普通物理熱學-李椿-電子教案

第一章溫度◆本章學習目標1、深刻理解熱力學第零定律。2、理解氣體的平衡狀態(tài)、狀態(tài)參量等概念。3、掌握測溫原理及經(jīng)驗溫標、理想氣體溫標，理解溫度的物理意義。4、掌握理想氣體物態(tài)方程及其應(yīng)用。◆本章教學內(nèi)容1、平衡狀態(tài)2、溫度3、氣體的物態(tài)方程◆本章重點理想氣體物態(tài)方程

◆本章教學學時方案：6學時實際：7學時〔含1學時習題〕

§1.平衡態(tài)狀態(tài)參量一、平衡態(tài)1、系統(tǒng)與外界熱力學系統(tǒng)〔簡稱系統(tǒng)〕——由大量分子原子組成的物體或物體系。注意：主要研究氣體系統(tǒng)，固體和液體系統(tǒng)的熱力學問題不在這里研究。外界——一個熱力學系統(tǒng)所處的外部環(huán)境。2、系統(tǒng)分類孤立系統(tǒng)：與外界既不交換能量又不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。開放系統(tǒng)：與外界既交換能量又交換物質(zhì)的系統(tǒng)。封閉系統(tǒng)：與外界交換能量而不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

均勻系〔單相系〕：系統(tǒng)的各局部完全一樣。非均勻系〔復相系〕：系統(tǒng)的各局部不同且有界面。3、平衡態(tài)定義：在不受外界影響〔外界對系統(tǒng)既不做功又不傳熱〕的條件下的熱力學系統(tǒng)，宏觀性質(zhì)不隨時間變化的狀態(tài)。熱力學平衡態(tài)包括力學平衡、化學平衡、熱平衡和相平衡。這四種平衡都到達才稱熱力學平衡態(tài)。注意：熱力學平衡態(tài)與熱平衡的區(qū)別熱力學平衡平衡態(tài)的條件熱力學平衡態(tài)的條件熱力學系統(tǒng)呈現(xiàn)無粒子流：力學平衡條件，系統(tǒng)內(nèi)部各局部之間、系統(tǒng)與外界之間應(yīng)到達力學平衡，通常情況下反映為壓強處處相等?；瘜W平衡：化學平衡條件，即在無外場下系統(tǒng)各局部的化學組成應(yīng)是處處相等?？梢杂胮、V、T圖來表示。只要上述三個條件一個得不到滿足，就是非平衡態(tài)，不能用p、V、T圖來表示。4、討論1〕事實上，并不存在完全不受外界影響，從而使得宏觀性質(zhì)絕對保持不變的系統(tǒng)，所以平衡態(tài)只是一種理想模型，它是在一定條件下對實際情況的抽象和近似。2〕由于永不停息的熱運動，各粒子的微觀量和系統(tǒng)的微觀態(tài)都會不斷地發(fā)生變化。但只要粒子熱運動的平均效果不隨時間改變，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)性質(zhì)就不會隨時間變化。因此，確切地說平衡態(tài)應(yīng)該是一種熱動平衡的狀態(tài)。3〕在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)的宏觀物理量仍會發(fā)生微小的變化，稱為漲落。組成系統(tǒng)的微觀粒子數(shù)量極大時，這種漲落很小從而可以忽略。在熱力學中可以認為平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀物理量具有確定的數(shù)值。5、平衡態(tài)的特點1〕單一性〔p,T〕處處相等；2〕物態(tài)的穩(wěn)定性——與時間無關(guān)；3〕自發(fā)過程的終點；4〕熱動平衡，有別于力平衡。6、非平衡態(tài)在自然界中，平衡態(tài)是相對的、特殊的、局部的與暫時的，不平衡才是絕對的、普遍的、全局的和經(jīng)常的。課后P28思考題1二、狀態(tài)參量——用確定的物理量作為描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量。統(tǒng)的平衡態(tài)描述熱力學系幾何參量：體積統(tǒng)的平衡態(tài)描述熱力學系力學參量：壓強化學參量：質(zhì)量或物質(zhì)的量電磁參量：電場強度、電極化強度；磁感應(yīng)強度，磁化強度熱力學量可分成：廣延量和強度量廣延量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量成正比的量?！搀w積、面積等〕強度量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量無關(guān)的量?！矇簭?、電場強度等〕§2.溫度引進一個新的物理量——溫度來表示系統(tǒng)的冷熱程度。氣體的溫度，宏觀上表現(xiàn)為氣體的冷熱程度，而微觀上看它表示的是分子熱運動的劇烈程度。一、熱力學第零定律熱接觸：系統(tǒng)間能發(fā)生傳熱的接觸。熱平衡：兩個系統(tǒng)在發(fā)生傳熱的條件下到達的一個共同的平衡態(tài)。熱平衡定律〔熱力學第零定律〕：如果兩個熱力學系統(tǒng)的每一個都與第三個熱力學系統(tǒng)處于熱平衡，那么它們彼此也必定處于熱平衡。熱平衡定律為建立溫度概念提供了實驗根底。注意：決定系統(tǒng)熱平衡的宏觀性質(zhì)為溫度，即溫度是決定一系統(tǒng)是否與其他系統(tǒng)處于熱平衡的宏觀性質(zhì)，特征就在于一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。熱力學第零定律的物理意義互為熱平衡的物體之間必存在一個相同的特征，即它們的溫度是相同的。熱力學第零定律不僅給出了溫度的概念，而且指出了判別溫度是否相同的方法。課后P28思考題2,3二、溫標——溫度的數(shù)值表示法經(jīng)驗溫標——在經(jīng)驗上以某一物質(zhì)屬性隨溫度的變化為依據(jù)并用經(jīng)驗公式進行分度的溫標。以液體溫度計－攝氏溫標為例原理：利用液體的體積隨溫度改變的性質(zhì)制成的。即用液體的體積來標志溫度。選擇測溫物質(zhì)，確定測溫參量〔屬性〕經(jīng)驗溫標的三要素選定固定點進行分度，即規(guī)定測溫參量隨溫度的變化關(guān)系例：水銀溫度計〔1〕水銀－測溫物質(zhì)體積隨溫度變化－測溫屬性〔2〕冰點－0攝氏度汽點－100攝氏度〔3〕確定測溫屬性〔體積〕隨溫度的變化關(guān)系：線性變化課本P10表1-1幾種常用的溫度計缺點：采用同一種溫標，選取不同的測溫物質(zhì)〔或同一種物質(zhì)的不同測溫屬性〕來測量同一對象的溫度時，所得的結(jié)果也并不嚴格一致。課后P29思考題4例題：課后習題P314、鉑電阻溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時,鉑電阻的阻值為90.35Ω,當溫度計的測溫泡與待測物體接觸時,鉑電阻的阻值為90.28Ω,試求待測物體的溫度,假設(shè)溫度與鉑電阻的阻值成正比,并規(guī)定水的三相點為273.16K。解:依題給條件可得那么故5、在歷史上,對攝氏溫標是這樣規(guī)定的:假設(shè)測溫屬性X隨溫度t作線性變化,即，并規(guī)定冰點為t=0℃,汽點為t=100℃。設(shè)X1和X2分別表示在冰點和汽點時X的值,試求上式中的常數(shù)a和b解:∵由題給條件可知①②由②—①得∴③將③式代入①式得2、理想氣體溫標——標準溫標〔為了使溫度的測量統(tǒng)一〕氣體溫度計：〔1〕定容氣體溫度計〔氣體的體積保持不變，壓強隨溫度改變〕〔2〕定壓氣體溫度計〔氣體的壓強保持不變，體積隨溫度改變〕

理想氣體溫標：以氣體為測溫物質(zhì)，利用理想氣體狀態(tài)方程中體積〔壓強〕不變時壓強〔體積〕與溫度成正比關(guān)系所確定的溫標稱為理想氣體溫標。定容氣體溫度計——定容氣體溫度計與待測系統(tǒng)到達熱平衡時的溫度值p——用溫度計測得并經(jīng)修正的氣體壓強

a——比例系數(shù)，根據(jù)選定的固定點來確定固定點：水的三相點〔純冰、純水和水蒸氣平衡共存的狀態(tài)〕273.16K

——氣體在三相點時的壓強定壓氣體溫度計——氣體在三相點時的體積共同特點：用不同氣體建立的溫標只有微小的差異，隨著氣體壓強的降低這種差異逐漸消失，而且在壓強趨于零時不同的溫標趨于一個共同的極限值。這個極限溫標叫做理想氣體溫標〔氣體溫標〕。定義式：〔體積V不變〕或〔壓強p不變〕缺點：對極低的溫度〔氣體的液化點以下〕和高溫〔1000oC是上限〕就不適用。理想氣體溫標的最低溫度：1K課后P29思考題7熱力學溫標——完全不依賴于任何測溫物質(zhì)及其物理屬性。熱力學溫度T：單位開爾文K熱力學溫標是無法實現(xiàn)的理論溫標，是通過理想氣體溫標來實現(xiàn)。攝氏溫標與熱力學溫標的關(guān)系：攝氏溫標和華氏溫標的換算關(guān)系：課本P15圖1-7熱力學溫度、攝氏溫度和華氏溫度的對應(yīng)關(guān)系溫度單位符號固定點的溫度值與熱力學溫度的關(guān)系通用情況絕對零度冰點三相點汽點熱力學溫度KT0.00273.15273.16373.15國際通用攝氏溫標oCt-273.150.000.01100.00國際通用華氏溫標FtF-459.6732.0032.02212.00英美等國蘭氏溫標RTR0.00491.67491.69671.67英美等國國際實用溫標ITS-90

國際溫標的三要素：定義固定點；規(guī)定在不同的待測溫度區(qū)內(nèi)使用的標準測溫儀器；給定在不同的固定點之間標準測溫儀器讀數(shù)與國際溫標值之間關(guān)系的內(nèi)插求值公式。ITS-90的優(yōu)點：更接近于熱力學溫度將最低溫度擴展到0.65K在整個溫度范圍內(nèi)，改良了連續(xù)性、精度和再現(xiàn)性在某些溫度范圍內(nèi)，對分區(qū)重復定義的處理方便了使用消除了大多數(shù)以沸點定義的固定點。膨脹測溫法：玻璃液體溫度計、雙金屬溫度計壓力測溫法：壓力表式溫度計、蒸汽壓溫度計實用溫度計簡介電磁學測溫法：電阻溫度計、溫差熱電偶溫度計、半導體溫度計、頻率溫度計聲學測溫法：聲學溫度計、噪聲溫度計輻射測溫法：光學高溫計、比色高溫計、輻射高溫計

自我閱讀局部：附錄1-1熱力學第零定律與溫度附錄1-2水的三相點管課后作業(yè)題：P311，6

§3.氣體的狀態(tài)方程或函數(shù)關(guān)系叫做氣體的物態(tài)方程把處于平衡態(tài)的某種物質(zhì)的熱力學參量〔如壓強、體積、溫度〕之間所滿足的函數(shù)關(guān)系稱為該物質(zhì)的物態(tài)方程或稱狀態(tài)方程。一、理想氣體的狀態(tài)方程1、玻意耳定律——一定質(zhì)量氣體的溫度保持不變時，它的壓強和體積的乘積是一個常量：

注意：〔1〕溫度不變，pV為一常數(shù)；溫度改變，常數(shù)也要改變〔2〕p不太大，T要不太低時適用；p越低，遵守得越好。2、理想氣體狀態(tài)方程根據(jù)玻意耳定律和理想氣體溫標的定義來確定C與溫度T的關(guān)系。設(shè)Ctr為常數(shù)C在水的三相點時的數(shù)值。得在氣體壓強趨于零的極限情形下：由，得阿伏伽德羅定律：在氣體壓強趨于零的極限情形下，在相同的溫度和壓強下，1摩爾的任何氣體所占的體積都相同。令普適氣體常數(shù)物態(tài)方程：理想氣體物態(tài)方程是根據(jù)玻意耳定律、理想氣體溫標的定義和阿伏伽德羅定律求得的，這三者所反映的都是氣體在壓強趨于零時的極限性質(zhì)。注意：壓強越低，物態(tài)方程近似程度越高；在壓強趨于零的極限情形下，一切氣體都嚴格地遵從它。3、普適氣體常數(shù)R一般由1mol理想氣體在冰點〔〕及一個大氣壓〔〕下的體積來推算：算出：課后P29思考題9，10，11，13課本P19[例題1]由物態(tài)方程求相對分子質(zhì)量[例題2]由物態(tài)方程求容器體積和漏氣質(zhì)量[例題3]低溫測量的氣體溫度計原理〔了解〕4、混合理想氣體的狀態(tài)方程道爾頓分壓定律：混合氣體的壓強等于各組分的分壓強之和。某組分的分壓強：是指這個組分單獨存在時〔即在與混合氣體的溫度和體積相同，并且與混合氣體中所包含的這個組分的物質(zhì)的量相等的條件下，以化學純的狀態(tài)存在時〕的壓強。注意：道爾頓分壓定律只適用于理想氣體〔混合氣體的壓強較低〕道爾頓分壓定律的公式表示：令，得——混合理想氣體的物態(tài)方程平均摩爾質(zhì)量M：二、非理想氣體的狀態(tài)方程〔了解〕1．范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯氣體：考慮分子間吸力和斥力的作用。

范德瓦耳斯方程：——1mol氣體——任意質(zhì)量的氣體a，b——常量，可由實驗測定[例題5]用范德瓦爾斯方程計算，和理想氣體的物態(tài)方程計算結(jié)果比擬。2、昂尼斯方程

或或都是溫度的函數(shù)，并與氣體的性質(zhì)有關(guān)，分別叫做第一、第二、第三、第四、……位力系數(shù)。當壓強趨于零時，上式變?yōu)槔硐霘怏w物態(tài)方程，且A=RT課后作業(yè)題：P3112，13，26，27第一章小結(jié)一、平衡態(tài)1、系統(tǒng)的定義和分類2、平衡態(tài)的定義和特點二、溫度根底實驗熱力學第零定律溫度的概念溫標經(jīng)驗溫標根底實驗統(tǒng)一各國的擴大測溫統(tǒng)一統(tǒng)一各國的擴大測溫統(tǒng)一溫度計量范圍理想氣體溫標熱力學溫標國際實用溫標溫度計量范圍三、氣體的物態(tài)方程1、理想氣體的物體方程①單一成分的理想氣體②混合理想氣體2、非理想氣體的物態(tài)方程①范德瓦耳斯方程②昂內(nèi)斯方程

習題解答1、定容氣體溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，其中氣體的壓強為50mmHg?！?〕用溫度計測量300K的溫度時，氣體的壓強是多少？〔2〕當氣體的壓強為68mmHg時，待測溫度是多少？解：對于定容氣體溫度計可知：(1)

〔2〕6、

水銀溫度計浸在冰水中時，水銀柱的長度為4.0cm;溫度計浸在沸水中時，水銀柱的長度為24.0cm.(1)

在室溫22.0℃時，水銀柱的長度為多少？(2)

溫度計浸在某種沸騰的化學溶液中時，水銀柱的長度為25.4cm，試求溶液的溫度。解：設(shè)水銀柱長L與溫度T成線性關(guān)系：L=at+b當t=0℃時那么L0∴b=1代入上式L=at+1當t1=100℃時那么L1=at1∴a=〔L1-L0〕/t1(1)

L===8.4(cm)〔2〕t/=〔L/-L0〕/a==107℃ 12、一定質(zhì)量的氣體在壓強保持不變的情況下，溫度由50℃升到100℃解：根據(jù)方程，∴，那么體積改變的百分比為15.5%13、一氧氣瓶的容積是32L，其中氧氣的壓強是130atm，規(guī)定瓶內(nèi)氧氣壓強降到10atm時就得充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用1.0atm氧氣400L，問一瓶氧氣能用幾天。解：先作兩點假設(shè)：〔1〕氧氣可視為理想氣體〔2〕在使用氧氣過程中溫度T不變，那么：由可有每天用掉的氧氣質(zhì)量為瓶中剩余氧氣的質(zhì)量為∴〔天〕19、求氧氣在壓強為10.0atm、溫度為27℃解：氧的M=32g/mol14、水銀氣壓計中混進了一個空氣泡，因此它的讀數(shù)比實際的氣壓小，當精確的氣壓計的讀數(shù)為768mmHg時，它的讀數(shù)只有748mmHg。此時管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為80mm。問當此氣壓計的讀數(shù)為734mmHg時，實際氣壓應(yīng)是多少。設(shè)空氣的溫度保持不變。解：設(shè)管子橫截面為S，在氣壓計讀數(shù)為h0=748mmHg和h=734mmHg時，管內(nèi)空氣壓強分別為p1和p2，根據(jù)靜力平衡條件可知，，且p=768mmHg，l=80mm由于T、m不變根據(jù)方程有，而21、一打氣筒，每打一次可將原來壓強為，溫度為，體積的空氣壓縮到容器內(nèi)。設(shè)容器的容積為，問需要打幾次氣，才能使容器內(nèi)的空氣溫度為，壓強為。解：打氣后壓強為：，題上未說原來容器中的氣體情況，可設(shè)原來容器中沒有空氣，設(shè)所需打氣次數(shù)為，那么,〔1〕〔2〕將得：次26、按重量計，空氣是由的氮，的氧，約的氬組成的〔其余成分很少，可以忽略〕，計算空氣的平均分子量及在標準狀態(tài)下的密度。解：設(shè)總質(zhì)量為m的空氣中，氧、氮、氬的質(zhì)量分別為m1，m2，m3氧、氮、氬的分子量分別為M1,M2,M3空氣的摩爾數(shù)那么空氣的平均摩爾質(zhì)量為即空氣的平均分子量為28.9空氣在標準狀態(tài)下的密度27、把的氮氣壓入一容積為的容器，容器中原來已充滿同溫同壓的氧氣。試求混合氣體的壓強和各種氣體的分壓強，假定容器中的溫度保持不變。解：根據(jù)道爾頓分壓定律可知又由狀態(tài)方程且溫度、質(zhì)量不變。第二章氣體分子運動論的根本概念◆本章學習目標1、深刻理解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和理想氣體的微觀模型。2、理解理想氣體的壓強與溫度的微觀本質(zhì)。3、了解常用的分子簡化模型，應(yīng)用勢能曲線研究分子碰撞過程?！舯菊陆虒W內(nèi)容1、物質(zhì)的微觀模型2、理想氣體的壓強3、溫度的微觀解釋4、分子力5、范德瓦耳斯氣體的壓強◆本章重點1、壓強公式和溫度公式2、理想氣體的微觀模型，范德瓦耳斯氣體的壓強◆本章教學學時方案：8學時實際：7學時〔含1學時習題〕

§1.物質(zhì)的微觀模型分子動理論是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)來說明熱現(xiàn)象的規(guī)律。宏觀物體是由大量微粒－分子〔或原子〕組成的物質(zhì)由大量分子所組成的論點是指宏觀物體是不連續(xù)的，它由大量分子或原子〔離子〕所組成的。1mol物質(zhì)中的分子數(shù)，即阿伏伽德羅常量二、物體內(nèi)的分子在不停地運動著，這種運動是無規(guī)那么地，其劇烈程度與物體的溫度有關(guān)擴散現(xiàn)象說明：一切物體〔氣體、液體、固體〕的分子都在不停地運動著。實驗觀察：擴散現(xiàn)象，布朗運動布朗運動并非分子的運動，但它能間接反映出液體〔或氣體〕內(nèi)分子運動的無規(guī)那么性。無規(guī)那么：由于分子之間的相互碰撞，每個分子的運動方向和速率都在不斷地改變；任何時刻，在液體或氣體內(nèi)部，沿各個方向運動的分子都有，而且分子運動的速率有大有小。分子的熱運動：分子的無規(guī)那么運動?！才c物體的溫度有關(guān)〕漲落現(xiàn)象：偏離統(tǒng)計平均值的現(xiàn)象。例：某隨機變量的平均值，那么在附近的偏差為，，均方偏差不等于零，其相對均方根偏差稱為漲落。

一個由大量子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，其可測的宏觀量是眾多子系統(tǒng)的統(tǒng)計平均效應(yīng)的反映。但系統(tǒng)在每一時刻的實際測度并不都精確地處于這些平均值上，而是或多或少有些偏差，這些偏差就叫漲落，漲落是偶然的、雜亂無章的、隨機的。三、分子之間有相互作用力1、吸引力和排斥力很多物質(zhì)的分子引力作用半徑約為直徑的兩倍作用，超過這一距離，分子間相互作用力已很少。排斥力作用半徑就是兩分子剛好“接觸”時兩質(zhì)心間的距離。排斥力發(fā)生作用的距離比吸引力發(fā)生作用的距離還要小。2、分子力與分子熱運動分子力是一種電磁相互作用力，故它是一種保守力，它應(yīng)該有勢能，稱為分子作用力勢能?！卜肿恿κ怯梢粋€分子中所有的電子和核與另一個分子中所有的電子和核之間復雜因素所產(chǎn)生的相互作用的總和?！晨偨Y(jié)：一切宏觀物體都是由大量分子〔或原子〕組成的；所有的分子都處在不停的、無規(guī)那么熱運動中；分子之間有相互作用力。分子力的作用將使分子聚集在一起，在空間形成某種規(guī)那么的分布〔有序排列〕，而分子的無規(guī)那么運動將破壞這種有序的排列，使分子分散開。溫度升高溫度升高固體狀態(tài)液體狀態(tài)氣體狀態(tài)§2.理想氣體的壓強一、理想氣體的微觀模型理想氣體的微觀模型具有以下特點：〔1〕分子本身的線度比起分子之間的平均距離來可以忽略不計，即對分子可采用質(zhì)點模型?！矚怏w分子間距大約是分子本身線度的10倍?！场?〕除碰撞的一瞬間外，分子之間以及分子與容器壁之間相互作用力可忽略不計。分子所受的重力也可以忽略。分子在兩次碰撞之間做自由的勻速直線運動?！?〕分子與容器壁以及分子之間的碰撞屬于牛頓力學中的完全彈性碰撞，即氣體分子的動能不因碰撞而損失。綜上所述，經(jīng)過抽象與簡化，理想氣體可以看成是一群彼此間無相互作用的無規(guī)運動的彈性質(zhì)點的集合，這就是理想氣體的微觀模型。在常溫下，壓強在數(shù)個大氣壓以下的氣體，一般都能很好地滿足理想氣體方程。課本P53思考題1二、理想氣體的壓強公式1、關(guān)于氣體分子集體的統(tǒng)計假設(shè)對于平衡態(tài)下的理想氣體系統(tǒng)中的大量分子，可作如下統(tǒng)計假設(shè)：無外場時，分子在各處出現(xiàn)的概率相同，即容器中單位體積內(nèi)的分子數(shù)處處相等?！肿訑?shù)密度由于碰撞，分子可以有各種不同的速度，速度取向各方向等概率，分子速度在各個方向分量的各種統(tǒng)計平均值相等?！?；〕2、理想氣體壓強公式〔1〕定性解釋壓強：密閉容器〔如氣缸〕內(nèi)的氣體對容器的器壁有壓力作用，作用在單位面積器壁上的壓力。從氣體動理論的觀點看來：氣體在宏觀上施于器壁的壓強，是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。最早使用力學規(guī)律來解釋氣體壓強的科學家是伯努利。他認為：氣體壓強是大量氣體分子單位時間內(nèi)給予器壁單位面積上的平均沖量?！?〕定量推導前提：平衡態(tài)、忽略重力、分子看成質(zhì)點〔只考慮分子的平動〕設(shè)在任意形狀的容器中貯有一定量的理想氣體，體積為V，共含有N個分子，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n=N/V，每個分子的質(zhì)量為m0，分子具有各種可能的速度，把分子分成假設(shè)干組，每組內(nèi)的分子具有大小相等、方向一致的速度，并假設(shè)在單位體積內(nèi)各組的分子數(shù)分別為n1，n2，…,ni,…,那么。設(shè)某一分子以速度運動并與dA面碰撞，碰撞后速度變?yōu)椤Ｍ茖н^程：〔1〕計算單個分子速度為與器壁dA面碰撞一次的過程中施于dA面的沖量：〔2〕dt時間內(nèi)速度為能與dA面發(fā)生碰撞的分子總數(shù)：〔dA為底，為高，為軸的斜形柱體的體積內(nèi)，的分子?！砫t時間內(nèi)速度為能與dA面發(fā)生碰撞的分子對dA面的沖量：dt時間內(nèi)所有分子對dA面的總沖量：器壁所受的宏觀壓強：〔6〕為了使結(jié)果的物理意義更明確，對壓強表示式進行化簡。根據(jù)統(tǒng)計假設(shè)，所以應(yīng)用這一關(guān)系，得到理想氣體的壓強公式：式中是氣體分子平均平動動能。——表征三個統(tǒng)計平均量之間相互聯(lián)系的一個統(tǒng)計規(guī)律，而不是一個力學規(guī)律。氣體壓強是系統(tǒng)中所有分子對器壁碰撞的平均效果，是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)。壓強是大量分子對時間、對面積的統(tǒng)計平均結(jié)果。壓強的物理意義：統(tǒng)計關(guān)系式宏觀可測量量統(tǒng)計平均值統(tǒng)計關(guān)系式宏觀可測量量統(tǒng)計平均值注意的問題：一是容器的各個器壁上的壓強都是相等的。二是壓強公式與容器大小無關(guān)，還與容器的形狀無關(guān)。上述說明：氣體的壓強與分子數(shù)密度和平均平動動能都成正比。這個結(jié)論與實驗是高度一致的，它說明了我們對壓強的理論解釋以及理想氣體平衡態(tài)的統(tǒng)計假設(shè)都是合理的。壓強的單位：[例題]某理想氣體的壓強p＝1.00×10－3atm，密度＝1.24×10－3kg/m3，求氣體分子的方均根速率〔即方均速率的平方根〕。假設(shè)該氣體為雙原子理想氣體，且溫度為t＝0℃解：按壓強公式，方均根速率為：氣體的密度與分子的數(shù)密度和分子的質(zhì)量m的關(guān)系為：將其代入上式，即得由理想氣體的物態(tài)方程，可得故氣體的摩爾質(zhì)量所以，該氣體是摩爾質(zhì)量的N2或CO課本P54思考題6，7，8§3.溫度的微觀解釋溫度的微觀解釋1、理想氣體的溫度公式理想氣體的壓強公式：理想氣體的物態(tài)方程：由,,—阿伏伽德羅常量〔1摩爾氣體所含的分子數(shù)〕得：令——玻耳茲曼常量得平衡態(tài)下理想氣體的溫度公式：或溫度的微觀解釋：標志著物體內(nèi)局部子無規(guī)那么運動的劇烈程度。溫度越高就表示平均說來物體內(nèi)局部子熱運動越劇烈。溫度是由大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，也是含有統(tǒng)計意義，對于少數(shù)或單個分子談溫度是沒有意義的。理想氣體的溫度公式說明：氣體分子的平均平動動能惟一決定于溫度，并與熱力學溫度成正比。在相同的溫度下，氣體分子的平均平動動能相同而與氣體的種類無關(guān)。也就是說，如果有一團由不同種類的氣體混合而成的氣體處于熱平衡狀態(tài)，不同的氣體分子的運動可能很不相同，但它們的平均平動動能卻是相同的。課本P45[例題1]求氣體分子的平均平動動能。[例題2]在多高溫度下，氣體分子的平均平動動能等于一個電子伏特？溫度T=300K的氣體分子的平均平動動能為多少個電子伏特？解：按照溫度公式2、方均根速率由，,得氣體分子的方均根速率：[例題3]計算氫分子的方均根速率。課本P54思考題11，13，14，15，16二、對理想氣體定律的推證由分子動理論的一般規(guī)律出發(fā)—→確定理想氣體的宏觀規(guī)律〔壓強公式，溫度公式〕阿伏伽德羅定律將代入壓強公式得：可見：在相同的溫度和壓強下，各種氣體在相同的體積內(nèi)所含的分子數(shù)相等。——阿伏伽德羅定律。→例：在標準狀態(tài)下，，時，任何氣體在1m3中含有的分子數(shù)都等于：2、道爾頓分壓定律設(shè)有幾種不同的氣體，混合地貯在同一容器中，它們的溫度相同，根據(jù)理想氣體的溫度公式，得：設(shè)單位體積內(nèi)所含各種氣體的分子數(shù)分別為那么單位體積內(nèi)混合氣體的總分子數(shù)為：代入壓強公式，得到混合氣體的壓強為：上式說明：混合氣體的壓強等于組成混合氣體的各成份的分壓強(單獨存在)之和。——道爾頓分壓定律[例題4]求每立方米內(nèi)的分子數(shù)。課后作業(yè)題：P553，5，9，12

§4.分子力分子熱運動和分子間的相互作用是決定物質(zhì)各種熱學性質(zhì)的根本因素。分子之間存在相互作用力——分子力：斥力和引力互相抵消，合力為零〔平衡位置〕：強大的斥力作用范圍，且r增加，F(xiàn)急劇增加：強大的引力作用范圍，且r增加時，F(xiàn)先增加再減少圖2-7〔b〕是分子勢能曲線：，勢能有極小值：勢能曲線有很陡的負斜率，很強的斥力：勢能曲線的斜率是正的，引力根據(jù)勢能曲線說明兩個分子的相互“碰撞”過程二、簡化模型〔1〕體積趨向于零的剛球模型作為兩分子質(zhì)心間距離r的函數(shù)的勢能滿足以下關(guān)系：，當，當其勢能曲線如圖2-8〔a〕所示，對應(yīng)的物態(tài)方程是理想氣體方程?！?〕剛球模型，當，當其勢能曲線如圖2-8〔b〕所示〔3〕蘇那么朗模型，當，當即把分子看作相互有吸引力的剛球，其勢能曲線如圖2-8〔c〕所示注意 〔1〕d可視為分子力程；數(shù)量級在數(shù)量級，可看為分子直徑〔有效直徑〕?！?〕分子力是電性力，大于萬有引力 §5.范德瓦耳斯氣體的壓強理想氣體：T較高，p較小時，滿足理想氣體的物態(tài)方程；真實氣體：T較低，p較大時，不滿足理想氣體的物態(tài)方程。找真實氣體物態(tài)方程的途徑：從實驗中總結(jié)出經(jīng)驗的或半經(jīng)驗的公式；修改理想氣體模型，在理論上導出物態(tài)方程。1873年，范德瓦爾斯用簡潔的物理模型導出了真實氣體的物態(tài)方程——范德瓦爾斯方程。問題：理想氣體模型忽略了分子的體積〔分子間的斥力〕和分子間的引力。理想氣體狀態(tài)方程在低溫高壓時偏差很大，找真實氣體的狀態(tài)方程成為當時的熱門課題。研究方法：實驗—規(guī)律(經(jīng)驗公式)—準確性高但應(yīng)用范圍狹窄建立模型—統(tǒng)計運算—統(tǒng)計規(guī)律—應(yīng)用范圍廣，但準確性與模型有關(guān)兩者結(jié)合，互相修正、補充范德瓦耳斯的想法：1、高壓下，分子線度不可忽略——體積要修正2、低溫、高壓下，分子間相互作用力不可忽略——壓強要修正范德瓦耳斯氣體的模型：〔1〕分子是直徑為d的剛球；〔2〕在d~s的范圍內(nèi)，分子間有恒定引力。這就是有引力的剛球分子模型。一、分子體積所引起的修正1mol理想氣體的壓強為：——每個分子可以自由活動的空間的體積如果把分子看作有一定體積的剛球，那么每個分子能自由活動的空間不再等于容器的容積。理想氣體的壓強修正為：體積修正:b：考慮到分子本身體積后而對氣體體積的修正量，理論上證明：為1mol氣體內(nèi)所有分子體積的總和為1mol理想氣體內(nèi)所有分子體積的總和1mol氣體的諾貝爾方程：νmol氣體的諾貝爾方程：由于分子有一定的體積，分子與器壁的碰撞將比不計分子體積時的碰撞更頻繁，因而使壓強增大。二、分子間引力所引起的修正考慮分子間的引力，分子在靠近器壁區(qū)域中受到向內(nèi)的拉力，將使它在垂直于器壁方向上的動量減小，因而器壁實際受到的壓強比經(jīng)過體積修正的值還要小一些。氣體施于器壁的壓強實際為——氣體的內(nèi)壓強內(nèi)壓強：氣體外表層單位面積上所受內(nèi)局部子的引力。=〔單位時間內(nèi)與單位面積器壁相碰的分子數(shù)〕又得比例系數(shù)a：由氣體的性質(zhì)決定，反映氣體分子引力的一個常量。表示1mol氣體在占有單位體積時，由于分子間相互吸引作用而引起的壓強減小量。適用于1mol氣體的范德瓦耳斯方程：

范德瓦耳斯方程①1mol氣體的范德瓦耳斯方程：②νmol氣體的范德瓦耳斯方程：③質(zhì)量為m的真實氣體的范德瓦耳斯方程：課本P54思考題17，18，19第二章小結(jié)一、兩個微觀模型1、物質(zhì)的微觀模型2、理想氣體的微觀模型二、兩個公式1、理想氣體的壓強公式2、理想氣體的溫度公式三、真實氣體1、微觀模型分子力和分子勢能2、真實氣體的物態(tài)方程——范德瓦耳斯方程

習題解答3、一容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。假設(shè)烘烤后壓強增為1.0×10-2mmHg，解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為N0，烘烤后的分子數(shù)為N1。根據(jù)上題導出的公式那么有：因為p0與p1相比差103數(shù)量，而烘烤前后溫度差與壓強差相比可以忽略，因此與相比可以忽略個5、一容器內(nèi)有氧氣，其壓強p=1.0atm，溫度為t=27oC，求(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)： (2)氧氣的密度；(3)氧分子的質(zhì)量；(4)分子間的平均距離；(5)分子的平均平動能。解：(1)∴(2)(3)(4)設(shè)分子間的平均距離為因每個分子平均分配到自由活動體積為(5)分子的平均平動能為：8、質(zhì)量為10g的氮氣，當壓強為1.0atm，體積為7700cm3時，其分子的平均平動能是多少？解:∵而∴9、質(zhì)量為50.0g，溫度為18.0℃的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s解：由于容器以速率v作定向運動時，每一個分子都具有定向運動，其動能等于，當容器停止運動時，分子定向運動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運動的能量，每個分子的平均熱運動能量那么為∴因為容器內(nèi)氦氣的體積一定，所以故，又由得：∴11、試計算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K，氫氣、氧氣和汞蒸氣的分子量分別為2.02、32.0和201。解12、氣體的溫度為T=273K,壓強為p=1.00×10-2atm,密度為ρ=1.29×10-5(1)求氣體分子的方均根速率。(2)求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。解：〔1〕→→〔2〕該氣體為空氣第三章氣體分子熱運動速率和能量的統(tǒng)計分布律◆本章學習目標1、理解麥克斯韋速率分布函數(shù)和速率分布曲線的物理意義；2、掌握氣體分子熱運動的平均速率，方均根速率和最概然速率。3、了解玻耳茲曼能量分布。4、理解分子運動自由度的概念，掌握能量按自由度均分定理，明確氣體內(nèi)能的微觀意義。掌握理想氣體的內(nèi)能公式。5、通過理想氣體的定容摩爾熱容的理論值與實驗值的比擬，明確經(jīng)典理論的困難以及對量子論建立的作用?！舯菊陆虒W內(nèi)容1、氣體分子的速率分布律2、用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律3、玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布4、能量按自由度均分定理◆本章重點麥克斯韋速率分布律和速度分布律◆本章教學學時方案：8學時實際：12學時〔含1學時習題〕補充數(shù)學知識一、概率的根本性質(zhì)1、概率的定義隨機事件：在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件稱為隨機事件。假設(shè)在相同條件下重復進行同一個試驗，在總次數(shù)N足夠多的情況下〔N→∞〕，計算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL，那么這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率：分布函數(shù)的物理意義通?？梢杂脙煞N完全等價的方式來說明。其一是，擲出數(shù)值的次數(shù)占總投擲次數(shù)N的比率；其二是，任意投擲一次，擲出數(shù)值為的概率〔可能性〕。2、等概率性——在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些〔或更小些〕的情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。統(tǒng)計物理學實質(zhì)上只包含等概率原理這一個根本假定：如果對于系統(tǒng)的各種可能的狀態(tài)沒有更多的知識，就可暫假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。3、概率的根本法那么〔1〕概率相加法那么——n個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和。〔2〕概率相乘法那么——同時或依次發(fā)生的，互不相關(guān)〔相互統(tǒng)計獨立〕的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積。二、隨機變量的概率分布函數(shù)——如果一變量在一定條件下，能以確定的概率取各種不同的數(shù)值，那么該變量稱為隨機變量。〔分為離散型和連續(xù)型〕隨機變量的概率分布：隨機變量的取值及其與相應(yīng)的概率之間的關(guān)系。離散型：為隨機變量x的概率分布，滿足條件：①②歸一化條件連續(xù)型：隨機變量x可取某一區(qū)間內(nèi)的一切數(shù)值?！病畴S機變量x取值在x~x+dx內(nèi)的概率dP(x)為：——概率密度滿足條件：①②歸一化條件對于取連續(xù)值的隨機變量，其概率隨隨機變量值的變化的分布規(guī)律不是由概率分布函數(shù)來表述，而是由概率密度函數(shù)來表述，概率密度函數(shù)給出了隨機變量出現(xiàn)的概率分布，也稱為隨機變量的分布函數(shù)。離散量與連續(xù)量的分布函數(shù)

§1.氣體分子的速率分布律研究平衡態(tài)下氣體分子速率的統(tǒng)計分布規(guī)律，說明統(tǒng)計規(guī)律的一些性質(zhì)和特點。速率分布函數(shù)1、速率分布函數(shù)的定義在平衡態(tài)下，氣體分子速率的大小各不相同。由于分子的數(shù)目巨大，速率v可以看作在0~∞之間連續(xù)分布的。此時分子的速率分布函數(shù)應(yīng)該這樣來定義：假設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為N；在速率v～v+dv之間的分子數(shù)為dN；來表示在速率v～v+dv之間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率；或者對于任意一個分子來說，這是它的速率處于v～v+dv之間的概率。由于和速率區(qū)間dv的大小成正比〔即dv越大那么越大〕，通常用來反映氣體分子的速率分布，它與所取區(qū)間dv的大小無關(guān)而僅與速率v有關(guān)。我們把這個比值定義為平衡態(tài)下的速率分布函數(shù)：表示分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。對于處在一定溫度下的氣體，它只是速率v的函數(shù)。2、速率分布函數(shù)的物理意義——在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)N的比率；或者說，對于任意一個分子而言，它的速率剛好處于v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率，故也稱為分子速率分布的概率密度。對于任意一個分子來說，它的速率是多大是偶然的，但卻具有一定的概率分布。只要給出了速率分布函數(shù)，整個分子的速率分布就完全確定了。3、速率分布函數(shù)的應(yīng)用由速率分布函數(shù)可求出：v～v+dv區(qū)間的分子數(shù)：

v～v+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率，即一個分子的速率在v～v+dv區(qū)間的概率：在速率分布函數(shù)的曲線上，它表示曲線下一個微元矩形的面積?！泊艘饬x在速率分布曲線局部講〕區(qū)間的分子數(shù)可以用積分表示為：區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比例，即一個分子的速率在區(qū)間的概率：在分布曲線上，它表示在間曲線下的面積?！泊艘饬x在速率分布曲線局部講〕令，那么即為全局部子數(shù)N，故有此式稱為速率分布函數(shù)的歸一化條件，表示所有分子與分子總數(shù)的比率為1，即一個分子速率在區(qū)間的概率為1。在分布曲線上，它表示在區(qū)間曲線下的面積為1?！泊艘饬x在速率分布曲線局部講〕課本P82思考題2〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕二、麥克斯韋速率分布律1、麥克斯韋速率分布律在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：即速率分布函數(shù)為：這個函數(shù)表達的速率分布規(guī)律叫做麥克斯韋速率分布律。式中，T為理想氣體平衡態(tài)的熱力學溫度，m0為每個氣體分子的質(zhì)量，k為玻耳茲曼常量。2、速率分布曲線從下面的曲線〔速率分布曲線〕觀察的氣體分子速率分布的特點。曲線下矩形面積的物理意義：圖中任一區(qū)間內(nèi)曲線下的窄條面積表示速率分布在這區(qū)間內(nèi)分子的比率；②圖中任一有限范圍內(nèi)曲線下的面積那么表示在這個范圍內(nèi)分子的比率；③由歸一化條件，在區(qū)間曲線下的面積為1。3、最概然速率最概然速率——極大值對應(yīng)的速率物理意義：在附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大；或者說，對于一個分子而言，它的速率剛好處于附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。要確定，令解出：即溫度越高，越大；分子的質(zhì)量越大，越小。上式規(guī)律說明對于給定的氣體〔即m一定〕，分布曲線的形狀隨溫度而變；在同一溫度下，分布曲線的形狀因氣體的不同〔即m不同〕而異。如圖3-2〔a〕，不同溫度下的分布曲線。同樣實線對應(yīng)分子質(zhì)量〔或相對分子質(zhì)量〕較大的氣體，虛線對應(yīng)于分子質(zhì)量〔或相對分子質(zhì)量〕較小的氣體，那么圖3-2〔b〕表示，不同種類氣體的分布曲線。3、漲落現(xiàn)象假設(shè)分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的統(tǒng)計平均值為，那么實際分子數(shù)對于這一統(tǒng)計平均值的偏離范圍，即漲落幅度根本上是，而漲落的百分數(shù)就是。由此可知，分子數(shù)越大，漲落的百分數(shù)就越小，即相對地說漲落現(xiàn)象越不顯著；反之，漲落的百分數(shù)就越大，統(tǒng)計規(guī)律的結(jié)論就失去了意義。因此，麥克斯韋速率分布律只對大量分子組成的體系才成立。麥克斯韋速率分布律只適用于氣體的平衡態(tài)。課本P82思考題3、4、補充數(shù)學知識三、統(tǒng)計平均值——數(shù)學期望1、離散型隨機變量一般來說，假定某量有N個測量值，測量結(jié)果為x1的有N1個，為x2的有N2個，…為xk的有Nk個，按照求平均值的方法，該量測量的平均值應(yīng)該是同理，該量測量的方均值〔先平方后再求平均值〕應(yīng)該是實際上只要把上面的式中的用來代替就到達上式。2、連續(xù)型隨機變量統(tǒng)計平均值：方均值：四、方差〔漲落〕——表示隨機變量x的取值在平均值附近分散的程度?！不蛎枋鰔在其統(tǒng)計平均值上下漲落的平均幅度?！橙?、用麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值1、分子的平均速率——大量分子的速率的算術(shù)平均值。將速率分布函數(shù)代入上式積分，得：補充提示：任意區(qū)間內(nèi)的平均速率：2、分子的方均根速率分子速率平方的平均值：

分子的方均根速率：補充提示：任意區(qū)間內(nèi)的速率平方的平均值：從上述三式可以清楚地看出，為了計算，或，實際上只要給定速率分布函數(shù)就可以了，可見速率分布函數(shù)的重要性。3、最概然速率最概然速率、平均速率和方均根速率統(tǒng)稱為速率分布的特征速率。都與成正比，與或成反比。三種速率中，最大，次之，最小。當氣體的溫度T和摩爾質(zhì)量M相同時，::=1.41:1.60:1.73課本P82思考題2〔5〕、〔6〕，6，7，8課后作業(yè)題：課本P831，2，5，6課本P8412，13〔做課堂例題處理〕作業(yè)為例1和例2[例1]對于給定的理想氣體，試分別求，和的速率附近與最概然速率的附近相比，在相同的速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。解:由，可得任意速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)當很小時，在該速率區(qū)間內(nèi)近似不變，可將上式簡化為因而，當速率分別為v和vp時，由相同，有理想氣體的分子速率，遵守麥克斯韋速率分布。由可得以最概然速率代入上式，又有分別以，和代入上式，可以算出：時，時，

時，顯然，速率越是偏離最概然速率，區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少。[例2]一由N個粒子組成的系統(tǒng)，平衡態(tài)下粒子的速率分布曲線如以下圖所示。試求：〔1〕速率分布函數(shù)；〔2〕速率在0～v0/2范圍內(nèi)的粒子數(shù)；〔3〕粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。解:〔1〕按上圖所示的速率分布曲線形狀，應(yīng)有()()k為0～v0之間直線段的斜率。由速率分布函數(shù)的歸一化條件，可得故速率分布函數(shù)為()()〔2〕速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)為：〔3〕由和，可得粒子的平均速率方均速率:故方均根速率:最概然速率是具有最大值，即速率分布曲線峰值所對應(yīng)的速率。由圖中的速率分布曲線，可得四、麥克斯韋速度分布律以上討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律，對分子的速度的方向未作任何確定。下面進一步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律。1、速度空間——以為軸的直角坐標〔或以為坐標的球坐標系〕所確定的空間。速度空間中一個點代表什么：從原點向某一點畫出一矢量，該矢量的大小和方向就是所對應(yīng)的速度矢量。速度空間中的一個微分體積元表示：速度矢量的取值范圍在，，范圍內(nèi)的所有那些速度矢量的整體，而是該立方體微分元中最靠近原點的那一點的坐標。2、麥克斯韋速度分布律①麥克斯韋速度分布函數(shù)分子速度在區(qū)間內(nèi)的概率：分子速度在附近單位區(qū)間內(nèi)的概率：在平衡狀態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，速度分量在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：——麥克斯韋速度分布律那么速度分量，，在附近單位區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：〔概率分布密度〕——麥克斯韋速度分布函數(shù)②速度分量的分布函數(shù)由概率相乘法那么：，同時相互獨立那么即速度分量的分布函數(shù)：速度分量的分布函數(shù)同理有的分布函數(shù)的分布函數(shù)由速度分量的分布函數(shù)描繪出的速度分量的分布曲線如左圖，圖中曲線下的矩形陰影局部面積為：也可通過積分求解：由積分表求出：得到各速度分量的分布函數(shù)。③注意點適用范圍：麥克斯韋在導出速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一速度分布律只適用于處于平衡態(tài)的理想氣體。歸一化條件：最概然速度的概念：速度分布中概率取極大時的速度就是最概然速度。由麥克斯韋速度分布律可得出，時，概率取極大。那么最概然速度就是速率為零處的速度，或者說是速度矢量等于零處的速度。與最概然速率是兩個完全不同的概念。[思考題]分析以下各式的物理意義①表示：速度空間中任何位置處的概率密度②表示:速度空間中的分子數(shù)密度③表示：三個速度分量在，，范圍內(nèi)的概率或速度矢量端點落在速度空間中體積元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。④表示：意義與相同。⑤表示：三個速度分量在，，而范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點落在速度空間中截面積為，其棱平行于軸的無窮長柱體中分子數(shù)與總分子數(shù)之比。⑥表示：三個速度分量在，而，范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點落在速度空間中垂直于軸厚度為的無窮薄平板中的分子數(shù)與總分子數(shù)之比。3、從麥克斯韋速度分布律導出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律導出的。在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的速度矢量端點都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內(nèi)。球殼層的體積：，同時代入麥克斯韋速度分布律：中得到麥克斯韋速率分布律：4、由麥克斯韋速度分布律導出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式①用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)〔瀉流問題〕見課本P63的例題得出每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：瀉流：從小孔跑出的氣體分子數(shù)對容器內(nèi)的氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，那么容器壁小孔的漏氣現(xiàn)象稱為瀉流。通常小孔截面的線度不大于氣體分子的平均自由程，小孔的漏氣就滿足瀉流條件。推導理想氣體的壓強公式在dt時間內(nèi)速度在，，范圍內(nèi)，碰撞在dA面元上的分子數(shù)：速度分量為的氣體分子對面元dA的沖量：考慮的分子才能碰上dA面，，那么氣體分子對dA面的總沖量為：壓強為：證明結(jié)果與第二章結(jié)果相同。以上證明中并未使用麥克斯韋速度分布函數(shù)，說明壓強公式具有普適性。只要是非相對論的〔〕無相互作用的系統(tǒng)，上式總能適用。如果從分子速率v為離散量出發(fā)：每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：壓強：〔〕課后作業(yè)題：課本P847，10五、誤差函數(shù)〔自我閱讀〕速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：令那么，即分子的最概然速率定義誤差函數(shù)，那么由課本P81附錄3-2誤差函數(shù)簡表可查不同x值對應(yīng)的近似值。例題：計算速度x分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。六、統(tǒng)計規(guī)律性和漲落現(xiàn)象1、統(tǒng)計規(guī)律性〔1〕什么是統(tǒng)計規(guī)律性？統(tǒng)計規(guī)律性是對大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，它表現(xiàn)了這些事物整體的本質(zhì)和必然的聯(lián)系。對于由大量分子組成的熱力學系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計的方法?！?〕統(tǒng)計規(guī)律的特點：①只對大量偶然的事件才有意義。②它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變)。③大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。④統(tǒng)計規(guī)律是以動力學規(guī)律為根底的，統(tǒng)計規(guī)律不可能脫離由動力學規(guī)律所決定的個別事件而單獨存在。⑤統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨著漲落現(xiàn)象。2、漲落現(xiàn)象測量值與統(tǒng)計值之間總有偏差。處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強p，不隨時間改變，但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，分子數(shù)越多，漲落就越小。布朗運動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。

課本P83思考題14，15§2.用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律一、分子射線實驗中氣體一般用金屬〔如銀、鈹、釷等〕蒸氣。蒸氣壓由金屬材料的性質(zhì)和加熱溫度決定。二、葛正權(quán)實驗此實驗的主要困難是：鉍蒸氣中同時含有單原子分子Bi、雙原子分子Bi2和少量三原子分子Bi3，而這三種組分的含量卻是未知的。假設(shè)加上這三種組分的含量〔指每種組分的物質(zhì)的量和總物質(zhì)的量的百分比〕分別為44%、54%和2%，那么實驗結(jié)果與麥克斯韋速率分布律很好地符合。三、密勒和庫士實驗比擬精確地驗證麥克斯韋速率分布定律的實驗是1955年進行的密勒－庫什實驗。實驗裝置如圖。密勒－庫什實驗裝置整個裝置都放在抽成高真空的容器內(nèi)。實驗時，圓柱體以一定的角速度ω旋轉(zhuǎn)，從加熱的蒸氣源逸出后進入溝槽的分子中，只有那些沿軸向通過距離L所用時間恰好等于圓柱體轉(zhuǎn)動角度φ所需時間的分子，即速率滿足如下關(guān)系的分子才能沿著溝槽進入探測器：或而其它速率的分子都會先后沉積在溝槽的側(cè)壁上。事實上，由于溝槽有一定的寬度，相當于張角φ有一定的偏差范圍。實際進入探測器的分子的速率，將包含在的范圍內(nèi)。改變ω的大小，就能測出不同速率范圍的釷分子射線強度，從而得到不同速率范圍的分子數(shù)比率。實驗說明，如果根據(jù)實驗條件對實驗數(shù)據(jù)進行必要的擬合，那么實驗結(jié)果與麥克斯韋速率分布是符合得相當好的?！泊司植坑蓪W生課后自我閱讀，查找相關(guān)資料，練習寫小論文，論述用實驗驗證麥克斯韋速度分布律的實驗原理?！场?.玻耳茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布授課思路：分子按能量分布的統(tǒng)計規(guī)律麥克斯韋速度分布律→考慮分子按速度的分布〔按動能分布〕分子按能量分布的統(tǒng)計規(guī)律在保守場中→考慮分子按空間分布〔按勢能分布〕特殊化特殊化→玻耳茲曼分布律→分子按勢能的分布律→重力場中氣體分子按高度各種速度重力場分布的規(guī)律→等溫氣壓公式→近似估算不同高度處的大氣壓強或判斷上升高度一、玻耳茲曼分布律以下討論玻耳茲曼把麥克斯韋分布律推廣到分子在保守場〔如重力場〕中運動的情形。由麥克斯韋速度分布律得：將式中，用分子的動能表示，那么上式變?yōu)椋喝绻褮怏w放在保守力場中，那么氣體分子不僅有動能，而且還有勢能。一般說來，動能是速率的函數(shù)，即，而勢能那么是分子在空間位置坐標的函數(shù)，即。因此，在有力場的情況下，如果我們既要考慮分子按速率的分布〔即按動能分布〕，也要考慮分子按空間的分布〔即按勢能分布〕，那么一個合理的考慮是，上式因子中的應(yīng)當用粒子的總的能量來代替。玻耳茲曼從這個觀點出發(fā)，進一步運用統(tǒng)計物理學根本原理得到，分子速度處于，，區(qū)間內(nèi)，坐標處于x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz的空間體積元dV=dxdydz內(nèi)的分子數(shù)為——玻耳茲曼能量分布律式中，n0表示在勢能處單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)。從上式很容易地看出，當氣體的溫度給定時，在確定的速度區(qū)間和坐標區(qū)域內(nèi)，分子數(shù)只取決于因子，稱為概率因子。分子的能量越大，概率因子越小，分子數(shù)就越少。從統(tǒng)計意義上看，這說明氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)的概率，比占據(jù)能量較高狀態(tài)的概率為大。一般來說，氣體分子占據(jù)基態(tài)〔最低能量狀態(tài)〕的概率要比占據(jù)激發(fā)態(tài)〔較高能量狀態(tài)〕的概率大得多。+∞考慮歸一化條件：+∞上式可寫作：表示分布在坐標區(qū)間x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。分布在坐標區(qū)間x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：——分子按勢能的分布律〔玻爾茲曼分布律的常用形式〕玻爾茲曼分布律對任何物質(zhì)的微粒〔氣體、液體、固體的原子核分子、布朗粒子等〕在任何保守力場〔重力場、電場〕中運動的情形都成立。

二、重力場中微粒按高度的分布氣體分子受到無規(guī)那么熱運動和重力兩種互相對立的作用，兩種作用到達平衡時，氣體分子在空間作非均勻分布，分子數(shù)隨高度減小。典型的例子就是地球周圍的大氣因受地球重力場的作用，其分子數(shù)密度隨高度升高而減小。由于壓強，故壓強也隨高度減小。根據(jù)玻耳茲曼能量分布律，可以推出氣體分子在重力場中按高度分布的規(guī)律。取坐標軸z鉛直向上，設(shè)z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n0，那么分布在高度為z處體積元dxdydz內(nèi)的分子數(shù)為：而分布在高度z處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為：把氣體看作理想氣體，那么在一定溫度下，其壓強與分子數(shù)密度n成正比：得出等溫過程中，壓強隨高度的變化關(guān)系：——等溫氣壓公式上式可用于近似地估算不同高度處的大氣壓強，因為在地面附近大氣的溫度是隨高度變化，只有在高差不大的范圍內(nèi)計算結(jié)果才與實際符合。由上式可根據(jù)地面和高空處的壓強與溫度，來估算所在高空離地面的高度。[課堂例題]P85課后作業(yè)22、上升到什么高度處大氣壓強減為地面的75%？設(shè)空氣的溫度為0oC。解：由題意知：，

23、設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為t=5.0oC,海平面上的氣壓為p0=750mmHg，令測得某山頂?shù)臍鈮簆=590mmHg，求山高。空氣的平均分子量為28.97。解：課后作業(yè)題：課本P8521

§4.能量按自由度均分定理一、自由度1、自由度的定義物體的自由度數(shù)：決定一個物體的位置所需要的獨立坐標數(shù)。質(zhì)點在空間的自由運動：自由度為3如質(zhì)點做平面或曲面運動：自由度為2，質(zhì)點做直線或曲線運動：自由度為1剛體的運動：自由度為6〔3個平動，3個轉(zhuǎn)動〕分解為：質(zhì)心的平動和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動①3個獨立坐標x，y，z決定質(zhì)心位置；②2個獨立坐標α，β決定轉(zhuǎn)軸的方位；③1個獨立坐標φ決定剛體相對于某一起始位置轉(zhuǎn)過的角度。如繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體只有1個自由度。物體自由度是與物體受到的約束和限制有關(guān)的，物體受到的限制〔或約束〕越多，自由度就越小?？紤]到物體的形狀和大小，它的自由度等于描寫物體上每個質(zhì)點的坐標個數(shù)減去所受到的約束方程的個數(shù)。2、氣體分子的自由度單原子氣體分子：一個自由運動的質(zhì)點，那么其分子需要、、三個獨立的空間坐標才能確定其位置，所以它的自由度為3。雙原子氣體分子：由一根質(zhì)量可忽略的彈簧及兩個質(zhì)點構(gòu)成的模型。用3個獨立坐標確定其質(zhì)心位置；2個獨立坐標確定其雙原子連線的方位；1個獨立坐標決定兩質(zhì)點的相對位置。因而它的自由度是6：3個平動自由度，2個轉(zhuǎn)動自由度，1個振動自由度。多原子氣體分子：由n個原子構(gòu)成，最多有3n個自由度，期中3個是平動，3個是轉(zhuǎn)動，其余是3n-6是振動的。當分子的運動受到某種限制時，其自由度數(shù)就會減少?？傋杂啥?t——平動自由度，r——轉(zhuǎn)動自由度，s——振動自由度對剛性氣體分子來說：剛性雙原子氣體分子：5個自由度?？煞纸鉃?個平動自由度和2個轉(zhuǎn)動自由度?？梢赃@樣來理解，兩個原子需要6個坐標，但是由于有剛性的要求〔兩個原子之間的距離不變〕，從而形成一個約束方程，自由度等于5。剛性的多原子氣體分子：在確定質(zhì)心位置和任一過質(zhì)心的軸線的方位后，還需要一個用以確定繞該軸轉(zhuǎn)動的角坐標，因而它有6個自由度。它的6個自由度也常常分解為3個平動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。上述分子的自由度如以下圖所示。在大學物理中我們只需要大家掌握上述三種情況，對于分子內(nèi)有振動〔原子間距離變化〕的情況不予考慮。我們將上述情況總結(jié)如下：單原子分子：i=3剛性雙原子分子：i=5，其中t=3，r=2剛性多原子分子：i=6，其中t=3，r=3

課本P83思考題16，17二、能量按自由度均分定理1、能量按自由度均分定理的說明理想氣體的平均平動動能可以表示為：分子有三個平動自由度，分子的平均平動動能可表示為：

在平衡狀態(tài)下，大量氣體分子沿各個方向運動的時機均等，得出：氣體分子的平均平動動能是分配在三個平動自由度上的。但是，根據(jù)理想氣體平衡態(tài)的統(tǒng)計假設(shè)我們有：。上式說明：平衡態(tài)下的分子運動，每一個平動自由度都均分的平均動能，沒有哪個自由度的運動更占優(yōu)勢。如果氣體是由剛性的多〔雙〕原子分子構(gòu)成的，那么分子的熱運動除了分子的平動外，還有分子的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動也有相應(yīng)的能量。由于分子間頻繁的碰撞，分子間的平動能量和轉(zhuǎn)動能量是不斷相互轉(zhuǎn)化的。實驗證明：理想氣體到達平衡態(tài)時，其中的平動能量與轉(zhuǎn)動能量是按自由度分配的。從而就得到如下的能量按自由度均分定理。2、能量按自由度均分定理——在溫度為的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)〔氣體、液體或固體〕分子的每一個自由度都具有相同的平均動能，其大小都等于。如果某種氣體的分子有t個平動自由度，r個轉(zhuǎn)動自由度，s個振動自由度，那么分子的平均平動動能、平均轉(zhuǎn)動動能和平均振動動能就分別為，和，而分子的平均總動能即為。由振動學可知，諧振動在一個周期內(nèi)的平均動能和平均勢能是相等的。所以對于每一個振動自由度，分子除了具有的平均動能，還具有的平均勢能。那么分子的平均總能量即為：令，單原子分子，t=3，r=s=0，所以雙原子分子，t=3，r=2，s=1，所以如果不考慮分子內(nèi)部的振動自由度，那么氣體分子的平均動能為：幾種氣體分子〔剛性〕的平均動能為：單原子分子：雙原子分子：多原子分子：能量均分定理適用于到達平衡態(tài)的氣體、液體、固體和其它由大量運動粒子組成的系統(tǒng)。對大量粒子組成的系統(tǒng)來說，動能之所以會按自由度均分是依靠分子頻繁的無規(guī)碰撞來實現(xiàn)的。在碰撞過程中，一個分子的動能可以傳遞給另一個分子，一種形式的動能可以轉(zhuǎn)化另一種形式的動能，而且動能還可以從一個自由度轉(zhuǎn)移到另一個自由度。但只要氣體到達了平衡態(tài)，那么任意一個自由度上的平均動能就應(yīng)該相等。

三、理想氣體的內(nèi)能1、內(nèi)能的定義從微觀結(jié)構(gòu)上看，系統(tǒng)的內(nèi)能應(yīng)是如下能量之和：①分子的無規(guī)熱運動動能；②分子間互作用勢能；③分子(或原子)內(nèi)電子的能量；④原子核內(nèi)部能量。分子動理論主要研究其中的①、②兩項。氣體的內(nèi)能：通常包括所有分子的平動動能、轉(zhuǎn)動動能、振動動能及振動勢能。由于分子間存在著相互作用的保守力，所以還具有分子之間的勢能，所有分子的各種形式的動能和勢能的總和。不包括系統(tǒng)作宏觀整體運動的機械能。2、理想氣體處平衡態(tài)時的內(nèi)能理想氣體平衡態(tài)的內(nèi)能：所有分子的各種形式動能和分子內(nèi)原子間振動勢能的總和。那么質(zhì)量為m的理想氣體的內(nèi)能：1mol理想氣體的內(nèi)能：單原子分子氣體：雙原子分子氣體：剛性分子的理想氣體〔〕，內(nèi)能是：單原子分子氣體：雙原子分子氣體：這說明，對于1mol的理想氣體的內(nèi)能只決定于分子的自由度和氣體的溫度。也就是說理想氣體平衡態(tài)的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，由系統(tǒng)的狀態(tài)參量就可以確定它的內(nèi)能。系統(tǒng)內(nèi)能是一個態(tài)函數(shù)，只要狀態(tài)確定了，那么相應(yīng)的內(nèi)能也就確定了。如果狀態(tài)發(fā)生變化，那么系統(tǒng)的內(nèi)能也將發(fā)生變化。對于理想氣體系統(tǒng)來說，內(nèi)能的變化：[例1]試指出以下各式所表示的物理意義：——分子在溫度T時每個自由度上的平均動能——分子在溫度T時平均平動動能——分子在溫度T時的平均總能量——溫度T時，1mol氣體的每個自由度上的總動能——溫度T時，mol氣體的總平動動能——溫度T時，mol理想氣體的內(nèi)能[例2]如果氫和氦的溫度相同，摩爾數(shù)也相同，那么這兩種氣體的〔1〕分子的平均動能是否相同？，不同〔2〕分子的平均平動動能是否相同？相同〔3〕內(nèi)能是否相同？不同四、理想氣體的熱容物體的熱容C：溫度升高〔或降低〕1oC物體所吸收〔或放出〕的熱量。物體的物質(zhì)的比熱容c：物質(zhì)的摩爾熱容：1mol物質(zhì)溫度升高〔或降低〕1oC物體所吸收〔或放出〕的熱量。摩爾定容熱容：，那么單原子分子氣體：雙原子分子氣體：五、經(jīng)典理論的缺陷看課本P79圖3-12，單原子氣體，的理論值與實驗值很好地符合；對雙原子氣體，理論值顯然與實驗值不符。解釋：雙原子分子在低溫時有平動，在常溫時開始有轉(zhuǎn)動，在高溫時才有振動。那么常溫時，振動形式可忽略，雙原子分子氣體：[例題]課本P8626，27[例1]一容器內(nèi)貯有理想氣體氧氣，壓強p＝1.00atm，溫度t＝27.0℃，體積V＝2.00m3〔1〕氧分子的平均平動動能；〔2〕氧分子的平均轉(zhuǎn)動動能；〔3〕氧氣的內(nèi)能。解：氧分子為雙原子分子，自由度＝5，其中，平動自由度＝3，轉(zhuǎn)動自由度＝2。由能量均分定理和理想氣體的內(nèi)能公式，可得〔1〕〔2〕〔3〕[例2]1mol的水蒸氣分解成同溫度的氫氣和氧氣，求分解前后的平均平動動能比和內(nèi)能比。設(shè)分解前后的氣體均為剛性理想氣體分子。解：由化學方程式2H2O→2H2＋O21mol的水蒸氣將分解成1mol的氫氣和0.5mol的氧氣。H2O為自由度，H2和O2都是的雙原子分子。因分解后氣體的溫度未變，分子的平動自由度＝3也不變，故分子的平均平動動能不變，分解前后分解前，水蒸氣的內(nèi)能分解后，氫氣和氧氣的總內(nèi)能故分解前后的內(nèi)能比[例3]1mol溫度為T1氫氣與2mol溫度為T2氦氣混合后的溫度為多少？解：利用混合前后內(nèi)能相等就可以求解此題。不考慮振動自由度的話：氫氣的自由度為5，氦氣的自由度為3，那么混合前的總內(nèi)能為：設(shè)混合后溫度為T，那么混合后的總內(nèi)能為：混合前后內(nèi)能相等，那么有：課本P83思考題18，19，20課后作業(yè)題：課本P8628

第三章小結(jié)一、麥克斯韋速率/速度分布律研究平衡態(tài)下氣體分子按速率和速度分布的統(tǒng)計規(guī)律二、玻耳茲曼分布律研究平衡態(tài)下氣體分子按能量分布的統(tǒng)計規(guī)律三、能量按自由度均分定理研究平衡態(tài)下氣體分子熱運動能量所遵從的統(tǒng)計規(guī)律

習題解答1、設(shè)有一群粒子按速率分布如下：粒子數(shù)Ni24682速率Vi〔m/s〕1.002.003.004.005.00試求(1)平均速率；〔2〕方均根速率〔3〕最概然速率解：〔1〕平均速率：(m/s)(2)方均根速率(m/s)〔3〕最概然速率2、計算300K時，氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：5、求0℃時1.0cm3氮氣中速率在500m/s到501m/s之間的分子數(shù)〔在計算中可將dv近似地取為△v=1m/s解：設(shè)1.0cm3氮氣中分子數(shù)為N，速率在500~501m/s之間內(nèi)的分子數(shù)為△N，由麥氏速率分布律：，得：因500到501相差很小，故在該速率區(qū)間取分子速率v =500m/s，又△v=1m/s代入計算得：△N=1.86×10－3N個或代入上式，得因500到501相差很小，故在該速率區(qū)間取分子速率v=500m/s，又，△v=1m/s，代入計算得：個6、設(shè)氫氣的溫度為300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)△N1與速率在1500m/s到1510m/s之間的分子數(shù)△N2解：取分子速率為，，∴或由得，∴其中，，∴7、試就以下幾種情況，求氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：速率在區(qū)間內(nèi)速度分量在區(qū)間內(nèi)速度分量同時在區(qū)間內(nèi)解：設(shè)氣體分子總數(shù)為N，在三種情況下的分子數(shù)分別為△N1、△N2、△N3由麥克斯韋速率分布律：解法一：由麥克斯韋速度分布律的速度分量函數(shù)：解法二：由誤差函數(shù)得，假設(shè)題目改為速度分量在區(qū)間內(nèi)，兩種解法的數(shù)據(jù)誤差較大解法一：解法二：〔3〕由麥克斯韋速度分布律：10、一容器的器壁上開有一直徑為0.20mm的小圓孔，容器貯有100℃的水銀，容器外被抽成真空，水銀在此溫度下的蒸汽壓為0.28mmHg求容器內(nèi)水銀蒸汽分子的平均速率。每小時有多少克水銀從小孔逸出？解：〔1〕〔2〕逸出分子數(shù)就是與小孔處應(yīng)相碰的分子數(shù)，所以每小時從小孔逸出的分子數(shù)為：其中是每秒和器壁單位面積碰撞的分子數(shù)，是小孔面積，t=3600s，故，代入數(shù)據(jù)得：N=4.05×1019〔個〕∴12、有N個粒子，其速率分布函數(shù)為作速率分布曲線.由N和v0求常數(shù)C.求粒子的平均速率.解：〔1〕得速率分布曲線如圖示〔2〕∵∴即〔3〕13、N個假想的氣體分子，其速率分布如圖3-16所示〔當v＞2v0時，粒子數(shù)為零〕.〔1〕由N和v0求a.〔2〕求速率在1.5v0到2.0v0之間的分子數(shù)。求分子的平均速率。解：由圖得分子的速率分布函數(shù)：f〔v〕f〔v〕∵∴速率在1.5v0到2.0v0之間的分子數(shù)(3)21、飛機的起飛前機艙中的壓力計批示為1.0atm，溫度為27oC；起飛后，壓力計指示為0.80atm，溫度仍為27oC，試計算飛機距地面的高度。解：根據(jù)等溫氣壓公式：有其中，，，M=28.926、溫度為27oC時，一摩爾氧氣具有多少平動動能？多少轉(zhuǎn)動動能？解：氧氣為雙原子氣體，在T=300K下有3個平動自由度，2個轉(zhuǎn)動自由度。由能量均分定理得：27、在室溫300K下，1mol氫和1mol氮的內(nèi)能各是多少？1g氫和1g氮的內(nèi)能各是多少？解：1mol雙原子分子氣體自由度在室溫下t=3,r=2,s=0

1g氫和1g氮的內(nèi)能各是：

28、求常溫下質(zhì)量為m1=3.00g的水蒸氣與m2=3.00g的氫氣的混合氣體的定容熱容。解：設(shè)、分別為水蒸氣和氫氣的定容比熱，、分別為水蒸氣和氫氣的定容摩爾熱容。在常溫下可忽略振動自由度，那么有：,,30、某種氣體的分子由四個原子組成，它們分別處在正四面體的四個頂點：〔1〕求這種分子的平動、轉(zhuǎn)動和振動自由度數(shù)?！?〕根據(jù)能均分定理求這種氣體的摩爾定容熱容。

解：〔1〕因n個原子組成的分子最多有3n個自由度。其中3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，3n-1個是振動自由度。這里n=4，故有12個自由度。其中3個平動、3個轉(zhuǎn)動自由度，6個振動自由度。(2)摩爾定容熱容：對剛性分子：第四章氣體內(nèi)的輸運過程◆本章學習目標1、理解碰撞頻率及平均自由程，能用無引力作用剛球模型推導碰撞頻率及平均自由程的公式。2、明確氣體內(nèi)部不均勻是產(chǎn)生輸運的主要原因，知道粘滯現(xiàn)象、擴散現(xiàn)象和熱傳導現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。3、理解粘滯現(xiàn)象的微觀動力學過程，推導粘滯系數(shù)，知道擴散系數(shù)、粘滯系數(shù)、熱傳導系數(shù)及其它們之間的聯(lián)系。4、知道非平衡態(tài)研究的概況?！舯菊陆虒W內(nèi)容1、氣體分子的平均自由程2、輸運過程的宏觀規(guī)律3、輸運過程的微觀規(guī)律◆本章重點三種輸運現(xiàn)象的宏觀規(guī)律和相應(yīng)的微觀物理圖象解釋?！舯菊陆虒W學時4學時引言：系統(tǒng)各局部的物理性質(zhì)，如流速、溫度或密度不均勻時，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)。最簡單的非平衡態(tài)問題：不受外界干擾時，系統(tǒng)自發(fā)地從非平衡態(tài)向物理性質(zhì)均勻的平衡態(tài)過渡過程?！斶\過程輸運過程：由非平衡態(tài)趨向平衡態(tài)的變化過程。氣體各處密度不均勻時發(fā)生的擴散過程典型的三種過程：溫度不均勻時發(fā)生的熱傳導過程各層流速不同時發(fā)生的黏性現(xiàn)象研究輸運過程時必須考慮到分子間相互作用對運動情況的影響，即分子間的碰撞機制。把分子看作剛球，把分子間的碰撞機制簡化為剛球是彈性碰撞。

§1.氣體分子的平均自由程分子的平均自由程和碰撞頻率矛盾：氣體分子熱運動平均速率高，但氣體擴散過程進行得相當慢。克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前進中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運動方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。由圖4-1可看出氣體的擴散、熱傳導等過程進行的快慢都取決于分子間相互碰撞的頻繁程度。分子間的碰撞實質(zhì)上是在分子力作用下分子相互間的散射過程。簡化模型1〕分子看作具有一定體積的無引力的剛性小球；2〕分子有效直徑為d〔兩個分子質(zhì)心間最小距離的平均值〕；3〕分子間的相互作用過程看作剛球的彈性碰撞；4〕其它分子皆靜止,某一分子以平均速率相對其他分子運動。自由程：分子在相繼兩次碰撞之間能通過的自由路程?！簿哂信既恍浴称骄杂沙苔耍悍肿釉谶B續(xù)兩次碰撞之間所通過的自由路程的平均值。碰撞頻率Z：每個分子平均在單位時間內(nèi)與其他分子相碰的次數(shù)。顯然，在分子的平均速率一定的情況下，分子間的碰撞越頻繁，Z就越大，而λ就越小。平均自由程：確定Z的過程：設(shè)想跟蹤一個分子A，以平均相對速率運動，可認為其他分子都靜止不動；利用麥克斯韋速度分布率可證明：在分子A的運動過程中，只有中心與A的中心之間相距小于或等于分子有效直徑的那些分子才可能與A相碰；以A的中心的運動軌跡為軸線，以分子的有效直徑d為半徑作一個曲折的圓柱體，但凡中心在此圓柱體內(nèi)的分子都會與A相碰；圓柱體的截面積——分子的碰撞截面；在時間t內(nèi)，A所走過的路程為，相應(yīng)的圓柱體的體積為；以n表示其他單位體積內(nèi)的分子數(shù)，那么在此圓柱體內(nèi)的總分子數(shù)，即A與其他分子的碰撞次數(shù)為；碰撞頻率為：那么平均自由程：說明：平均自由程與分子有效直徑d的平方及單位體積內(nèi)的分子數(shù)n成反比，而與平均速率無關(guān)。因為，那么說明：T一定時，；p一定時，課本P89[例題1]：計算空氣分子的標準狀態(tài)下的平均自由程和碰撞頻率。例：試估計以下兩種情況下空氣分子的平均自由程:〔1〕273K、時；〔2〕273K、時?！部諝夥肿佑行е睆剑骸辰猓悍肿影醋杂沙痰姆植佳芯孔杂沙探橛谌我唤o定長度區(qū)間內(nèi)分子有多少，即研究分子按自由程的分布。設(shè)想在某一時刻考慮一組分子，共N0個。它們在以后的運動中將與組外的其他分子相碰，每發(fā)生一次碰撞，這組的分子就減少一個。設(shè)這組分子通過路程x還剩下N個，而在下一段路