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圓錐曲線高考大題的類型與解法
圓錐曲線問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,可以這樣毫不夸張地說(shuō),只要是數(shù)學(xué)高考試卷,
都必有一個(gè)圓錐曲線問(wèn)題的12分大題。從題型上看是20(或21)題的12分大題,難度為
中,高檔題型,一般的考生都只能拿到4到10分??v觀近幾年高考試卷,歸結(jié)起來(lái)圓錐曲
線大題問(wèn)題主要包括:①已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求直線方程(或直
線的斜率);②已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求多邊形的面積(或多邊
形面積的最值);③已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求某個(gè)式子的值(或取
值范圍)和證明某個(gè)式子的值為定值;④已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求
點(diǎn)的坐標(biāo)(或點(diǎn)的軌跡方程);⑤己知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),證明直線
過(guò)定點(diǎn)(或點(diǎn)在定直線上)等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征,解答方法也
有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答圓錐曲線大題問(wèn)題時(shí),到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特
征,快捷,準(zhǔn)確地予以解答呢?下面通過(guò)典型例題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1]解答下列問(wèn)題:
2
尤2v1
1、(理)已知橢圓E:—+(a>b>0)的離心率為一,橢圓E上的點(diǎn)到其左,右焦點(diǎn)
a-b-2
的距離之和為4o
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
若橢圓E上存在點(diǎn)N滿足ON=XOM(A>0),求四邊形AOBN面積的最小值及此時(shí)X
的值。
x~y~1
(文)已知橢圓E:—+-^-=1(a>b>0)的離心率為5,橢圓E上的點(diǎn)到其左,右焦點(diǎn)的
距離之和為4。
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
若橢圓E上存在點(diǎn)N滿足ON=3OM,求四邊形AOBN的面積(成都市高2021級(jí)高三零
診)
2、設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),直線x-2y+l=0與C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4Ji5。
(1)求p;(2023全國(guó)高考甲卷)
(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為EM,N為C上兩點(diǎn),MF.NF=0,求AMNF面積的最小值。
3、在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的
軌跡為W。
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,證明矩形的周長(zhǎng)大于3百(2023全國(guó)高考新高
考I)
r2v2
4、已知橢圓E:r+二勺(a>b>0)的右焦點(diǎn)為K,上頂點(diǎn)為H,0為坐標(biāo)原點(diǎn),
a2b2
3
NOHKuBO-,點(diǎn)(1,-)在橢圓,E上。
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且斜率不為0的直線1與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(-2,0),Q(2,
0),若M,N分別為直線AP,BQ與Y軸的交點(diǎn),AMPQ,ANPQ的面積分別為4.躅,SANPQ
5
求上絲的值(成都市2020級(jí)高三零診)
。附PQ
%2y2
5、已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:—=1(a>l)上,直線1交C于P,Q兩點(diǎn),直
a~a-
線AP,AQ的斜率之和為0。
(1)求直線1的斜率;
(2)若tan/PAQ=2也,求APAQ的面積(2022全國(guó)高考新高考I卷)
22
6、(理)已知橢圓C:*?+親*=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為大,工,點(diǎn)P在橢圓C
上,|PF,|=3,N燈&二3,且橢圓C的離心率為:。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線1:y=kx+m(mWO)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求AOAB
面積的最大值。
22
(文)已知橢圓C:5+方=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為入,點(diǎn)P在橢圓C上,
FPF=11
|P6|=2,ZI!J'且橢圓C的離心率為5(成都市2019級(jí)高三零診)
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(3,0)直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求AABK面積的最大值。
221
7、(理)已知橢圓C:二+2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,-),其右頂點(diǎn)為A(2,0)。
a~b-2
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)P,Q在橢圓C上,且滿足直線AP與AQ的斜率之積為求AAPQ面積的
20
最大值。
22i
(文)已知橢圓C:「+與=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(也,-),其右頂點(diǎn)為A(2,0)。
a2b22
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)P,Q在橢圓C上,且滿足直線AP與AQ的斜率之積為卷,證明直線PQ經(jīng)過(guò)
定點(diǎn),并求AAPQ面積的最大值(成都市2019級(jí)高三二診)
8、(理)已知拋物線C:f=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:/+(),+4)2=[上點(diǎn)
的距離的最小值為4(2021全國(guó)高考乙卷)。
(1)求P;
(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求APAB面積的最大值。
(文)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F到準(zhǔn)線的距離為2。
(1)求C的方程;
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值。
9、已知橢圓C:―+g"=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-----),其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2。
a2b-2
(1)求橢圓C的方程;
(2)(理)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)的直線1與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)
稱點(diǎn)為F,直線DF與X軸相交于點(diǎn)G,求ADEG的面積S的取值范圍。(文)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B
(-1.0)的直線1與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為F,直線DF與X
軸相交于點(diǎn)G,記ABEG與ABDG的面積分別為S1,S2,求|S「S?|的最大值(2021成都
市高三二診)。
10、已知橢圓C:£+廣=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為石(-G,0),F,(V3,0),
a1b-
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(73,-)(2020成都市高三零診)。
2
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(理)過(guò)點(diǎn)B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點(diǎn),記點(diǎn)P
關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)為P,若直線P'Q與X軸相較于點(diǎn)D,求ADPQ面積的最大值。
(文)過(guò)點(diǎn)B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點(diǎn),記點(diǎn)P關(guān)于X
軸對(duì)稱的點(diǎn)為P,證明直線P'Q經(jīng)過(guò)X軸上一定點(diǎn)D,并求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)。
22[7T
11、已知橢圓C:---F2y=l(0<m<5)的離心率為——,A>B分別為C的左,右頂點(diǎn)。
25m-4
(1)求C的方程;
(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面積(2020
全國(guó)高考新課標(biāo)HD。
12、已知橢圓C:二+£=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且AM的斜率
crb-
為工(2020全國(guó)高考新高考H)。
2
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)N為橢圓上任意一點(diǎn),求AAMN面積的最大值。
[思考問(wèn)題1J
(1)【典例1】中問(wèn)題的特點(diǎn)是:①條件是過(guò)某一定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn),
②所求問(wèn)題是多邊形面積(或周長(zhǎng))的值(或取值范圍或最值);
(2)解答這類問(wèn)題的基本思路是::①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率k(注意考慮斜率不
存在的情況,為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況,也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方
程為:x=my+n,meR),運(yùn)用點(diǎn)斜式,寫出直線的方程;②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去
一個(gè)未知數(shù)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程;③運(yùn)用韋達(dá)定理得到兩根的和與積關(guān)于參
數(shù)k(或m)的式子,并根據(jù)直線方程求出問(wèn)題中需要的其他量關(guān)于參數(shù)k(或m)的式子;
④運(yùn)用多邊形面積的相關(guān)知識(shí)把多邊形的面積表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù);⑤求出關(guān)于參數(shù)的函
數(shù)值(或值域或最值);⑥得出問(wèn)題的結(jié)果。
【典例2]解答下列問(wèn)題:
1、設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交C于M,N
兩點(diǎn),當(dāng)直線MD垂直于X軸時(shí),|MF|=3。
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線AB,MN的傾斜角分別為a,
B,當(dāng)a-夕取得最大值時(shí),求直線AB的方程(2022全國(guó)高考甲卷)
2、已知橢圓C:餐+方=1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2氐右焦點(diǎn)工
到直線x-y+2=0的距離為2&(2021成都市高三三診)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)(理)過(guò)點(diǎn)M(-3,0)的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)工作直線?的垂線,
垂足為N(點(diǎn)A,B在點(diǎn)M,N之間),若AA工M與△BF?N面積相等,求直線1的方程。
(文)過(guò)點(diǎn)M(-3,0)的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)K作直線1的垂線,垂
足為N(點(diǎn)A,B在點(diǎn)M,N之間),若|MA|=|BN|,求直線1的方程。
3、在平面直角坐標(biāo)系XOY中,已知點(diǎn)耳(-J萬(wàn),0),6(J萬(wàn),0),點(diǎn)M滿足|M片HMF21=2,
記M的軌跡為C。
(1)求C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=L上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA|.|TB|
2
=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和(2021全國(guó)高考新高考I卷)。
4、拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在X軸上,直線l:x=l交C于P,Q兩點(diǎn),且OPLOQ,
已知點(diǎn)M(2,0),0M與1相切。
(1)求C,OM的方程;
(2)設(shè)&,4,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A,A2,4A3均與。M相切,判斷A2A3與。M
的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由(2021全國(guó)高考甲卷)。
22
5、(理)已知橢圓C:=+2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B(0,1),右焦點(diǎn)
ab~
為F,連接BF并延長(zhǎng)與橢圓C相交于點(diǎn)C,且|CF|=-|BF|,
7
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AM,AN分別與
直線x=3相交于點(diǎn)P,點(diǎn)Q,若AAPQ的面積是AAMN的面積的2倍。求直線1的方程。
22n6
(文)已知橢圓C:——+=1(a>b>0)的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(、/5,)。
a2b~22
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,使得M,N與Y
軸上的一點(diǎn)P連線后組成以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出直線1的方程;
若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(2019成都市高三零診)
6、(理)已知長(zhǎng)度為4的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在X軸和Y軸上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P滿
足記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C。
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)H(0,1)的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點(diǎn)M,N,若直線HM與
HN的斜率之和為1,求實(shí)數(shù)t的值。
(文)已知點(diǎn)A(m,0)和B(0,n),且機(jī)2+"二⑹動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=3PA,記動(dòng)點(diǎn)P
的軌跡為曲線c。
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)H(0,1)的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點(diǎn)M,N,若直線HM與
HN的斜率之和為I,求實(shí)數(shù)t的值(2019成都市高三一診)
221
7、已知橢圓C:=+與=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為40,離心率為L(zhǎng)
a-b-3
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(理)設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為石,F(xiàn)2,左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M,N為橢圓
C設(shè)位于X軸上方的兩點(diǎn),且-NWFzN,記直線AM,BN的斜率分別為匕,k2,若3匕
+2刈=0,求直線"M/的方程。(文)設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為耳,居,左右頂點(diǎn)分別
為A,B,點(diǎn)M,N為橢圓C設(shè)位于X軸上方的兩點(diǎn),且F1M〃F2N,直線6M的斜率為
276,記直線AM,BN的斜率分別為仁,k2,求3占+2網(wǎng)的值(2019成都市高三二診)
r思考問(wèn)題2j
(1)【典例2】中問(wèn)題的特點(diǎn)是:①條件是過(guò)某一定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn),
②所求問(wèn)題是直線的方程或直線斜率的值(或取值范圍);
(2)解答這類問(wèn)題的基本思路是:①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率k(注意考慮斜率不存
在的情況,為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況,也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方程
為:x=my+n,meR),然后運(yùn)用點(diǎn)斜式,寫出直線的方程;②聯(lián)立直線方程與曲線方程,
消去一個(gè)未知數(shù)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程;③運(yùn)用韋達(dá)定理得到兩根的和與積關(guān)
于參數(shù)k(或m)的式子,并根據(jù)直線方程求出問(wèn)題中需要的其他量關(guān)于參數(shù)k(或m)的式
子;④結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于參數(shù)k(或m)的方程(或不等式)(注意相交于不同兩點(diǎn)的
條件);⑤求解方程(或不等式)求出參數(shù)k(或m)的值;⑥得出問(wèn)題的結(jié)果。
【典例3]解答下列問(wèn)題:
1、(理)已知月,尸2分別為橢圓C:—+^=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),與橢圓C有相
V2
同焦點(diǎn)的雙曲線1-丁=1在第一象限與橢圓c相交于點(diǎn)P,且「尸2仁1。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線y=kx+l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且0£)=m08(m>0),
若橢圓C上存在點(diǎn)E,使得四邊形OAED為平行四邊形,求m的取值范圍。
(文)已知中心為原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn),巫),Q(瓜,空)。
33
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),2OD=3OB,OE=OD+OA,
且點(diǎn)E在橢圓C上,求直線1的方程(成都市高2020級(jí)高三二診)
22
2、設(shè)雙曲線C:=-[=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±百x。
a~b~
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(%,%),Q(%,乂),
在C上,且不>%>0,%>0,過(guò)點(diǎn)P且斜率為-6的直線與過(guò)點(diǎn)Q且斜率為G的直線相
交于點(diǎn)M,請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另一個(gè)條件成立。①M(fèi)在AB上;②
PQ//AB,③=注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分(2022全國(guó)
高考新高考11卷)
3、已知拋物線C:y2=2px(p>0,pH4),過(guò)點(diǎn)A(2,0)且斜率為k的直線與拋物線C
相交于P,Q兩點(diǎn)。
(1)設(shè)點(diǎn)B在x軸上,分別記直線PB,QB的斜率為占,k2,若尤+&=0,求點(diǎn)B的坐
標(biāo);
(2)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M,N兩點(diǎn),求-Ml
\AP\.\AQ\
的值(成都市2019級(jí)高三一診)
4、(理)已知橢圓E:/+F=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為《(-1,0),F,(1,
0),點(diǎn)P在橢圓E上,PF21F,F2,且|P6|=3|PFJ。
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線1:x=my+l(meR)與橢圓E相較于A,B兩點(diǎn),與圓/+y)=/相較于C,D
兩點(diǎn),求|AB|.|CD/的取值范圍。
22
(文)已知橢圓E:^-+^-=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為R(-1,0),F,(1,0),
a~b~
點(diǎn)P(1,—)在橢圓E上。
2
(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線1:*=01丫+1(111€咫與橢圓£相較于八,B兩點(diǎn),與圓%2+》2=〃2相較于c,D
兩點(diǎn),當(dāng)|AB|.|CD/的值為8貶時(shí),求直線1的方程(2020成都市高三二診)。
5、己知橢圓C:=+[=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為6(-G,0),點(diǎn)Q(1,—)
a2b-2
在橢圓C上(2020成都市高三三診)。
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)經(jīng)過(guò)圓O:Y+),=5上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別記為A,B,直線
PA,PB分別與圓O相較于異于點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn)。
(理)①求證:OM+ON=0;②求AOAB的面積的取值范圍。(文)①當(dāng)直線PA,PB的
斜率都存在時(shí),記直線PA,PB斜率分別為匕,k2,求證:k「k,=-l;②求L型的取值范
12'2\MN\
圍。
22=1(a>b>0)的離心率為它,且過(guò)點(diǎn)A(2,1)。
xy
6、已知橢圓C:-y+
a2
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM±AN,AD±MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得
|DQ|為定值(2020全國(guó)高考新高考I)o
「思考問(wèn)題3J
(1)【典例3]中問(wèn)題的特點(diǎn)是:①條件是過(guò)某一定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn),
②所求問(wèn)題是某一式子的值(或取值范圍或最值)或證明某一式子為定值;
(2)解答這類問(wèn)題的基本方法是::①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率k(注意考慮斜率不
存在的情況,為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況,也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方
程為:x=my+n,meR),運(yùn)用點(diǎn)斜式,寫出直線的方程;②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去
一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程;③運(yùn)用韋達(dá)定理得到兩根的和與積關(guān)于參
數(shù)k(或m)的式子,并根據(jù)直線方程求出問(wèn)題中需要的其他量關(guān)于參數(shù)k(或m)的式子;
④運(yùn)用相關(guān)知識(shí)把問(wèn)題中的式子表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù);⑤求出關(guān)于參數(shù)的函數(shù)的值(或值
域或最值)或證明該式子的值與參數(shù)無(wú)關(guān)(為定值);⑥得出問(wèn)題的結(jié)果。
【典例4]解答下列問(wèn)題:
x9v9
1、(理)已知橢圓C:-+^-=l(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為《,居,上頂點(diǎn)為D,
a
且AD5巴為等邊三角形,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)工的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),AF;AB的周
長(zhǎng)為8。
(1)求橢圓C的方程;
(2)試探究:在x軸上是否存在定點(diǎn)T,使得L4.73為定值,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);
若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
尤2y2
(文)已知橢圓C:A爐=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為《,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為D,且
△D±工為等邊三角形,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)弱的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),AF;AB的周長(zhǎng)
為8。
(1)求橢圓C的方程;
(2)求AF,AB的面積的最大值及此時(shí)直線1的方程(成都市2020級(jí)高三一診)
2、在同一平面直角坐標(biāo)系XOY中,圓V+y2=4經(jīng)過(guò)伸縮變換9:(x'=x,后得到曲線
c。
(1)求曲線c的方程;
(2)(理)設(shè)直線1與曲線C相較于A,B兩點(diǎn),連接BO并延長(zhǎng)與曲線C相較于點(diǎn)D,
且
|AD|=2,求AABD面積的最大值;(文)設(shè)曲線C與X軸和Y軸的正半軸分別相交于A,
B兩點(diǎn),P是曲線C位于第二象限上的一點(diǎn),且直線PA與Y軸相交于點(diǎn)M,直線PB與X
軸相交于點(diǎn)N,求4ABM與ABMN的面積之和(2021成都市高三零診)。
3、已知橢圓C:=+2=1(a>b>0)的離心率為亞,且直線±+?=1與圓x2+>2=2
a~b~2ah
相切。
(1)求橢圓C的方程;
(2)(理)設(shè)直線1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)
原點(diǎn),射線OM與橢圓C相交于點(diǎn)P,且O點(diǎn)在以AB為直徑的圓上,記AAOM,ABOP
的面積分別為5,52,求學(xué)的取值范圍。(文)設(shè)直線1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,
B,M為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OM與橢圓C相交于點(diǎn)P,且|OP|=V15|OM|,
求AABO的面積(2021成都市高三一診)
(-邪),0),F,(6,
4、己知橢圓C:/十瓦=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為耳
0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(^,-)(2020成都市高三零診)。
2
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(理)過(guò)點(diǎn)B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點(diǎn),及點(diǎn)P
關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)為耳,若直線P'Q與X軸相較于點(diǎn)D,求ADPQ面積的最大值。(文)
過(guò)點(diǎn)B(4,0)作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點(diǎn),記點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)
稱的點(diǎn)為P,證明直線P'Q經(jīng)過(guò)X軸上一定點(diǎn)D,并求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)。
5、已知橢圓C:1+%=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C,的焦點(diǎn)重合,G的中心
ao'
與G的頂點(diǎn)重合,過(guò)F且與X軸垂直的直線交G于A,B兩點(diǎn),交于C,D兩點(diǎn),且ICDI
4
=-|AB|(2020全國(guó)高考新課標(biāo)H)。
3
(1)求G的離心率;
(2)(理)設(shè)M是G與。2的公共點(diǎn),若IMF|=5,求G與。2的標(biāo)準(zhǔn)方程。(文)若G的
四個(gè)頂點(diǎn)到G的準(zhǔn)線距離之和為12,求G與G的標(biāo)準(zhǔn)方程。
6、(理)已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(I,1),過(guò)點(diǎn)(0,;)的直線1與拋物線C交
于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中。為
原點(diǎn)。
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn)。
/7
(文)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在X軸上,離心率為士
2
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)D為X軸上一點(diǎn),過(guò)D作X軸的垂線交橢圓C于不同兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的
垂線交BN于點(diǎn)E,求證:ABDE與ABDN的面積之比為4:5(2017全國(guó)高考北京卷)
(理科圖)(文科圖)
「思考問(wèn)題4」
(1)【典例4】中問(wèn)題的特點(diǎn)是:①條件是過(guò)某一定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn),
②所求問(wèn)題是某點(diǎn)的坐標(biāo)(或點(diǎn)的軌跡方程);
(2)解答這類問(wèn)題的基本方法是:①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率k(注意考慮斜率不存
在的情況,為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況,也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方程
為:x=my+n,meR),運(yùn)用點(diǎn)斜式,寫出直線的方程;②聯(lián)立直線方程與曲線方程得到方
程組,消去一個(gè)未知數(shù)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程;③運(yùn)用韋達(dá)定理得到兩根的和
與積關(guān)于參數(shù)k(或m)的式子,并根據(jù)直線方程求出問(wèn)題中需要的其他量關(guān)于參數(shù)k(或m)
的式子;④運(yùn)用相關(guān)知識(shí)結(jié)合問(wèn)題的條件把點(diǎn)的坐標(biāo)表示成關(guān)于參數(shù)k(或m)的式子;⑤
求出參數(shù)的值得到點(diǎn)的坐標(biāo)(或消去參數(shù)得到點(diǎn)的軌跡方程);⑥得出問(wèn)題的結(jié)果。
【典例5]解答下列問(wèn)題:
1、已知橢圓C:—-+—=1(a>b>0)的離心率為1,點(diǎn)A(-2,0)在C上。
a2b23
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證
明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(2023全國(guó)高考乙卷)
2、已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為(-2君,0),離心率為6。
(1)求C的方程;
(2)記C的左,右頂點(diǎn)分別為4,A,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支相交于M,N兩
點(diǎn),M在第二象限,直線MA與直線NA?相交于點(diǎn)P,證明:點(diǎn)P在定直線上。
3、(理)已知斜率為也的直線1與拋物線E:y2=4x相交于p,Q兩點(diǎn)。
(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值;
(2)已知點(diǎn)T(百,0),直線TP,TQ分別與拋物線E相交于M,N兩點(diǎn)(異于P,Q),
求證:直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。
(文)已知斜率為6的直線1與拋物線E:y2=4x相交于p,Q兩點(diǎn)。
(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值;
(2)已知點(diǎn)T(6,0),直線TP,TQ分別與拋物線£相交于M,N兩點(diǎn)(異于P,Q),
則在y軸上是否存在一定點(diǎn)S,使直線MN恒過(guò)定點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)S的坐標(biāo);若不存在,
請(qǐng)說(shuō)明理由(成都市高2020級(jí)高三三珍)
3
4、已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為X軸,Y軸,且過(guò)點(diǎn)A(0,-2),B(-,-1)
2
兩點(diǎn)。
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(l,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn),過(guò)M且平行于X軸的直線與線段AB
交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足MT=T",證明直線HN過(guò)定點(diǎn)(2022全國(guó)高考乙卷)
221
5、已知橢圓C:烏+==1(a>b>0)的離心率為,,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(",2),橢圓C的
a2b-2
右頂點(diǎn)到拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為4。
(1)求橢圓C和拋物線E的方程;
(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線1與拋物線E相交于A,B兩點(diǎn),與橢圓C相交于M,
N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若。4.08=4,則在x軸上是否存在點(diǎn)H,使得x軸平分NMHN,
若存在,求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(成都市2019級(jí)高三三珍)
6、已知橢圓C的方程為]+y2=i(a>b>0),右焦點(diǎn)為F(、/5,0),且離心率為逅。
a23
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線/+),2=/相切,證明M,N,F三點(diǎn)
共線的充分必要條件是|MN|=6,(2021全國(guó)高考新高考H卷)。
v-22
7、(理)已知橢圓C:一+v==1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(不與X軸重合)與橢圓
2b2
C相交于A,B兩點(diǎn),直線1:x=2與X軸相較于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作ADJ_1,垂足為D。
(1)求四邊形OAHB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍;
(2)證明:直線BD過(guò)定點(diǎn)E,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)。
2
(文)已知橢圓C:土+>2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(不與X軸重合)與橢圓C相
2
交于A,B兩點(diǎn),直線1:x=2與X軸相較于點(diǎn)H,E為線段FH的中點(diǎn),直線BE與直線1
的交點(diǎn)為D。
(1)求四邊形OAHB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍;
(2)證明:直線AD與X軸平行(2020成都市高三一診)。
x2,
8、已知A,B分別為橢圓E:—+y-=l(a>l)的左,右頂點(diǎn),G為E上頂點(diǎn),AG.GB=8,
礦
P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D。
(1)求E的方程;
(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn)(2020全國(guó)高考新課標(biāo)I)。
9、(理)已知拋物線C:》2=2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)。
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)0為原點(diǎn),過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線1交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線
y=T分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)Y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)。
22
(文)已知橢圓C:=+4=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1),
a"b'
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),直線1:y=kx+t(tH±l)與橢圓C相較于不同兩點(diǎn)P,Q,直線AP與
x軸相較于點(diǎn)M,直線AQ與x軸相較于點(diǎn)N,若|OM|.|ON|=2,求證:直線1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2019
全國(guó)高考北京)
r思考問(wèn)題51
(1)【典例5]中問(wèn)題的特點(diǎn)是:①條件是過(guò)某一定點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn),
②所求問(wèn)題是直線過(guò)定點(diǎn)(或點(diǎn)在定直線上);
(2)解答這類問(wèn)題的基本方法是::①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率k(注意考慮斜率不
存在的情況,為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況,也可以直接設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線方
程為:x=my+n,meR),運(yùn)用點(diǎn)斜式,寫出直線的方程;②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去
一個(gè)未知數(shù)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程;③運(yùn)用韋達(dá)定理得到兩根的和與積關(guān)于參
數(shù)k(或m)的式子,并根據(jù)直線方程求出問(wèn)題中需要的其他量關(guān)于參數(shù)k(或m)的式子;
④運(yùn)用相關(guān)知識(shí)結(jié)合問(wèn)題的條件把直線方程(或某點(diǎn)的坐標(biāo))表示成關(guān)于參數(shù)k(或m)的
式子;⑤確定直線存在與參數(shù)k(或m)無(wú)關(guān)的點(diǎn)(定點(diǎn))(或把某點(diǎn)的坐標(biāo)代入給定的直
線方程驗(yàn)證);⑥得出問(wèn)題的結(jié)果。
圓錐曲線高考大題的類型與解法
圓錐曲線問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,可以這樣毫不夸張地說(shuō),只要是數(shù)學(xué)高考試卷,
都必有一個(gè)圓錐曲線問(wèn)題的12分大題。從題型上看是20(或21)題的12分大題,難度為
中,高檔題型,一般的考生都只能拿到4到10分。縱觀近幾年高考試卷,歸結(jié)起來(lái)圓錐曲
線大題問(wèn)題主要包括:①已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求直線方程(或直
線的斜率);②已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求多邊形的面積(或多邊
形面積的最值);③已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求某個(gè)式子的值(或取
值范圍)和證明某個(gè)式子的值為定值;④已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),求
點(diǎn)的坐標(biāo)(或點(diǎn)的軌跡方程);⑤己知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn),證明直線
過(guò)定點(diǎn)(或點(diǎn)在定直線上)等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征,解答方法也
有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答圓錐曲線大題問(wèn)題時(shí),到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特
征,快捷,準(zhǔn)確地予以解答呢?下面通過(guò)典型例題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1]解答下列問(wèn)題:
尤2v21
1、(理)已知橢圓E:=+二=1(a>b>0)的離心率為一,橢圓E上的點(diǎn)到其左,右焦點(diǎn)
a-b~2
的距離之和為4o
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
若橢圓E上存在點(diǎn)N滿足ON=2OM(A>0),求四邊形AOBN面積的最小值及此時(shí)X
的值。
x2y~1
(文)已知橢圓E:—+-^-=1(a>b>0)的離心率為5,橢圓E上的點(diǎn)到其左,右焦點(diǎn)的
距離之和為4。
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
若橢圓E上存在點(diǎn)N滿足ON=3OM,求四邊形AOBN的面積(成都市高2021級(jí)高三零
診)
【解析】
【考點(diǎn)】①橢圓定義與性質(zhì);②求橢圓方程的基本方法;③設(shè)而不求,整體代入數(shù)學(xué)思想及
運(yùn)用;④平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法;⑤點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)用;⑥弦長(zhǎng)公式及
運(yùn)用;⑦三角形面積公式及運(yùn)用;⑧基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】(理)(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),運(yùn)用求橢圓方程的基本方法,結(jié)合問(wèn)題條件就
可求出橢圓E的方程;(2)根據(jù)設(shè)而不求,整體代入的數(shù)學(xué)思想,點(diǎn)到直線的距離公式和
橢圓的弦長(zhǎng)公式,結(jié)合問(wèn)題條件求出,AB|,點(diǎn)0到直線AB的距離關(guān)于參數(shù)k,m的式子,根
據(jù)三角形的面積公式得到AOAB面積關(guān)于參數(shù)k,m的表示式,運(yùn)用基本不等式求出表示
式的最值就可得到AOAB面積的最大值。(文)(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),運(yùn)用求橢圓方程的
基本方法,結(jié)合問(wèn)題條件就可求出橢圓E的方程;(2)根據(jù)設(shè)而不求,整體代入的數(shù)學(xué)思
想,由點(diǎn)N在橢圓E上得到關(guān)于m的方程,求解方程求出m的值,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式
和橢圓的弦長(zhǎng)公式,結(jié)合問(wèn)題條件求出IAB,點(diǎn)0到直線AB的距離的值,利用三角形的面
積公式得到AOAB面積,從而就可求出四邊形AOBN的面積。
x*23y?]
【詳細(xì)解答】(理)(1)橢圓E:=+彳=1(a>b>0)的離心率為一,橢圓E上的點(diǎn)
a'b'2
到其左,右焦點(diǎn)的距離之和為4,.?.£=,①,2a=4②,/=/+°2③,聯(lián)立①②③解得:
a2
22
cr=4?b~=3,.,.橢圓E的方程為:=1;(2)設(shè)A(+W,,B(x2?%),
.,由(1)知F(-1,0),直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,直線1的方程
為x=my-l,聯(lián)立直線1和橢圓E的方程得:
(4+3〉)y2_6my_9=o,M是AB的中點(diǎn),
6m9
6m2-8-6/T72-83m
=m(%+%>2=4+3療=石而,=M(4+3*),OM-
4+3m2
—43帆-423力^、上
(-----,-----7),ON=AOM(2>0),???N(z-------------r-----7),?點(diǎn)NT
4+3m724+3m24+3"4+3m2
―儲(chǔ)
4儲(chǔ)32+36
在橢圓E上,.1=1,=4+3陽(yáng)2=2,|AB|=Jl+加
.(4+3加2)2(4+3加2)2zn2)2
22
6(1+/?)._|0-0+1|_1_11Dn,._13(1+m)
3,1+疝
ON=AOM(zl>0),=4+3"24,S四邊形408N=%SAAOB
4+3加2
273(A2-!)3
)>>-,當(dāng)且僅當(dāng)分二4,即;1=2時(shí),等號(hào)成立,
2
3
四邊形AOBN面積的最小值為一,及此時(shí)/l的值為2。
2
xy2=1(a>b>0)的離心率為上,橢圓E上的點(diǎn)到其左,右焦
(文)(1)桶圓E:—+
a2
「I
點(diǎn)的距離之和為4,一=一①,2a=4②,a2=b2+c2@,聯(lián)立①②③解得:a2=4,b2=3,
a2
X~2y2
-1_
橢圓E的方程為:+^=1;(2)設(shè)A(X[,,B(x2?%),由(1)知F
(-1,0),直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)E.?.直線1的方程聯(lián)立直線1和橢圓E的方程得:
(4+3m2)y2-6my-9=0,M是AB的中點(diǎn),
6m9
y+.,,x為=-,???$+馬
4+3療4+3療Q
6加2-8-6m2-8
=m(%+%)-2=—..-=..,,
4+3m~24+3m~
,-43mc,-43m、入、,八*,12
=>M(------,------),?/OM=(---------,---------),ON=30M,:.N(------
4+3/4+3"4+3"4+3"4+3m"
9m3621m24
點(diǎn)N在橢圓E上,-------+-------=1,=9〃/-3m-2-20=0,
4+3M(4+3〃?2)2(4+3加2)2
.6病+36(4+3符
2512(1+府」必
m--,|AB|=yjl+m2V(4+3/n2)2
34+3”
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