人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)重點(diǎn)訓(xùn)練：空間向量基本定理及范圍最值

空間向量基本定理及空間范圍與最值

1.空間向量基底..........................................................1

2.基底表示向量..........................................................3

3.共面..................................................................5

4.空間向量概念綜合......................................................8

5.空間向量數(shù)量積.......................................................11

6.空間向量求長(zhǎng)度.......................................................13

7.數(shù)量積最值與范圍.....................................................16

8.空間長(zhǎng)度最值與取值范圍...............................................19

9.空間角度范圍最值.....................................................23

10.軌跡................................................................27

L空間向量基底

【典例分析】

已知｛”,b,c｝是空間的一組基底，則下列向量中能與a+b，構(gòu)成一組基底的是()

A.aB.bC.cD.a+2h

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理可知a，b，a+2b均與a+b，a-。共面即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閍=L(a+6)+,(a-匕)，b=-(a+b)--(a-b),a+2h=—(a+b)-■-(a-b),

222222

所以由空間向量共面基本定理可知a，b，4+2〃均與a+h，a-。共面，不能構(gòu)成一組基底，

故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知力,c｝是空間一個(gè)基底，p=a+b,q=a-b,一定可以

與向量p,夕構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是()

A.aB.bC.cD.-p-2q

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線(xiàn)，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，

即可判斷出結(jié)論.

【詳解】由題意和空間向量的共面定理，

結(jié)合向量P+g=(a+Z>)+(a-b)=2a,

得a與P，4是共面向量，

同理b與p,g是共面向量，

所以。與b不能與P、9構(gòu)成空間的一個(gè)基底；

又C與a和b不共面，

所以<?與。、4構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

2?若日工"｝為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是()

->—>->—>―>)(—>—>—>—>—

｛a,a+h,a-h\B.lh,a+h,a-h\

—>—>—?—>—f—>—>—>—>—>—>)

｛D,-仇2a+b)

【答案】c

【分析】A：分析得到向量Wl+H-Z是共面向量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；

B：分析得到向量^+^-了是共面向量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；

C：分析得到展是不共面向量，因此能構(gòu)成一組基底，

D：分析得到向量a+b,a-〃,2a+6是共面向量，因此；+辦,不能構(gòu)成一組基底.

【詳解】A：因?yàn)閰^(qū)+小+(。小=21所以向量1是共面向量，因此這三個(gè)向量

不能構(gòu)成基底；

B：因?yàn)?+1)+(_1)(。］)=2。所以向量是共面向量,因此這三個(gè)向量不能

構(gòu)成基底；

C：因?yàn)槿丈?&為空間的一組基底，所以這三個(gè)向量不共面.若不構(gòu)成一組基底,

則有：=x(a+b)+y(a-b)=>^=(x+y)a+(x-y)b<所以向量薪是共面向量,這與這三

個(gè)向量不共面矛盾，故假設(shè)不正確，因此-了能構(gòu)成一組基底，

D：因?yàn)?〃+人=5(〃+〃)+Q(a—Z/),所以向量4+爪",24+6是共面向量，因此

。亡二42心力不能構(gòu)成一組基底?故選：C.

3.己知向量｛a,B,c｝是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是()

A.a+b>a>a-hB,a+b<b>a-h

C.a+b>c>a-hD.a+b>2a—b>a-b

【答案】C

【解析】空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可證明A、B、

。三個(gè)選項(xiàng)中的向量均為共面向量，利用反證法可證明C中的向量不共面

【詳解】解：(a+b^+(a-b^=2a,.".a，a+b?)共面，不能構(gòu)成基底，排除A；

^a+bj-^a-b^=2b,:.b，a+b>a-/)共面，不能構(gòu)成基底，排除8:

2a-b=T(a-〃)+g(a+b),a+匕，a-b12a—b共面，不能構(gòu)成基底，排除:

若屋a+b，。-b共面，則c=2(a+〃)+""-6)=(4+m)a+(/l-m)b,則〃、b、c為共面向量,

此與｛a,Ac｝為空間的一組基底矛盾，故c、a+b>a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底.

2.基底表示向量

【典例分析】

UllU1,.,__

如圖，在平行六面體A3c￡>-431clZ)］中，AAy=a,AB=h,AO=c,點(diǎn)尸在A。上，且

B.匕+Z+Z

555

D-3

555

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算求解.

2

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸在4C上，且A/尸：PC=2：3,所以4尸=14。所以

AP=AAt+AlP=AAl+^AlC

=AAi+-（AC-AAt）=AA,+-（AB+AD）--AAl=-AA,+-AB+-AD=-a+-b+-c

555555555

【變式訓(xùn)練】

1.已知向量｛a，b，c｝是空間的一個(gè)基底，向量｛a+8,a-6,c｝是空間的另一個(gè)基底，一向量。在

基底,力,c｝下的坐標(biāo)為(1,2,3),則向量0在基底｛a+OM-'c｝下的坐標(biāo)為()

1331

A.(5,5,3)B.弓，-],3)

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果.

【詳解】設(shè)P在基底｛a+Aa-。,。｝下的坐標(biāo)為(x,y,z),

則p=x(a+Z?)+y(4-Z?)+zc=(x+y)a+(x-y)〃+zc=a+2Z?+3c,

3

x=—

x+y=l

所以“x-y=2,解得<>=-2，故p在基底｛〃+h,a-Z?,c｝卜的坐標(biāo)為3).故選：B.

2.如圖的平行六面體ABCD-ABCD中，點(diǎn)M在3以上,點(diǎn)N在DD］上,

DIN=；DID,若M/V=xAB+yAD+zAAj,則x+y+z=（）

2

D.

2

【答案】B

【分析】利用向量的三角形法則、向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

21

【詳解】因?yàn)镸NuAN-AM.ANuAQ+iAVAMuAB+iAA,

211

所以MN=4O+—AA-48--AA=-A8+AO+-AA,

326

所以x+y+z=-l+l+H

66

故選:B.

3.在四面體Q43C中，。4=.,OB=b，OC=c,點(diǎn)。滿(mǎn)足8￡>=28C，E為A。的中點(diǎn),

S.OE=-a+-b+-c,則2=()

244

A.1B.-C.-D.\

2433

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可

UUD1r1ririuuriuunimun

【詳解】OE=-a+-h+-c=-OA+-OB+-OC,

244244

iiUUD1HIM1UUD

其中E為中點(diǎn)，有OE=^OA+^OD，故可知OD^-OB+-OC,

則知D為BC的中點(diǎn)，故點(diǎn)D滿(mǎn)足BD=；BC,2=g.

3.共面

【典例分析】

已知空間中四個(gè)點(diǎn)。，A,B,C,｛。4,。民。4為空間的一組基底，則下列說(shuō)法正確的是

()

A.O,A,B,C四點(diǎn)共線(xiàn)

B.0,A,B,C四點(diǎn)共面，但不共線(xiàn)

C.0,A,B,C四點(diǎn)不共面

D.|OA|=|OB|=|OC|=I

【答案】c

【分析】根據(jù)空間向量的基底分析判斷即可.

【詳解】?；{OA,。8,OC}為空間的一組基，

OA.OB,0c三個(gè)向量不共面，即0，A,B,C四點(diǎn)不共面.而OA,OB,0C不一定

為單位向量，

...ABD錯(cuò)誤，C正確，

【變式訓(xùn)練】

1.已知空間四點(diǎn)A(4,l,3),3(2,3,1),C(3,7,-5),。(y—1,3)共面，則x的值為()

A.4B.1C.10D.11

【答案】D

【分析】求得AB、AC、4。的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知存在實(shí)數(shù)4、〃，使得AQEAB+/MC,

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于；I、〃、x的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)*的值.

【詳解】依題意得"=(-2,2,-2),AC=(-1,6-8),AD=(x-4,-2,0),

A、8、C、。四點(diǎn)共面，AB、AC、AO共面，

存在實(shí)數(shù)；I、〃，使得4D=4AB+〃4C,

x-4=-IX-A=-4

即(x_4,_2,0)=(_24_〃,2/l+6〃,_24_8〃)，所以,-2=22+6//,解得=1.故選：D.

0=-2/l-8〃[x=\\

2.已知4,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C

一定共面的是

A.OM=OA+OB+OCB.OM=OA+2OB+3OC

C.OM=-OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

222333

【答案】D

【分析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在4〃使得

AM=AAB+JLIAC,由此得出正確選項(xiàng).

[詳解】不妨設(shè)0(0,0,0),4(1,0,1),8(0,0,l),C(0,1,1).

對(duì)于A選項(xiàng)，OW=Q4+O3+OC=(1,1,3),由于M的豎坐標(biāo)3>1,故M不在平血ABC上，

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，OM=OA+2O8+3OC=(1,3,6),由于"的豎坐標(biāo)6>1,故M不在平面A8C上,

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，OM=：OA+；O8+：OC=(；,；,：),由于M的豎坐標(biāo);>1,故M不在平面

444\乙乙乙J乙

A8C上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，OM=：OA+；OB+；OC=m，l),山丁M的豎坐標(biāo)為1，故M在平面ABC

上，也即A,B,C,M四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：

由OM=goA+goB+"c,得OM-OA=；(O3-0A)+他C-OA),

即AM=gA8+g4C,故存在4=〃=g,使得AM=2A8+〃AC成立，也即A,B,C,M四點(diǎn)

共面.

3.已知A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)于平面ABC外的任一點(diǎn)0,下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一

定共面的是

A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)“與點(diǎn)A民C共面，可得x+y+z=l,驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】設(shè)0M=x0A+y0B+z0C,若點(diǎn)M與點(diǎn)4民。共面,，則x+y+z=l,只有選項(xiàng)D

滿(mǎn)足，.故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共面定理的應(yīng)用，其中熟記點(diǎn)”與點(diǎn)AB,C共面時(shí)，且

OM=xO4+yO8+zOC,則x+y+z=l是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能

力.

4.空間向量概念綜合

【典例分析】

下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）.

①若a與b共線(xiàn)，6與e共線(xiàn)，則a與e共線(xiàn).

②向量d,b,C共面，即它們所在的直線(xiàn)共面.

③如果三個(gè)向量a,b,C'不共面，那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量?，存在有序?qū)崝?shù)組（X,y,z）,

使得p=xa+yb+zc.

④若a,。是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，而c=+且則｛〃力,。｝是空間向量

的一組基底.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】舉例。=0,判斷①，由向量共面的定義判斷②，由空間向量基本定理判斷③，由共

面向量定理和空間向量基本定理判斷④.

【詳解】①當(dāng)匕=0時(shí).，。與c不一定共線(xiàn)，故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)a,b.C共面時(shí)，它們所在的直線(xiàn)平行于同一平面，或在同一平面內(nèi)，

故②錯(cuò)誤；

由空間向量基本定理知③正確；

④當(dāng)a,/?不共線(xiàn)且c=+時(shí)，a,b>C共面，故④錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.以下命題

①忖51=4+61是4,方共線(xiàn)的充要條件;

②若｛a,b,c｝是空間的一組基底，則｛a+6,8+c,c+a｝是空間的另一組基底：

③［伍0）0\=\a\\b\-\c\.

其中正確的命題有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】①共線(xiàn),反之不成立,即可判斷出結(jié)論；

②利用基底的定義即可判斷出真假；

③l（a.5）CRaM〃McMcosva,b>|,即可判斷出真假.

【詳解】①|(zhì)alT&ITa+〃l=a，6共線(xiàn)，反之不成立，

|〃|_|切=|〃+/,|是d,b共線(xiàn)的充分不必要條件，因此不正確；

②若伍，h,，｝是空間的一組基底，假設(shè)a+6,b+c,c+a共面，

則存在唯——組實(shí)數(shù)X，y，使<7+。=H6+°)+丫(C+“)成立，

即a+6=xb+(x+y)c+ya,

所以x=l,y=I,x+y=O,顯然無(wú)解，

假設(shè)不成立，即a+5,5+C,C+a不共面，

則伍+〃，b+c,c+a｝是空間的另一組基底，正確；

?|(?.*)<?1=1?W*Mc|cos<a,b>,而cos<a,b>不一定等于1,

因此不正確.

其中正確的命題有一個(gè).

2.以下四個(gè)命題中正確的是()

A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示

B.若｛“涉,c｝為空間向量的一組基底，則｛〃+伉〃+c,c+〃｝構(gòu)成空間向量的另一組基底

C.A/WC為直角三角形的充要條件是AB-AC=0

D.任何三個(gè)不共線(xiàn)的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量基底的定義：任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，

逐一分析A,B,?？膳袛噙@三個(gè)結(jié)論的正誤；根據(jù)向量垂直的充要條件，及直角三角形的

幾何特征，可判斷C的真假.

【詳解】對(duì)A,空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量表示，A中忽略三個(gè)基底

不共面的限制，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,若｛a,b,c｝為空間向量的一組基底，則a,瓦工三個(gè)向量互不共面；則a+0,b+c,c+a,也

互不共面，故｛a+"b+c,c+a｝可又構(gòu)成空間向量的一組基底，故8正確；

對(duì)C,AB.AC=OoAABC的ZA為直角nAABC為直角三角形，但AABC為直角三角形時(shí)，

ZA可能為銳角,此時(shí)AC>0，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，三個(gè)向量不共線(xiàn)時(shí)可能共面，

故D錯(cuò)誤；

3.在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()

①同一憐|=|a+可是。，力共線(xiàn)的充要條件；②若a〃/>,則存在唯一的實(shí)數(shù)人使a=A；

③對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C,若。？=2。乂-208—0。，則尸，A,B,

C四點(diǎn)共面；④若｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，貝弘a+力，b+c,c+。｝構(gòu)成空間的

另一個(gè)基底；⑤l(a*>c|=|a|-|“|c|.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用不等式母I-出留a+川等號(hào)成立的條件判斷①即可；利用0與任意向量共線(xiàn)，

來(lái)判斷②是否正確；利用共面向量定理判斷③是否正確；根據(jù)不共面的三個(gè)向量可構(gòu)成空間

一個(gè)基底，結(jié)合共面向量定理，用反證法證明即可判斷④；代入向量數(shù)量積公式驗(yàn)證即可判

斷⑤.

【詳解】對(duì)①，：向量4、匕同向時(shí)，向-也罔。+可，,不滿(mǎn)足必要性，二①錯(cuò)誤；

對(duì)②，當(dāng)人為零向量，d不是零向量時(shí)，不存在人使等式成立，.?.②錯(cuò)誤；

對(duì)③，若P,A,B,C四點(diǎn)共面，則存在唯一使得c/>=xC4+yCB.

則OP-0C=x(0A-0C)+y(0B-0C),即OP=xOA+yOB+(l-x-^),OC.

x=2

又OP=2OA-2OB-OC，所以，y=-2,方程無(wú)解，故③錯(cuò)誤；

1-x-y=-1

對(duì)④，用反證法，若｛a+b,6+c,c+a｝不構(gòu)成空間的一個(gè)基底；

設(shè)a+Z?=x(/?+d)+(l—x)(c+a)nxa=(x-1)b+c^>c=xa+(1-x)b,IJa,b,C共

面，；｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，，④正確；

對(duì)⑤，V|(a-b)?f|=|d|x|ft|x|cos<a,^>|x|c|<|a||Z>||c|,二⑤錯(cuò)誤.

故選C.

5.空間向量數(shù)量積

【典例分析】

己知正四面體A3。的棱長(zhǎng)為2,E為AB中點(diǎn)，尸為5c中點(diǎn)，則訪(fǎng).啟=()

A.gB.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】利用向量h),6,n為基底表示訪(fǎng),石，再根據(jù)數(shù)量積求解即可.

【詳解】解：如圖，因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)

TT1—TT'I—I->

所以EZ>===

因?yàn)橹顾拿骟wABC￡>的棱長(zhǎng)為2,

所以訪(fǎng)./=(訪(fǎng)-；/

~2

1—T1—IT->1—T

=-ABAD——AB+-ADAC——ABAC

2424

=—x2x2xcos60-—x22+—x2x2xcos60--x2x2xcos60

2424

一

—1—1+1i—1=-1

22

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為a,E,尸分別是8C,AD的中點(diǎn)，則AEAE的值為()

A.-a2B.-a2C.a2D.^-a2

424

【答案】A

T1T

【分析】利用向量的中點(diǎn)公式表示幾和然后利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可

求解.

【詳解】由題意，正四面體A8C7)如圖所示,

因?yàn)镋,尸分別是BC,AO的中點(diǎn)，

->]TT—>1

所以AE=—(AB+AC),AF=-AD,

22

又因?yàn)檎拿骟wA8C￡>的棱長(zhǎng)都為a,所以<第?,&)>=</,AB>=60，

f-*1fT1TlfTf711

故AE.AF=-(AB+AC)-AD=-(AB.AD+AC.AD)=-(a2cos60°+<rcos60°)=-<r.故選:A.

22444

2.四面體OA8C的所有棱長(zhǎng)都等于0,E,F,G分別為04,OC,8c中點(diǎn)，則GE-GF=

【答案】1##0.5

【分析】取定空間的一個(gè)基底，用基底表示GE,GF>再計(jì)算空間向量數(shù)量積作答.

【詳解】四面體。43c的所有棱長(zhǎng)都等于收，則此四面體是正四面體，040B,。。不共面,

OAOB=OCOB=>/2xy/2cos60=1.因E,F,G分別為。4,OC,BC中點(diǎn)，

則GE=GC+C0+0E=1BC-0C+10A=』0A-，08-L0C,GF=--OB,

222222

所以G￡GF」(-OA+O8+OC)-O8」(-OA.OB+O82+OC.O8)=L

442

故答案為：；

3.如圖，空間四邊形ABCO的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是48,AD,

0c的中點(diǎn)，則尸G-A8=()

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得尸G-AB.

【詳解】依題意，￡,￡6分別是48,4￡>,。。的中點(diǎn),

所以FG〃AC,FG=，AC,

2

三角形ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1.

所以FG-A8=gACA3=gkcHA@-cos60°=；.

6.空間向量求長(zhǎng)度

【典例分析】

如圖，平行六面體ABC。-48cA的底面ABC3是邊長(zhǎng)為1的正方形，且

NAAO=NAAB=60。，A4,=2,則線(xiàn)段AG的長(zhǎng)為（）

A.76B.V10C.VHD.2G

【答案】B

【分析】先以為基底表示空間向量4G,再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.

【詳解】解：AC：=(A8+8C+CG『=(A8+AO+AAj，

2-2-2

=AB+AD+A4t+2ABAD+2ABAA]+2ADAA]，

=1+1+4+2x1x2xcos60+2xlx2xcos60，

=10,所以AC|=JiU,故選：B

【變式訓(xùn)練】

1.在平行六面體ABC。-4與GR中，AB=BC=BB『1,ZABB、=ZABC=NB、BC=(,

AE=2BDt,貝iJlgEh()

A.733B.5C.3亞D.3

【答案】B

UUUUUUUUUUtl

【分析】由4E=3BA+8M+25C,則結(jié)合已知條件及模長(zhǎng)公式即可求解.

uuiruuiruiruimuuuruir/uiruuurnisi、uiruuurnun

【詳解】解：B]E=B]B+BA+AE=B]B+BA+liBA+BB,+BC\=3BA+BB}+2BC,

所以

iUULi|2/uiriiuiruun"iinrp.uuirplUun!?uiruuiruuruunuiruun

++2BC]=32倒+陰+22BC+6BA?BB1+4BB】?BC+12BA?BC

=32+l2+22+6xlxlxi+4xlx1X14-12xlxlxl=25,

222

IuuirI

所以|耳目=5,

2.如圖，在平行六面體ABCD-ABCQ中，M為AC與的交點(diǎn)，若A⑷=|A聞=|A%=1,

ZAA,Dt=90,NA4,4=4A〃=60,則心閘的值為()

【答案】D

【分析】將4M用基底｛AA,4耳,AR｝表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛8CO為平行四邊形，且ACBD=M,則用為B。的中點(diǎn)，

B｝M=B,B+BM=B]B+^BD=B]B+^AD-AB^=AtA-^AtB1+^AiD],

則18M=畀（24"旦+匈

1I■■■?2?2-2

=-^\A+44+4A_4AA.4g+4AA.A0_24%AQ

=—>/6-4xl2xcos60-2xl2xcos60=——.

22

3.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為平行四邊形，且AB=”=6,4)=2,

Z&4￡>=ZBAP=Zft4P=60°,E,尸分別為PB,PC上的點(diǎn)，且PE=2E8，PF=FC，|^|=

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件選定基底向量AB,ARAP，并表示出EF，再利用向量運(yùn)算即可得解.

【詳解】在四棱錐P-MCD中，底面ABCD為平行四邊形，連接AC,如圖，PE=2EB，

PF=FC，

則EF=EB+BA+AP+PF=；PB-AB+AP+^PC=1PB-AB+AP+^(AC-AP)

=-(AB-AP)-AB+AP+-(AB+AD-AP)=--AB+-AD+-AP=-(-AB+3AD+AP),

326266

又AB=A/>=6,AD^2,ZBAD=ZBAP=ZDAP=60°,

則AD=A尸?AO=6x2xcos60=6，AB-AP=6x6xcos60=18，

因此，|￡F|=-{(-AB+3AD+AP)2=1VAZJ2+9AD2+AP1-6AB-AD+6ADAP-2ABAP

66

△136+9x4+36-6x6+6x6-2x18=&.故選:B

6

7.數(shù)量積最值與范圍

【典例分析】

已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2,則

尸M/N的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得尸用.9=尸。27,根據(jù)正方體的特點(diǎn)確

定忸。|最大值和最小值，即可求解

【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，則OM=ON=L

PM.PN=（PO+OM、（PO+ON）=PO：PO.（OM+ON）+OM.ON,

因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，

所以O(shè)M+ON=0，溜?.揭=-1,

所以PMPN=PO'-1，

又點(diǎn)尸在正方體表面上運(yùn)動(dòng),

所以當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時(shí)，|「。|最大，且最大值為6；

當(dāng)P為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，|「。|最小，且最小為1;

所以04Po2-142，

所以PM-PN的取值范圍為[0,2],

【變式訓(xùn)練】

1.已知球。的半徑為2,A、B是球面上的兩點(diǎn)，月.48=26,若點(diǎn)P是球面上任意一點(diǎn)，則

P4P8的取值范圍是（）

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[0,1]D.[0,3]

【答案】B

【解析】作出圖形，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M,利用向量的加法法則可得=

PB=PM-MA＞可得出PA-PB=pM『-|M4]=pM2-3,求出卜必的最大值和最小值，即

可得!lIPA-PB的取值范圍.

【詳解】作出圖形，取線(xiàn)段A8的中點(diǎn)M,連接OP、OA、OB、OM、PM，可知

由勾股定理可得卜=1,且有M8=-M4，

由向量的加法法則可得PA=/W+MA，PB=PM+MB=PM-MA<

PAPB=(PM+MA^PM-M4)=PM2-MA?二-=|PM|2-3.

PM=PO+OM，由向量的三角不等式可得卜。卜|OM|WPM卜|PO|+|OM],

,1.1<|PM|<3,所以，PA-PB=\PM^-3e[-2,6].

因此，PB的取值范圍是12,6].故選：B.

2.已知q,6,6是空間單位向量，4?6=4,%=6W=§,若空間向量a滿(mǎn)足

a=xq+y/(x>0,y>0),同=4,則的最大值是.

【答案】巫

3

【分析】由忖=4列方程，利用已知條件化簡(jiǎn)74,結(jié)合基本不等式求得的最大值.

【詳解】依題意q,6，華是空間單位向量，Ra=xe[+ye2(x>0,y>0),

,+：xy+y2

.2T

+2xyete2-kye2==4,

=16,

=ga+y),

e3=xex?e3+ye2?e3

16=x2+y2+|j￡y=(x+y)2-1xy>(x+3；)2-1x

當(dāng)且僅當(dāng)x=y="時(shí)等號(hào)成立，所以(x+獷W24,x+yW2卡，

所以a-e：=2(x+y)4lx2\/^=4g.故答案為：

33V-7333

3.正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為4,空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|P8+PC|=2夜，則月尸.刊5的取值范

圍為()

A.[4-2A/3,4+273]B.

C.[4-3血,4-a]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分別取8C,AC)的中點(diǎn)E,F,由題意可得點(diǎn)尸的軌跡是以E為球心，以及為半徑

的球血，又APP￡>=4-|"f,再求出網(wǎng)的最值即可求解

【詳解】分別取8C,AO的中點(diǎn)E,F,則08+尸4=|2尸耳=2忘，

所以|PE卜近，

故點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以及為半徑的球面,

APPD=-(PF+E4)(PF+FD)=-(PF+FA)(PF-FA]=|E4|2-|PF|2=4-|PF|2,

又ED=y]DC2-CE2=V16-4=疵=2&EF=4DE。一DF?=712-4=般=272，

所以依|=EF-?=五,PF\=EF+6=3五,

IIminImax

所以AP?尸。的取值范圍為[T4,2].故選：口.

8.空間長(zhǎng)度最值與取值范圍

【典例分析】

如圖，直三棱柱ABC-ABG中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=\,NACB=90。，點(diǎn)。是A田的中

點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面例8由（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn).要使A81_L平面GDF,則線(xiàn)段GF的長(zhǎng)的最大

c.半D.V5

272

【答案】A

【分析】取8月上靠近鳥(niǎo)的四等分點(diǎn)為E,山題易知A與，再利用空間向量證得

ABX1DE,即當(dāng)F在。E上時(shí)，Ag_L平面CQF,然后求得答案.

【詳解】取B與上靠近用的四等分點(diǎn)為E,連接DE,當(dāng)點(diǎn)F在DE上時(shí)?，A耳，平面CQF,

證明如下：

因?yàn)橹比庵鵄BC-A4G中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,ZACB=90°,點(diǎn)。是A圈的中

點(diǎn)，所以G。，平面44g8,所以CQJ.A4

以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，CM，GBC8分別為x軸，y軸，z軸建系；

所以41,0,2),B,(0,1,0),嗎］，0)，4(0，1，1)

即明=(-l,l,-2),DE=(-l11)

222

此時(shí)曲?OE=0,即A4J.DE

所以平面GOE,故當(dāng)F在DE上時(shí)，4瓦_(dá)1平面6。/，

很明顯，當(dāng)E、F重合時(shí)，線(xiàn)段C7最長(zhǎng)，此時(shí)6尸=乎故選A

【變式訓(xùn)練】

1.棱長(zhǎng)均為3的三棱錐S—A8C,若空間一點(diǎn)「滿(mǎn)足SP=xS4+ySB+zSC(x+y+z=l),則

|SP|的最小值為()

A.y/6B.無(wú)C.在D.1

36

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量基本定理知，尸與A,B,C共面，則15Pl的最小值為三棱錐的高，

由條件求出三棱錐的高即可.

【詳解】由SP=xS4+yS8+zSC(x+y+z=l),根據(jù)空間向量基本定理知，P與A,B,C

共面.

貝|JISP|的最小值為三棱錐的高,，

設(shè)。為$在面ABC上的射影，由條件可得三棱錐S-ABC為正三棱錐.

連接CO并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)H，則CH±AB

所以CH=~~、CO=6所以〃=不3?！?6)=>/6故選：

s

2.設(shè)點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為4的正方體A88-ABCQ的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在面8CC內(nèi)所在的平面

內(nèi)，若平面QPM分別與平面ABCQ和平面BCG媯所成的銳二面角相等，則點(diǎn)尸到點(diǎn)C1的

最短距離是

A.—B.任C.2D.城

253

【答案】B

【分析】以。為原點(diǎn)，為x軸。c為y軸。。?為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算三個(gè)

平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：2x+z=0,再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到答案.

【詳解】'以。為原點(diǎn)，AO為X軸OC為y軸。A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則M(2,0,0),D(0,0,4),P{x,4,z)易知：平面A3C￡>的法向量為4=(0,0,1)

平面BCC、B、的法向量為%=(0,1,0)設(shè)平面RPM的法向量為：%=(a,b,c)

2x+z—4

貝ij々.M/[=0na=2c,取c=l,a=2n,-MP=0=>2(x-2)+4fo+z=0^>Z>=-———-----

2x+z—4

%=(2,-J)

4

平面DXPM分別與平面ABC。和平面BCG旦所成的銳二面角相等

=2x+z=0或2x+z=8看作BCB6平面的兩條平行直線(xiàn)，到G的距離.

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，點(diǎn)尸到點(diǎn)G的最短距離都是：卡=當(dāng)故答案為B

3.正方體ABCD-AIBIGDI的棱長(zhǎng)為1,平面AiBCQi內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)P,滿(mǎn)足到點(diǎn)Ai的距離

與到線(xiàn)段CiDi的距離相等，則線(xiàn)段PA長(zhǎng)度的最小值為

A.—B.立C.6D.41

222

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得點(diǎn)P在以點(diǎn)Ai為焦點(diǎn)、以CQi為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上,

由此可得點(diǎn)P坐標(biāo)間的關(guān)系，然后根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式求解可得結(jié)果.

【詳解】如圖，以AQi的中點(diǎn)01為原點(diǎn)，以AQi為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

O,-xyz,

由于動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,的距離與到線(xiàn)段CIDI的距離相等,

所以點(diǎn)P在以點(diǎn)Ai為焦點(diǎn)、以CQi為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)匕由題意得，在xOy平面內(nèi)，拋物線(xiàn)

的方程為V=2x,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y,0),則V=2x,所以

1PAi=J(x_；y+y2+]=?x-；y+2x+i=J(A+；A+I,

又xNO,所以當(dāng)x=0時(shí)，IP*有最小值，且|PA|mM=JF=乎.故選C.

9.空間角度范圍最值

【典例分析】

如圖，在棱長(zhǎng)為3G的正方體中，點(diǎn)P是平面48G內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

IAPI+IP41=5+2萬(wàn)，則直線(xiàn)8f與直線(xiàn)AR所成角的取值范圍為（）（參考數(shù)據(jù)：

43

sin53°=j,sin37°=|）

A.[37°,53°]B.[37%900]

C.[53°,90°]D.|37°,127°]

【答案】B

【分析】取BG的中點(diǎn)E,作點(diǎn)名在平面ABG內(nèi)的投影。，過(guò)。作OFUBC、交AB于點(diǎn)尸，

連結(jié)用。、AtE,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OE、0B1所在直線(xiàn)為x、V、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)p5,y,。），利用IPOI+IP8/=后+舊求出的關(guān)系，然后根據(jù)

PR

cos<PB\,BC\的范圍求角的范圍.

Iy41,1-C1|

【詳解】解：取BG的中點(diǎn)E，作點(diǎn)用在平面ABG內(nèi)的投影0,過(guò)。作。尸〃BG交AB于

點(diǎn)F,連結(jié)4。、AE,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。尸、0E、。用所在直線(xiàn)為X、y、Z軸建

立空間直角坐標(biāo)系如圖，

根據(jù)題意，得D(0,0,-6),3,(0,0,3),B&屈,—,0),G(-]#，典，。)，

2222

設(shè)p*,y,0),

則PQ=（-x,-6）,PBt=（-x,-y,3）,BC,=（-3x/6,0,0）,|DP|+|PBJ=5+2而，

222

.1Jx+/+36+JY+J+9=后+辰,.x+y=\6,PBt|=5,

記a為直線(xiàn)BF與直線(xiàn)BG所成的角，則a即為直線(xiàn)男尸與直線(xiàn)AQ所成的角，

二.cos<PB「BC、>=釜=/空屋,點(diǎn)尸的軌跡在平面ABG內(nèi)是以。為圓心，4為半

IPBl|.|BCX|5X3V65

徑的圓，

」.T效/4,>I，又Qa為銳角或直角，，蟋收)s<Pg,8。1>|,

sin53°=^4,則cos37o=?4.?.直線(xiàn)耳尸與直線(xiàn)AR所成角的取值范圍為[37。，90°],故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.在長(zhǎng)方體ABCD-AgCQ中，A8=4D=2,伍=1,O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AG上,

若直線(xiàn)。尸與平面ACA所成的角為。，貝hose的取值范圍是()

詆叵

A.V'Tc.T'T

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得sin。的取值范圍，由此求得sin。，即可得解.

【詳解】以。為原點(diǎn)，分別以。4。。，。2所在直線(xiàn)為了，)，*軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示

則0(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),D,(0,0,1),

muuuuuuu

設(shè)P(a,2-a,l)(0Va42),則OP=(a_l』_a,l),AR=(_2,0,l),AC=(_2,2,0),

設(shè)平面ACD,的法向量為n=(x,y,z)

n-AD=-2x+z=0

則〈X令x=l,得〃=（1,1,2）

n?AC=-2x+2y=0

ruiin

nOPa-l+l-。+221

所以sin夕=

V6^（4Z-1）2+（!-?）"+12m^2（6!-1）2+1