北師大初中數(shù)學(xué)七上《2.9 有理數(shù)的乘方》教案 （一）

第二章有理數(shù)及其運算9有理數(shù)的乘方第1課時教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：1．理解有理數(shù)的乘方的意義．2．能進(jìn)行有理數(shù)的乘方運算．教學(xué)難點：乘方運算中的括號、符號問題的正確處理．學(xué)情分析認(rèn)知基礎(chǔ)：有理數(shù)是在小學(xué)算術(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上展開的，它的學(xué)習(xí)使數(shù)表示的對象進(jìn)入了抽象的領(lǐng)域．有理數(shù)與小學(xué)的算術(shù)數(shù)主要有兩大不同：第一，數(shù)字由兩部分組成：符號和絕對值；第二，運算不同，即在小學(xué)四則運算的基礎(chǔ)上，七年級增加了乘方運算．有理數(shù)的乘方是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減乘除的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生掌握了有理數(shù)的加減乘除運算，理解了有理數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化計算，及解決簡單的實際問題．通過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟悉了先確定符號再求絕對值的算法，為本節(jié)的深入學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．雖然學(xué)生接觸過簡單的平方及立方運算，但對乘方運算及結(jié)果變化規(guī)律很陌生．活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生通過探索有理數(shù)的加減乘除的運算法則和運算律的過程，親身經(jīng)歷了歸納、猜測、驗證、推理、計算、交流等數(shù)學(xué)活動，理解了有理數(shù)的算理，初步體會了化歸的思想方法，體驗了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及數(shù)學(xué)活動的探索性及創(chuàng)造性．教學(xué)目標(biāo)1．在現(xiàn)實背景中，理解有理數(shù)的乘方的意義．2．能進(jìn)行有理數(shù)的乘方運算，進(jìn)一步體會化歸的思想方法．教學(xué)方法本節(jié)課是按照“問題引入——建立模型——解釋應(yīng)用及拓展”的模式展開的，首先通過細(xì)胞分裂的具體實例，使學(xué)生理解有理數(shù)的乘方的意義，然后引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法，通過觀察、分析、歸納概括得到乘方的定義，進(jìn)而運用轉(zhuǎn)化的方法將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，便于學(xué)生理解和接受，順利進(jìn)行有理數(shù)的乘方運算，進(jìn)一步體會化歸的思想方法．教學(xué)過程一、問題引入設(shè)計說明教師通過設(shè)置問題串，提出具有迷惑性的問題，在引導(dǎo)學(xué)生思考的基礎(chǔ)上不斷激活學(xué)生思維、引發(fā)認(rèn)知沖突，帶著問題學(xué)習(xí)新課．教材“細(xì)胞分裂”引例．教學(xué)說明對于“細(xì)胞分裂”學(xué)生可能感覺比較抽象，教師可結(jié)合“細(xì)胞分裂示意圖”引導(dǎo)學(xué)生理解，從而正確地表示出每次分裂后的細(xì)胞個數(shù)．二、建立模型1．乘方定義設(shè)計說明借助學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，運用類比的方法，進(jìn)行乘方定義的學(xué)習(xí)．請學(xué)生一邊思考一邊回答下列問題：相同因數(shù)相加時，用乘法表示：5＋5＋5＝5×3；相同因數(shù)相乘時，可以只寫一個因數(shù)，右上角寫上相同因數(shù)的個數(shù)：5×5×5＝53；設(shè)正方形的邊長為a，正方形的面積是a2；設(shè)正方體的邊長為a，正方形的體積是a3.請學(xué)生觀察各式中因數(shù)的特點，對學(xué)生的歸納進(jìn)行總結(jié)，得出乘方的定義及有關(guān)的概念．(1)定義n個相同的因數(shù)a相乘，記作an，即.求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．(2)讀法an讀作“a的n次冪”(或“a的n次方”)．n是2時，讀作平方，52讀作5的平方、二次方或二次冪．n是3時，讀作立方，53讀作5的立方、三次方或三次冪．任何數(shù)可以看成本身的1次方，1省略不寫．練習(xí)：說出下列各式的意義、讀法、底數(shù)、指數(shù)：32、(－2)3、－23、(－1)9、－19.請學(xué)生思考乘方運算與前面學(xué)習(xí)的加減乘除運算的區(qū)別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：(1)乘方是一種運算，是一種特殊的乘法．①小學(xué)學(xué)過加減乘除四則運算，乘方是第五種運算；②加減是一級運算，乘除是二級運算，乘方是三級運算．因此有理數(shù)的混合運算法則應(yīng)是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的．(2)冪是乘方運算的結(jié)果，(－2)3中，－2是底數(shù)，3是指數(shù)，冪是－8.運算加法減法乘法除法乘方結(jié)果和差積商冪教學(xué)說明本環(huán)節(jié)三次運用了類比的方法．通過類比乘法及平方、立方運算定義得出乘方運算定義，通過乘方運算與加減乘除的類比使學(xué)生進(jìn)一步在整體上理解乘方運算，由運算的級別自然得到了混合運算的法則，為后面有理數(shù)的混合運算的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．通過冪與和、差、積、商的類比使學(xué)生理解冪是乘方運算的結(jié)果．練習(xí)的設(shè)置既是考查學(xué)生對乘方定義的理解，更是進(jìn)一步研究乘方運算的重要鋪墊，一定給學(xué)生足夠的時間和空間討論交流，使學(xué)生深入理解它們的區(qū)別和聯(lián)系．2．乘方的運算設(shè)計說明借助學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，運用轉(zhuǎn)化的方法，進(jìn)行乘方運算的學(xué)習(xí)．請學(xué)生思考如何進(jìn)行乘方運算，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，得出根據(jù)乘方的定義，an表示n個a相乘，可以將乘方的運算轉(zhuǎn)化為乘法運算．例1計算：(1)53；(2)(－3)4；(3)－34；(4)－(－34)；(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3；(6)eq\f(23,3).解：(1)53＝5×5×5＝125；(2)(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81；(3)－34＝－3×3×3×3＝－81；(4)－(－34)＝－(－3×3×3×3)＝－(－81)＝81；(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；(6)eq\f(23,3)＝eq\f(2×2×2,3)＝eq\f(8,3).先請學(xué)生觀察、討論②③④小題及⑤⑥小題的意義有什么不同，在學(xué)生口述的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生動手自己解決問題，最后聯(lián)系前面的練習(xí)將括號問題進(jìn)行總結(jié)：(1)括號的有關(guān)問題共三種情況：①形如－an(a＞0)的乘方可稱為沒括類，例如－34；②形如(－an)(a＞0)的乘方的括號可稱為全括類，例如(－32)；③形如(－a)n(a＞0)的乘方的括號可稱為半括類，例如(－3)2.沒括類、全括類的乘方底數(shù)為正，半括類的乘方底數(shù)為負(fù)，除底數(shù)外，三種類型的括號意義、讀法都不同，結(jié)果也可能不同，要注意區(qū)別與聯(lián)系．(2)乘方運算特別注意括號：①負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)乘方用括號括起來，加與不加括號的意義不同；②括號加的位置不同，意義不同．如果學(xué)生運算熟練，例2可以進(jìn)一步要求學(xué)生省略寫成乘法形式，直接求出結(jié)果．例2計算(1)103；(2)－(－3)2；(3)－(－32)；(4)－(－24)；(5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3；(6)－eq\f(43,3).解：(1)103＝1000；(2)－(－3)2＝－9；(3個負(fù)號)(3)－(－32)＝－(－9)＝9；(2個負(fù)號)(4)－(－24)＝－(－2×2×2×2)＝－(－16)＝16；(2個負(fù)號)(5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,27)))＝eq\f(1,27)；(4個負(fù)號)(6)－eq\f(43,3)＝－eq\f(4×4×4,3)＝－eq\f(64,3).(1個負(fù)號)先請學(xué)生動手自己解決問題，然后觀察、討論每一個算式的符號與后面的結(jié)果的符號有什么內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，將符號問題進(jìn)行總結(jié)：(1)乘方運算與乘法、除法運算具有共性，關(guān)鍵是數(shù)負(fù)號的個數(shù)：沒括類的乘方的結(jié)果有一個負(fù)號，例如－32＝－9；全括類的乘方的結(jié)果有一個負(fù)號，例如(－32)＝－9；半括類的乘方的結(jié)果符號看指數(shù)的個數(shù)，指數(shù)為偶數(shù)結(jié)果為正，指數(shù)為奇數(shù)結(jié)果為負(fù)，例如(－3)2＝9，(－3)3＝－27.(上述各題負(fù)號的個數(shù)參看例2后面?zhèn)渥?(2)五種運算既有相同之處(都是先定符號再定絕對值)，又有不同之處(五種運算可分為兩類，加減一類，乘法、除法、乘方一類．加法、減法運算具有共性可將減法變?yōu)榧臃?，再由加?shù)絕對值的大小確定和的符號；乘方運算與乘法、除法運算具有共性，確定結(jié)果的符號關(guān)鍵是數(shù)算式中負(fù)號的個數(shù))．教學(xué)說明括號運算與符號運算是本節(jié)課的難點，也是本章的易錯點，雖然教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，但學(xué)生的錯誤仍然屢見不鮮．例1的設(shè)計主要針對括號問題，沒括、全括及半括的提法雖然值得商榷，但通過細(xì)致的分類討論，成功地突破了本節(jié)課的難點；例2的設(shè)計主要針對符號問題．符號問題是有理數(shù)運算的核心問題，本節(jié)課沒有要求學(xué)生記憶有理數(shù)乘方的符號法則，而是分析了乘法、除法、乘方運算的共同點，完成了知識的同化，從而引導(dǎo)學(xué)生熟練進(jìn)行有理數(shù)的乘方運算．三、總結(jié)反思1．以學(xué)生討論的方式對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)：你有哪些收獲？得到哪些啟示？2．你還需要我的幫助嗎？評價與反思1．有理數(shù)的乘方運算是我們研究的有理數(shù)的第五種運算，與有理數(shù)的加、減、乘、除運算有著密切的聯(lián)系，五種運算既有相同之處，又有不同之處，分析它們