人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí)-正方形的判定2

18.2.3正方形

第2課時正方形的判定

選擇題（共8小題）

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC,②NABC=90°,③AC=BD,

④ACLBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列

四種選法，其中錯誤的是（）

A.選①②B.選②③C.選①③D.選②④

2.下列說法中，正確的是（）

A.相等的角一定是對頂角

B.四個角都相等的四邊形一定是正方形

C.平行四邊形的對角線互相平分

D.矩形的對角線一定垂直

3.下列命題中是假命題的是（）

A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形

C.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.一組鄰邊相等的矩形是正方形

4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（）

①當(dāng)AB=BC時，它是菱形；②當(dāng)AC_LBD時，它是菱形；③當(dāng)NABC=90。時，它是矩形;

④當(dāng)AC=BD時，它是正方形.

A.1組B.2組C.3組D.4組

5.四邊形ABCD的對角線AC=BD,AC±BD,分別過A、B、C、D作對角線的平行線，

所成的四邊形EFMN是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四邊形

6.如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的

基礎(chǔ)上，進一步證明（）

A.AB=AD且AC_LBDB.AB=AD且AC=BDC.NA=NB且AC=BDD.AC

和BD互相垂直平分

7.下列命題中，真命題是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,

且BE=BF,添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）

B

A.BC=ACB.CF±BFC.BD=DFD.AC=BF

二.填空題（共6小題）

9.能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是（填上一個符合題目要求的條

件即可）.

10.如圖，在RIAABC中，NC=90。，DE垂直平分AC,DFJLBC,當(dāng)AABC滿足條件_

___________時，四邊形DECF是正方形.

（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）

11.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O,請你添加一個條件：，使得該

12.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點O,若不增

加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是.

13.已知四邊形ABCD中，NA=NB=NC=90。，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方

形，那么這個條件可以是.

14.要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為.

三.解答題（共8小題）

15.已知：如圖，△ABC中，ZABC=90°,BD是NABC的平分線，DE_LAB于點E,DF±BC

于點F.求證：四邊形DEBF是正方形.

16.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,對角線BD平分NABC,P是BD上一點，過點P

作PM_LAD,PN±CD,垂足分別為M,N.

(1)求證：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90°,求證：四邊形MPND是正方形.

17.如圖，在RSABC中，NACB=90。，過點C的直線MNIIAB,D為AB邊上一點，過

點D作DE_LBC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證：CE=AD；

(2)當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若D為AB中點，則當(dāng)NA的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明

你的理由.

18.如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180。

得到△CFE.

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形.

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由.

19.如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N

兩點，連接MN,交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB,過點D作DE±AC

于點E,DFLBC于點F.

(1)求證：△AED合△BFD；

(2)若AB=2,當(dāng)CD的值為時，四邊形DECF是正方形.

20.如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M,過點M作ME_1_AC,MF±AD,垂

足分別為E、F.

(1)求證：ZCAB=ZDAB；

(2)若NCAD=90。，求證：四邊形AEMF是正方形.

21.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNIIBC,設(shè)MN交NACB

的平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

(1)探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)當(dāng)點。運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

（3）當(dāng)點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE是菱形嗎？（填"可能"或"不

可能”）

22.已知：如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點0作直線MNIIAC,設(shè)MN交

NBCA的平分線于點E,交NBCA的外角NACG的平分線于點E連接AE、AF.

（1）求證：ZECF=90°；

（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，△ABC應(yīng)該滿足條件：,就能使矩形AECF變?yōu)檎?/p>

方形.（直接添加條件，無需證明）

E0

B

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC,②NABC=90°,③AC=BD,

④AC_LBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列

四種選法，其中錯誤的是（）

A.選①②B.選②③C.選①③D.選②④

考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

分析：要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

解答：解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是

直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;

B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形,

所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形,

所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；

D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是

菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.

故選：B.

點評：本題考查了正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

2.下列說法中，正確的是（）

A.相等的角一定是對頂角

B.四個角都相等的四邊形一定是正方形

C.平行四邊形的對角線互相平分

D.矩形的對角線一定垂直

考點：正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

分析：根據(jù)對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)對各選

項分析判斷利用排除法求解.

解答：解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，

但不是對頂角，故本選項錯誤；

B、四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；

C、平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；

D、矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤.

故選：C.

點評：本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，對頂角的定義,

熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.下列命題中是假命題的是（）

A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形

C.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.一組鄰邊相等的矩形是正方形

考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定.

專題：證明題.

分析：做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答.

解答：解:A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,（平行四邊形判定定理）;

正確.

B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊

形，錯誤.

C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；

D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確.

故選B.

點評：本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細心.

4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（）

①當(dāng)AB=BC時，它是菱形；②當(dāng)AC_LBD時，它是菱形；③當(dāng)NABC=90。時，它是矩形；

④當(dāng)AC=BDH寸，它是正方形.

A.1組B.2組C.3組D.4組

考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定.

分析：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷①正確；根據(jù)所給條件可以證出

鄰邊相等，可判斷②正確；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷③正確；根據(jù)

對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出④錯誤.

解答：解：①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊

形，當(dāng)AB=BC時，它是菱形正確；

②四邊形ABCD是平行四邊形，

BO=OD,

???AC_LBD,

AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,

AB=AD,

.??四邊形ABCD是菱形，故②正確；

③根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知③正確；

④根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故④

錯誤；

故不正確的有1個.

故選：A.

0

B

點評：此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握

三種特殊平行四邊形的判定定理.

5.四邊形ABCD的對角線AC=BD,AC±BD,分別過A、B、C、D作對角線的平行線,

所成的四邊形EFMN是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四邊形

考點：正方形的判定.

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出NNAO=NAOD=NN=90。，EN=NM=FM=EF,

進而判斷即可.

解答：證明：如圖所示：

,分別過A、B、C、D作對角線的平行線，

ACIIMNIIEF,ENIIBDIIMF,

對角線AC=BD,AC±BD,

ZNAO=ZAOD=ZN=90°,EN=NM=FM=EF,

四邊形EFMN是正方形.

故選：A.

點評：此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握正

方形的判定定理是解題關(guān)鍵.

6.如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的

基礎(chǔ)上，進一步證明（）

A.AB=AD且AC_LBDB.AB=AD且AC=BDC.NA=NB且AC=BDD.AC

和BD互相垂直平分

考點：正方形的判定.

分析：根據(jù)正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案.

解答：解：A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的

平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；

B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判

斷四邊形ABCD是正方形；

C、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四

邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；

D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不

能判斷四邊形ABCD是正方形.

故選B.

點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的

概念，途經(jīng)有兩種：

①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；

②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.

7.下列命題中，真命題是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理.

分析：A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；

B、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；

C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；

D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷.

解答：解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；

B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；

C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；

D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤；

故選C.

點評：本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定.解答此題時，必

須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系.

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,

且BE=BF,添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）

A.BC=ACB.CF±BFC.BD=DFD.AC=BF

考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì).

分析：根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC,

BF=FC進而得出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進而

分別分析得出即可.

解答：解：,??EF垂直平分BC,

BE=EC,BF=CF,

BF=BE,

BE=EC=CF=BF,

四邊形BECF是菱形；

當(dāng)BC=AC時，

???ZACB=90°,

則NA=45。時，菱形BECF是正方形.

?1,ZA=45°,ZACB=90°,

ZEBC=45°

ZEBF=2ZEBC=2x45°=90°

菱形BECF是正方形.

故選項A正確，但不符合題意；

當(dāng)CF_LBF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合

題意；

當(dāng)BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題

當(dāng)AC=BF時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意.

故選：D.

點評：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形

的判定等知識，熟練掌握正方形的相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是AC=BD目.ACLBD（填上一個符合題目

要求的條件即可）.

考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

專題：開放型.

分析：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩

形和菱形的結(jié)合體是正方形.

解答：解：可添加對角線相等且對角線垂直或?qū)蔷€相等，且一組鄰邊相等；或?qū)?/p>

角線垂直，有一個內(nèi)角是90。.答案不唯一，此處填：AC=BD且ACLBD.

點評：本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結(jié)合.

10.如圖，在RSABC中，NC=90°,DE垂直平分AC,DF_LBC^AABC滿足條件AC=BC

時，四邊形DECF是正方形.

（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）

考點：正方形的判定.

專題：計算題；開放型.

分析：由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條

件.此題可從四邊形DECF是正方形推出.

解答：解：設(shè)AC=BC,即△ABC為等腰直角三角形，

??ZC=90°,DE垂直平分AC,DF±BC,

ZC=ZCED=ZEDF=ZDFC=90",

DF=1AC=CE,

2

DE」BC=CF,

2

DF=CE=DE=CF,

四邊形DECF是正方形，

故答案為：AC=BC.

點評：此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關(guān)鍵是可從四邊形DECF是正方

形推出△ABC滿足的條件.

11.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點0,請你添加一個條件：AC=BD或ABLBC

使得該菱形為正方形.

考點：正方形的判定；菱形的性質(zhì).

專題：壓軸題.

分析：根據(jù)正方形判定定理進行分析.

解答：解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB±BC；

故添加的條件為：AC=BD或ABLBC.

點評：本題答案不唯一，根據(jù)菱形與正方形的關(guān)系求解.

12.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點0,若不增

加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是AC=BD或

AB±BC.

考點：正方形的判定；菱形的判定.

專題：開放型.

分析：根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

解答：解：1,在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA

四邊形ABCD是菱形

二要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或ABLBC.

點評：解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是

正方形.

13.已知四邊形ABCD中，NA=NB=NC=90。，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方

形，那么這個條件可以是AB=AD或ACLBD等.

考點：正方形的判定；矩形的判定與性質(zhì).

專題：開放型.

分析：由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相

垂直的矩形是正方形添加條件.

解答：解：由NA=NB=NC=90?？芍倪呅蜛BCD是矩形，根據(jù)根據(jù)有一組鄰邊

相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形，得到應(yīng)該添加的條件為：AB=AD或ACJLBD等.

故答案為：AB=AD或ACJ_BD等.

點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的

概念，途經(jīng)有兩種：

①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；

②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.

14.要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為有一個角是直角或?qū)蔷€相等.

考點：正方形的判定；菱形的性質(zhì).

專題：開放型.

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案.

解答：解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或?qū)?/p>

線相等.

點評：解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理：

（1）有一個角是直角的菱形是正方形；

（2）對角線相等的菱形是正方形.

三.解答題（共8小題）

15.已知：如圖，△ABC中，ZABC=90°,BD是NABC的平分線，DE_LAB于點E,DF±BC

于點F.求證：四邊形DEBF是正方形.

考點：正方形的判定.

專題：證明題.

分析：由DE_LAB,DF±BC,ZABC=90。，先證明四邊形DEBF是矩形，再由BD

是NABC的平分線，DE_LAB于點E,DFLBC于點F得出DE=DF判定四邊形DEBF是正

方形.

解答：解：；DE±AB,DF±BC,

ZDEB=NDFB=90°,

又NABC=90°,

四邊形BEDF為矩形，

丫BD是NABC的平分線，且DE_LAB,DF_LBC,

DE=DF,

矩形BEDF為正方形.

點評：本題考查正方形的判定、角平分線的性質(zhì)和矩形的判定.要注意判定一個四

邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形.

16.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,對角線BD平分NABC,P是BD上一點，過點P

作PM_LAD,PN±CD,垂足分別為M,N.

(1)求證：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90°,求證：四邊形MPND是正方形.

考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題.

分析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明^ABD空△CBD,

由全等三角形的性質(zhì)即可得到：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90。，由(1)中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊

形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形.

解答：證明：(1),對角線BD平分NABC,

ZABD=ZCBD,

在^ABDffACBD中,

'AB=CB

,ZABD=ZCBD>

BD=BD

△ABD2△CBD(SAS),

ZADB=ZCDB；

(2)PM±AD,PN_LCD,

ZPMD=ZPND=90°,

ZADC=90°,

四邊形MPND是矩形，

ZADB=ZCDB,

ZADB=45"

PM=MD,

四邊形MPND是正方形.

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)

以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定.

17.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,過點C的直線MNIIAB,D為AB邊上一點，過

點D作DE_LBC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證：CE=AD；

(2)當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若D為AB中點，則當(dāng)NA的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明

考點:正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

專題:幾何綜合題.

分析：(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;

(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可；

(3)求出NCDB=90。，再根據(jù)正方形的判定推出即可.

解答：(1)證明：DE±BC,

??.ZDFB=90°,

???ZACB=90°,

ZACB=ZDFB,

/.ACIIDE,

MNIIAB,即CEIIAD,

/.四邊形ADEC是平行四邊形，

/.CE=AD；

(2)解：四邊形BECD是菱形，

理由是：:D為AB中點，

/.AD=BD,

?/CE=AD,

??.BD=CE,

,/BDIICE,

.??四邊形BECD是平行四邊形，

?/ZACB=90°,D為AB中點，

??.CD=BD,

四邊形BECD是菱形；

(3)當(dāng)NA=45。時，四邊形BECD是正方形，理由是：

解：：NACB=90。，ZA=45°,

ZABC=NA=45°,

AC=BC,

,.D為BA中點，

CD±AB,

ZCDB=90°,

???四邊形BECD是菱形，

四邊形BECD是正方形，

即當(dāng)/A=45。時，四邊形BECD是正方形.

點評：本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三

角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力.

18.如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180。

得到△CFE.

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形.

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由.

A

考點：正方形的判定；平行四邊形的判定.

分析：(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，

且AE=CD,DE=FE,即可得出答案；

(2)首先得出CD_LAB,即NADC=90。，由(1)知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四

邊形ADCF是矩形.進而求出CD=AD即可得出答案.

解答：(1)證明：??,△CFE是由△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180。得到，

.?.點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，

且AE=CE,DE=FE,

故四邊形ADCF是平行四邊形.

(2)解：當(dāng)NACB=90。，AC=BC時，四邊形ADCF是正方形.

理由如下：

在^ABC中，AC=BC,AD=BD,

CD±AB,BPzADC=90°.

而由(1)知，四邊形ADCF是平行四邊形，

四邊形ADCF是矩形.

又：ZACB=90°,

CD^|AB=AD'

故四邊形ADCF是正方形.

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形

ADCF是矩形是解題關(guān)鍵.

19.如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N

兩點，連接MN,交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB,過點D作DEJLAC

于點E,DFJ_BC于點F.

(1)求證：△AED合△BFD；

(2)若AB=2,當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形.

考點：正方形的判定；全等三角形的判定.

分析：(1)先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得

出CA=CB,AD=BD,由等邊對等角得到NA=NB,然后利用AAS即可證明4AED空△BFD；

(2)若AB=2,當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形.先由CD=AD=BD=1,MN_LAB,

得出△ACD與4BCD都是等腰直角三角形，則NACD=NBCD=45。，ZECF=90°,根據(jù)有三

個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE,從而

得出矩形DECF是正方形.

解答：(1)證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，

?；C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D,

CA=CB,AD=BD,

ZA=NB.

在4AED與4BFD中，

"ZAED=ZBFD=90°

,ZA=ZB>

AD=BD

△AED2ABFD(AAS)；

(2)解：若AB=2,當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形.理由如下:

「AB=2,

??.AD=BD=1AB=I.

2

-/CD=AD=BD=1,MN±AB,

」.△ACD與^BCD都是等腰直角三角形，

??.ZACD=ZBCD=45°,

ZECF=ZACD+zBCD=90°,

??,ZDEC=ZDFC=90°,

???四邊形DECF是矩形，ZCDE=90°-45°=45°,

??.ZECD=ZCDE=45°,

??.ED=CE,

?..矩形DECF是正方形.

故答案為1.

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的判定，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.

20.如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M,過點M作ME_LAC,MFJLAD,垂

足分別為E、F.

（1）求證：ZCAB=NDAB；

（2）若NCAD=90。，求證：四邊形AEMF是正方形.

考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題.

分析：（1）根據(jù)AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD,然后利用三線合一的性

質(zhì)得到NCAB=ZDAB即可；

（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF,利用鄰邊相等的矩形AEMF是正

方形進行判定即可.

解答：（1）證明：；AB是CD的垂直平分線，

AC=AD,

文:AB±CD

ZCAB=ZDAB（等腰三角形的三線合一）；

（2）證明：?.,ME_LAC,MFJLAD,NCAD=90°,

即NCAD=ZAEM=ZAFM=90°,

四邊形AEMF是矩形，

又丫NCAB=NDAB,ME±AC,MF_LAD,

ME=MF,

矩形AEMF是正方形.

點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性

質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大.

21.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNIIBC,設(shè)MN交NACB

的平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

(1)探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)當(dāng)點0運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

(3)當(dāng)點。在邊AC上運動時，四邊形BCFE不可能是菱形嗎?(填"可能"或"不可能")

A

考點：正方形的判定；菱形的判定.

分析：(1)由直線MNIIBC,MN交NBCA的平分線于點E,交NBCA的外角平

分線于點F,易證得AOEC與AOFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；

(2)正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC,所以0為AC的中點，

同樣在△ABC中，當(dāng)NACB=90。時，可滿足其為正方形；

(3)菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直.

解答：解：(1)OE=OF.理由如下：

CE是NACB的角平分線，

ZACE=ZBCE,

又MNIIBC,

ZNEC=ZECB,

ZNEC=NACE,

OE=OC,

???OF是NBCA的外角平分線，

ZOCF=ZFCD,

又MNIIBC,

ZOFC=ZECD,

ZOFC=NCOF,

OF=OC,

OE=OF；

(2)當(dāng)點O運動到AC的中點，且△ABC滿足NACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF

是正方形.理由如下：

當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO=CO,

又JEO=FO,

四邊形AECF是平行四邊形，

FO=CO,

AO=CO=