2021屆高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（解析版）

2021年新高考數(shù)學(xué)一模模擬試卷（二）

一、單選題（共40分）

1.（本題5分）復(fù)數(shù)z滿足（z—2，＞（l+i）=2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.體題5分)設(shè)集合A={xeZ,-4%+3V()},B={x|log2(x-2)41},則AD8=

()

A.(x|2<x<3}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4)

3.（本題5分）已知非零向量I、否滿足同=2忖，且R-山石,則3與坂的夾角為

（）

71冗n54

A.B.D.—

6yC后6

3(3兀

4.（本題5分）已知a是三角形的一個(gè)內(nèi)角,tan(7=—,貝ijcosa+)

4I

A7夜R及V2D70

A.--------------D.--------Lc?-----\-J?------------

10101010

5.(本題5分)設(shè)等比數(shù)列{4}的公比為“，首項(xiàng)q>0,則“q〉l”是“對(duì)

GN*,%,+1->0”的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（本題5分）2020是全面實(shí)現(xiàn)小康社會(huì)目標(biāo)的一年，也是全面打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的一年.

復(fù)旦大學(xué)團(tuán)委發(fā)起了“跟著駐村第一書記去扶貧”的實(shí)踐活動(dòng)，其中學(xué)生小明與另外3名

學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)貧困村參與扶貧工作，若每個(gè)村至少分配1名學(xué)

生，則小明恰好分配到甲村的方法數(shù)是（）

A.3B.8C.12D.6

x+l,O<x<1

7.（本題5分）己知函數(shù)/（x）=4l.乃》1,,，若不等式

-sin——+—,1<%<4

1242

./⑴―4（x）+2<0在無(wú)目0,4]上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

“r-l9

A.a>3B.y/2<a<3C.a>2y2D.4/>—

8.（本題5分）已知函數(shù)一機(jī)與函數(shù)g（x）=ln'-x,xe；,2的圖象上恰

有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（0,2—In2]B.^0,——+In2

C.[--+ln2,2-ln2）D.|In2,--+ln2

4I4

二、多選題（共20分）

9.（本題5分）已知｛6,｝為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（）

A.若〃3=-2,則B.

>a

C.若%=%，則%=。2D.若。5>。3，則%5

10.（本題5分）已知曲線C:/m：2+〃y2=],下列說(shuō)法正確的是（）

A.若機(jī)=〃>0,則C是圓，其半徑為正

n

B.若加〉0,〃=0,則。是兩條直線.

C.若“〉加>0,則。是橢圓，其焦點(diǎn)在）'軸上.

D.若加“<0,則c是雙曲線，其漸近線方程為y=±J_'x.

vn

11.體題5分）設(shè)函數(shù)/（%）=苧…婀COX+—>0）,已知/（X）在

[0,司有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則（）

A.在（0,?）上存在玉、滿足/（%）一/（9）=2

B.7（x）在（0,不）有且僅有1個(gè)最小值點(diǎn)

C.“X）在上單調(diào)遞增

■1723、

D./的取值范圍是—

一66）

12.（本題5分）已知四邊形ABCO是等腰梯形（如圖1）,AB=3,DC=1,ZBAD=45°,

DELAB.將DAOE沿。E折起，使得AEJ.E3（如圖2）,連結(jié)AC,AB,設(shè)M

是A6的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的是（）

C.EM〃平面ACOD.四面體A8CE的外接球表面積為5萬(wàn)

三、填空題（共20分）

13.（本題5分展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

%12

14.（本題5分）過(guò)點(diǎn)。（一1,1）作圓f+y2—辦―2y+/—2=0的切線有兩條，則。的

取值范圍是

15.（本題5分）算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形為長(zhǎng)方形，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗

稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，運(yùn)算時(shí)定位后

撥珠計(jì)算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如圖，若撥珠的三檔從左至右依次定

位：百位檔、十位檔、個(gè)位檔，則表示數(shù)字518.若在千、百、十、個(gè)位檔中隨機(jī)選擇

一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字能被5整除的概率為

--......

16.（本題5分）在三角形ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a”,c,NACB=90°,

NACB的角平分線交43于點(diǎn)。，且CZ）=2,則a+4。的最小值為

四、解答題（共70分）

17.（本題10分）已知函數(shù)/（x）=sin（萬(wàn)一x）cosx—cos2（x+?

（1）求/（求的單調(diào)遞增區(qū)間;

A兀B兀C兀,恒有/⑴+；〉0成立,且

(2)若對(duì)Vxe--1--,--1--.--1--,求^ABC

242424

面積的最大值.

在下列四個(gè)條件中，任選2個(gè)補(bǔ)充到上面問(wèn)題中，并完成求解.其中a,"c為AABC的

三個(gè)內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊.①AABC的外接圓直徑為4；②a是直線0x+y+3=0截

圓O：x2+y2=4所得的弦長(zhǎng);③asinA+Asin5=csinC；④GsinA+cosA=G.

18.體題12分）設(shè)S“是數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，S“=2a“-2（〃wN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為，，求T..

19.（本題12分）如圖，已知四邊形ABCD^WBCEG均為直角梯形，AD//BC,CE//BG,

71

且ZBCD=ZBCE=—,NECD=120°.BC=CD=CE=2AD=25G.

2

（1）求證：4G〃平面BOE；

（2）求二面角E—3。一。的余弦值.

20.（本題12分）天氣寒冷，加熱手套比較暢銷，某商家為了解某種加熱手套如何定價(jià)可

以獲得最大利潤(rùn)，現(xiàn)對(duì)這種加熱手套進(jìn)行試銷售，統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)武單位;元）與銷量

y（單位:副）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

單價(jià)X（元）80859095100

銷量y（副）1401301109080

（1）已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）若每副該加熱手套的成本為65元，試銷售結(jié)束后，請(qǐng)利用（1）中所求的線性回

歸方程確定單價(jià)為多少元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大?（結(jié)果保留到整數(shù)）

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（X”yi）,（m，”），…，（x,?yn）,其回歸直線$=去+6的斜率和截距

.一呵,

的最小二乘估計(jì)分別為2=上^---------，方=歹一位，

42-n—x~,

E；=1

55

參考數(shù)據(jù):?/=48700??：=40750

/=!/=!

21.(本題12分)已知橢圓，+左=1(。>0>0)過(guò)點(diǎn)6(血』)，且離心率為孝.

(1)求橢圓的方程；

(3、

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸的直線/交橢圓于C,。兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)P二四,0與以線段

(2)

CD為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

22.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=e*-2ox,g(x)=cosx+fiLx2-(2<2-l)x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)〃(x)=,f(x)—g(x),若x=0為/7(x)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

1.D

【分析】

先計(jì)算復(fù)數(shù)z=j+2i,再求其共軌復(fù)數(shù)，即可求出共甑復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而可得在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

【詳解】

由（z_2i＞（l+i）=2得:

2（l-z）2（l-f）

z-2i=-

1+/（1+00-02'

??z=l+i,z=1—i,

所以復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，

故選：D.

2.B

【分析】

解出集合A、B,利用交集的定義可求得集合Ap|8.

【詳解】

?/A={X6Z|X2-4X+3<0}={XGZ|1<X<3}={1,2,3},

B-|x|log,(x-2)<1|=|x|0<x-2<2|=|x|2<x<41,

則AcB={3},

故選：B.

3.B

【分析】

設(shè)非零向量2、坂的夾角為。，利用3-萬(wàn)）工行可得出3-可4=0,求出cos。的值，結(jié)

合。的取值范圍可求得。的值，即為所求.

【詳解】

設(shè)非零向量Z、B的夾角為。，

'：［a-b^Lb,：.（a-b^-b-a-b—lf=問(wèn)?忸卜。$夕一忖~=2|^|2cos0-|S|"=0,

所以，cos<9=-,

2

7T

Q0<^</r,因此，0=-.

故選：B.

4.A

【分析】

先由同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求出cosa,sina,結(jié)合已知，再利用兩角和的余弦公式可求

cos（a+弓）的值.

【詳解】

371

由a是三角形的一個(gè)內(nèi)角，tandf=-,則0<a<

472r

……sina3.3

所以tana=------=一,即sina=—cosa

cosa44

925

由sin2a+cos2a=1，即—cos2a+cos2a=—cos2a=1,

1616

4.3

所以cosa,則sina=g

4a+M=cos3-cos<z_sin3￡sina=_^x4_V2x3=_7^

L4J44252510

故選：A

5.B

【分析】

由于4q2"—aa2"T=q"2"T(q—D>o,可得其正負(fù)由4,q決定，從而可得結(jié)論.

【詳解】

由。2”+1—a2n>0，得qq~"_qg~"=a""1(<7—1)>0,

因?yàn)?>o,即為i)>o,

即q(q-l)〉0,得q<0或4>1,

所以“q>1”是“q<0或4>1”的充分不必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

(1)若。是。的必要不充分條件，則q對(duì)應(yīng)集合是。對(duì)應(yīng)集合的真子集；

(2)。是q的充分不必要條件，則，對(duì)應(yīng)集合是〃對(duì)應(yīng)集合的真子集；

(3)P是。的充分必要條件，則P對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；

(4)。是4的既不充分又不必要條件，a對(duì)的集合與〃對(duì)應(yīng)集合互不包含.

6.C

【分析】

對(duì)甲村分配的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.

【詳解】

若甲村只分配到1名學(xué)生，則該學(xué)生必為小明，此時(shí)分配方法數(shù)為G其=6種；

若甲村分配到2名學(xué)生，則甲村除了分配到小明外，還應(yīng)從其余3名學(xué)生中挑選1名學(xué)生分

配到該村，此時(shí)分配方法數(shù)為C；&=6種.

綜上所述，不同的分配方法種數(shù)為6+6=12種.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①不

均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.

7.D

【分析】

這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)換元，=/(x),可知新元的范圍，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)為求

函數(shù)的最大值問(wèn)題，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知當(dāng)x時(shí)，有/(x)=x+le[l,2],

當(dāng)xw(l,4J時(shí)，OKsin衛(wèi)K1,即/(x)=^sin衛(wèi)+'e—,1

4242[2_

所以當(dāng)xe[0,4]時(shí)，/(x)eg,2,令r=/(x),貝ijfeg,2,

從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式/一3+2<0在fe1,2上恒成立，

*+22「1一

即a>*在，e-,2上恒成立，

ttL2J

2「1:

由y=/H—，tG--,2,

t12J

設(shè)\〈fl<12<亞■，/(4)一/,2)=/-，2+H?-J'7J〉0,

Lr\l2lV2

21_.

所以>=，+：在-,V2是單調(diào)遞減函數(shù)，

設(shè)<2,)-/(，2)=4—，2+；—：=(4<0，

*1’2環(huán)2

所以y=r+3在fe［夜,2］是單調(diào)遞增函數(shù)，

"?-121Q9

在—,2上先減后增，而f+-在1=工時(shí)有最大值為；，所以。>二.

|_2」t222

【點(diǎn)睛】

本題考查含參數(shù)的恒成立問(wèn)題，運(yùn)用到分離參數(shù)法求參數(shù)范圍，還結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性求

出最值，同時(shí)考查學(xué)生的綜合分析能力和數(shù)據(jù)處理能力.

8.B

【分析】

由題意可得/(x)=-g(x)對(duì)于g,2恰有兩個(gè)不等式的實(shí)根，等價(jià)于方程

f一機(jī)+ln，-x=0對(duì)于XG—,2恰有兩個(gè)不等式的實(shí)根，令〃(x)=f+in,-x,可

X/

轉(zhuǎn)化為y與〃(x)=/+lng-x兩個(gè)函數(shù)圖象在xe1,2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)

力(外求導(dǎo)判斷單調(diào)性，作出其函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

若函數(shù)〃力=￡一加與函數(shù)g(x)=ln‘—I，2的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱

的點(diǎn)，則./■(￡)=-g(x)對(duì)于XC；,2恰有兩個(gè)不等式的實(shí)根，

,1r1

即V—m+ln——x=0對(duì)于xe-,2恰有兩個(gè)不等式的實(shí)根，

x12」

,1F1

可得加=x-+ln-—x對(duì)于xe-,2恰有兩個(gè)不等式的實(shí)根，

x|_2」

令〃(x)-x2+In---x,

則、=加與/?(乃=/+1!1：—x兩個(gè)函數(shù)圖象在xe1,2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

“(X)=2x」—1=2"、1=.(2廿1)(”),

XXX

由〃'(x)>0可得1cx<2,由〃'(x)<0可得;<x<l,

所以〃(力=/+1114一》在(3，1)單調(diào)遞減，在(1,2)單調(diào)遞增，

所以人(力圖象如圖所示:

當(dāng)x=l時(shí)，A(l)=l+lnl-1=0,

,1門1111

當(dāng)不=一時(shí),h—=—FIn2—=---Fin2

2424

若丁=%與/?（x）=x2+ln[—x兩個(gè)函數(shù)圖象在xe1,2有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

由圖知0＜加W-1+ln2,

4

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是（o,—；+ln2,

故選：B

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

9.ABD

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)結(jié)合基本不等式的變形式判斷出AB是否正確；根據(jù)條件分析公比

q的取值情況，由此判斷出C是否正確；根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形式4,=4“結(jié)

合不等式性質(zhì)判斷D是否正確.

【詳解】

A.因?yàn)?2，［=8,取等號(hào)時(shí)g=%，故正確；

B.因?yàn)?加：，取等號(hào)時(shí)生=%，故正確；

C.設(shè)等比數(shù)列的公比為4,因?yàn)閝=%，所以d=%=1,所以q=±l,當(dāng)夕=一1時(shí),

%

4=一%,故錯(cuò)誤；

D.設(shè)等比數(shù)列的公比為4,因?yàn)?>的且/>0,所以%>4?/,所以外>%,

故正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：等差、等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)：若m+n=p+q=2t（m,n,p,q,t€N*）,

（1）當(dāng)｛4｝為等差數(shù)列，則有%,+%=瑪+為=2《；

（2）當(dāng)｛4｝為等比數(shù)列，則有%,?%=%,?%=a：.

10.ABD

【分析】

選項(xiàng)A.當(dāng)m=72〉。時(shí)，曲線。：%2+)，=一可判斷；選項(xiàng)B.當(dāng)m>0,〃=0時(shí)，曲線

n

C：—二,可判斷；選項(xiàng)C.當(dāng)〃>〃2>()時(shí)，曲線C："a2+〃y2=1,則表示焦點(diǎn)在X軸上

m

的橢圓；選項(xiàng)D.若加〃<0,則。是雙曲線，由如2+犯2=0,可得y=±—'X可判斷.

Vn

【詳解】

選項(xiàng)A.當(dāng)根=〃>0時(shí)，曲線+)3=■1■表示半徑為正的圓，故A正確

nn

—,即*=±，=,表示兩條直線，故B正確

選項(xiàng)B.當(dāng)加>0,〃=0時(shí)，曲線

mVm

當(dāng)〃>心0時(shí)，曲線。:次+畋2=1,可化為C：十+十=1

選項(xiàng)C.

mn

由〃〉根>0,則,>，>(),則表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C不正確.

mn

選項(xiàng)D.若m71<0,則。是雙曲線，由"優(yōu)2+〃y2=0,可得y=±/一'X

Vn

所以漸近線方程為y=±故D正確

故選：ABD

11.AD

【分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=sin"+令r=(yx+J,由xw[(),/]可求得

6

1711IJi

te一，①九+一，作出函數(shù)y=sin/一《，二公r+—,0>O的圖象，可判斷AB選項(xiàng)的

66\66/

71

正誤；由圖象得出3萬(wàn)〈。乃+一<4%可判斷D選項(xiàng)的正誤；取。=3,利用正弦型函數(shù)的

6

單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

=^sin⑺+L卻5+3=^sin⑺+\os^=sin(8+q

???/(力

22I2；22I6)

當(dāng)xc［O,句時(shí)，69X+-e—,(071+—,令，=3》+一，貝!,(071+—

66666

（兀JI\

作出函數(shù)丁=5m（1〈/〈啰乃+%,0>0）的圖象如下圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，=1,ymin=-1,

所以，在（0,4）上存在國(guó)、毛，滿足/（%）一/（9）=2,A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，/（X）在（0,4）上有1個(gè)或2個(gè)最小值點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)，由于函數(shù)“X）在［0,同有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則3乃43?■+￡<47，解得

--<69<--,D選項(xiàng)正確;

66

對(duì)于C選項(xiàng)，由于——,取啰=3,當(dāng)二■］時(shí)，一<3犬4—<—,

66I2J663

此時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用正弦型函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)，解

717171

本題的關(guān)鍵在于換元f=<yx+二，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sinr在區(qū)間+-上的零

61_66_

點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合來(lái)求解.

12.BD

【分析】

過(guò)C做交AB于F,根據(jù)題意，可求得各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)線面垂直的判定定理，

可證平面BCQE,即至，假設(shè)BC_LAD,根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理，

可得BCJ.OE,與已知矛盾，可得A錯(cuò)誤，利用等體積法，可求得點(diǎn)E到平面AWC1的距

離,即可判斷B的正誤；由題意可證EB〃平面AOC,假設(shè)EM〃平面ACO,則平面AC。

〃平面4EB,與已知矛盾，可得C錯(cuò)誤；根據(jù)四棱錐的幾何性質(zhì)，可確定球心的位置，代

入公式，即可判斷D的正誤，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)椤?gt;￡_!_AS，NBA。=45°,

所以DADE為等腰直角三角形，過(guò)C做CT_LAB,交AB于尸，如圖所示：

所以□人￡>￡絲□BCE,BPAE=BF,又AB=3,DC=1,

所以AE=EF=FB=DE=CF=1,則AD=3C=0，

對(duì)于A：因?yàn)锳E_LEB,AEIDE,BE,DEu平面BCDE,

所以AEJ_平面BCDE,6Cu平面BC￡)E,

所以AELBC,

若3CLA。，且AE,A0u平面AOE,

則BC-L平面ADE,

所以8CJ.DE

與已知矛盾，所以8c與A。不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：連接MC,如圖所示，

在Rt/^DEC中，DE=DC=1,所以￡C=0,又6C=0，EB=2,

所以￡。2+3。2=磴2,所以ECL5C,

又因?yàn)锳EL3C,AE,ECu平面AEC,

所以8CJ.平面AEC,ACu平面AEC,

所以8CJ.AC,即口43。為直角三角形，

在Rf口AEC中，AE=1,EC=叵,所以AC=G，

因?yàn)镸是A3的中點(diǎn),

所以DAMC的面積為R/OABC面積的一半，所以S=-x-xy/3xy/2=—^

AMC224

因?yàn)镈E_LAE,DE±EB,

所以O(shè)E即為兩平行線CD,E8間的距離，

因?yàn)椋?A”C=Z-AEM，設(shè)點(diǎn)E到平面AMC的距離為h,

則《xSAMEXDE=^-XSAMCxh,即，x，xlxlxl=，x@x〃,

333234

所以〃=在，所以點(diǎn)E到平面AMC的距離為巫，故B正確；

33

對(duì)于C：因?yàn)镋BHDC,破^平面人。。，OCu平面AQC,

所以〃平面AOC,

若EMU平面ACO，且EBcEM=E,EB,EMu平面AEB,

所以平面AC?！ㄆ矫鍭EB,與已知矛盾，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：因?yàn)镋CL8C,所以口8。七的外接圓圓心為EB的中點(diǎn)，

又因?yàn)锳EJ.E8,所以AABE的外接圓圓心為AB的中點(diǎn)M,

根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得：四面體ABCE的外接球心為M,

又E為球上一點(diǎn)，在△4BE中，EM=-AB=—

22

所以外接球半徑H=ME=或，

2

所以四面體A8CE的外接球表面積S=^R2=W?3印，故D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定和性質(zhì)定理等知識(shí)，并靈活應(yīng)

用，求點(diǎn)到平面距離時(shí)，常用等體積法將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為椎體的高，再求解，考查邏輯

推理，分析理解的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.

13.-4

【分析】

利用(犬—1)4中的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】

(丁一if中的通項(xiàng)公式為J=C>4(j)(-I)'=(-1)-C；X，6-4r,

令16-4r=12,

解得r=1,

所以常數(shù)項(xiàng)為6=C(-l)=-4.

故答案為：-4

14.(1,2)

【分析】

由過(guò)點(diǎn)p(—1,1)作圓f+y2-4V—2y+￡—2=0的切線有兩條，得：P在圓外，列不等

式可解.

【詳解】

".,X2+y—ax—2y+cr—2=0表示一個(gè)圓,

(—a)?+(—2)2—4(a~-2)>0,—2<a<2>

又由過(guò)點(diǎn)p(—1,1)作圓d+y2—依—2)+6—2=0的切線有兩條，得：P在圓外，

所以(一1)2+1?-ax(-l)-2xl+a2-2>0,解得：。<一2或a>l.

綜上所述：

所以以的取值范圍是(1,2).

故答案為：(1,2).

【點(diǎn)睛】

點(diǎn)P(x0,%)與圓(x—a)2+。一與2=/的位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法：

(1)點(diǎn)P與圓外=>(玉；一。)~+(%—。)一>「2;

(2)點(diǎn)P與圓上。(玉)一。)2+(%—。)2=產(chǎn)；

(3)點(diǎn)P與圓內(nèi)0(而一af+Oo-bf〈產(chǎn)；

1

15.一

2

【分析】

所撥數(shù)字共有C：戲=24種可能，若所撥數(shù)字能被5整除，則個(gè)位數(shù)字只能是5或0,然后

分個(gè)位數(shù)字為5和個(gè)位數(shù)字為0兩種情況求出所需要的種數(shù)，再利用古典概型的概率公式求

解即可

【詳解】

解：所撥數(shù)字共有C；C：=24種可能，若所撥數(shù)字能被5整除，則個(gè)位數(shù)字只能是5或0,

當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，則個(gè)位檔撥一顆上珠，其他三檔選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，有C；=3

種；

當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則個(gè)位檔不撥珠，其他三檔選擇一檔位撥一顆上珠，再選擇兩個(gè)檔位各

撥一顆下珠，有&仁=9種，

所以所撥數(shù)字能被5整除的概率為—

242

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】

此題考查古典概型的概率的求法，考查分類思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

16.972

【分析】

先根據(jù)三角形面積相等得到ab=向a+b），把求a+4b的最小值轉(zhuǎn)化為基本不等式中“1

的代換”.

【詳解】

在三角形ABC中，???/ACB=90°,...三角形面積S='ab；

2

而三角形ABC的面積等于三角形ADC與三角形BDC面積之和,

即S=^-xnx2xsin45°+^x/?x2xsin45°,

所以"=&（Q+人）,（Q>0,方>0）,

即也+也=].

ab

即a+48的最小值為9夜.

故答案為：972.

【點(diǎn)睛】

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正二定三相等”

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則

必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定

值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

兀

17.(1)——+ku,—7C+k?!(AeZ)；(2)2+-\/3

【分析】

(1)利用三角函數(shù)的倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性

質(zhì)，利用整體代換法求得其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由已知不等式，判定該三角形為銳角三角形，分析其余四個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)只有①?③是

可能的，做出一定選擇后，利用正余弦定理和三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式求得三角

形的面積的最大值.

【詳解】

1+cos2x+—\

⑴，，、.I1,

f(x)—sinxcosx--------------------=sin29x——

22

7TTTJT7T

令——+2/ai<2x<—+2E,ZwZ，解得---FE<X<—+E,ZT￡Z,

2244

jrTT

；?/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為----kku,—Fku(kG；

447

EIA71B7CC7V\(乃3兀)|“、1八，,

(2)因f為+++I卜所以2xw—~，由/(x)+不>。得sin2x>0,

7T71TCTC

■-2xAH—<7r,.'.A<—，同理B<一,C<一，即△ABC為銳角三角形，

2222

③中asinA+8sinB=csinC,利用正弦定理角化邊得到a?+〃=。2,故。為直角，與條

件矛盾；

3

②中圓心到直線的距離d=-==73，故弦長(zhǎng)a=2j==2,

71

④中由5/3sin/I+cosA=>/3得sinA+，又???A為銳角，??.A="

6

選擇①②，2/?=4,a=2,2/?sinA=a,得4sinA=2,sinA=',

2

TT

選擇①③，2R=4,A=-，得a=2RsinA=2,

6

IT

選擇②③，即Q=2,A=—,

6

c,)JLo

由余弦定理得+c~-2Z?ccos—=Q~=4,

6

b2+c2-43bc=4＞（2-y]3）bc

所以尻最大值為匚耳=4(2+6),當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，

，三角形ABC的面積為：S=g"csinA=；Oc,最大值為2+J5.

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵是要逆用正余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，綜合使用正余弦定理進(jìn)行分析，利用三角形的

面積公式，基本不等式，余弦定理綜合使用求三角形面積最大值問(wèn)題時(shí)常用的方法，應(yīng)當(dāng)熟

練掌握.

18.(1)an=X；(2)4=2—(〃+2)x(g).

【分析】

(1)首先根據(jù)E=2q-2="，得到q=2,根據(jù)a,,=Sn-得到—=2,從而得

an-\

到4=2。

(2)首先根據(jù)(1)得到,再利用錯(cuò)位相減法求T“即可.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，S]=2q-2=囚，得q=2；

當(dāng)〃22時(shí)，S"=2a"-2①,S,i=2q,_i-2②，

①-②得，——=2.

a,i

所以數(shù)列｛q｝是以4=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即4=2”；

n門丫

(2)由題，得b“=—=n-\—,

"2"⑶

所以T+2x[J+3x,)'+…嗚「+(“-嗚

/=(￡|+2]{)+3>(￡|+.一+("-叫)+("-嗚)+"出②

①@，嗎看弓+O+出+…+出+出"{|，

1-3

12

/一

]_

所以,7；,=2-(n+2)x

27

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:

本題主要考查數(shù)列的求和，常見(jiàn)的數(shù)列求和方法如下:

1.公式法：直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可;

2.分組求和法:把需要求和的數(shù)列分成熟悉的數(shù)列，再求和即可;

3.裂項(xiàng)求和法:通過(guò)把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，再求和即可;

4.錯(cuò)位相減法:當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)，可使用此

方法求和.

19.(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵

5

【分析】

(1)可證AG與平面內(nèi)一條直線。M平行，再得出線面平行

(2)以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面E5。、8C。的法向量，利用公式

cos=尸舊求出二面角E—8。—C的余弦值.

m

【詳解】

(1)證明：在平面8CEG中，過(guò)G作GNLCE于N,交BE于M,連。M,

由題意知，MG=MN,MNIIBCIIDA且MN=AD=、BC,

2

VMGHAD,MG=AD,

故四邊形ADMG為平行四邊形，...AG//DM,

又DMu平面BDE,AG仁平面BDE,

故AG〃平面

(2)由題意知BCJ■平面ECO,在平面EC。內(nèi)過(guò)。點(diǎn)作CFJ.CO交OE于尸，

以。為原點(diǎn)，CD，CB，麗的方向?yàn)椋?z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AD=\,則BC=CD=CE=2BG=2.

且C((),(),0),0(2,0,0),3(0,2,0),E(-l,0,^),

設(shè)平面的法向量7=(x,y,z),

DEn=0,-3x+>/3z-0,

則由，

BDn=0,2x-2y=0,

取y=i,得〃=

易知平面BCO的一個(gè)法向量為而=(0,0,1)

所以二面角E-的余弦值為巫.

5

【點(diǎn)睛】

本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問(wèn)題：

(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方

程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

⑵設(shè)質(zhì)3分別為平面a,夕的法向量，則二面角6與〈詬,3＞互補(bǔ)或相等.求解時(shí)一定要注

意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

20.(1)y=-3.2%+398；(2)單價(jià)應(yīng)該定為95元，銷售利潤(rùn)最大.

【分析】

(1)先求元歹，再利用參考數(shù)據(jù)求6,a,代入求回歸直線方程；(2)由(1)可知銷售利

潤(rùn)/(》)=(-3.2x+398)(x-65),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤(rùn)的最大值.

【詳解】

(1)由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得i=〈x(80+85+90+95+100)=90,

y=-x(140+130+110+90+80)=110,

48700-5x90x110

40750—5x9()2

Z=1

6=$—^=110+3.2x90=398，

所以y關(guān)于％的線性回歸方程為y=-3.2X+398.

(2)設(shè)定價(jià)為X元，利潤(rùn)為Ax),則

/(X)=(-3.2%+398)(%-65)=-3.2x2+606%-25870

*/x>65

?〃小=94.6875h95(元)時(shí)，最大,

"=-2x("-I3.2)

所以為使得銷售的利潤(rùn)最大，單價(jià)應(yīng)該定為95元.

22

21.(1)二+匕=1；(2)答案見(jiàn)解析.

42

【分析】

(1)解由點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程、離心率和/、b\0?之間的關(guān)系組成的方程組可得答案;

(2)討論直線的斜率，求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，利用戶點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑比較

大小可得答案.

【詳解】

(1)由已知，點(diǎn)8(、反,1)在橢圓上.

21,

靛+*1

因此</一沙2=°.2,解得。=2,b=近.

c_A/2

,?=T

2

所以橢圓的方程為f三+v乙=1.

42

(2)設(shè)點(diǎn)C(%,y),￡>(%,,y2),CQ中點(diǎn)為。(%),％)?

橢圓的右焦點(diǎn)為(&,0),當(dāng)直線8斜率為零時(shí)，點(diǎn)尸顯然在圓外;

當(dāng)直線CO斜率不為零時(shí)，設(shè)直線CD的方程為％，+亞，

x=ky+72

由<f>2,得伙Z+2）/+2V2^y-2=0,

---F——=1