2024年初一下冊數學專項練習44平行線的性質及平移(基礎)知識講解

2024年初一下冊數學專項練習平行線的性質及平移（基礎）知識講解【學習目標】1．掌握平行線的性質，并能依據平行線的性質進行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質的區(qū)別和聯系，理解兩條平行線的距離的概念；3．了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯系和性質，能用平移變換有關知識說明一些簡單問題及進行圖形設計.【要點梳理】要點一、平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內角互補.要點詮釋：

（1）“同位角相等、內錯角相等”、“同旁內角互補”都是平行線的性質的一部分內容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質．要點二、兩條平行線的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．要點詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．要點三、圖形的平移1.定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移．要點詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質：圖形的平移實質上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，各組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.要點詮釋：（1）“連接各組對應點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應點的線段”與“對應線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質的應用，在具體作圖時，應抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關鍵點；(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；(4)連：按原圖形順次連接對應點．【典型例題】類型一、平行線的性質 1．如圖，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，則∠FGB的度數等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°【思路點撥】根據兩直線平行，同位角相等求出∠EFD，再根據角平分線的定義求出∠GFD，然后根據兩直線平行，同旁內角互補解答．【答案】B．【解析】解：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．【總結升華】題考查了平行線的性質，角平分線的定義，比較簡單，準確識圖并熟記性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知，且∠1=48°，則∠2＝，∠3＝，∠4＝.【答案】48°，132°，48°類型二、兩平行線間的距離2．如圖所示，直線l1∥l2，點A、B在直線l2上，點C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不確定【答案】B【解析】因為l1∥l2，所以C、D兩點到l2的距離相等．同時△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．【總結升華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結合．舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面積為5，則△ABD的面積為（）A．4 B．5 C．10 D．無法判斷【答案】B．解：∵在五邊形ABCDE中，AB∥DE，∴點E、點D到直線AB上的垂線段相等，即在△ABE與△ABD中，邊AB上的高線相等，∴△ABE與△ABD是同底等高的兩個三角形，S△ABE=S△ABD=5．類型三、圖形的平移3．如圖所示，平移△ABC，使點A移動到點A′，畫出平移后的△A′B′C′．【思路點撥】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離，連接AA′后這個問題便獲得解決．根據平移后的圖形與原來的圖形的對應線段平行(或在一條直線上)且相等，容易畫出所求的線段．【答案與解析】解：如圖所示，（1）連接AA′，過點B作AA′的平行線，在上截取BB′＝AA′，則點B′就是點B的對應點．（2）用同樣的方法做出點C的對應點C′，連接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【總結升華】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離．連接AA′，這個問題就解決了，然后分別把B、C按AA′的方向平移AA′的長度，便可得到其對應點B′、C′，這就是確定了關鍵點平移后的位置，依次連接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．4．(湖南益陽)如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數為________．【答案】30°【解析】根據平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【總結升華】圖形在平移的過程有“一變兩不變”、“一變”是位置的變化，“兩不變”是形狀和大小不變．本例中由△ABC經過平移得到△BED．則有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．舉一反三：【變式】如圖所示，三角形FDE經過怎樣的平移可以得到三角形ABC()A．沿EC的方向移動DB長B．沿BD的方向移動BD長C．沿EC的方向移動CD長D．沿BD的方向移動DC長【答案】A類型四、平行的性質與判定綜合應用5．如圖所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝()A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】過點C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(兩直線平行，同旁內角互補)又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(兩直線平行，同旁內角互補)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【總結升華】這是平行線性質與平行公理的綜合應用，利用“兩直線平行，同旁內角互補，”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°．舉一反三：【變式】如圖所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，則AB與EF的位置關系．【答案】平行平行線的性質及平移（提高）知識講解【學習目標】1．掌握平行線的性質，并能依據平行線的性質進行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質的區(qū)別和聯系，理解兩條平行線的距離的概念；3．了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯系和性質，能用平移變換有關知識說明一些簡單問題及進行圖形設計.【要點梳理】要點一、平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內角互補.要點詮釋：

（1）“同位角相等、內錯角相等”、“同旁內角互補”都是平行線的性質的一部分內容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質．要點二、兩條平行線的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．要點詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．要點三、圖形的平移1.定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移．要點詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質：圖形的平移實質上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，各組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.要點詮釋：（1）“連接各組對應點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應點的線段”與“對應線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質的應用，在具體作圖時，應抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關鍵點；(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；(4)連：按原圖形順次連接對應點．【典型例題】類型一、平行線的性質 1.如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數.【答案與解析】解：作PM∥AB，交AC于點M，如圖：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【總結升華】平行線與角的關系非常密切，平行線的性質都是以角的關系來體現，在求角度的過程中，如果能夠適時運用平行線的性質，將會使問題的解決顯得簡便快捷．舉一反三：【變式】如圖，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直線CD，EF，GH相交于一點O，若∠1=42°，則∠2等于（）A．130° B．138° C．140° D．142°【答案】B解：如圖：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，故選B．類型二、兩平行線間的距離2.下面兩條平行線之間的三個圖形，圖的面積最大，圖的面積最?。?/p>

【思路點撥】兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半；兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，每個梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半.因為高相同，所以可以通過比較平行四邊形的底的長短，得出平行四邊形面積的大小.【答案】圖3，圖2【解析】解：因為它們的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；

所以，圖3平行四邊形的面積最大，圖2三角形的面積最小.

【總結升華】根據平行線的性質，得出梯形、三角形、平行四邊形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，與平行四邊形的底進行比較，由此得出正確答案.舉一反三：【變式】下圖是一個方形螺線．已知相鄰均為1厘米，則螺線總長度是厘米.【答案】35類型三、圖形的平移3.如圖所示，①、②兩圖中，哪個圖形中的一個三角形可以經過另一個三角形平移得到?【答案與解析】解：圖①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，無論怎樣平移其中一個三角形也得不到另一個三角形．圖②符合平移的特征，三角形PQR沿射線PM方向移動PM長即可得到三角形MNO．所以，圖②中一個三角形可以經過另一個三角形平移得到．【總結升華】平移變換的實質是圖形沿直線運動，它的形狀、大小都不發(fā)生變化，否則就不是平移變換．舉一反三：【變式】下面生活中的物體的運動情況可以看成平移的是(填寫序號)．（1）擺動的鐘擺；（2）在筆直的公路上行駛的汽車；（3）隨風擺動的旗幟；（4）搖動的大繩；（5）汽車玻璃上雨刷的運動；（6）從樓頂自由落下的球（球不旋轉）．【答案】（2）（6）．解：（1）擺動的鐘擺，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（2）在筆直的公路上行駛的汽車沿直線運動，屬于平移；

（3）隨風擺動的旗幟，形狀發(fā)生改變，不屬于平移；

（4）搖動的大繩，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（5）汽車玻璃上雨刷的運動，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（6）從樓頂自由落下的球沿直線運動，屬于平移．

∴可以看成平移的是（2）（6）．4.某景點擬在如圖的矩形荷塘上架設小橋，若荷塘中小橋的總長為100米，則荷塘周長為．【思路點撥】根據圖形得出荷塘中小橋的總長為矩形的長與寬的和，進而得出答案．【答案】200m．【解析】解：∵荷塘中小橋的總長為100米，∴荷塘周長為：2×100=200（m）故答案為：200m．【總結升華】此題主要考查了生活中的平移現象，得出荷塘中小橋的總長為矩形的長與寬的和是解題關鍵．舉一反三：【變式】如圖①，在寬為20m、長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地．根據圖中數據，可得耕地的面積為()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B類型四、平行的性質與判定綜合應用5.如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點K，下面給出三個論斷：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．請你以其中的兩個論斷為條件，填入“已知”欄中，以一個論斷為結論，填人“試說明”欄中，使之成為一個完整的正確命題，并將理由敘述出來．已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點K，________，________，試說明________．【答案與解析】解：三個論斷分別可以組成①②③；①③②；②③①三種不同情形的命題，選擇其中任何一個即可．以①②③為例，說明如下已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點K，∠B＝∠E，AB∥DE，試說明BC∥EF．理由敘述：因為AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因為∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【總結升華】此類問題具有較強的靈活性，解決這類題的基本思路是先寫出可能的結果，再判斷其是否正確．舉一反三：【變式】已知，如圖，∠1=∠2，∠3=65°，則∠4＝.【答案】115°6.如圖，AB∥CD，點M，N分別為AB，CD上的點.（1）若點P1在兩平行線內部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，則∠MP1N＝；（2）若P1，P2在兩平行線內部，且P1P2不與AB平行，如圖，請你猜想∠AMP1+∠P1P2N與∠MP1P2+∠P2ND的關系，并證明你的結論；（3）如圖，若P1，P2，P3在兩平行線內部，順次連結M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不與AB平行，直接寫出你得到的結論.【答案與解析】解：（1）75°；（2）結論：∠AMP1+∠P1P2N＝∠MP1P2+∠P2ND證明：如圖，分別過P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1P2P3+∠P3ND＝∠MP1P2+∠P2P3N.【總結升華】通過作平行線，問題便迅速得到解決.舉一反三：【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D認識三角形（基礎）知識講解【學習目標】1.理解三角形及與三角形有關的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法．2.理解并會應用三角形三邊間的關系．3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學會它們的畫法．4.對三角形的穩(wěn)定性有所認識，知道這個性質有廣泛的應用．【要點梳理】要點一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段．②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．要點二、三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．要點三、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形．②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形．②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角．③等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．要點五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類型一、三角形的定義及表示 1．如圖，圖中共有三角形（）A．4個 B．5個 C．6個 D．8個【思路點撥】對比三角形的相關概念分析和思考．【答案】D．【解析】解：圖中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8個三角形．【總結升華】本題考查了三角形，注意找的時候要有順序，也可從小到大找．舉一反三：【變式】如圖，以A為頂點的三角形有幾個？用符號表示這些三角形．【答案】3個,分別是△EAB,△BAC,△CAD.類型二、三角形的三邊關系2.三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是()【思路點撥】三角形三邊關系的性質，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．注意這里有“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數，也可能是負數，一般取“差”的絕對值．【答案】D【解析】要構成一個三角形．必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．在運用時習慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊．A、B、C三個選項中，較短兩邊之和小于或等于第三邊．故不能組成三角形．D選項中，2cm+3cm＞4cm．故能夠組成三角形．【總結升華】判斷以三條線段為邊能否構成三角形的簡易方法是：①判斷出較長的一邊；②看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形．舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是_______.