量子力學(xué)教程(第二版)6.3 Landau能級(jí)

一、電子的Hamilton量

考慮電子（質(zhì)量M，荷電-e）在均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng),則相應(yīng)的矢勢(shì)A可取為

取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸方向，則6.3Landau能級(jí)電子的Hamilton量表示為為方便，以下把電子沿z軸方向的自由運(yùn)動(dòng)分離出去，集中討論電子在xy平面中的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)為L(zhǎng)armor頻率.

式(3)中,B(即wL)的線性項(xiàng)表示電子的軌道磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用,而B2項(xiàng)則為反磁項(xiàng).在Zeeman效應(yīng)中,由于電子局限在原子內(nèi)部運(yùn)動(dòng),在通常實(shí)驗(yàn)室所用磁場(chǎng)強(qiáng)度下,反磁項(xiàng)很小,常忽略不計(jì).但對(duì)于自由電子,或磁場(chǎng)極強(qiáng)時(shí),B2項(xiàng)就必須考慮.

二、電子的本征態(tài)和本征值征態(tài)，即（采用平面極坐標(biāo)）代入能量本征方程，可求得徑向方程

電子的能量本征態(tài)可取為守恒量完全集的共同本可解出能量本征值E(Landau能級(jí))相應(yīng)的能量本征函數(shù)（徑向部分）為F為合流超幾何函數(shù)，nr表示徑向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)(r＝0,∞除外).

三、能級(jí)的簡(jiǎn)并度1.Landau能級(jí)簡(jiǎn)并度二維各向同性諧振子（自然頻率為w0）能級(jí)簡(jiǎn)并度均勻磁場(chǎng)中的電子∞對(duì)于較低的幾條能級(jí)的簡(jiǎn)并度分析NEN/?ωLnρm0100,-1,-2,-3,…0,-1,-2,-3,…2301145021120,-1,-2,-3,…2136701320,-1,-2,-3,…(6)式所示電子能量(＞0)可以看成電子在外磁場(chǎng)B中感應(yīng)而產(chǎn)生的磁矩mz與外磁場(chǎng)的相互作用-mzB，而上式中的負(fù)號(hào)表示自由電子在受到外磁場(chǎng)作用時(shí)具有的反磁矩。2.Landau能級(jí)的簡(jiǎn)并度不因規(guī)范選擇而異對(duì)于Landau曾經(jīng)選用過的規(guī)范電子在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的Hamilton量為此時(shí)，H的本征態(tài)可取為對(duì)易守恒量完全集的共同本征態(tài)，即滿足令上式化為回旋角頻率(13)式描述的是一個(gè)一維諧振子，平衡點(diǎn)在點(diǎn)，其能量本征值為相應(yīng)的能量本征函數(shù)為

本征函數(shù)依賴于n和y0,而y0依賴于Px,可取(-∞,+∞)中一切實(shí)數(shù)值,但能級(jí)En不依賴于y0

.因而能級(jí)為無窮度簡(jiǎn)并.有趣的現(xiàn)象

在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子,可以出現(xiàn)在無窮遠(yuǎn)處(y0

→±

∞),即為非束縛態(tài)(x方向?yàn)槠矫娌ǎ彩欠鞘`態(tài)),但電子的能級(jí)卻是離散的,而通常一個(gè)二維非束縛態(tài)粒子的能量則是連續(xù)變化的.

Landau能級(jí)對(duì)于