2024年中考數(shù)學(xué)二模試卷（吉林卷）（全解全析）

年中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共6個小題，每小題2分，共12分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)絕對值最小的是（

） B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸的定義、絕對值的意義，掌握數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)軸的定義以及絕對值的意義得出點(diǎn)A、B、C、D的絕對值的范圍，然后比較范圍即可解答．【詳解】解：先根據(jù)數(shù)軸的定義以及絕對值的意義：，，，，點(diǎn)B的數(shù)絕對值最?。蔬x：B．2．據(jù)市統(tǒng)計局年報，去年我市人均生產(chǎn)總值為元，用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定與值是關(guān)鍵．【詳解】解：元．故選C．【點(diǎn)睛】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值是易錯點(diǎn)，由于有位，所以可以確定．3．如圖桌上擺放這一個茶杯和一摞書，從上面看到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了從三個不同方向看幾何體，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意看圖，不要搞錯方向．【詳解】解：書和茶杯從上面看到的圖形的分別是長方形和圓，故選：A．4．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)運(yùn)算運(yùn)算的運(yùn)算法則逐一判斷即可．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選B5．如圖，在中，，，，，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得．【詳解】解：，，，，，，，，故選：B．6．如圖，是的弦，把的劣弧沿著對折，A是對折后劣弧上的一點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了折疊，圓內(nèi)接四邊形．熟練掌握折疊的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵，將沿翻折，點(diǎn)A落在處，得到，點(diǎn)在上，根據(jù)，得到，根據(jù)，得到．【詳解】如圖，沿翻折，點(diǎn)A落在處，

則，由對折知，，∴點(diǎn)在上，∵，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，故選：C．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）7．．【答案】【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪及算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪及算術(shù)平方根計算即可．【詳解】解：故答案為：因式分解．【答案】【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先提公因式，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式，即可作答．【詳解】解：故答案為：當(dāng)時，代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查的是分式的化簡求值，先計算分式的加減運(yùn)算，再代入計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，；故答案為：．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式與方程解的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，求出m的范圍即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故答案為：．11．2024年4月23日是第29個世界讀書日，鼓勵人們尤其是年輕人發(fā)現(xiàn)讀書的樂趣，并以此對那些推動人類社會和文化提高的人們所做出的偉大貢獻(xiàn)表示感激和尊重．小明讀一本390頁的書，計劃15天內(nèi)讀完，但前6天由于身體原因只讀了120頁，如果他想按原計劃讀完，則從第7天起平均每天至少要讀頁．【答案】30【分析】設(shè)從第7天起平均每天要讀x頁，根據(jù)題意得出不等關(guān)系：120頁+后9天讀的頁數(shù)，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：設(shè)從第7天起平均每天要讀x頁，才能按計劃讀完，則根據(jù)題意得：，解得：；∴從第7天起，平均每天至少要讀30頁才能按計劃讀完．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)，找到題目中的不等關(guān)系，列出不等式．12．如圖，是菱形的一條對角線，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線和線段垂直平分線的作法，菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，設(shè)與的交點(diǎn)為，由題意可得，為的角平分線，為線段的垂直平分線，即得到，，又由四邊形是菱形，可得，，進(jìn)而可得，即可求解，掌握角平分線和線段垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)與的交點(diǎn)為，由題意可得，為的角平分線，為線段的垂直平分線，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角板的角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，直角頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)A在第三象限．將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)求出，求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，如圖所示：根據(jù)題意可得：，，，∴，∴，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．14．如圖，折疊矩形紙片時，發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如下操作：①把翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為；②把紙片展開并鋪平；③點(diǎn)在邊上，把翻折，使點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，折痕為，與交于點(diǎn)．若是等腰三角形，，則．【答案】或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，分三種情況討論：①當(dāng)時，連結(jié)，由題意可得，可得，證得，即，，即可求得，②當(dāng)時，，可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則有；③當(dāng)時，，不合題意．【詳解】①當(dāng)時，連結(jié)，由題意可得．，，，，．，，，．②當(dāng)時，，則，∵∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，?則．③當(dāng)時，，不合題意，舍去．故答案為：或．?三、解答題（本大題共12個小題，共84分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．先化簡，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=.【答案】-8x-8，-12【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．【詳解】解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2=x2-9-2x2-6x+x2-2x+1=-8x-8，當(dāng)x=時，原式=-4-8=-12.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．16．春節(jié)是流行疾病的高發(fā)季節(jié)，為此初三1班展開以“養(yǎng)成良好衛(wèi)生習(xí)慣，做好手部消毒”的主題班會，并在市場購買乙醇類噴霧消毒劑，其中包含100ml、200ml、300ml、500ml共四種容量不同的消毒劑．現(xiàn)將這四種消毒劑各取一瓶分別裝到4個封裝后完全相同的紙箱，并將這4個紙箱隨機(jī)擺放．(1)若小明從這4個紙箱中隨機(jī)選取一個，則所選紙箱里消毒劑容量恰好為300ml的概率是______．(2)若小明從這4個紙箱中隨機(jī)選取2個，請利用列表或樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里消毒劑的容量之和大于400ml的概率．【答案】(1)(2)所選兩個紙箱里消毒劑的容量之和大于400ml的概率為．【分析】本題考查了利用概率公式求概率，利用畫樹狀圖求概率，熟練掌握和運(yùn)用求概率的方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式即可求得；（2）首先畫出樹狀圖，展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個數(shù)字之和大于400ml所占的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算．【詳解】（1）解：∵一共有4個箱子，每個箱子被選取的概率相同，而紙箱里消毒劑容量恰好為300ml的有1個，∴這4個紙箱中隨機(jī)選1個，所選紙箱里消毒劑容量恰好為300ml的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中所選兩個紙箱里消毒劑的容量之和大于400ml的結(jié)果有8種，∴所選兩個紙箱里消毒劑的容量之和大于400ml的概率為．17．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，且，于，；求證：≌．【詳解】解：90°，90°，，90°，，在和中，，≌（AAS）.18．為落實(shí)“鄉(xiāng)村振興計劃”的工作要求，某區(qū)政府計劃對鄉(xiāng)鎮(zhèn)道路進(jìn)行改造，安排甲、乙兩個工程隊完成，已知乙隊比甲隊每天少改造20米，甲隊改造400米的道路與乙隊改造300米的道路所用時間相同，求甲、乙兩個工程隊每天改造的道路長度分別是多少米？【答案】甲工程隊每天改造的道路長度是80米，乙工程隊每天改造的道路長度是60米．【分析】根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲工程隊每天改造的道路長度是x米，列方程得：，解得：x=80．經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是原分式方程的解80-20=60．答：甲工程隊每天改造的道路長度是80米，乙工程隊每天改造的道路長度是60米．19．如圖1，圖2，圖3，圖4均為8×8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個小正方形的邊長均為1，圖中均有線段AB．按要求畫圖．（1）在圖1中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰畫一個銳角等腰三角形；（2）在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為底邊畫一個銳角等腰三角形．（3）在圖3中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰畫一個等腰直角三角形；（4）在圖4中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫一個正方形．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析【分析】（1）在圖1中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰畫一個銳角等腰三角形即可；（2）在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為底邊畫一個銳角等腰三角形即可；（3）在圖3中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰畫一個等腰直角三角形即可；（4）在圖4中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫一個正方形即可．【詳解】解：如圖，（1）如圖1即為所畫圖形；（2）如圖2即為所畫圖形；（3）如圖3即為所畫圖形；（4）如圖4即為所畫圖形.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等知識．20．如圖，為某公園“水上滑梯”的側(cè)面圖，其中段可看成是一段雙曲線，建立如圖的坐標(biāo)系后，其中，矩形為向上攀爬的梯子，米，進(jìn)口，且米，出口C點(diǎn)距水面的距離為．(1)求段滑梯所在雙曲線的解析式．(2)若為1.5米，求B，C之間的水平距離的長度(3)若高度不超過1米，則B，C之間的水平距離的長度至少為多少米？【答案】(1)(2)B，C之間的水平距離的長度為6米(3)B，C之間的水平距離的長度至少為10米【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握的識別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到點(diǎn)，設(shè)段滑梯所在雙曲線的解析式為：，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1.5，代入（1）中雙曲線的解析式，求解出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，得到的長，利用即可求解；（3）另點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，代入（1）中雙曲線的解析式，求解出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，得到的長，利用即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，段滑梯所在雙曲線的解析式為：，∴，∴，（2）解：∵，∴當(dāng)時，，，∴=，答：B，C之間的水平距離的長度為6米；（3）解：∵，∴當(dāng)時，，，∴的長度至少為：，答：B，C之間的水平距離的長度至少為10米．21．吉林省2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，初步核算，至年末全省機(jī)動車保有量達(dá)到萬輛，比上年末增長．根據(jù)公報出示的數(shù)據(jù)繪制了年年全省機(jī)動車保有量及其增長速度的統(tǒng)計圖表．根據(jù)該統(tǒng)計圖表解答下列問題：年年吉林省機(jī)動車保有量及其增長速度

(1)吉林省從年到年，全省機(jī)動車保有量最多年份比最少的年份多______萬輛．(2)吉林省從年到年，全省機(jī)動車保有量增長速度的中位數(shù)是______．(3)與年相比，年吉林省機(jī)動車保有量增加了______萬輛，機(jī)動車保有量增長速度提高了______個百分點(diǎn)；(注：為1個百分點(diǎn))(4)根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，有下列說法，其中正確的是______．(填寫字母)A．吉林省從年到年，全省機(jī)動車保有量持續(xù)增長．B．全省機(jī)動車保有量年增長率，設(shè)年吉林省機(jī)動車保有量為，則通過列方程來求得年吉林省機(jī)動車保有量．C．通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從年到年，吉林省機(jī)動車保有量增長率持續(xù)下降，因此這三年的機(jī)動車保有量增長率是負(fù)增長．【答案】(1)(2)(3)，(4)A，B【分析】（1）用最多年份的數(shù)據(jù)減去最少年份的數(shù)據(jù)即可；（2）先排序，再按中位數(shù)的定義求取即可；（3）第一空：用年吉林省機(jī)動車保有量減去2年的即可；第二空：用年的增長率減去年的增長率即可；（4）根據(jù)數(shù)據(jù)上升可知A正確，根據(jù)增長率的計算方法可知B正確，雖然增長率在下降，但一直是正數(shù)，不是負(fù)增長可知C錯誤．【詳解】（1）解：由統(tǒng)計圖可知：全省機(jī)動車保有量最多年份是年，保有量為萬輛，全省機(jī)動車保有量最少年份是年，保有量為萬輛，∴全省機(jī)動車保有量最多年份比最少的年份多的數(shù)量為：(萬輛)故答案為：；（2）解：吉林省從年到年，全省機(jī)動車保有量增長速度從小到大排序得：，，，，，∴全省機(jī)動車保有量增長速度的中位數(shù)是3.5%，故答案是：；（3）解：∵(萬輛)∴與年相比，年吉林省機(jī)動車保有量增加了萬輛，∵，∴機(jī)動車保有量增長速度提高了個百分點(diǎn)，故答案為：；；（4）解：A、吉林省從2018年到2022年，汽車保有量一致在增加，即全省機(jī)動車保有量持續(xù)增長，因此A正確；B、增長率的計算公式正確，因此根據(jù)這個等量關(guān)系所列方程也正確，即B正確；C、雖然增長率在下降，但一直是正數(shù)，不是負(fù)增長，因此C錯誤．所以正確的有：A，B，故答案為：A，B．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與折線統(tǒng)計圖，中位數(shù)，增長率計算公式，根據(jù)題意讀懂統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．在風(fēng)景迷人的旅游度假區(qū)，有一個深受游客喜愛的“高空滑梯”娛樂項(xiàng)目．如圖，在滑梯頂部A處觀測B處的俯角為30°．滑車從A處出發(fā)，沿直線加速滑行18m到B處，再水平滑行10m到C處，最后沿坡角的斜坡CD緩慢滑行6m到達(dá)地面D處．求滑梯的高度AE．（精確到1m，，，）【答案】滑梯的高度AE約為11m．【分析】延長CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足為G，根據(jù)銳角三角函數(shù)值的求法得到AF和CG的長度，再利用來求解．【詳解】解：延長CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足為G，在中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，∴．在中，∠CGD＝90°，∴，∴（m）．答：滑梯的高度AE約為11m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出輔助線，構(gòu)建直角三角形是解答關(guān)鍵．甲、乙兩組工人同時加工某種零件，甲組在工作中有一段時間停產(chǎn)更新設(shè)備，更新設(shè)備后，甲組的工作效率是原來的2倍．乙組工作2小時后，由于部分工人離開，工作效率有所降低．兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時間x（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）直接寫出線段DE的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求甲乙兩組何時加工的零件數(shù)相同；（3）若甲、乙兩組加工的零件合在一起裝箱，每320件裝成一箱，零件裝箱的時間忽略不計，直接寫出經(jīng)過多長時間恰好裝滿2箱．【答案】（1）y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小時；（3）8小時【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求線段BC的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)線段DE，BC的函數(shù)解析式即可求解；（3）假設(shè)經(jīng)過x小時恰好裝滿2箱，甲組6.5小時加工的零件為300件,此時乙組加工的零件為40×6.5+20＝280，兩組生產(chǎn)的不夠兩箱，甲組一共加工了6.5小時，要想裝滿兩箱，乙應(yīng)加工320×2﹣300＝340，進(jìn)而列方程40x+20＝340求解即可．【詳解】解：（1）由圖象得：D（2，100），E（9，380），設(shè)線段DE的解析式為：y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）∵甲組的工作效率是原來的2倍，∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，∴C（6.5，300），設(shè)線段BC的解析式為：，∴，解得：，∴y＝60x﹣90（2.5≤x≤6.5），由題意得：40x+20＝60x﹣90，解得：x＝5.5，答：甲乙兩組5.5小時，加工的零件數(shù)相同；（3）設(shè)經(jīng)過x小時恰好裝滿二箱，由圖象得：甲組6.5小時加工的零件為300件，乙組6.5小時加工的零件為40×6.5+20＝280（件），∴此時不夠裝滿2箱．恰好裝滿2箱乙應(yīng)加工320×2﹣300＝340（件），40x+20＝340，解得：x＝8，答：經(jīng)過8小時恰好裝滿2箱．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，正確獲取圖象信息，根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．24．（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在上，．求證：．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，，直接寫出的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由，可證，則，同理可得：，則，兩邊同時除以，可得．（2）由，，，，可得，，證明，則，同理，，則，兩邊同時除以得，，進(jìn)而可得；（3）由（1）可知，，，則，解得，，則，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．同理可得：，∴，兩邊同時除以，得．（2）證明：∵，，，，∴，，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，兩邊同時除以得，，∴；（3）解：由（1）可知，，，∴，解得，，∴，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，平行線的判定．解題的關(guān)鍵在于明確相似三角形的判定條件．25．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時，求證：BE＝CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，連接EF，設(shè)BE＝x，△DEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)解析式，并求S的最小值．【答案】（1）見解析；（2）BE+CF＝2，是為定值；（3）S＝（x﹣1）2，當(dāng)x＝1時，S最小值為.【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA＝90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE＝CF；（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM＝CN，DM＝DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；（3）過點(diǎn)F作FG⊥AB，由題意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，則可求S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，可求S的最小值．【詳解】（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°，∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2（3）過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，∵BE＝x∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，∴AF＝2+x，∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，∴S＝