雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教案1 人教課標版

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教案

撰寫：劉文文審核：胡海歐

三點剖析:

一、教學(xué)大綱及考試大綱要求：

.掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質(zhì).

.掌握標準方程中a,。,c?的幾何意義.

.能利用上述知識進行相關(guān)的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題.

-.重點與難點

教學(xué)重點：雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程.

教學(xué)難點：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關(guān)系，雙曲線的另一種定義的得

出過程

三.（）本節(jié)知識理解

橢圓雙也3線

2丁22

X上+工=Y-1

方程——+—=11下『I

6Z2b-a2b2

(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)

;1/干

圖形--------of-~X

T

頂點坐標（±）（,±）(±)(,+)

（,±）（±）

對稱軸

焦點坐標（±）（，士）(±)（，士）

對稱中心(,)

離心率6=￡且0<6<1e=￡且《<1

aa

a2a2,a2

準線方程x=±—x—土——y=±-

c

漸近線方,b,a

y=±—xy=±—x

程ah

（）要點詮釋

.范圍、對稱性

由標準方程二-「=1,從橫的方向來看，直線之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著

a~b~

的增大，的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線?雙

曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心.

.頂點

頂點：4（。,0）,4（-a,0）

特殊點:用（0向,與（0,一6

實軸：44長為2a,叫做實半軸長.

虛軸：與長為，叫做虛半軸長.

雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異.

.漸近線

22

過雙曲線5-斗=1的兩頂點4,4，作軸的平行線％=乜，經(jīng)過片,名作軸的平行線

y^±b,四條直線圍成一個矩形.矩形的兩條對角線所在直線方程是y=±-x（-±^=0）,

aab

這兩條直線就是雙曲線的漸近線.

.等軸雙曲線

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.

等軸雙曲線的性質(zhì)：（）漸近線方程為：y=±x；（）漸近線互相垂直；（）離心率e=J5.

等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=2（20）,當丸＞0時交點在軸，當丸＜0時焦點在軸

上.

.共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為y=±2*=土及%（%＞（））,那么此雙曲線方程就一定

aka

X2222

是:春7伏〉0）或?qū)懻σ?

(ka)2

.雙曲線的草圖

具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置,

然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一

部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線.

.離心率

雙曲線的焦距與實軸長的比e=上^=￡,叫做雙曲線的離心率.范圍：e＞l

2aa

雙曲線形狀與的關(guān)系：k,即漸近線的斜率的

絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它

的開口就越闊.

.共輾雙曲線

以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共加雙曲

線.區(qū)別：三量中不同（互換）相同.

共用一對漸近線.雙曲線和它的共輒雙曲線的焦點在同一圓上.

確定雙曲線的共扼雙曲線的方法：將變?yōu)?

共用同一對漸近線y=±Zx的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為

---4=2（200）,當2>0時交點在軸，當；1<0時焦點在軸上.

［及2

?雙曲線的第二定義：到定點的距離與到定直線/的距離之比為常數(shù)e=￡（c>a>0）的點

a

的軌跡是雙曲線.其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線.常數(shù)是雙曲線的

離心率.

.準線方程:

對于二?-三=1來說，相對于左焦點大（-。,0）對應(yīng)著左準線人：x=-三，相對于右焦點

abc

2

F2(C,0)對應(yīng)著右準線12-.X=—；

c

位置關(guān)系：忖2。><>°?焦點到準線的距離/?=發(fā)（也叫焦參數(shù)）.

CC

對于「一餐=1來說，相對于上焦點￡（0，—c）對應(yīng)著上準線4：卜=一幺；相對于下焦點

crbc

a2

入（o,c）對應(yīng)著下準線乙：丁

.雙曲線的焦半徑

定義：雙曲線上任意一點與雙曲線焦點大，入的連線段，叫做雙曲線的焦半徑?

焦半徑公式的推導(dǎo)：利用雙曲線的第二定義，設(shè)雙曲線

22

―f-—1（6/>0,/?>0）,

ab-

月,尸2是其左右焦點?

則由第二定義：網(wǎng)”=eMF

???,^'\,=e:.\MFt\=\a+ex0\

4h+y

同理1A/閭=|a-ex0|.

即有焦點在軸上的雙曲線的焦半徑公式：

.用=|a+ex0|

,[MH"%|

同理有焦點在軸上的雙曲線的焦半徑公式：

/ME|=|「+e)，oI(其中FF,分別是雙曲線的下上焦點)

\\MF2\^\a-ey0\-

點評：雙曲線焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的區(qū)別在于其帶絕對值符號，如果要去絕對值,

需要對點的位置進行討論。兩種形式的區(qū)別可以記為：左加右減，上減下加(帶絕對值號).

.焦點弦：

定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦.

焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：

設(shè)兩交點A(xt,yt)B(x2,y2)

當雙曲線焦點在軸上時，

焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關(guān)：

過左焦點與左支交于兩點時：=-2a-e(xi+x2).

過右焦點與右支交于兩點時：q=-2a+e(X1+x2).

當雙曲線焦點在軸上時，

過左焦點與左支交于兩點時：|AS|=-2a-e(y|+%)?

過右焦點與右支交于兩點時：|4@=-2。+6(,+%)。

.通徑：

定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦.

直接應(yīng)用焦點弦公式，得到d=空.

a

.直線與雙曲線的位置關(guān)系

精題精講

【例】求雙曲線％2-匕=1的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并

4

作出草圖.

分析：只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答.

X2y~

解：把方程化為標準方程J-二=1

由此可知，實半軸長=,虛半軸長=.

頂點坐標是（一，），（，）

c7a2+及=J〃+22=君焦點的坐標是（一石,）,（V5,）.

漸近線方程為±±上=0,即丁=±2北

12?

22

【例】求與雙曲線看一^=1共漸近線且過A（3j5,-3）的雙曲線的方程.

分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點代入，求

得的值即可.

22

解：設(shè)與二一與,=1共漸近線且過43石3）的

4232

22

雙曲線的方程為「一t=

4232

（3回（_3/11

則---r------7—=，，從而有X=—.

423216

所求雙曲線的方程為占-4二=1.

1199

【例】求雙曲線9y2-16/=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.

解：把方程化為標準方程

4232

由此可知，實半軸長=,虛半軸長=.

c=7?2+b2=，下+3）=5

焦點的坐標是（，-）,（,）.

離心率e————

a4

34

漸近線方程為X=±[＞，即丁=±1》.

【例】雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小

半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程（精確

到1m）.

分析：本題建立合適的坐標系是關(guān)鍵。注意到通風塔有三個特殊的截口圓：上口、下口、最

小的一個截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實軸，所以以最

小截口直徑所在直線為軸，圓心為原點建立坐標系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。

解：如圖所示，建立直角坐標系，使小圓的直徑'在軸上，圓心與原點重合.這時，上、下

口的直徑'、'平行于軸，且'X（）,'x（）.

設(shè)雙曲線的方程為0―2虧=1（a>0,b>0）.

a-b-

令點的坐標為（，）,則點的坐標為（，-）.因為點、在雙曲線上，所以

222

250-55)2=1①且丁13y/1②

127八2

解方程組，得

5b

y=—（負值舍去）

12

252

代入方程①，得二一-J—=1.

122h2

化簡得

H—=③

解方程③（使用計算器計算），得

%（）.

22

所以所求雙曲線方程為e--工=i.

144625

點評：這是一個有實際意義的題目.解這類題目時，首先要解決以下兩個問題：（）選擇

適當?shù)淖鴺讼?；（）將實際問題中的條件借助坐標系用數(shù)學(xué)語言表達出來.

【例】點（）與定點（）的距離與到/：X=幺的距離之比為常數(shù)￡（c>a〉0），求的軌跡方程.

ca

解：設(shè)是點到直線/的距離.根據(jù)題意得

7（x-c）2+y2c

化簡，得「一鼻=1（。>0力>0）

ab

這是雙曲線的標準方程.

［例］】已知雙曲線的離心率為，求它的兩條漸近線的夾角.

【解】設(shè)實軸與漸近線的夾角為。，則。，即。4

2

,九.2

??<7—a—JI

33

...兩漸近線的夾角為〃一女2〃王冗.

33

【點評】（）離心率與。的關(guān)系即。工.

e

2

O要注意兩直線夾角的范圍，否則將有可能誤答為上兀

3

【例】設(shè)點到點（，）、（，）的距離之差為2m,到軸、軸的距離之比為，求的取值范

由期意儲列

【解】設(shè)點的坐標為（，），即土G）.

|x|

二、、三點不共線

*/>,?.

22

.?.點在以、為焦點、實軸長為的雙貢線上".二-一J

m\—m

2/1八

把土代入并整理得哈彩

22

???￡>,?,?一m-(~l-~m~)

l-5/n25

u(,好),

即的取值范圍是（"V5，）

5

X2

【點評】審清題意,列出土（W）及丁一的解題的關(guān)鍵.

m1-m2

【例】如圖一，已知梯形中，II=II,點分有向線段AC所成的比為3雙曲線過、、

三點，且以、為焦點，當上2W4〈3三時，求雙曲線離心率的取值范圍.

34

X2

【解】建立如圖所示的直角坐標系,設(shè)雙曲線方程為三=.圖一

a

?.?雙曲線經(jīng)過點、，且以、為焦點,由雙曲線的對稱性知、關(guān)于軸對稱.

依題意，記(一，)，(￡,力)，E(,),

2

其中,，是梯形的高.

2

由定比分點坐標公式得=(A~2)CAh

2(1+2)T+I

??,點、在雙曲線上，將點、的坐標和上代入雙曲線方程

a

得：

①

~4

e2A-2尸-七可②

4A+1

2

由①得：^=---1代入②并整理得：4=e-l

bz4e2+2

2322

又會444士，得：e-I3

343e?+24

解得V7ww回

...雙曲線離心率的取值范圍為［6,廂］

r?'17、.e1—1'—risfrTfaAL_1+22—2+2,A,+33

.［點評］4=F——也可整理為=------=-------------=-------2

e2+21-21-21-A

觀察知行WW回.

【例】等軸雙曲線的兩個頂點分別為、，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于、兩點.

求證：

()/+/=°：

()_L,±,

x2

【證明】()不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為'

a

設(shè)直線的方程為(>)

如圖一易求得

7a2+〃)圖一

a+b

y/b2-a2lb-i-a

b-ah-a

]

tanNA2X

=（土一N）

2

又N,/均為銳角

???N=0-Z,即N+N=°

根據(jù)對稱性，：.ZIM+Z2M=°

（）仿（）可求得（，—“2_。2）

--〃2“2―〃2

**kMA.=-7~-------------------7----------------=一

-b+ab-a

同理可證，.

【點評】利用對稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明N+/=°為本題證明的突破口，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

意識.

22

【例】已知雙曲線＞）的焦點坐標是（一）和（）（）是雙曲線上的任一點，求

a'b'

證III1,1II-I,其中是雙曲線的離心率.

22

【證明】雙曲線三一與的兩焦點（一）、（），

a~h~

22

相應(yīng)的準線方程分別是一幺和幺.

CC

??,雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應(yīng)準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.

閘II叫

-------7T=e,-------r=e.

a~cr

X（）+——工0-----------

C|C

化簡得：IIII,III-I.

【點評】II、II都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.IgI,III—I

稱作焦半徑公式.

X2V2

【例】在雙曲線2-上求一點，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍.

169

【解】設(shè)點的坐標為（），、分別為雙曲線的左、右焦點.

:雙曲線的準線方程為土史.

VIIII,

...在雙曲線的右支上,

?2|PF2|_|PF2|.48

**16-16'5?

%+—x-

55

把史代入方程工-上得：

5169

±|VH9.

所以，點的坐標為（日，±|Vn9）

【點評】此題也可用焦半徑解答.

【例】己知、是過點（血，）的兩條互相垂直的直線，且、與雙曲線各有兩個交點，且分別

為、和、.

o求的斜率的取值范圍；

o若恰是雙曲線的一個頂點，求的值.

分析：本題涉及了兩個基本問題：一是直線與雙曲線相交于兩點的判定問題，二是直線

被雙曲線截得的弦長問題（連續(xù)曲線上兩點的線段叫曲線的弦）.前一個問題的思想是：直線

,直線方程

與雙曲線相交于兩點O方程組4有兩解；丫一元二次方程有兩個不等的實根

‘雙曲線方程

O判別式△＞；后一個問題的通常解法是不求交點坐標，當方程組經(jīng)過消元化為一元二次方程

后，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解，即

一工2）-+（,-、2）-

22

y11+k?yj（x]+x2）—4X1X2

（其中為直線的斜率）.

解：（）據(jù)題意，、的斜率都存在，

因為過點（、反，），且與雙曲線有兩個交點，故方程組

y=&i（x+&）（&]*0）,

y2-X1=1

有兩個不同的解.

在方程組①中，消去，整理得

（）V2.②

若，直線與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾.故W,即W.

方程②的判別式為

△（V2）（）（）

0.

設(shè)的斜率為，因為過點（、分，），且與雙曲線有兩個交點，故方程組

y=k2(x+y/2\k2^0),

y2-x2-1

有兩個不同的解.

在方程組③中消去，整理得

()V2.④

同理有#,△().

因為，，所以有?，于是、與雙曲線各有兩個交點的充要條件是

3占2-1>。，

3網(wǎng)2-1>0,

喧叫=-1,解得《〈出上點

I

L，

也1*1.

G("\/3，)U(,------)U(-------J)U(,y/3).

33

()雙曲線的頂點為(，)、(，)，取(，)時，有

(V2).

解得V一2.

2

...工=一行，代入方程④得

V2.⑤

設(shè)與雙曲線的兩個交點的坐標為()、(),

則山.

2

J1+/?-J(X1+x2)-4x^2

7(-4A/2)2-12=2V15.

當取(，)時，由雙曲線關(guān)于軸對稱，知

過雙曲線的一個頂點時，岳.

注意：直線方程與雙曲線方程消去后，得()、歷，絕對不能忽視對是否為零的討論,

僅僅從形式上認為是二次方程而去談?wù)摗骱透c系數(shù)的關(guān)系是毫無意義的，所以在解題過程

中用反證法證一下W是非常必要的.

基礎(chǔ)達標：

.（年高考文科卷第小題）雙曲線虛軸的一個端點為，兩個焦點\、，,則雙曲線的離心

率為（）

-^6

'~T'~T'~T

答案：

.中心在坐標原點，離心率為9的圓錐曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）

3

±5±1±1±3

453-4

【解析】

a3a29a3

?.?雙曲線的焦點在軸上，

雙曲線的漸近線方程為土區(qū).

b

???所求雙曲線的漸近線方程為土三3.

4

【答案】

2

以土一為漸近線的雙曲線方程不可能是（）

3

X（XW且入W）

【答案】

2

,焦點為（，）且與雙曲線三一有相同漸近線的方程是（

)

2

廠22222工2廠22

------y--=]-y------x-=[--y------=[-------y-=]

1224,1224-2412,2412

22

【解析】設(shè)所求雙曲線的方程為二-匯.

222

二?雙曲線的一個焦點為（，）在軸上,

:.HV,——A——A9A——.

22

，所求雙曲線方程是匯-二=1.

1224

【答案】

2222

?雙曲線4與與-jy入（入H）有相同的（

a2b2a2

.實軸.焦點.漸近線.以上都不對

【答案】

.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的五倍，且一個頂點的坐標為（，），則雙曲線

的標準方程為（)

22222222

%y-y廠i>廠1y

T~48~~8r

a=2

【解析】由方程組上〃+2。=收?2。

a2+b2=c2

得.

??,雙曲線的焦點在軸上，

22

.?.雙曲線的標準方程為二-L.

44

【答案】

.雙曲線與楠圓二+”有相同的焦點，它的一條漸近線為一，則雙曲線方程為（）

1664

---160----

22

【解析】由橢圓二+2-得其焦點坐標為（，一石）、（，V3）.

1664

，雙曲線的焦點在軸上，

?.?雙曲線的一條漸近線為一，

而5

：.（y/3）2a,

,,，

...雙曲線的方程為一.

【答案】

.實軸長為右且過點（，一）的雙曲線的標準方程是（）

x2y22yx22xy22yx2

20-7620-l6T6-207?-20

【解析】:Z石,石，

雙曲線的焦點在軸上時，則應(yīng)有雙曲線上的點的橫坐標應(yīng)滿足II》店.

而點的橫坐標為，不滿足II》店.

.?.雙曲線的焦點應(yīng)在軸上.

27

設(shè)雙曲線的方程為"-0.

20b2

；點（，一）在雙曲線上，

.254.

20b2

...雙曲線的方程為廣—2.

2016

【答案】

.雙曲線的離心率為正，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是（）

【解析】由特征三角形知，,

V22

二/。，

???兩漸近線的夾角為。.

【答案】

22

?雙曲線的準線方程為（）

a2h2

土±"±±從

>ja2+b2yJa2+b2y/a2+b2yla2+b2

【解析】???雙曲線的焦點在軸上，

2

???雙曲線的準線方程為土導(dǎo)

yja2+Z?

【答案】

2

.雙曲線^/--V'的焦點到準線的距離是（）

97

7257T2523T9

444444

【解析】

雙曲線的焦點坐標是（土，），準線方程是土乙9.

.?.雙曲線的焦點到準線的距離為一=0='7和+N925.

4444

【答案】

.準線方程為土，離心率為五的雙曲線的方程是（）

-----2---------

【解析】?.?雙曲線的準線方程為土，離心率為五，，雙曲線的焦點在軸上，方程是標

準方程，且空,￡=啦.

.??雙曲線的方程為一二+匯.

22

即一.

【答案】

22

.如果雙曲線二-二上一點到它的右焦點的距離為，那么到它的右準線距離是（）

6436

75

【解析】雙曲線的離心率設(shè)所求距離為，則§=』,...四.

?84445

【答案】

22

.雙曲線^--匕?=1的實軸長等于，虛軸長等于，焦點坐標是，離心率是，漸近線方程是.

54

3752^/5

答案：眄F(,),(,)

.雙曲線一的一條準線是，則的值為.

【解析】可知雙曲線的焦點在軸上

22

雙曲線方程可化為卷-今，

mm

:準線是???

即_21口

mVm

解得一M4.

3

【答案】一上4

3

.已知雙曲線的離心率等于，且過點(,),此雙曲線標準方程是.

222

答案：/_"=1或5_二=]

32323

T

.雙曲線的焦距是兩準線間距離的倍，則此雙曲線的離心率等于.

ry2

【解析】???2cX旦.??4%

c

V

【答案】

3

.已知雙曲線的漸近線方程為土則雙曲線的離心率為.

4

【解析】?.?雙曲線的漸近線方程為士±3，，b上;三3或b巳=4?.當b巳=3?時，5-；當b上=二4

4a4a3a44a3

時，-

3

【答案】2或9

43

y~

.若點在雙曲線1上，則到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是.

9

【解析】雙曲線的一條漸近線的方程是，由漸近線的性質(zhì)知，當點是雙曲線的一個頂點

時，到漸近線的距離最大，雙曲線的頂點坐標是（土，），.?.到漸近線的距離的最大值為

|3-0|3V10

VioHo_1

,3加,

【答案】［,-—］

.已知雙曲線的實軸長與虛軸長相等，則雙曲線的離心率為.

［解析】2a,^a2+b2V2.A-V2.

a

【答案】V2

22

.求與雙曲線之一匕有共同的漸近線，并且經(jīng)過點（一，百）的雙曲線方程.

916

22

【解】J?所求雙曲線與雙曲線工-匯有相同的漸近線，

916

22

可設(shè)所求雙曲線的方程為二-二女兒W）.

916

丁點（一，百）在雙曲線上，

..（-3）2（2石）21

??A---------=—.

9164

...所求雙曲線的方程為《-亡.

94

4

.雙曲線《—片與直線一只有一個公共點，求的值.

94

【解】直線一過（，一）點，若使直線與雙曲線只有一個公共點，必須直線與雙曲線的漸

近線平行或直線與雙曲線相切.

當直線與漸近線平行時，雙曲線的漸近線方程是土』.

3

：.±-.

3

’22

三-上=1

當直線與雙曲線相切時，94一=（一）+—=

y=kx-\

△=即()+?(—)?=

解之：=±—

3

綜上可知：=±2或=土』I.

33

22

.過雙曲線二-匯=的右焦點作一條漸近線的平行線，它與此雙曲線交于一點，求與雙曲線

916

的兩個頂點、'所構(gòu)成的三角形的面積.

【解】雙曲線的右焦點為（，）,漸近線方程為1±±=.

尸*5）

由22得二—三?

x2V15

=1

916

,SAW，=^2a-|y|=y.

.雙曲線與圓有公共點（，），圓在點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標準方程.

【解】：點與圓心的連線的斜率為,，.?.過的切線的斜率為.

4

雙曲線的漸近線方程為土.

2

設(shè)雙曲線方程為x二人.???點（，）在雙曲線上，???1」-入，人2上55.

161616

2,2

.?.雙曲線的標準方程為青-J.

255255

16

綜合發(fā)展：

一對共輒雙曲線的離心率分別是和，則的最小值為（）

.V2V2

解析：設(shè)這對共軌雙曲線的方程為

龍2y2y2x2

-5------=1和-------=1(>>)

a2b1b2a2

.y/a2+b2J/+b-

ah

..a2+b2a2+b2,a2+h2

：.0——；—+———+2----------

a"b~ab

=2+瑪+4)+2心+令

ab~ab

》x

當且僅當時，等號成立.

從而當時，取得最小值，

而且最小值為行.

答案：

3

.一條雙曲線的兩條漸近線的夾角為一，則該雙曲線的離心率為（）

2

4

解析：兩條直線夾角指的是兩條直線相交所成的銳角或直角，設(shè)兩條漸近線的夾角是0,

則。士，從而

424

一，或巴

2ah

a4h4

或e=

即：±或2

43

答案：

.雙曲線的兩個焦點分別是（，一）、（，），離心率為，則雙曲線的方程為（）

9x29y29y29x29x29y29y29x2

而一正而一商F-而72?-7OO

【解析】V,-,

.12

"T

125

V

:雙曲線的焦點在軸上,

雙曲線的方程為樂

~9~V

【答案】

.平面內(nèi)動點到兩定點、的距離的差的絕對值是常數(shù)2a,則動點的軌跡是（）

.雙曲線.雙曲線或兩條射線

?兩條射線.橢圓

【解析】2?II時為兩條射線；2?<II時為雙曲線.

【答案】

.如果雙曲線經(jīng)過點（，有），且它的兩條漸近線方程是土，那么該雙曲線的方程是（）

x2x2x2x2y2

VTT

【解析】設(shè)雙曲的方程為二人，???點（，J5）在雙曲線上，...二（、回）入，X.

99

【答案】

22

.設(shè)雙曲線毛-勺=（<<）的半焦距為，設(shè)直線過（）和（，）兩點.已知原點到直線的距離

crb~

為旺,則雙曲線的離心率為（）

4

,73.V2.迪

3

【解析】由題意：—,/.（-）=—

416

整理得：一+=,解之得=或=?4

3

又<<=><—2=>c>2a=>>

故=,.

【答案】

.已知雙曲線的漸近線方程為土，一條準線方程為，則雙曲線的方程為（）

>2x2x2y2y2x2x2y2

VI?Tl?V25T-25

b4a292x2

【解析】由2=2及L=得，，，.?.雙曲線的方程為2v----------.

a3c5916

【答案】

%2y2

.如果雙曲線——二上一點陣字庫到左焦點的距離為，則到右準線的距離為（）

25144

702595

-B1313

【解析】雙曲線的離心率為二13.設(shè)點的橫坐標為，則由焦半徑公式得

5

B13.70

5513

右準線的方程為一，，到右準線的距離為-------.

【答案】

.雙曲線的焦點是(土病)，漸近線方程是±3,則它的兩條準線間的距離是()

2

【解析】?/726,-=-',二=2,兩準線間的距離為生=芻宿.

a2a24-c13

【答案】

.雙曲線的兩條準線把兩焦點所連線段三等分，則它的離心率為()

【解析】VX—=lx2c,

c3

:.3=6

a

【答案】

.已知點在雙曲線-------上，則(

916

到雙曲線中心的距離的最小值為

到雙曲線的準線的最小距離為

到雙曲線的焦點的最小距離為

到雙曲線的焦點既沒有最大值也沒有最小值

【解析】???，，.?.....雙曲線的一個焦半徑公式為上c士5.

：2或?，.?.當時，.

【答案】

.對于雙曲線>J4?+從)填充下列各題:

()它的準線與漸近線交點到中心的距離等于；

()它的焦點到漸近線的距離等于；

()它的虛軸的端點到頂點的距離等于；

()它的焦點到相應(yīng)準線的距離等于；

()當離心率并五時，用表示兩漸近線的夾角的正切的表達式是.

b22-Je2-1

【答案】()()()()—()；「

c2"

.準線方程為，相應(yīng)的焦點為(,)的等軸雙曲線方程是.

【解析】等軸雙曲線的離心率后，由雙曲線的第二定義,

K+y-1

得方程為7(x-l)2+(y-l)2=V2.，化簡吟

【答案】-

2

22

.雙曲線「-與的準線和漸近線的交點到雙曲線中心的距離等于.

02h2

【答案】

22

.雙曲線二-2-上有點，、是雙曲線的焦點，且/工，則△的面積是.

1693

【解析】,：2a2c,

/.（I1-1I）,①

在中，由余弦定理得IIII-II?II工②

3

①一②并整理得II?II.

*'?S&F、PF,^???II?

~23

3

【答案】V3

.已知雙曲線一上一點到左右焦點的距離之比為：，求點到右準線的距離.

閥1=小用

【解】設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點，則有