2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第3講隨機(jī)事件的概率古典概型考點(diǎn)3較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題

較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題角度1古典概型與平面向量的交匯(2022·安徽黃山模擬)從集合{1,2,4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為(B)A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]m⊥n?b＝2a，∴滿足m⊥n的(a，b)有(1,2)，(2,4)，2個(gè)，又基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，9個(gè)，∴所求概率P＝eq\f(2,9).故選B.角度2古典概型與幾何的交匯1.(2022·甘肅蘭州模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每個(gè)數(shù)都是等可能的，則直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為(B)A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,8)[解析]直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，則eq\f(b,a)>1，基本事件總數(shù)為4×4＝16，滿足條件的(a，b)的情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個(gè)(或Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)＝6(個(gè)))，故概率為eq\f(3,8).2．(2023·江蘇徐州期中抽測(cè))從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是正三角形的概率是(B)A.eq\f(1,42) B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(3,7)[解析]如圖所示，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，基本事件有Ceq\o\al(3,8)＝56種，在正方體中，滿足任取3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成正三角形有8種，頂點(diǎn)的集合分別是{A，C，B1}，{A，C，D1}，{B，D，C1}，{B，D，A1}，{A1，C1，B}，{A1，C1，D}，{B1，D1，A}，{B1，D1，C}，所以所求概率為eq\f(8,56)＝eq\f(1,7).故選B.角度3古典概型與函數(shù)的交匯(2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(D)A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]求導(dǎo)得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6種，故所求的概率為P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).角度4古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合(2022·天津南開(kāi)中學(xué)模擬)為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況，某學(xué)校收集了本校500名學(xué)生2021年12月課余使用手機(jī)的總時(shí)間(單位：小時(shí))的情況．從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知這50名學(xué)生中，恰有3名女生課余使用手機(jī)的總時(shí)間在[10,12]，現(xiàn)在從課余使用手機(jī)總時(shí)間在[10,12]的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，則至少抽到2名女生的概率為(C)A.eq\f(15,56) B．eq\f(3,8)C．eq\f(2,7) B．eq\f(5,28)[解析]∵這50名學(xué)生中，恰有3名女生的課余使用手機(jī)總時(shí)間在[10,12]，課余使用手機(jī)總時(shí)間在[10,12]的學(xué)生共有50×0.08×2＝8(名)，∴從課余使用手機(jī)總時(shí)間在[10,12]的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(3,8)＝56，至少抽到2名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5)＝16，則至少抽到2名女生的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(16,56)＝eq\f(2,7).故選C.[引申]本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率為eq\f(23,28)；(2)“至多抽到1名女生”的概率為eq\f(5,7).[解析](1)解法一：抽到1名女生的概率P1＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，抽到2名女生的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，抽到3名女生的概率P3＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，∴至少抽到1名女生的概率P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(23,28).解法二：記“至少抽到1名女生”為事件A，則eq\x\to(A)：抽取3名男生，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝1－eq\f(5,28)＝eq\f(23,28).(2)沒(méi)有抽到女生的概率P4＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，∴至多抽到1名女生的概率P＝P1＋P4＝eq\f(5,7).或P＝1－P2－P3＝eq\f(5,7).名師點(diǎn)撥：較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題的求解方法1．將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解概率．2．若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即“正難則反”．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)設(shè)平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(A)A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]a⊥(a－b)?a·(a－b)＝0?m2－2m－n＋1＝0，即n＝(m－1)2，又m、n∈{1,2,3,4}，∴(m，n)共有16個(gè)，而事件A僅包括(2,1)，(3,4)，2個(gè)，∴P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故選A.2．(角度2)(2023·廣西南寧摸底)從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為eq\f(2,7).[解析]如圖，選正方體6個(gè)側(cè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，共有6種選法；過(guò)中心O的平面共有6個(gè)平面，每個(gè)平面含9個(gè)點(diǎn)中的5個(gè)，則共有6Ceq\o\al(4,5)種選法；所有可能情況有Ceq\o\al(4,9)種，所以這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為eq\f(6＋6C\o\al(4,5),C\o\al(4,9))＝eq\f(36,126)＝eq\f(2,7)，故答案為eq\f(2,7).3.(角度3)(2022·四川威遠(yuǎn)中學(xué)月考)若a，b∈{－1,0,1,2}，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點(diǎn)的概率為(A)A.eq\f(13,16) B．eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D．eq\f(5,8)[解析]a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16種，函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)，即4－4ab≥0，∴ab≤1，當(dāng)a＝－1或0時(shí)，b可取－1,0,1,2；當(dāng)a＝1時(shí)，b可?。?,0,1；當(dāng)a＝2時(shí)，b可取－1,0.共13種．∴所求概率P＝eq\f(13,16)，故選A.4．(角度4)(2022·衡水中學(xué)模擬改編)某中學(xué)有初中生1800人，高中生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中生”和“高中生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))分為5組：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則至少抽到1名高中生的概率為eq\f(7,10).[解析]由題意得a＝eq\f(0.1－0.04－0.02－0.03,2)＝0.005.由分層抽樣知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．初中生中