2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不等式是常見(jiàn)題型.2.函數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點(diǎn)，通?？疾橹笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)難度較大.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破典例1

(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝

(a>0，且a≠1)的圖象可能是考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)√A.b>c>a

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b√函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.易知f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

若f(a)<f(6－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－3，＋∞) B.(－∞，－3)C.(3，＋∞) D.(－∞，3)√由解析式易知，f(x)在R上是增函數(shù)，又f(a)<f(6－a)，所以a<6－a，則a<3.(2)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝

，則下列判斷正確的是A.c<b<a

B.b<a<cC.a<c<b

D.a<b<c√典例2

(1)(2023·聊城模擬)“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時(shí)尚.近幾年國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車(chē)行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車(chē)和最終停止傳統(tǒng)汽車(chē)銷(xiāo)售的時(shí)間計(jì)劃表，為新能源汽車(chē)行業(yè)的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景.新能源汽車(chē)主要指電動(dòng)力汽車(chē)，其能量來(lái)源于蓄電池.已知蓄電池的容量C(單位：A·h)、放電時(shí)間t(單位：h)、放電電流I(單位：A)三者之間滿(mǎn)足關(guān)系C＝

.假設(shè)某款電動(dòng)汽車(chē)的蓄電池容量為3074A·h，正常行駛時(shí)放電電流為15A，那么該汽車(chē)能持續(xù)行駛的時(shí)間大約為(參考數(shù)據(jù)：6×≈3074)A.60hB.45hC.30hD.15h√考點(diǎn)二函數(shù)模型及其應(yīng)用由C＝

，得當(dāng)C＝3074，I＝15時(shí)，3074＝

，∴t＝

.又6×≈3074，∴t＝

≈＝

＝

＝3×＝3×

＝30(h).(2)(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車(chē)1060～90混合動(dòng)力汽車(chē)1050～60電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3＝100p0

D.p1≤100p2√√√且

∈[60,90]，

∈[50,60]，所以

，所以p1≥p2，故A正確；因?yàn)?/p>

＝40，所以p3＝

＝100p0，故C正確；假設(shè)p2>10p3，則

，所以

>10，所以

>20，不可能成立，故B不正確；所以p1≤100p2，故D正確.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2023·濰坊模擬)某公司為實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)目標(biāo)制定獎(jiǎng)勵(lì)制度，其中規(guī)定利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元且少于1000萬(wàn)元時(shí)，員工獎(jiǎng)金總額y(單位：萬(wàn)元)隨利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金總額不超過(guò)5萬(wàn)元，則y關(guān)于x的函數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：1.0021000≈7.37，lg7＝0.845)A.y＝1.002x

B.y＝log7x＋1C.y＝

－5 D.y＝5＋sinx√由題意，函數(shù)在(10,1000)上單調(diào)遞增，故D不符合題意，排除D；因?yàn)楫?dāng)x∈(10,125)時(shí)，y＝

－5<0，故C不符合題意，排除C；當(dāng)x＝1000時(shí)，1.0021000≈7.37>5，故y＝1.002x不符合題意，排除A；(2)(2023·北京市八一中學(xué)模擬)某公司工人甲生產(chǎn)第x件產(chǎn)品的所需時(shí)間f(x)(單位：h)滿(mǎn)足：f(x)＝

其中a>0且a≠1，若甲生產(chǎn)第2件產(chǎn)品的時(shí)間為3h，生產(chǎn)第λ件產(chǎn)品的時(shí)間為2h，則f(3)＝________.4－log23又甲生產(chǎn)第2件產(chǎn)品的時(shí)間為3h，則f(2)＝4－loga2＝3，解得a＝2，典例3

(多選)(2023·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝log3(x2－2x)，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)B.函數(shù)f(x)的值域是RC.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)D.不等式f(x)<1的解集是(－1,3)考點(diǎn)三函數(shù)的綜合運(yùn)用√√對(duì)于A(yíng)，令x2－2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(2，＋∞)，∵y＝log3u為增函數(shù)，u＝x2－2x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即y＝x2－2x的值域M＝[－1，＋∞)，又(0，＋∞)?M，∴函數(shù)f(x)的值域是R，B正確；對(duì)于C，∵f(2－x)＝log3[(2－x)2－2(2－x)]＝log3(x2－2x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，f(x)＝log3(x2－2x)<1＝log33，且y＝log3x是增函數(shù)，可得0<x2－2x<3，解得2<x<3或－1<x<0，故不等式f(x)<1的解集是(－1,0)∪(2,3)，D錯(cuò)誤.跟蹤訓(xùn)練3

(2023·紅河州模擬)若函數(shù)f(x)＝

與函數(shù)g(x)＝loga(x＋3)(a>0且a≠1)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為√當(dāng)x>2時(shí)，由f(x)＝f(x－2)，得f(x)是以2為周期的函數(shù).作出分段函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，當(dāng)0<a<1時(shí)，由圖可知，0<a<1顯然成立.當(dāng)a>1時(shí)，令g(2)≥1，即loga5≥1，得1<a≤5.綜上所述，0<a≤5且a≠1.解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)要注意：(1)所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論.(2)它們的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要看底數(shù)a的取值范圍.(3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，分析它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.總結(jié)提升1234567891011121.(2023·通州模擬)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是A.y＝

B.y＝x3C.y＝ex＋e－x

D.y＝tanx√對(duì)于B，函數(shù)y＝f(x)＝x3的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒(－x)＝－x3＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在R上是增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)y＝f(x)＝ex＋e－x的定義域?yàn)镽，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)y＝f(x)＝tanx，1234567891011122.(2023·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是冪函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝loga(x－m)＋1(a>0，且a≠1)的圖象所過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)是A.(2,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(－1,2)√123456789101112∵函數(shù)f(x)＝(3m－2)xm＋2(m∈R)是冪函數(shù)，∴3m－2＝1，∴m＝1，∴g(x)＝loga(x－1)＋1，令x－1＝1得x＝2，此時(shí)g(2)＝loga1＋1＝1，∴函數(shù)g(x)的圖象所過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,1).1234567891011123.(2022·北京)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是A.當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)√123456789101112對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，lgP＝lg1026>lg103＝3，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于液態(tài)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，lgP＝lg9987<lg104＝4，且與4非常接近，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；123456789101112對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài).1234567891011121234567891011124.(2023·湖南師范大學(xué)附中模擬)設(shè)a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝log0.40.3，則a，b，c的大小順序?yàn)锳.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.c<a<b√∵指數(shù)函數(shù)y＝0.3x，y＝0.4x為R上的減函數(shù)，∴a＝0.30.4<0.30.3<0.30＝1，b＝0.40.3<0.40＝1，∵冪函數(shù)y＝x0.3在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴0.30.3<0.40.3，∴a<b<1，∵對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴c＝log0.40.3>log0.40.4＝1，即c>1，∴a<b<c.1234567891011121234567891011125.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集為(－∞，－1)∪

，則不等式f(10x)>0的解集為A.(－∞，－1)∪(lg2，＋∞)B.(－1，lg2)C.(－lg2，＋∞)D.(－∞，－lg2)√設(shè)t＝10x，t>0，123456789101112解得x<－lg2，則不等式f(10x)>0的解集為(－∞，－lg2).6.(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√123456789101112函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，123456789101112所以a的取值范圍是[2，＋∞).123456789101112A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)D.函數(shù)f(x)是減函數(shù)√√所以f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確，B錯(cuò)誤；123456789101112故f(x)的值域?yàn)?－1,1)，故C正確；設(shè)x2>x1，則f(x2)－f(x1)＝

－

＝

＝

，因?yàn)閤2>x1，所以

>0，又所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.1234567891011128.(多選)(2023·長(zhǎng)春吉大附中模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正確的有A.f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增B.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)C.若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝4D.f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)√√√123456789101112根據(jù)圖象變換作出函數(shù)f(x)的圖象(先作出y＝lnx的圖象，再作出其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象，然后向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，最后把x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去即可得)，如圖所示，由圖象知f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，A正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，B正確；設(shè)f(x1)＝f(x2)＝k，則直線(xiàn)y＝k與函數(shù)f(x)圖象可能有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，如果最左邊的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是x1，x2，則x1＋x2＝4不成立，C錯(cuò)誤；f(x)與x軸有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確.1234567891011129.(2023·泰州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

則f(f(－2))＝___.4123456789101112所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，