2021河北衡水五校高考數學聯(lián)考試卷一含答案解析

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2021河北衡水五校高考數學聯(lián)考試卷一含答案解析

2021年河北省衡水市五校高考數學聯(lián)考試卷（一）

一、選擇題（共8小題）.

1.已知集合力={加=加G-1）},集合B={y[y=g）：x>-2}，則力（）

A.0B.[1,4）C.（1,4）D.（4,+8）

2

2.下面是關于復數z=-J（，為虛數單位）的命題，其中假命題為（）

-1+1

A.|z|=V2B.z2=2z

C.z的共筑復數為1+zD.z的虛部為-1

3.公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”.《周髀算經》中記錄

著商高同周公的一段對話.商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，徑隅五.”大意為“當

直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5”.以后人們

就把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理.勾股數組是

滿足標+〃=/的正整數組（小b,c）.若在不超過10的正整數中，隨機選取3個不同

的數，則能組成勾股數組的概率是（）

A.-B.C.D.\

10560120

4.要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內都含有微量的放射性14°,動

植物死亡后，停止新陳代謝，14。不再產生，且原有的14。會自動衰變.經科學測定，14c

的半衰期為5730（設的原始量為1,經過K年后，14。的含量/G）=^,即/（5730）

=]）.現(xiàn)有一古物，測得14。為原始量的79.37%,則該古物距今約多少年？（）

（參考數據：需N0.7937,573晦二^9998）

A.1910B.3581C.9168D.17190

c.D.

6.已知向量彳=（cosa,-2）,b=（sina,1）,且鼻〃衛(wèi)，貝！J2sinacosa等于（）

44

A.-9B.-3C.3D.V-

55

7.已知銳角△4BC中，角45,C所對的邊分別為a,b,c,若A4BC的面積$4c2sinA,

4sinC

則sin（2A-C）的取值范圍是（）

A-（-L1）B.（總，1］C.（卷，y）D.（^y-,孚）

8.已知定義在［2，e］上的函數/G）滿足f（x）=fd），且當xtR,1］時，/（x）=X/E+1,

exe

若方程/（x）-十-a=0有三個不同的實數根，則實數。的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國各地房價“跳水”嚴重，但某地二手房

交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年12月至2020年12月間，當月在售二

手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1?13分別對應2019年12

月?2020年12月）

當月一?.丁

.(M揚均價、

.02

,00

.9?

,9a6

〃

I234567X910II1213”伊代叫、

根據散點圖選擇丫=2+1＞垢和y=c+d加X兩個模型進行擬合，經過數據處理得到的兩個回

歸方程分別為y=0.9369+0.028W7f口丫=0.9554+0.03061m'并得到以下?些統(tǒng)計

量的值:

y=0.9369+0.028My=0.9554+0.03061m

R20.9230.973

注:，是樣本數據中X的平均數,J是樣本數據中V的平均數，則下列說法正確的是（）

A.當月在售二手房均價y與月份代碼x呈負相關關系

B.由產0.9369+0.028電預測2021年3月在售二手房均價約為L0509萬元/平方米

C.曲線y=o.9369+0.028&。與y=0.9554+0.03061m都經過點（X，丫）

D?模型y=o.9554+0.030610回歸曲線的擬合效果比模型y=0.9369+0.0288G的好

10.已知a,0是兩個不重合的平面，m,n是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若加_1_〃，mA_a,則a_L0

B.若m_La,n//a,則

C.若a〃,wca,則加〃0

D.若加〃%a〃0,則m與a所成的角和〃與0所成的角相等

11.己知函數/（x）其中正確結論的是（）

A.當a=l時，/（x）有最大值

B.對于任意的。>0,函數/（x）是（0,+8）上的增函數

C.對于任意的。<0,函數/G）一定存在最小值

D.對于任意的a>0,都有/G）>0

12.已知拋物線的焦點為RM（xi,yi）,N（*,玫）是拋物線上兩點，則下列

結論正確的是（）

A.點少的坐標為（4，0）

o

B.若直線MV過點凡貝1口42=-心

16

C.若而=入而，則|孫的最小值為］

D.若此用+|NF|=M則線段MV的中點尸到x軸的距離為吊

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線。的離心率為泥，寫出雙曲線C的一個標準方程.

14.黨的十九大報告提出“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”，要“推動城鄉(xiāng)義務教育一體化發(fā)展，高度重視

農村義務教育”.為了響應報告精神，某師范大學5名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的

鄉(xiāng)村小學工作、若將這5名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1

人最多分配2人，則分配方案的總數為.

15.已知O為坐標原點，直線/與圓-6y+5=0交于4、B兩點,\AB\=2,點、M為線

段45的中點.則點M的軌跡方程是,|忝+而|的取值范圍為.

16.對于函數y=/(x)與y=g(x),若存在xo，使f(xo)=g(-xo),則稱MGo，f

Go)),N(-xo,g(-xo))是函數/G)與gG)圖象的一對“隱對稱點”.已知

函數/(x)=m(x+1),g(x)=等，函數/G)與gG)的圖象恰好存在兩對“隱

對稱點”，則實數機的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①cos-B)=-^-+cosB,②asin/l+c(sinC-sinJ)=bsinB,(3)=tanJ+tanB

32bcosA

這三個條件中，任選一個，補充在下面問題中.

問題：在△45。中，a,b,。分別為角4,B,。所對的邊，b=2氏,.

(1)求角B；

(2)求a+2c的最大值.

18.已知數列｛〃"｝中，仍=1,即H=-yr-(n€N*).

an+3

(1)求證：9=｝為等比數列，并求｛恁｝的通項公式；

an乙

(2)數列｛兒｝滿足兒=(3"-1)?京■?arr數列｛兒｝的前〃項和為4,若不等式(-1)

"?入＜〃+二對一切亦N*恒成立，求人的取值范圍.

2

19.在四棱錐尸中，P4_L平面NBC。，AB=BD=DA=2^j~3,BC=CD=2.

(1)求證：平面PZC_L平面尸5。：

(2)若直線與平面PBC所成角的正弦值為4,求平面PC。與平面P8C所成銳二

面角的余弦值.

p

20.2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，

自2021年1月1日起施行.《中華人民共和國民法典》被稱為“社會生活的百科全書”，

是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基

本法.為了增強學生的法律意識，了解法律知識，某校組織全校學生進行學習《中華人

民共和國民法典》知識競賽，從中隨機抽取100名學生的成績(單位：分)統(tǒng)計得到如

表表格：

成績[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性別

男51416134

女31113156

規(guī)定成績在［90,100］內的學生獲優(yōu)秀獎.

(1)根據以上成績統(tǒng)計，判斷是否有90%的把握認為該校學生在知識競賽中獲優(yōu)秀獎與

性別有關？

(2)在抽取的100名學生中，若從獲優(yōu)秀獎的學生中隨機抽取3人進行座談，記X為抽

到獲優(yōu)秀獎的女生人數，求X的分布列和數學期望.

附：

P(K224)0.10.010.001

k2.7066.63510.828

n(ad-bc)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.已知O為坐標原點，橢圓C：奇+y2=i，點。，M,N為。上的動點，O,M,N三

點共線，直線OM,ON的斜率分別為肌，ki(心依金0).

⑴證明:k［k2==；

1_19_

(2)當直線。M過點(1,0)時，求向iRi+k5的最小值;

(3)若鬲+>=0,證明：lODl+IOMp為定值.

22.已知函數f(x)=G-2)鏟I--^x2+x+-^,g(x)=ax2-x+4acosx+ln(x+1),其中

aER.

(1)討論函數/(x)的單調性，并求不等式/G)>0的解集；

(2)用加以{加，〃}表示加，〃的最大值，記F(x)=max{f(JC),g(x)},討論函數尸

(x)的零點個數.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1x

1.已知集合/={妙=勿G-1)},集合B={y|y=(?^),x>-2}，貝i」ZA5=()

A.0B.[b4)C.(1,4)D.(4,+8)

解：\'A={x\x>\},B={y\0<y<4},

：.AC\B=(1,4).

故選：C.

9

2.下面是關于復數==—J（i為虛數單位）的命題，其中假命題為（）

-1+1

A.|zl=V2B.22=2/

C.z的共朝復數為1+iD.z的虛部為-1

—（之i）一一,

解：復數二=

所以團=加正確；/=（-1-/）2=1+2計-=2，正確，2的共物復數為：-1+3所以。

不正確；二的虛部為-1,正確；

故選：C.

3.公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”.《周髀算經》中記錄

著商高同周公的一段對話.商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，徑隅五.”大意為“當

直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5”.以后人們

就把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理.勾股數組是

滿足標+方2=~的正整數組（小b,c）.若在不超過10的正整數中，隨機選取3個不同

的數，則能組成勾股數組的概率是（）

A.-B-C.D.

10560120

解：在不超過10的正整數中，隨機選取3個不同的數，

基本事件總數”=[=120,

能組成勾股數組的有：（3,4,5）,（6,8,10）,共2個,

91

則能組成勾股數組的概率是P=7宗

故選：C.

4.要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內都含有微量的放射性動

植物死亡后，停止新陳代謝，不再產生，且原有的14。會自動衰變.經科學測定，14C

的半衰期為5730（設14c的原始量為I,經過X年后，14。的含量/（X）=^,即/（5730）

=5）.現(xiàn)有一古物，測得14。為原始量的79.37%,則該古物距今約多少年？（）

（參考數據：需20.7937,573^=0.9998）

A.1910B.3581C.9168D.17190

解：設的原始量為1,經過X年后，14。的含量/（x）=m,

由題意可知：f（5730）=],即a573°=*,

,,5730fT

??a-忖

令/G）=0.7937,得：出=0.7937,

.?.尸27937=皆處=里壽=聿[=粵-

???該古物距今約1910年.

故選：A.

5.函數/（K）=---￥---（xE[-71,0）U（0,7l]）的圖象大致是（）

x-sinx

???函數/（x）為偶函數，其圖象關于y軸稱，故排除4

7T

7171

'：f(n)=-^r-r=l,/(—)，工,1,

JK-0J271

--1

>/（n）,故排除CQ,

故選：B.

6.已知向量;=(cosa,-2),E=(sina,1)且;〃E，則2si〃acosa等于（)

4

A.B.-3C.3D-T

解：向量之=(cosa,-2),b=(sina,1),且二〃E，

cosa=-2sina?

Asina,cosa<0

Vsin2a+cos2a=1,

?

??si?n2a_——1*cos2cc_—4—>

55

.-216

..4Asin2acos2a=-rF?

25

.\2sinacosa=一卷

5

故選：A.

V§c2sinA

7.已知銳角A45C中，角45,C所對的邊分別為a,b,c,若AABC的面積s-

4sinC

則sin（2A-C）的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.（蔣，1]C.（蔣，y）.f)

解:因為s戔醇二聆率令csinB，

所以sinB=零，由B為銳角，可得B。，

因為△48。為銳角三角形，

所以今<A<J

0乙

27197T

所以2A-C=2A-(-￡y—A)=3A-號,

-r，日完2九/5冗

可得y<3A--—

636

所以總<sin(2A-C)<l.

故選：B.

8.已知定義在［土e］上的函數/G)滿足f(x)=f(A)，且當在［』，1］時，/G)=xlnx+\,

exe

若方程/(x)-/-。=0有三個不同的實數根，則實數。的取值范圍是(

)

A.(《，1-］B.(生，

3ee3e2e

c.~i，14］D.(1-2,

1-ee1-eNe

解：因為f(x)=f(工)，且當xCp，1］時，/(x)=xlnx+\,

xe

所以當尤(1,e］時，f()=f(-)=-lnx+L

xxx

xlnx+1,xG［—,1］

則f(x)=6,

—lnx+1,x€(1,e］

x

當x€［~,1］時，/(x)=1+加%20,則/(x)在1］上單調遞增，

當在(1,e］時，fG)=-y(lnx-l)<0,則/(x)在(1,e］上單調遞減,

x

因為方程￡6￡)-^￡F=0有三個不同的實數根，

所以函數/G)的圖像和直線y=/x+a有三個不同的交點，

作出函數/G)的大致圖像如圖所示，

當直線y《x+a和/G)的圖像相切時，結合圖像，設切點為(xo,yo),

1—1

22

由方程(x0)=l+lnx0=2-,可得x(j=e?y0=l-^-*e,

11

代入方程y4x+a，可得1一萬，

2a=l-e

當直線y［x+a過點(工，1」)時，a=l—

2ee2e

1

由圖可知，實數。的取值范圍為萬1旦卜

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國各地房價“跳水”嚴重，但某地二手房

交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年12月至2020年12月間，當月在售二

手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1?13分別對應2019年12

月?2020年12月）

.fl.t當射在P；.丁

02

00

098

096

094

（fI2345679l＜）irh汽〃份代碼\

根據散點圖選擇丫=2+1＞心和及X兩個模型進行擬合，經過數據處理得到的兩個回

歸方程分別為y=0.9369+0.028書和y=0.9554+0.03061m'并得到以下一些統(tǒng)計

量的值:

y=0.9369+0.028My=0.9554+0.03061ns

R20.9230.973

注：7是樣本數據中x的平均數,J是樣本數據中y的平均數，則下列說法正確的是（）

A.當月在售二手房均價y與月份代碼x呈負相關關系

B.由丫迅9369+0.0284預測2021年3月在售二手房均價約為L0509萬元/平方米

C.曲線y=o.9369+0.028&匹與y=0.9554+0.03061m都經過點（不丫）

D-模型y=0.9554+0.03061加回歸曲線的擬合效果比模型y=0.9369+0.028班的好

解：由散點圖可知，y隨x的增加而增加，故4錯誤：

2021年3月，此時x=16,代入y=o.9369+0.028W?求得L0509,故5正確；

曲線y=0.9369+0.028&/?空過點（/‘丫）'曲線y=0.9554+0.03061m經過點（0〉，

y）,故C錯誤；

因為0.973>0.923，所以模型y=Q>9554+O.03061m回歸曲線的擬合效果比模型

y=0.9369+0.0285。的好'故。正確?

故選：BD.

10.已知a,0是兩個不重合的平面，m,n是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若加_1_〃，zw±a,〃〃仇則a_l_B

B.若朋_La,n//a,則〃

C.若a〃0,mua,則加〃0

D.若加〃〃，a//p,則相與a所成的角和〃與0所成的角相等

解：A.滿足加_L〃，w±a,〃〃。時，得不出a邛，a與0可能平行，如圖所示：

B.,??〃〃€（,工設過〃的平面0與a交于a,則〃〃a,又掰_La,?,?加_1_〃，，該

選項正確；

C.???a內的所有直線都與B平行，且陽ua,，加〃仇，該選項正確；

D.根據線面角的定義即可判斷該選項正確.

故選：BCD.

11.已知函數/G）=小出心,其中正確結論的是（）

A.當。=1時，/G）有最大值

B.對于任意的。>0,函數/G）是（0,+8）上的增函數

C.對于任意的。<0,函數/G）一定存在最小值

D.對于任意的a>0,都有/G）>0

解：當。=1時，/（x）=^+加氏,易知函數/（x）在（0,+8）上單調遞增，無最大值,

故4錯誤，

對于任意的。>0,函數/G）是（0,+8）上的增函數，

當x->。時，e^-l>Inx--00>故f（x）~>-°°,故3正確，。錯誤，

對于任意的aVO,t'（X）=e*+U易知/（X）在（0,+8）單調遞增，

X

當X-+8時，/（X）—+8,當x-0時，/G）--8,

；?存在/（xo）=0,

當OVxVxo時，/G）<0,函數單調遞減，

xoVxV+8,f（%）>0,函數單調遞增，

**f（X）min-'f（XO）?

故C正確，

故選：BC.

12.已知拋物線/=多的焦點為RM（xi,yi）,N（*2,是拋物線上兩點，則下列

結論正確的是（）

A.點尸的坐標為+0）

B.若直線MV過點凡貝LIX2=-J

16

C.若而=入而，則也W]的最小值為]

D.若則線段MV的中點尸到X軸的距離為尚

解：拋物線的焦點為F（0,■!），所以4不正確；

根據拋物線的性質可得：MN過F時，則為X2=-：1,所以B正確；

若而=入而，則的最小值為拋物線的通徑長，為2尸=當所以C正確；

拋物線/=%的焦點為b（0,焉），準線方程為尸W，

Z.OO

過點A/、N、尸分別作準線的垂線MA/',NN',PP',

則|=版|,|W|=附，\MM'\+\NN'\=\MF]+\NF]=-^,

所以阿，尸山野■號,

所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP'b所以。正確；

o4oo

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線。的離心率為例，寫出雙曲線C的一個標準方程上二2)=1_.

4

解：雙曲線。的離心率為泥，不妨a=l,則此時6=2,所以所求的雙曲線方

程為：/_上=1.

故答案為：N-(答案不唯一)

41

14.黨的十九大報告提出“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”，要“推動城鄉(xiāng)義務教育一體化發(fā)展，高度重視

農村義務教育”.為了響應報告精神，某師范大學5名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的

鄉(xiāng)村小學工作、若將這5名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1

人最多分配2人，則分配方案的總數為90.

?-12J-I2

解：根據題意，將5名應屆大學畢業(yè)生按2、2、1分組，則方法數為一y=15種，

A2

再分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，共有433=6種，

根據分步計數原理，共有15X6=90種，

故答案為：90.

15.已知O為坐標原點，直線/與圓/4^-6八5=0交于4、B兩點,\AB\=2,點、M為線

段的中點.則點”的軌跡方程是f+(y-3)2=3,|贏+樂|的取值范圍為3

JL2V3>6+2Va_.

解：圓方程可化為W+(j-3)』4,則圓心C(0,3),半徑〃=2,設M(x,y),

則CW2=/-碧)2=3,即N+(”3)2=3,所以M點的軌跡方程為N+(y-3)2=

3,

因為M點在聲(廠3)2=3上運動，所以|前最大值3+W，最小值3-正，

貝IJ|贏+而|=2|而^[6-2“，6+2日，

故答案為：/+(y-3)2=3；[6-2時，6+273].

16.對于函數y=/(x)與y=g(x),若存在xo，使/Go)—g(-xo)?則稱MGo，f

(xo)),N(-xo,g(-xo))是函數/(x)與gG)圖象的一對“隱對稱點”.已知

函數/(x)=mG+l),g(x)=—,函數/(x)與gG)的圖象恰好存在兩對“隱

對稱點”，則實數加的取值范圍為(7,0).

解：由題意得丁=-加(x-1)與^=紅三的圖象有兩個交點，

X

令h(x)=^~,則〃(X)=]1江

當xe(0,e)時，h'(x)>0?h(x)單調遞增，當xE(e,+°°)時，h'(x)<0,

h(x)單調遞減

又》=-m(x-1)恒過點(1,0),當x>l時，h3>0,

在同一坐標系中做出函數的圖象，如圖，

由圖象知，若函數y=-掰(x-1)與^=上好的圖象有兩個交點，則機>0,

x

當直線y=-/w(x-1)與函數y=I””相切時,由〃'(x)=1,得

.'.0<-w<l,即mE(-1,0).

故答案為：(-1,0).

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①cos-B)=-^-+cosB,②asin4+c(sinC-sin/1)=Z>sinB,=tanJ+tanB

32bcosA

這三個條件中，任選一個，補充在下面問題中.

問題：在△ABC中，a,b,c分別為角4,B,。所對的邊，6=2時，.

(1)求角B；

(2)求a+2c的最大值.

jl1

解：(1)選擇①：由cos(?--5)=-^+cosB,

即^^sinB--^cosB=-^-,BPsin(B-=-^-,

i-idbii兀兀5兀遼互九冗

因為。＜…，故B-丁工，所以“亍

選擇②：由于asiM+c(sinC-sia4)=bsinB,

由正弦定理可得cP+c2-P=ac,

2221

由余弦定理，可得cosB=a+￡—

2ac2

TC

因為OVBVir,所以B=-y.

選擇③：因為j=taM+tanB,

bcosA

*T分士E-r相VScV3sinC

由正弦定理可得、.——r，

bcosAsinocosA

sinAsinB_sinAcosB+cosAsinBsin(A+B)_sinC

又tanJ+tanB=1

cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB'

V3sinCsinC

由=tark4+tanB,可得?

bcosAsinBcosAcosAcosB

因為sinOO,

所以tanB=yJ~3,

因為OVBVn,

所以B=

273

(2)在八43。中，由(1)及b=2“，『=，產a=4,

sinosinAsinC——

2

故a=4sinAc=4sinC,

2幾r~

所以a+2c=4sirL4+8sinC=4sirb4+8sin(——-A)=4sirt4+473cos^+4sinJ

8sirt4+4V3cos^=4V?sin(4+(p),

2兀

因為0〈力〈食一,且卬為銳角,

71

所以存在角A使得A+(p=—,

所以a+2c的最大值為4干.

18.已知數列｛“〃｝中，6n=l,以+1=—yz-(n€N*).

an+3

(1)求證：｛；號｝為等比數列，并求｛。〃｝的通項公式；

an乙

(2)數列｛瓦｝滿足兒=(3"-1)?才?2口，數列彷〃｝的前〃項和為〃，若不等式(-1)

"?人<4+/r對一切恒成立，求人的取值范圍.

a1a+33

【解答】證明：(1)由a“+i=~*<0,得=—=1+—,

"Ian+3an+1anan

113_

?T忖=35

數列{"以田為首項，3為公比的等比數列，

得義31=包，

22

.2

??,n-3工],

(2)b=(3n-l)^a=(3n-l)^--^—

n22n3-12nH

所以Tn=lX條+2X*+3X“+(n-l)X*+nX3

Tii1

U=1X—p+2X*?+…+(n-1)XT+nX-^-

2212212n

T

兩式相減得?=\:■+…+L-nX±=2-ny,

22°21222kl2n2n

T_=4/n+2/八n)X/<4[-n+2n=4,2

所以n^T-所以(T)2n-l'2n-l^=r-

令f(n)=4-/y(n€N*),易知/(“)單調遞增，

若n為偶數，則X<4—1^<f(n),所以A<3；

若n為奇數，則-入<4-F<f(n),所以-入V2,所以人>-2.

2

所以-2〈人V3.

19.在四棱錐尸-43C。中，尸4_1_平面4BCQ,AB=BD=DA=2^3,BC=CD=2.

(1)求證：平面尸4C_L平面P8Z)；

⑵若直線CD與平面PEC所成角的正弦值為字求平面。與平面PEC所成銳二

面角的余弦值.

【解答】（1）證明：連接4C,

?；AB=BD=DA=2a，BC=CD=2,

為等邊三角形，△5。為等腰三角形,

：.AC-LBD,

???P4_L平面/BCD,BOu平面力BCD,

：.PA±BD,

5LACC\PA=A,AC.尸/u平面PZC,

???3Q_L平面PAC,

YBOu平面PBD,

.?.平面尸4C_L平面PBD.

（2）解：以4為原點，AD,AP為y、z軸，在平面45CO內，作4、_1_面尸4。，建立如

圖所示的空間直角坐標系，

設尸（。＞0）,則尸（0,0,a）,B（3,加，0）,。（2,2加，0）,D（0,2M,

0）,

ACD=(-2,0,0),BC=(-1,M，0)，PC=⑵2的，-a),

m?BC=O-X-K/3Y=0

設平面尸歌的法向量為1r=G,y,z）,貝必_____,即，、廣

Im?PC=012x+2V3y-az=0

令y=l,貝ijx=“，（V3?1，）＞

aa

?.,直線CD與平面PBC所成角的正弦值為4，

切＜五’為日闔:上尸2xj3+；（*）2戶率

解得。=2或-2(舍負),

???&=⑵2“，-2),(“，1,2“），

同理可得，平面PC。的法向量0=（0,1,V3），

.??cosVjpn>='

V3+1+12X2-8

7

故平面PCD與平面P3C所成銳二面角的余弦值為石.

o

20.2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，

自2021年1月1日起施行.《中華人民共和國民法典》被稱為“社會生活的百科全書”，

是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基

本法.為了增強學生的法律意識，了解法律知識，某校組織全校學生進行學習《中華人

民共和國民法典》知識競賽，從中隨機抽取100名學生的成績（單位：分）統(tǒng)計得到如

表表格：

成績[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性別

男51416134

女31113156

規(guī)定成績在［90,100］內的學生獲優(yōu)秀獎.

（1）根據以上成績統(tǒng)計，判斷是否有90%的把握認為該校學生在知識競賽中獲優(yōu)秀獎與

性別有關？

（2）在抽取的100名學生中，若從獲優(yōu)秀獎的學生中隨機抽取3人進行座談，記X為抽

到獲優(yōu)秀獎的女生人數，求X的分布列和數學期望.

附：

尸(K22％)0.10.010.001

k2.7066.63510.828

n(ad-bc)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解：(1)依題意得列聯(lián)表如下:

獲優(yōu)秀獎未獲優(yōu)秀獎合計

男44852

女64248

合計1090100

假設濟：“該校學生在知識競賽中獲優(yōu)秀獎與性別無關”，

當Ho成立時，P(群22.706)^0.1,

將列聯(lián)表中的數據代入公式，計算得:

100X(4X42-48X6)2

蜉=-0.641V2.706,

52X48X10X90

，小概率事件沒有發(fā)生，接受假設加,

???沒有90%的把握認為該校學生在知識競賽中獲優(yōu)秀獎與性別有關.

(2)依題意X的所有可能取值為0,1,2,3,

???X的分布列為:

X0123

P13

無Io~28

1O1IQ

E(X)=0X^+ix7^-+2X-^+3X-^=f.

o1U/b3

21.己知O為坐標原點，橢圓C：,+y2=],點D,M,N為C上的動點，O,M,N三

點共線，直線QM,ON的斜率分別為心，ki（%出2#0）.

（1）證明：k1k2=-^；

（2）當直線。M過點（1,0）時，求向⑸1+k2的最小值;

（3）若出〔+依=0,證明：lOUl+IOMp為定值.

解：（1）證明：設M,O,N三點共線，且MN在橢圓C上，

:.M,N關于原點對稱，設。（xi，y\）>M（xo，州）,則N（-xo，-jo），

22

所以3_物2=1，0-+對=1，

44

22

即pg-二，砂2=1-8-，

44

1/22、

22丁xrXo)

y「y。vi+y。了廣丫。

所以k]k1

2-xrxoxi+xo-xf-x§22-4

x「x0

(2)設QM方程為：y=k\(x-1),即Aix-y-%i=0,

kjX-y-k1=0

聯(lián)立<2?，消》可得(4k沁)x2-8k：x+4k：-4=0,

V+y1

8k：

x+x=-5-

MD4kf+l

所以《

_4kj-4

X=-2-

D4kf+l

-2k

所以yM+yD=ki（x「i）+ki（x2+i）=

4kf+r

8k；

Xn-XJJ=9

4ki+l

所以《

~2k?

y-yN=-2-