2025版高考數(shù)學一輪總復習素養(yǎng)提升第1章集合常用邏輯用語不等式第3講不等關系與不等式

比較大小微專題微專題1特殊值法1.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是(A)A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D．eq\f(1,2)[解析](特殊值法)：令a1＝b1＝eq\f(1,3)，a2＝b2＝eq\f(2,3)，則a1b1＋a2b2＝eq\f(5,9)，a1a2＋b1b2＝eq\f(4,9)，a1b2＋a2b1＝eq\f(4,9).由此可知，代數(shù)式中值最大的是選項A.2．設a>b>0，下列各數(shù)小于1的是(D)[解析]解法一(特殊值法)：取a＝2，b＝1，代入驗證．解法二：y＝ax(a>0且a≠1)．當a>1，x>0時，y>1；當0<a<1，x>0時，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1.由指數(shù)函數(shù)性質知，D成立．名師點撥：特殊值法比較大小的思路利用特殊值法比較不等式的大小時需要注意以下問題：選擇項兩數(shù)大小是確定的，如果出現(xiàn)兩數(shù)大小由某個參數(shù)確定或大小不確定的選項，就無法通過特殊值進行檢驗；賦值應該滿足前提條件：當一次賦值不能確定準確的選項，則可以通過二次賦值檢驗，直至得到正確選項．【變式訓練】已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關系式恒成立的是(C)A．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) B．sinx>sinyC．x3>y3 D．eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)[解析]解法一：因為實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.對于A，取x＝1，y＝－3，不成立；對于B，取x＝π，y＝－π，不成立；對于C，由于f(x)＝x3在R上單調遞增，故x3>y3成立；對于D，取x＝2，y＝－1，不成立．選C.解法二：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得x>y，此時x2，y2的大小不確定．故選項A、D中的不等式不恒成立；根據(jù)三角函數(shù)的性質，選項B中的不等式也不恒成立；根據(jù)不等式的性質知，選項C中的不等式成立．微專題2中間量法1.(2024·吉林一中月考)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，則(D)A．x<y<z B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x[解析]因為x＝lnπ>lne＝1，y＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,\r(e))>eq\f(1,2)且z＝e－eq\f(1,2)<e0＝1，所以x>z>y.故選D.2．(2023·鄭州模擬)設x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，則(A)A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．P≥Q[解析]因為2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(當且僅當x＝0時等號成立)，而x>0，所以P>2.又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故選A.名師點撥：利用中間量法比較不等式大小時要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間值．指數(shù)式比較大小，一般選取1或指數(shù)式的底數(shù)作為中間值；對數(shù)式比較大小，一般選取0或1作為中間值，其實質就是根據(jù)對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的單調性判斷其與f(1)，f(a)的大?。咀兪接柧殹?多選題)(2023·重慶一中模擬)下列不等式成立的是(BCD)[解析]∵sin1∈(0,1)，∴l(xiāng)og2(sin1)<0，2sin1>1，∴l(xiāng)og2(sin1)<2sin1，故A不正確；若eq\r(7)－eq\r(5)<eq\r(6)－2，則0<eq\r(7)＋2<eq\r(6)＋eq\r(5)，即(eq\r(7)＋2)2<(eq\r(6)＋eq\r(5))2，即11＋4eq\r(7)<11＋2eq\r(30)，即4eq\r(7)<2eq\r(30)，即28<30成立，故C正確；log43＝1＋log4eq\f(3,4)，log65＝1＋log6eq\f(5,6)，∵log4eq\f(3,4)<log4eq\f(5,6)，且log4eq\f(5,6)<log6eq\f(5,6)，∴l(xiāng)og4eq\f(3,4)<log6eq\f(5,6)，∴l(xiāng)og43<log65，故D正確．故選BCD.微專題3單調性法已知實數(shù)a，b∈(0,1)，且滿足cosaπ<cosbπ，則下列關系式成立的是(C)A．lna<lnb B．sina<sinbC.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．a(chǎn)3<b3[解析]因為a，b∈(0,1)，則aπ，bπ∈(0，π)，而函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調遞減，又cosaπ<cosbπ，所以aπ>bπ，即a>b，由函數(shù)y＝lnx，y＝sinx，y＝x3在(0,1)上均為增函數(shù)，知只有C正確．名師點撥：1．利用函數(shù)性質比較數(shù)、式的大小，得到函數(shù)的單調區(qū)間是問題求解的關鍵，解題時，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)單調性的運用是解題的主要形式．2．通過對稱性、周期性，可以將比較大小的數(shù)、式轉化到同一個單調區(qū)間，有利于其大小比較．3．導數(shù)工具的應用，拓寬了這類問題的命題形式和解題難度，值得我們關注和重視．【變式訓練】(多選題)(2023·邯鄲高三期末)設0<a<b<1,0<c<1，則(AB)A．ln(ca＋1)>ln(cb＋1)B．(c＋1)a<(c＋1)bC．a(chǎn)b>aa>baD．logca<logcb[解析]因為0<a<b<1,0<c<1，所以函數(shù)y＝ax，y＝logcx均是減函數(shù)，所以ab<aa，logca>logcb，所以C、D不正確；又由函