2022-2023學年陜西省漢中市校際聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（含解析）

2022-2023學年陜西省漢中市校際聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學試卷

（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.1知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x23或xW—2},則MnN=()

A.{-2}B.{0,1,2)C.{-2,-1,0,1}D.{2}

2.在復平面內(nèi)，(1+3?)(3-，)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直線I經(jīng)過4(-1,4),8(1,2)兩點，則直線I的斜率為()

A.3B.—3C.1D.—1

4.設函數(shù)/(X)可導，則/J：0f(l+34x)-f⑴等于()

3Ax

A.f(1)B.⑴C.1<(1)D.八3)

5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=-InxB.y=1pC.y=—-1D.y=x2-x

6.已知Q、b.c、d為實數(shù),Q>Zdlc>d,則下列不等式一定成立的是（）

11

A.ac>bdB.a+c>h+dC.ac<bdD.-a<Tb

7.隨機變量f的所有可能的取值為1,2,3,4,5,且P（f=k）=ak,（k=1,2,3,4,5）,則a的

值為（）

A.2B.去C.30D.15

8.某大學四名學生利用暑假到學校的實踐基地進行實習，每人從甲、乙、丙三個基地中任

選一個，若不考慮其他條件，則不同的選法有（）

A.9種B.13種C.64種D.81種

9.如圖莖葉圖記錄了甲乙兩位射箭運動員的5次比賽成績（單位：環(huán)），若兩位運動員平均成

績相同，則運動員乙成績的方差為（）

甲乙

97889

310901x

A.2B.3C.9D.16

10.在△ABC中，“力>B”是“sinA>sinB”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

11.函數(shù)/(x)的定義域為R，它的導函數(shù)y=(0)的部分圖像

如圖所示，則下列結論正確的是()

A.x=1是/(x)的極小值點

B./(-2)>/(-1)

C.函數(shù)在(一1,1)上有極大值

D.函數(shù)f(x)有三個極值點

12.己知可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為1(x),若對任意的xeR,都有/'(x)-f(x)<1,且/(0)=

2022,則不等式/'(X)+1>2023蜻的解集為()

A.(-8,0)B.(0,+oo)C.(-8,；)D.(-8,1)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.tan?=.

O

14.已知向量布=(x,—3),n=(2,x+1),mln,則乂=.

15.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號。或1有可能

被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)信號。時，接收為1的概率為0.1;發(fā)送信號1時，接收為1的概率

為0.95,若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為0的概率為.

16.為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設4、8、C三門德育校本課程,

現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學報名參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少

有一位同學報名，則不同報名方法有種.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12。分)

為加強素質(zhì)教育，提升學生綜合素養(yǎng)，某中學為高一年級提供了“書法”和“剪紙”兩門選

修課為了了解選擇“書法”或“剪紙“是否與性別有關，調(diào)查了高一年級1500名學生的選擇

傾向，隨機抽取了100人，統(tǒng)計選擇兩門課程人數(shù)如表：

選書法選剪紙合計

男生4050

女生

合計30

(1)請將上面2x2列聯(lián)表補充完整;

(2)是否有95%的把握認為選擇“書法”或“剪紙”與性別有關？

2

n(ad-bc)其中九=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg>fc)0.1000.0500.025

k2.7063.8415.024

18.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a4=7,S2=9.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛b｝滿足刈=2斯-3,求數(shù)列｛%｝的前n項和7；.

19.(本小題12.0分)

已知橢圓C：馬+馬=1(。>6>0)過點(0,2),其焦點為&(_門,0),F2(<5,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P在橢圓C上，且|PQ|=4,求△PF1F2的面積.

20.(本小題12.0分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形4BCD是邊長為2的正方形，四邊形AOPQ是梯形，PD//QA,

PD_L平面4BCD,且PD=2Q4=2.

(1)求證：BC_L平面Q2B；

(2)求平面PBQ與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

A

B

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=Inx—x.

(I)求/(均在點(1,/(1))處的切線方程；

(n)求證：/(X)<-1；

(HI)若函數(shù)無。)=a/(x)+^(aGR)無零點，求實數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為9為參數(shù))，以。為極點，》軸

的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線C的極坐標方程；

⑵曲線的的極坐標方程是p(Ccos。-sin。)=4,曲線C2的極坐標方程是6屋，C2與C的一

個交點為“(點M異于點0),與Q的交點為N,求|MN|.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=\x-a\+\x+2\.

(1)若a=l,求不等式/1(x)47的解集；

(2)若/(x)22a+l,求a的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x23或xW—2},

所以"PIN={-2}.

故選:A.

根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解作答.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：(1+31)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,

則在復平面內(nèi)，(1+3。(3-。對應的點的坐標為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：因為直線I經(jīng)過4(-1,4),8(1,2)兩點，

所以直線I的斜率為心B=聲冬=-1.

1一(一1)

故選：D.

直接代入直線斜率公式即可.

本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：:o￡。+34到二￡&?=1(1).

故選：A.

由己知結合導數(shù)的定義即可求解.

本題主要考查了導數(shù)定義的應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,由于函數(shù)y=在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以y=-/nx在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A項錯

誤；

對于B,由于y=^=(護在R上是減函數(shù)，故B項錯誤；

對于C,由于y=—；=^在(。，+8)上單調(diào)遞增，故C項正確；

對于0,由于y=-—#是對稱軸為x=：,開口向上的二次函數(shù)，所以y=X?-x在(一8,3上單

調(diào)遞減，在弓,+8)上單調(diào)遞增，故。項錯誤.

故選：C.

根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，注意常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：因為a、b、c、d為實數(shù)，a>Ric>d.

對于4C選項，取a=2,b=—2,c=1,d=—1,則ac=bd,AC都錯;

對于8選項，由不等式的基本性質(zhì)可得Q+c>b+d,8對；

對于。選項，取a=2,b=-2,則工>：,。錯.

故選：B.

利用特殊值法可判斷4CD選項；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷8選項.

本題考查不等式的性質(zhì)，注意不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：???隨機變量《的所有可能的取值為1，2,3,4,5,

且P(f=k)=ak,(k=1,2,3,4,5),

由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)得a+2a+3a+4a+5a=1,

解得a—2.

故選:B.

利用離散型隨機變量的性質(zhì)即可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，是基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：由題知，四名學生利用暑假到學校的實踐基地進行實習，每名大學生都有3種選擇,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3x3x3x3=81種選法.

故選：D.

利用分步乘法計數(shù)原理計算即可.

本題考查了分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.

9.【答案】A

【解析】解：因為甲乙二人的平均成績相同，

所以"X(87+89+90+91+93)=^x(88+89+90+91+90+x),解得x=2,

故乙的平均成績(x(88+89+90+91+92)=90,

則乙成績的方差s2="x[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2]=2.

故選：A.

根據(jù)甲、乙二人的平均成績相同求出x的值，再根據(jù)方差公式求出乙的方差即可.

本題考查莖葉圖，方差，屬于基礎題.

10.【答案】A

【解析】解：由正弦定理知上7=3=2R,

stnAstnB

vsinA>sinB,

a>b,

A>B.

反之，vA>Aa>b,

va=2RsinA,b=2RsinB,sinA>sinB

故選：A.

由正弦定理知上7=由s譏A>s譏B,知。>力，所以反之亦然，故可得結論.

本題以三角形為載體，考查四種條件，解題的關鍵是正確運用正弦定理及變形.

11.【答案】B

【解析】解：由y=/'Q)的圖象可知，當工€(-8,-3)時，f(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當無€(-3,-1)時，廣⑺<0,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以〃一2)x=-3是f(x)的極大值點，故B正確，

當XW(-1,1)或％6(1,+8)時,f(X)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(一1,1)上沒

有極大值，且X=1不是的極小值點，

故A,C錯誤，

因為x=-1是f(x)的極小值點，x=-3是f(x)的極大值點，x=1不是f(x)的極值點，

所以/(x)有2個極值點，故力錯誤.

故選：B.

根據(jù)y=f'(x)的圖象判斷/0)的正負，進而得到/Q)的單調(diào)性，再結合極值點的定義逐個判斷各

個選項即可.

本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：構造函數(shù)9。)=誓1,

因為對任意的xGR，都有(0)-/(x)<1,

則如)=生等叫<0，

所以函數(shù)g(x)=與口在R上單調(diào)遞減，

因為"0)=2022,所以g(0)=2023.

由/(x)+1>20231,得多乂>2023,

即。。)>5(0)-

所以x<0.

故選：A.

構造函數(shù)9(均=隼±然后對g(x)求導，結合導數(shù)可判斷單調(diào)性，進而可求.

本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求解不等式，解題的關鍵是導數(shù)的構造.

13.【答案】?

【解析】解：tang=tan(兀+/)=tan'=三，

故答案為：

由條件利用誘導公式進行化簡求值.

本題主要考查利用誘導公式進行化簡求值，屬于基礎題.

14.【答案】-3

【解析】解：因為向量訪=(x,-3),n=(2,x+1),mln,

所以訪n=2x—3x—3=0,得x=-3.

故答案為：一3.

由記1元，得記?元=0,列方程求解.

本題主要考查向量數(shù)量積運算，向量垂直的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.【答案】0.475

【解析】解：設4="發(fā)送的信號為0"，B="接收到的信號為0”，

則［="發(fā)送的信號為1"，B="接收到的信號為1”，

所以P(4)=0.5,P(4)=05P(B|4)=0.9,P(B|4)=0.1,P(B|7l)=0.05,P(B|A)=0.95，

所以接收信號為0的概率為：P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BfA)=0.5x0.9+0.5X0.05=0.475.

故答案為：0.475.

運用全概率公式計算即可.

本題主要考查了全概率公式，屬于基礎題.

16.【答案】150

【解析】解：將甲、乙、丙、丁、戊五位同學分為三組，每組人數(shù)分別為2、2、1或3、1、1,

然后將這三組同學分配給4、B、C三門德育校本課程，

由分步計數(shù)原理可知，不同的報名方法種數(shù)為(絳+C白朗=(15+10)x6=

150.

A2

故答案為：150.

將甲、乙、丙、丁、戊五位同學分為三組，確定每組的人數(shù)，然后將這三組同學分配給4、B、C三

門德育校本課程，結合分步乘法計數(shù)原理可得結果.

本題考查排列組合的應用，屬于基礎題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，一共抽取了100人，補全列聯(lián)表如下,

選書法選剪紙共計

男生401050

女生302050

共計7030100

(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù),

100x(40x20-10x30)2

K2?4.762>3.841-

50x50x70x30

所以有95%的把握認為選擇“書法”或“剪紙”與性別有關.

【解析】(1)根據(jù)題意與表中數(shù)據(jù)即可完成列聯(lián)表；

(2)根據(jù)公式求出K2,再對照臨界值表，即可得出結論.

本題主要考查獨立性檢驗公式，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)設等差數(shù)列｛a(的公差為d,

則解得%=%d=l.

+d=9

an=4+n—l=n+3；

(2)vbn=2aL3,an=n+3,

?*,%n=2"，

???數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

n+1

Tn=2(；1;)=2(2"-1)=2-2.

【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前71項和為Sn求得首項即與公差d即可得數(shù)列｛即｝的通項公

式;

(2)由(1)得垢=2%直接利用等比數(shù)列的前Ji項和公式求得〃.

本題主要考查數(shù)列的求和，考查轉化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由題易知b=2,c=C，

???a2=b2+c2=9.

???橢圓C的方程為：［+4=1.

94

(2)由題意，點P在橢圓C上，且|P0|=4,

???|PFi|+\PF2\=2a=6,A\PF2\=2,

又I&F2I=2，T，

2

仍&『+\PF2\=1&尸2『，二PFJPF2,

???△P&F2的面積為S=i\PF1\\PF2\=ix2x4=4.

【解析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)計算求得a，b,寫出橢圓方程即可；

(2)應用橢圓的定義求出IPF2I=2,再根據(jù)勾股定理得出直角三角形最后應用面積公式計算求解即

可.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)及橢圓的標準方程，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：???PO_L平面ABCO,PD//QA,

QAJL平面ABCD,

???BCu平面4BC。，QALBC,

5LBC1AB,ABCtQA=A,AB,Q4u平面QAB,

BCJ_平面Q4B；

(2)解：因為PD_L平面ABCD,底面4BCD為正方形，

以。為原點，DA,DC,DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系：

貝(I有B(2,2,0),P(0,0,2),Q(2,0,l),調(diào)=(0,2,-1)初=(2,0,-1),

設平面PBQ的一個法向量為而=(x,y,z),

則有『,竺—2y-Z-0,令z=2,則x=l,y=1,而=(1,1,2),

(m-PQ=2x-z=0

易知平面PCD的一個法向量為元=(1,0,0),

二平面PBQ與平面PCD所成銳二面角的余弦值為:

|cos＜沅,記＞|=制=方力=?.

【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明;

(2)建立空間直角坐標系，求出平面PBQ與平面PCD的法向量，再根據(jù)向量夾角公式，即可求解.

本題考查線面垂直的判定定理，向量法求解面面角問題，化歸轉化思想，屬中檔題.

21.【答案】解：(/)/(%)=/nx-x,則1(x)=：-i=y,

貝葉(1)=-1,f(l)=0,

所以/(x)在點(1)(1))處的切線方程y=-1.

(口)證明：f(x)=Inx-x的定義域為(0,+8),r(x)=與二

令((x)>0,得0cx<1；令f'(x)<0,得x>1,

所以在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

當x=l時，/(%)取最大值，所以f(x)Wf(l)=-1,所以/(x)W-l.

(IQ)因為九(%)=a(bix-x)+奈

所以"(x)=4-1)+宗=(1-X)生+》

當a=0時，h(x)=^>0,九(%)在定義域上無零點；

當Q>0時，%>0,所以2+?>0,令h'(x)>0,得OVxVl,

所以h(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

當x=l時，九(x)取最大值九(1)=-a+:,

因為九(x)無零點，所以九(1)=—a+；<0,即a>；；

當a<0時，因為f(x)W—1,所以a(Znx—x)>0,

即h(x)=a(J.nx—久)+宗>0,

所以/i(x)在定義域上無零點.

綜上，a的取值范圍是(一8,0]u@,+8).

【解析】(/)求出導函數(shù)，計算f(l),廣(1)，從而可得切線方程；

(口)利用導數(shù)求出f(x)的最大值，即可得證：

(DI)對以x)求導，對a分類討論，結合題意即可求解a的取值范圍.

本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式的證

明，函數(shù)零點個數(shù)問題，考查分類討論思想與運算求解能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)因為曲線C的參數(shù)方程為]那°sa，(a為參數(shù)),

轉化為