2019年湖北省鄂州市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年湖北省鄂州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）（2019?鄂州）-2019的絕對值是（）

A.2019B.-2019C.」一D.-二一

20192019

【考點】15：絕對值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用絕對值的定義進而得出答案.

【解答】解：-2019的絕對值是：2019.

故選：A.

【點評】此題主要考查了絕對值，正確把握絕對值的定義是解題關鍵.

2.（3分）（2019?鄂州）下列運算正確的是（）

A.a3,a2—a6B./+/=/

C.（-3a）2=-6a2D.（tz-1）2=a2-1

【考點】46：同底數(shù)幕的乘法；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)塞的除法；4C：

完全平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】各項計算得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式=/,不符合題意；

B、原式=/,符合題意；

C、原式=9/,不符合題意；

D、原式=°2-2a+l,不符合題意，

故選：B.

【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

3.（3分）（2019?鄂州）據(jù)統(tǒng)計，2019年全國高考人數(shù)再次突破千萬，高達1031萬人.數(shù)

據(jù)1031萬用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.1031X106B.1.031X107C.1.031X108D.10.31X109

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為。義10",其中l(wèi)W|a|<10,”為整數(shù),

據(jù)此判斷即可.

【解答】解：將1031萬用科學記數(shù)法可表示為1.031X107.

故選：B.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其

中1W⑷<10,”為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

4.（3分）（2019?鄂州）如圖是由7個小正方體組合成的幾何體，則其左視圖為（）

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】找到從左面看所得到的圖形即可,注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在左主視圖中.

【解答】解：從左面看易得其左視圖為:

【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.

5.（3分）（2019?鄂州）如圖，一塊直角三角尺的一個頂點落在直尺的一邊上，若N2=35°,

則/I的度數(shù)為（）

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角的定義解答即可.

作EF//AB//CD,

：.Z2=ZAEF=35°,N1=NFEC,

VZAEC=90°,

AZ1=90°-35°=55°,

故選：B.

【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/2=NA跖=35。，Z

1=ZFEC.

6.（3分）（2019?鄂州）已知一組數(shù)據(jù)為7,2,5,x,8,它們的平均數(shù)是5,則這組數(shù)據(jù)

的方差為（）

A.3B.4.5C.5.2D.6

【考點】W1：算術平均數(shù)；W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】先由平均數(shù)是5計算無的值，再根據(jù)方差的計算公式，直接計算可得.

【解答】解：?..一組數(shù)據(jù)7,2,5,x,8的平均數(shù)是5,

；.5=工（7+2+5+X+8）,

5

；.x=5X5-7-2-5-8=3,

（7-5）2+（2-5）2+（5-5）2+（3-5）2+（8-5）2]=5.2,

5

故選：C.

【點評】本題考查的是算術平均數(shù)和方差的計算，掌握方差的計算公式：一般地設〃個

2

數(shù)據(jù)，XI,%2,…物的平均數(shù)為K，則方差S2=L[（XI-X）+（X2-X）…+（%-X）

n

勺，是解題的關鍵.

7.（3分）（2019?鄂州）關于x的一元二次方程W-4x+m=0的兩實數(shù)根分別為％1、X2,且

XI+3X2=5,則根的值為（）

A.工B.1C.1D.0

456

【考點】AB：根與系數(shù)的關系.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到尤1+X2=4,代入代數(shù)式計算即可.

【解答】解：?.”1+X2=4,

XI+3x2=XI+X2+2X2=4+2x2=5,

?x,=l

2

把％2=工代入x2-4x+，”=0得：（L）2-4X^+m—0,

222

解得：=—,

4

故選：A.

2

【點評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程aX+bx+c=0

QW0）的根與系數(shù)的關系為：m+眼=-k,X1?X2=￡是解題的關鍵.

aa

8.（3分）（2019?鄂州）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)>=-尤+左與y=K（k為常數(shù),且

X

女W0）的圖象大致是（）

A.B.

c.D.

【考點】F3：一次函數(shù)的圖象；G2：反比例函數(shù)的圖象.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用分類討論的方法可以判斷哪個選項中圖象是正

確的，本題得以解決.

【解答】解：.函數(shù)y=7+A與尸X鼠為常數(shù)，且20）,

X

...當人>0時，y=-x+左經(jīng)過第一、二、四象限，y="經(jīng)過第一、三象限，故選項A、B

X

錯誤，

當左<0時，y=-x+z經(jīng)過第二、三、四象限，y=k經(jīng)過第二、四象限，故選項C正確，

x

選項D錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，

利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

9.（3分）（2019?鄂州）二次函數(shù)y=a/+b尤+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=l.下列

結論：①abc<0；②3a+c>0；③（a+c）2-Z?2<0；④a+bWm（am+b）（相為實數(shù)）.其

中結論正確的個數(shù)為（）

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】①由拋物線開口方向得到。>0,對稱軸在y軸右側(cè)，得到。與b異號，又拋物

線與y軸正半軸相交，得到c<0,可得出“加>0,選項①錯誤；

②把b=-2a代入a-b+c>Q中得3a+c>0,所以②正確；

③由x=l時對應的函數(shù)值<0,可得出a+b+c<0,得至lja+c<-b,由a>0,c>0,-b

>0,得到（）a+c）之-b2<Q,選項③正確；

④由對稱軸為直線X=l,即x=l時，y有最小值，可得結論，即可得到④正確.

【解答】解：①：拋物線開口向上，二?！?。，

:拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，；.b<0

??,拋物線與y軸交于負半軸，

.,.c<0,

.".abc>0,①錯誤；

②當尤=-1時，y>0,.,.a-b+c>0,

；一^-=1，:.b=-2a,

2a

把b=-2a代入a-/?+c>0中得3〃+c>0,所以②正確；

③當％=1時，y<0,a+b+c<0,

a+c<-b,

c>0,-Z?>0,

（〃+c）2<（-/?）2,即（〃+c）2-Z?2<0,所以③正確；

@???拋物線的對稱軸為直線I=1,

；.x=1時,函數(shù)的最小值為a+、+c,

a+b+c^zanf'+mb+c,

即機（am+b）,所以④正確.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)〃決定拋物線的開口方向

和大小.當〃>0時，拋物線向上開口；當〃<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)匕和

二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置：當。與"同號時，對稱軸在y軸左；當。與b異

號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）.拋

物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：△=廿-4碇>0時，拋物線與x軸有2個交點；△

=廿-4*=0時，拋物線與％軸有1個交點；△=廿-4〃°<0時，拋物線與x軸沒有交

點.

10.（3分）（2019?鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，點4、42、A5…4在無軸上，Bi、

氏、氏…廝在直線y=Y￡上，若4（1,0）,且△4B1A2、△A282A3…1都

-3

是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為Si、S2、S3…Sn.則

可表示為（）

“AxA2A3AAX

A.22nV3B.22nlV3C.22W-2V3D.3-3如

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】2A：規(guī)律型；533：一次函數(shù)及其應用；552：三角形.

【分析】直線尸蟲"X與無軸的成角NBiOAi=30°,可得NO22A2=30°,…，ZOBnAn

3

=30°,ZOBIA2=90°,ZOBnAn+i=90°；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AiBi=1,

B2A2—OA2—2,B3A3—4,…，5Az=2"一I根據(jù)勾股定理可得8182=…，

B“Bn+i=2"M，再由面積公式即可求解；

【解答】解：：△48142、222A都是等邊三角形，

...AbBi〃A2B2〃A383〃…〃4山”，832〃8*3〃834〃…〃8必”+1,△A1B1A2、282A3…

/\AnBnAn+l都是等邊三角形，

?.?直線）=冬:與x軸的成角N8iO4=30°,ZOAiBi=120°,

：.ZOBiAi=30°,

.'.OAi=AiBi,

VAi（1,0）,

同理NOB2A2=30°,…，ZOBnAn=30°,

B1A2=OA2=2,33A3=4,…，BnAn=2n1

易得NOB1A2=90°,…，ZOBnAn^=90°,

:.B1B2=M，比次=2J5，…，BnBn+l=2"M，

.\Si=A-XlXV3=2￡A,52=上義2*2丁5=2?,…，S產(chǎn)［X2”2n-3

iX2?V3=2V3;

2222

故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)；能夠判斷

陰影三角形是直角三角形，并求出每邊長是解題的關鍵.

二.填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）（2019?鄂州）因式分解：4°--4"+.=a⑵-1）2.

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】11：計算題；44：因式分解.

【分析】原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=a（4x2-4x+l）—a（2x-1）2,

故答案為：a（2x7）2

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關鍵.

12.（3分）（2019?鄂州）若關于x、y的二元一次方程組（x-3y*/3的解滿足尤+yWo,則

[x+5y=5

m的取值范圍是mW-2.

【考點】97：二元一次方程組的解；C6：解一元一次不等式.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】首先解關于x和y的方程組，利用m表示出x+y,代入x+yWO即可得到關于m

的不等式，求得機的范圍.

【解答】解：卜-3厘笠3①，

Ix+5y=5②

①+②得2x+2y=4帆+8,

則x+y=2m+4,

根據(jù)題意得2m+4W0,

解得mW-2.

故答案是：mW-2.

【點評】本題考查的是解二元一次方程組和解一元一次不等式，解答此題的關鍵是把m

當作已知數(shù)表示出x+y的值，再得到關于根的不等式.

13.（3分）（2019?鄂州）一個圓錐的底面半徑廠=5,高h=10,則這個圓錐的側(cè)面積是

2575K_-

【考點】MP：圓錐的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，進而利用圓錐的側(cè)面積=irX底面半徑X母線

長，把相應數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：：圓錐的底面半徑r=5,高/?=10,

圓錐的母線長為行^=5泥，

...圓錐的側(cè)面積為TTX5泥X5=25而冗，

故答案為：2十幾.

【點評】本題考查圓錐側(cè)面積公式的運用，注意運用圓錐的高，母線長，底面半徑組成

直角三角形這個知識點.

14.（3分）（2019?鄂州）在平面直角坐標系中，點尸（xo,yo）到直線Ax+3y+C=0的距離

lAXn+Byn^C|n[TQ

公式為：d=—3—L—，則點尸（3,-3）到直線y=-Zx+a的距離為

VAW33一”J

【考點】F5：一次函數(shù)的性質(zhì)；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】11：計算題；21：閱讀型；533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)題目中的距離公式即可求解.

【可翠答】解：..?>=-2x+$

33

2x+3y-5=0

...點尸（3,-3）到直線y=-Zx+包的距離為：|2X3+3X（-3）-51=8r-t

33質(zhì)？育

故答案為：告

【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用一

次函數(shù)的性質(zhì)解答.

15.（3分）（2019?鄂州）如圖，已知線段AB=4,。是AB的中點，直線/經(jīng)過點O,Z1

=60°,P點是直線/上一點，當△AP8為直角三角形時，貝|8P=2或入門或2夜.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】分/AP8=90°、ZB4fi=90°,ZPBA=90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)、勾股定理計算即可.

【解答】解：：AO=O8=2,

.,.當3尸=2時，ZAPB=90°,

當/B4B=90°時，VZAOP=60°,

.,.AP=OA?tanNAOP=2<\/"§,

；?BP=ylAB2+AP2=2"

當NP3A=90°時，VZAOP=60°,

.,加=OB?tanNl=2?,

故答案為：2或2y或

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長

為c,那么cr+b2—^.

16.（3分）（2019?鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，已知C（3,4）,以點C為圓心的圓

與y軸相切.點A、8在x軸上，且。4=08.點尸為OC上的動點，ZAPB=90°,則

AB長度的最大值為16.

y

AqBF

【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì).

【專題】559：圓的有關概念及性質(zhì).

【分析】連接OC并延長，交OC上一點P,以。為圓心，以。尸為半徑作OO,交x軸

于A、B,此時AB的長度最大，根據(jù)勾股定理和題意求得。尸=8,則AB的最大長度為

16.

【解答】解：連接0C并延長，交OC上一點尸，以。為圓心，以。尸為半徑作O。，交

x軸于A、B,此時A8的長度最大，

VC（3,4）,

：.OC=yJJ2+42=5,

:以點C為圓心的圓與y軸相切.

，OC的半徑為3,

：.OP=OA=OB=S,

是直徑，

/.ZAPB=90°,

.'.AB長度的最大值為16,

故答案為16.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，坐標和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，找到。尸的最大值

是解題的關鍵.

三.解答題（17?21題每題8分，22、23題每題10分，24題12分，共72分）

17.（8分）（2019?鄂州）先化簡，再從-1、2、3、4中選一個合適的數(shù)作為x的值代入求

值.

2

（x2x_4）,x-4

x^-4x+4*-2x^-4

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】513：分式.

【分析】先化簡分式，然后將尤的值代入計算即可.

【解答】解：原式=[X（x-2）

（x-2）2x-2x-4

-士）+x-4

x-2x-2

=x-4.（x-2）（x+2）

x-2x-4

—x+2

：x-2W0,x-4W0,

:.x豐2且尤W4,

當x=-1時，

原式=-1+2=1.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.

18.（8分）（2019?鄂州）如圖,矩形ABC）中,AB=8,AD=6,點。是對角線BD的中點,

過點0的直線分別交AB.CD邊于點E、F.

（1）求證：四邊形。即尸是平行四邊形；

（2）當DE=O尸時，求的長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的

性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB//CD,由平行線的性質(zhì)得到/BE。，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=BE,于是得到四邊形2EDF是平行四邊形；

（2）推出四邊形BE。尸是菱形，得至I[DE=BE,EFLBD,OE=OF,設AE=x,貝IDE

=BE=8-x根據(jù)勾股定理即可得到結論.

【解答】（1）證明：???四邊形A8CD是矩形，

J.AB//CD,

：.ZDFO=ZBEO,

又因為N。。尸=NBOE,OD=OB,

:ADOF絲XBOE(ASA),

:.DF=BE,

又因為

，四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)W：'：DE=DF,四邊形8EDF是平行四邊形

四邊形2瓦不是菱形，

：.DE=BE,EF1BD,OE=OF,

設AE=x,則。E=8E=8-尤

在RtaAOE中，根據(jù)勾股定理，有&序+402=。爐

.'.X2+62=(8-x)2,

解之得：了=工，

4

；.DE=8-2=空，

44

在中，根據(jù)勾股定理，有

：.BD=yjg2+g2--^Q,

：.OD=^-BD=5,

2

在RtZWOE中，根據(jù)勾股定理，有。爐_OD1=OEr,

：.EF^WE^—.

2

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關鍵.

19.(8分)(2019?鄂州)某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視

節(jié)目的喜愛情況，隨機選取該校部分學生進行調(diào)查，要求每名學生從中選出一類最喜愛

的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.

類別ABCDE

類型新聞體育動畫娛樂戲曲

人數(shù)112040m4

請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)統(tǒng)計表中m的值為25,統(tǒng)計圖中n的值為25,A類對應扇形的圓心角為39.6

度；

(2)該校共有1500名學生，根據(jù)調(diào)查結果，估計該校最喜愛體育節(jié)目的學生人數(shù)；

(3)樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生.從這4人中任選2名同

學去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2名同學中有男生的概率.

【考點】V5：用樣本估計總體；VA：統(tǒng)計表；VB：扇形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹狀圖

法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】(1)先根據(jù)8類別人數(shù)及其百分比求出總?cè)藬?shù)，再由各類別人數(shù)之和等于總?cè)?/p>

數(shù)求出如繼而由百分比概念得出〃的值，用360。乘以A類別人數(shù)所占比例即可得；

(2)利用樣本估計總體思想求解可得.

【解答】解：(1)?..樣本容量為20?20%=100,

：.m=100-(11+20+40+4)=25,100%=25%,A類對應扇形的圓心角為

100

360°xJJ^=39.6°,

100

故答案為：25、25、39.6.

(2)15OOX_20_=3OO(人)

100

答：該校最喜愛體育節(jié)目的人數(shù)約有300人;

(3)畫樹狀圖如下:

開始

共有12種情況，所選2名同學中有男生的有6種結果,

所以所選2名同學中有男生的概率為1.

2

【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，樹狀圖等知識點，能正確畫出樹狀圖是

解此題的關鍵.

20.（8分）（2019?鄂州）已知關于x的方程7-2x+2A-1=0有實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

xX1

（2）設方程的兩根分別是XI、X2,且J+9」=X1?X2,試求上的值.

X1x2

【考點】AA：根的判別式；AB：根與系數(shù)的關系.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程/-2x+2左-1=0有兩個不相等的實數(shù)根得到△=（-2）

2-4（2k-1）20,求出左的取值范圍即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得出方程解答即可.

【解答】（1）解：???原方程有實數(shù)根，

：.b2-4ac20；.（-2）2-4（2Z：-1）20

：.k^i

（2）Vxi,垃是方程的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得：

X1+X2=2,XI*X2=2%-1

X1x2

2,2

町+工2

'x、二盯72

X1x2

（X1+X2）2-2羽％2=（XI*X2）2

.\22-2⑵-1）=（2^-1）2

解之，得：k,X$,ko=—?經(jīng)檢驗，都符合原分式方程的根

勺222

,.YW1

?,正

,*IT——,

2

【點評】本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關系的知識，解答本題的關鍵是根據(jù)

根的判別式的意義求出人的取值范圍，此題難度不大.

21.（8分）（2019?鄂州）為積極參與鄂州市全國文明城市創(chuàng)建活動，我市某校在教學樓頂

部新建了一塊大型宣傳牌，如下圖.小明同學為測量宣傳牌的高度A8,他站在距離教學

樓底部E處6米遠的地面C處，測得宣傳牌的底部B的仰角為60°,同時測得教學樓窗

戶。處的仰角為30°（A、B、D、E在同一直線上）.然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜

坡從C走到F處,此時DF正好與地面CE平行.

（1）求點尸到直線CE的距離（結果保留根號）；

（2）若小明在尸處又測得宣傳牌頂部A的仰角為45°,求宣傳牌的高度48（結果精確

至U0.1米，V2^1.4b73^173）.

【考點】T9：解直角三角形的應用-坡度坡角問題；TA：解直角三角形的應用-仰角俯

角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】（1）過點尸作PG_LEC于G,依題意知尸G〃￡）E,DF//GE,NFGE=90°；

得到四邊形。EPG是矩形；根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FG=￡>a解直角三角形即可得到結論;

（2）解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：（1）過點尸作FGLEC于G,

依題意知FG〃。區(qū)DF//GE,/FGE=90°；

二四邊形。所G是矩形；

:.FG=DE；

在Rt/XCDE中，

DE—CE*tanZDCE；

=6Xtan30"=2A/S（米）;

???點F到地面的距離為樂米；

(2):斜坡CFi=l：1.5.

，RtZ\CFG中，CG=L5FG=2近X1.5=3

:.FD=EG=3M+6.

在RtZXBCE中，

BE=CE-tanZBCE=6Xtan600=6如.

：.AB=AD+DE-BE.

=3V5+6+2?-6^=6-返心4.3(米).

答：宣傳牌的高度約為4.3米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，正確標注仰角和俯角、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

22.(10分)(2019?鄂州)如圖，叢是。。的切線，切點為A,AC是。。的直徑，連接OP

交。。于￡.過A點作48，尸。于點。，交。。于8,連接BC,PB.

(1)求證：尸2是OO的切線；

(2)求證：E為的內(nèi)心；

(3)若cosNB42=1@,BC=1,求尸。的長.

10

【考點】M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；MI：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；T7：

解直角三角形.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】(1)連結。8,根據(jù)圓周角定理得到/ABC=90°,證明△AOPgZXBOP,得到

/OBP=NOAP,根據(jù)切線的判定定理證明；

(2)連結AE,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到N81E+/0AE=9(r,證明E4平分NB4D,根

據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可；

(3)根據(jù)余弦的定義求出OA,證明△RIOS^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例

式，計算即可.

【解答】(1)證明：連結02,

：AC為。。的直徑，

/.ZABC=90°,

,：AB1PO,

J.PO//BC

：.ZAOP=ZC,ZPOB=ZOBC,

OB=OC,

：.ZOBC=ZC,

：.ZAOP^ZPOB,

在△AOP和△2。尸中，

'OA=OB

<NAOP=/POB，

,POPO

.?.△AO尸絲△BOP(SAS),

：.NOBP=NOAP,

為。。的切線，

：.ZOAP=9Q°,

：.ZOBP=9Q°,

.?.PB是OO的切線；

(2)證明：連結AE,

為。。的切線，

：.ZPAE+ZOAE=90°,

'：AD±ED,

：.ZEAD+ZAED=9Q°,

'JOE^OA,

：.ZOAE=ZAED,

：.ZPAE=ZDAE,即EA平分/E4。，

:以、尸。為(DO的切線，

：.PD^^-ZAPB

為△B48的內(nèi)心；

(3)解：'：ZB\B+ZBAC^90°,ZC+ZBAC=90°,

：.ZPAB=ZC,

cosZC=cosZPAB=,

10_

在RtA4BC中，cosZC=—=—

_ACAC10

.,.AC=V1Q,AO=J^-,

2

.P0AO

"AC^BC，

?"°=翁.=+?m=5.

【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定,

掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

23.（10分）（2019?鄂州）“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，網(wǎng)上購物備受消費者青睞.某網(wǎng)店專售一款休

閑褲，其成本為每條40元，當售價為每條80元時，每月可銷售100條.為了吸引更多

顧客，該網(wǎng)店采取降價措施.據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每月可多銷售5

條.設每條褲子的售價為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條.

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）設該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當銷售單價降低多少元時，每月獲得的利潤最大,

最大利潤是多少？

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生.為了保證

捐款后每月利潤不低于4220元，且讓消費者得到最大的實惠，該如何確定休閑褲的銷售

單價？

【考點】AD：一元二次方程的應用；HE：二次函數(shù)的應用.

【專題】536：二次函數(shù)的應用；68：模型思想.

【分析】(1)直接利用銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條得出y與尤的函數(shù)關系

式；

(2)利用銷量又每件利潤=總利潤進而得出函數(shù)關系式求出最值；

(3)禾I」用總利潤=4220+200,求出x的值，進而得出答案.

【解答】解：(1)由題意可得：_y=100+5(80-x)整理得y=-5x+500；

(2)由題意，得：

w=(x-40)(-5x+500)

=-5X2+700X-20000

=-5(x-70)2+4500

'：a=-5<0；.w有最大值

即當尤=70時，w最大值=4500

應降價80-70=10(元)

答：當降價10元時，每月獲得最大利潤為4500元；

(3)由題意，得：

-5(%-70)2+4500=4220+200

解之，得：xi=66,xi=74,

:拋物線開口向下，對稱軸為直線x=70,

...當66WxW74時，符合該網(wǎng)店要求

而為了讓顧客得到最大實惠，故尤=66

.?.當銷售單價定為66元時，即符合網(wǎng)店要求，又能讓顧客得到最大實惠.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)

模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案，正確得出?與x之間的函數(shù)關系式是解題關鍵.

24.(12分)(2019?鄂州)如圖，已知拋物線y=-f+bx+c與無軸交于A、2兩點，AB=4,

交y軸于點C,對稱軸是直線x=1.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；

(2)連接BC,E是線段OC上一點，E關于直線尤=1的對稱點廠正好落在上，求

點F的坐標；

(3)動點M從點。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，過M作x軸的垂線

交拋物線于點N,交線段8c于點Q.設運動時間為f(f>0)秒.

①若△AOC與相似，請直接寫出/的值；

備用圖1備用圖2

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結合；32：分類討論；64：幾何直觀.

【分析】(1)將A、B關坐標代入y=-7+bx+c中，即可求解；

(2)確定直線8c的解析式為y=-尤+3,根據(jù)點E、/關于直線x=l對稱，即可求解;

(3)①△AOC與相似，則膽，或強，即可求解；②分。。=8。、BO=BQ.

MNOCOA

OQ=OB三種情況，分別求解即可.

【解答】解：(1)):點A、8關于直線尤=1對稱，AB=4,

(-1,0),B(3,0),

代入y=-/+6x+c中，得：(-9+3b+c=0解得(b=2,

I-1-b+c=0Ic=3

拋物線的解析式為y=-f+2x+3,

；.C點坐標為(0,3)；

(2)設直線BC的解析式為

則有：("3,解得產(chǎn)7,

[3nrl"n=0[n=3

...直線BC的解析式為>=-尤+3,

:點E、F關于直線x=l對稱，

又￡到對稱軸的距離為b

：.EF=2,

點的橫坐標為2,將x=2代入y=-尤+3中,

得：y=-2+3=1,

：.F(2,1)；

(3)①如下圖，

MN=-4尸+4r+3,MB=3-2t,

△AOC與相似，則身或黑，

MNOC0A

即：_3z2t_

-4t2+4t+3

解得：片上或-L或3或1(舍去』、-L3),

2323

@'：M(2Z,0),A/NJ_x軸，：.Q(2r,3-2力,

???△BOQ為等腰三角形，，分三種情況討論，

第一種，當。。=8。時，

\'QM±OB

：.0M=MB

：.2t=3-2t

???=i3.-；

4

第二種，當80=8。時，在中

：/0%=45°,

：.BQ=MBM,

即3=V2(3-2t),

?.+?I_6-啦;

4

第三種，當。。=。8時，

則點Q、C重合，此時f=0

而/>0,故不符合題意

綜上述，當■秒或§一y秒時,ABOQ為等腰三角形.

【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng).要

會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長

度，從而求出線段之間的關系.

考點卡片

1.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-。；

③當。是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aX10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXIO",其中l(wèi)Wa<10,

w為正整數(shù).1

(2)規(guī)律方法總結：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

3.同底數(shù)塞的乘法

(1)同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

d"an=am+n(m,"是正整數(shù))

(2)推廣：am-an-aP=am+n+P(機，n,p都是正整數(shù))

在應用同底數(shù)幕的乘法法則時，應注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,(/■)3與(/層)

4,(x-y)2與(x-y)3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

(3)概括整合：同底數(shù)塞的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)累.

4.暴的乘方與積的乘方

（1）暴的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（czm）n=a"m（m,〃是正整數(shù)）

注意:①事的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)第的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（"）"=/〃（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結果.

5.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)塞的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

dn+an=0m一"m,”是正整數(shù)，相＞〃）

①底數(shù)因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應用同底數(shù)基除法的法則時，底數(shù)。可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

6.完全平方公式

（1）完全平方公式：（.a±b）2=。2±2"+比

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的m6可是單項式，也可以是多項式；②

對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

7.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

8.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注

意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

9.二元一次方程組的解

(1)定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

(2)一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學概念是數(shù)學的基礎與出發(fā)點，當遇到

有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=d-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程0，+法+o=0(a=0)的根與△=/-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

11.根與系數(shù)的關系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關系：XI,X2是方程7+2%+4=0的兩根時，Xl+X2=-p,

Xix2=q,反過來可得p=-(X1+X2),q=xix2,前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關系：XI,X2是一元二次方程以2+6X+C=0(a#o)

的兩根時，尤1+X2=-殳，X1X2——,反過來也成立，即也■=-(X1+X2),——XXX2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求

另一個根及未知數(shù).③不解方程求關于根的式子的值，如求，尤J+X22等等.④判斷兩根的

符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮。力0,△2（）這兩個前提條件.

12.一元二次方程的應用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為。，十位數(shù)是b,則這個兩位數(shù)表示為106+4.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量又100%.如：若原數(shù)是0,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a（1+尤）；第二次增長后為。（1+x）2,即原數(shù)義（1+增長百分率）

2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方

程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關系.

2.設：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù).

3.歹U：根據(jù)題中的等量關系，用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

13.解一元一次不等式

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項;

④合并同類項；⑤化系數(shù)為L

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向，其他

都不會改變不等號方向.

注意：符號和“W”分別比“>”和各多了一層相等的含義，它們是不等號與

等號合寫形式.

14.規(guī)律型：點的坐標

規(guī)律型：點的坐標.

15.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距

離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

16.一次函數(shù)的圖象

（1）一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點（0,b）、（-0）或（1,k+b）作直線尸fcc+6.

注意：①使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，

所選取的點的橫、縱坐標