的循

環(huán)，就說(shuō)周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有

趣的事.

下面我們?cè)倥e出兩個(gè)余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個(gè)從帶余除式

得出的結(jié)論：

甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來(lái)除，得到兩個(gè)余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個(gè)除數(shù)除，它的

余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)的積，被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).

例如，37被11除余4,27被H除余5,37X27=999被11除的余數(shù)是4X5=20被11

除后的余數(shù)9.

1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余數(shù)是2X2=4.

例2119聊被7除余幾?

解：從上面的結(jié)論知道，19.被7除的余數(shù)與2.被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一

些2的連乘，被7除的余數(shù).

先寫(xiě)出一列數(shù)

2,2X2=4,2X2X2=8,

2X2X2X2=16,

然后逐個(gè)用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：

數(shù)的序號(hào)———四五六七A

數(shù)248163264128256

被7除的余數(shù)24124124

事實(shí)上，只要用前一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2,再被7除，就可以得到后一個(gè)數(shù)被7

除的余數(shù).（為什么？請(qǐng)想一想.）

從表中可以看出，第四個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對(duì)余數(shù)的計(jì)算，

就知道，第五個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個(gè)數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周

期是3.

1997=3X665+2.

就知道2儂7被7除的余數(shù)，與237被7除的余數(shù)相同，這個(gè)余數(shù)是4.

再看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.

例2270個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)

數(shù)的和.這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：

0,1,3,8,21,55,….

問(wèn)：最右邊一個(gè)數(shù)（第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？

解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)

數(shù)：

3=1X34）,

8=3X3-1,

21=8X3-3,

55=21X3-8,

不過(guò)，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余

數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余

數(shù)的計(jì)算辦法如下：

將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3,減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.

用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下：

數(shù)的序號(hào)一二三四五六七八九十十一十二十三十四

數(shù)01382155144377-

被6除的余數(shù)01323105343501

注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)0義3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦?/p>

被6除的余數(shù)，所以我們可以0X3加6再來(lái)減1.

從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同，就

知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.

70=12X5+10.

因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.

在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：

“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”按照

今天的話(huà)來(lái)說(shuō)：

一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個(gè)數(shù).

這樣的問(wèn)題，也有人稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類(lèi)問(wèn)題，也就是初等數(shù)論中解同余

式.這類(lèi)問(wèn)題的有解條件和解的方法被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”，這是由中國(guó)人首先提出的.

目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類(lèi)問(wèn)題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白

的.這里，我們通過(guò)兩個(gè)例題，對(duì)較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.

例23有一個(gè)數(shù)，除以3余2,除以4余1,問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余幾？

解：除以3余2的數(shù)有：

2,5,8,11,14,17,20,23-.

它們除以12的余數(shù)是：

2,5,8,11,2,5,8,11,….

除以4余1的數(shù)有：

1,5,9,13,17,21,25,29,

它們除以12的余數(shù)是：

1,5,9,1,5,9,….

一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以

12的余數(shù)是5.

上面解法中，我們逐個(gè)列出被3除余2的整數(shù)，又逐個(gè)列出被4除余1的整數(shù)，然后逐

個(gè)考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在

考慮的數(shù)不大時(shí)，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的.

如果我們把例23的問(wèn)題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個(gè)數(shù).很明顯，滿(mǎn)足

條件的數(shù)是很多的，它是

5+12X整數(shù),

整數(shù)可以取0,1,2,…，無(wú)窮無(wú)盡.事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4

的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿(mǎn)足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2,除以

4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問(wèn)題有三個(gè)條件，

我們可以先把兩個(gè)條件合并成一個(gè).然后再與第三個(gè)條件合并，就可找到答案.

例24一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數(shù).

解：先列出除以3余2的數(shù)：

2,5,8,11,14,17,20,23,26,…，

再列出除以5余3的數(shù)：

3,8,13,18,23,28,….

這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個(gè)條件合并成一個(gè)就

是

8+15X整數(shù)，

列出這一串?dāng)?shù)是

8,23,38,…，

再列出除以7余2的數(shù)

2,9,16,23,30,…，

就得出符合題目條件的最小數(shù)是23.

事實(shí)上，我們已把題目中三個(gè)條件合并成一個(gè)：被105除余23.

最后再看一個(gè)例子.

例25在100至200之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被

5整除，最大的能被7整除，寫(xiě)出這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù).

解：先找出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，第一個(gè)能被3整除，第二個(gè)能被5整除（又是被3除余1）.

例如，找出9和10,下一個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是11.

3和5的最小公倍數(shù)是15,考慮11加15的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被7整除11+15X3

=56能被7整除，那么54,55,56這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3,5,7整除.

為了滿(mǎn)足“在100至200之間”將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數(shù)105.所

求三數(shù)是

159,160,161.

注意，本題實(shí)際上是：求一個(gè)數(shù)（100?200之間），它被3整除，被5除余4,被7

除余5.請(qǐng)考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？

習(xí)題三

1.237除以一個(gè)兩位數(shù)的余數(shù)是6.求出所有這樣的兩位數(shù).

2.小張?jiān)谟?jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)113錯(cuò)寫(xiě)成131,結(jié)果商比原來(lái)多3,但余數(shù)

恰巧相同，那么該題的余數(shù)是多少？

3.如果某個(gè)三位數(shù)除492,2241,3195都余15,那么這個(gè)三位數(shù)是幾？

4.73,216,227被某個(gè)數(shù)b除的余數(shù)相同，那么108被這個(gè)數(shù)b除的余數(shù)應(yīng)是多少？

5.有4個(gè)不同的自然數(shù)，它們當(dāng)中任意兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)；任意三個(gè)數(shù)的和是3

的倍數(shù).為了使這4個(gè)數(shù)盡可能的小，這4個(gè)數(shù)分別是多少？

6.3儂7被7除的余數(shù)是幾？

7.有一串?dāng)?shù)，第一個(gè)數(shù)是6,第二個(gè)數(shù)是3,從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都比它前面那個(gè)數(shù)

與后面那個(gè)數(shù)的和小5.那么這串?dāng)?shù)中從第一個(gè)數(shù)起到第400個(gè)數(shù)為止的400個(gè)數(shù)之和被4

除的余數(shù)是幾？

8.一個(gè)數(shù)除以5余1,除以6余3,除以7余6,這個(gè)數(shù)是幾？

9.有學(xué)生在操場(chǎng)上列隊(duì)做操，只知人數(shù)在90?150之間.如果排成3列不多也不少；如

排成5列則少2人；如排成7列則少4人.問(wèn)共有學(xué)生多少人？

測(cè)驗(yàn)題

1.有一個(gè)能被11整除的四位數(shù)，去掉它的千位上和個(gè)位上的數(shù)字后，是一個(gè)能同時(shí)被

2,3,5整除的最大兩位數(shù)，這樣的四位數(shù)中，最小的數(shù)是多少？

2.兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是180,最大公約數(shù)是12,且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個(gè)數(shù).

3.阿龍喜歡把電話(huà)號(hào)碼作為數(shù)學(xué)練習(xí).一個(gè)電話(huà)號(hào)碼是八位數(shù)，它被3除余1,被4除

余2,被H恰好整除.阿龍只記著前六個(gè)數(shù)字是

257633DD

但是算了一下，他便知道后兩個(gè)數(shù)字.問(wèn)這個(gè)電話(huà)號(hào)碼最后兩個(gè)數(shù)字是什么？

4.下面寫(xiě)了一串?dāng)?shù)

0,1,6,7,12,13,18,19,?

按這個(gè)規(guī)律寫(xiě)下去，問(wèn)第134個(gè)位置上的數(shù)被7除余幾？

5.346,304,563分別除以同一個(gè)自然數(shù)，得到