第二章標(biāo)量衍射理論

第二章標(biāo)量衍射理論2－1慧更斯-菲涅耳原理光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn)象。光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。光是一種電磁波，光波的衍射問題應(yīng)該通過麥克斯韋的電磁理論來求解。但是這種求解過程相當(dāng)復(fù)雜，且多數(shù)不能獲得解析解?，F(xiàn)代的光學(xué)教材多使用惠更斯－菲涅耳－基爾霍夫標(biāo)量場理論。標(biāo)量場理論的適用范圍:①衍射孔徑比照明光波波長大的多。②觀察點較遠。標(biāo)量衍射理論的核心問題：用確定邊界上的復(fù)振幅分布來表達光場中任一點的復(fù)振幅分布，如果邊界面上復(fù)振幅分布相同，即使光的偏振方向不同，所得結(jié)果應(yīng)該是一樣的。惠更斯原理：1690年，惠更斯在其著作《論光》中提出假設(shè)：“波前上的每一個面元都可以看作是一個次級擾動中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且：“后一時刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡(luò)面。”惠更斯原理能夠很好地解釋光的直線傳播，光的反射和折射方向，也可以說明衍射的存在；但不能確定光波通過衍射屏后沿不同方向傳播的振幅，因而也就無法確定衍射圖樣中的光強分布。1818年，在巴黎科學(xué)院舉行的以解釋衍射現(xiàn)象為內(nèi)容的有獎競賽會上，年青的菲涅耳出人意料地取得了優(yōu)勝，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想將所有衍射情況引到統(tǒng)一的原理中來,這個原理就是惠更斯－菲涅耳原理?；莞?-菲涅耳原理波前上任何一個未受阻擋的點都可以看作是一個頻率（或波長）與入射波相同的子波源；在其后任何地點的光振動，就是這些子波疊加的結(jié)果。s0為點波源，S為從S0發(fā)出的球面波在某時刻到達的波面，P0為波場中的某個點。要問，波在P0點引起的振動如何？S0P0SP1dSrθS0P0SdSP1dSrθ由惠更斯--菲涅耳原理，P0點的復(fù)振幅可表示為：1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并給出了菲涅耳衍射積分公式。最初菲涅耳作的各項假設(shè)時，只憑樸素的直覺。2－2基爾霍夫衍射理論一.數(shù)學(xué)預(yù)備知識1.亥姆霍茲方程設(shè)標(biāo)量函數(shù)u(P,t)表示在t時刻空間P點的光擾動，假設(shè)光的角頻率為ω，則：其中U(P)是光波的復(fù)振幅。u(P,t)在每一個無源點上滿足標(biāo)量波動方程：拉普拉斯算子：將波函數(shù)u(P,t)代入波動方程：此方程叫做亥姆霍茲方程。在自由空間傳播的單色光波，其復(fù)振幅都滿足亥姆霍茲方程。2.格林定理設(shè)U(P)和G(P)是空間域的兩個復(fù)函數(shù)，閉合曲面S包圍的體積為V。若在S曲面內(nèi)和S曲面上，U(P)和G(P)均單值、連續(xù)，并且具有單值連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，則有：3.基爾霍夫定理基爾霍夫的衍射理論建立在一個積分定理的基礎(chǔ)上，這個積分定理把齊次波動方程在任一點的解用包圍這一點的的任意曲面上的解及其一階導(dǎo)數(shù)的的值來表示。P0S我們要用S曲面上的光擾動值表示在P0點的光擾動。應(yīng)用格林定理，并選擇由P0點向外發(fā)散的單位振幅球面波為輔助函數(shù)(自由空間格林函數(shù))。于是，任意一點P1上基爾霍夫格林函數(shù)G為：P1令U(P)為單色光場的復(fù)振幅。格林定理要求函數(shù)U、G及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)在體積V內(nèi)連續(xù)，但在P0點，函數(shù)G并不連續(xù)。為此，可以以P0為球心，以ε為半徑做小球面Sε。P0SP1Sεε格林定理的積分區(qū)域改為S和Sε之間的體積V’，面積分的積分區(qū)域是復(fù)合曲面S’＝S＋Sε，曲面的正方向如圖所示。V‘在區(qū)域V’內(nèi)，G(P)是一個從P0點向外傳播的球面波，顯然滿足亥姆霍茲方程：將U(P)和G(P)的亥姆霍茲方程代入格林定理表達式左端：所以格林定理表達式右端簡化為：即：對于S上任一點P1：對于Sε上任一點P1：令ε任意小，利用U及其導(dǎo)數(shù)在P0點的連續(xù)性：這個結(jié)果就是基爾霍夫積分定理。意義：衍射光場中任意點P0的復(fù)振幅U(P0)可以用任意包圍P0點的閉合曲面S上各點的復(fù)振幅U及其偏導(dǎo)數(shù)求得。二.平面屏幕衍射的基爾霍夫公式現(xiàn)在考慮無限大不透明屏幕上的一個小孔引起的衍射問題。P0S2S1RΣ由基爾霍夫積分定理：其中：對于S2曲面，于是S2面上的積分：其中Ω是S2對P0點所張的立體角。我們注意到：所以只要滿足條件：此條件稱為索末菲輻射條件。那么什么情況下函數(shù)U滿足索末菲輻射條件呢？先就球面波進行檢驗，令：代入上式：這說明球面波函數(shù)U滿足索末菲輻射條件。實際上，S2面上的僅僅是小孔出射的光波，總可以看成一系列球面波的線性組合，也就是說索末菲輻射條件總是被滿足的?，F(xiàn)在我們知道P0點的擾動可以由緊靠屏幕的無限大平面S1上的擾動及其法向?qū)?shù)來決定：屏幕上除了孔徑Σ之外，都是不透明的，從直觀上看，對積分有貢獻的主要是來自S1面上位于Σ內(nèi)的那些點?；鶢柣舴蚣僭O(shè)：1在孔徑Σ上，光場分布U及其導(dǎo)數(shù)與無屏幕時一樣。2在S1面孔徑Σ之外，光場分布U及其導(dǎo)數(shù)為零。這兩條假設(shè)稱為基爾霍夫邊界條件。這樣積分公式可寫成：這兩條假設(shè)都不是嚴格成立的。三.菲涅耳－基爾霍夫衍射公式對U(P0)的表達式進一步簡化。觀察點到孔徑的距離通常遠遠大于光波長，因此U(P0)的表達式簡化為：假設(shè)小孔是由位于點P2的單色點光源產(chǎn)生的球面波照明，P2和P1點的距離為r21，則：P0P2Σr21P1r01U(P0)的表達式化為：上式稱為菲涅耳－基爾霍夫衍射公式。討論：1.點光源的位置與觀察點的位置是對稱的。這一結(jié)論稱為亥姆霍茲互易定理。2.與慧更斯－菲涅耳原理相比較(2-1-1式)：不難得到：從而看出：慧更斯－菲涅耳原理中的傾斜因子有了具體形式。常數(shù)C不是實數(shù)。這表明P1點上次波源的相位比入射波的相位超前90o最后，雖然公式是在點光源照明的情況下導(dǎo)出的，但是對于其他光源，公式也是適用的，因為復(fù)雜的光波總可以分解成若干球面波的線性組合。四.衍射公式與疊加積分令：并注意到：其中：回憶一下第一章學(xué)習(xí)的疊加積分(1-9-1式)：就是衍射系統(tǒng)的點擴展函數(shù)。2－3衍射規(guī)律的頻域表達式通過傅立葉分析，孔徑平面和觀察平面上的光場都可以看作許多沿不同方向傳播的單色平面波的線性組合。式中α、β分別是光波傳播方向與x軸、y軸的夾角?？臻g任意點的光擾動，都可以通過這些“平面波”相移后疊加而得。1.衍射規(guī)律的頻域描述角譜考慮如下情況：衍射屏處復(fù)振幅為U(x,y,0)，觀察屏上復(fù)振幅分布為U(x,y,z)，為了方便，衍射屏和觀察屏都使用了同一種坐標(biāo)系。并且，由傅立葉逆變換：前面已指出因子表示傳播方向余弦為的單色平面波。這些平面波的復(fù)振幅由(fx,fy)決定，因此稱函數(shù)為U(x,y,z)的角譜。引入角譜可以幫助我們進一步理解復(fù)振幅分解的物理含義：單色光場中某一平面上的場分布可以看作沿不同方向傳播的單色平面波的疊加，參與疊加的各平面波成分有自己的振幅和初位相，它們分別取決于角譜的模和輻角。2.角譜的傳播（G0和Gz的關(guān)系）在無源點上，復(fù)振幅滿足亥姆霍茲方程(2-2-4式)：將(2-3-1式)代入亥姆霍茲方程(2-2-4式)，得到Gz所滿足的方程：注意到Gz僅僅是z的函數(shù)，求導(dǎo)，化簡，得這是一個二階線性齊次常微分方程，解之，舍去倒退波，得，代入邊界條件，積分常數(shù)，最后得到方程的解：上式正是衍射角譜理論最重要的結(jié)果，它指出了角譜的傳播規(guī)律。在確定了光場平面的角譜之后，可以通過傅立葉逆變換求出復(fù)振幅的分布，因此，上式是基爾霍夫衍射公式的頻域表達式，和基爾霍夫衍射公式具有同等的價值。我們對上式進行討論，以便理解其物理意義。這時cosγ是實數(shù)，表示各平面波分量傳播一段距離僅僅是引入一定相移，而振幅、傳播方向等不變。這時cosγ是虛數(shù)，式子可改寫為：其中：μ是很大的正實數(shù)，表示各平面波分量隨著傳播距離迅速衰減，在幾個波長范圍內(nèi)衰減為零，這些角譜分量叫做倏逝波。倏逝波不能帶走能量。這時cosγ是0，γ是90o

，表示平面波分量傳播方向垂直于z軸。3.傳播作為一種線性空間濾波器再次考慮光從z＝0平面?zhèn)鞑サ搅硗庖粋€與它平行、距離為z的平面?？梢哉J為第一個平面上的復(fù)振幅為U(x,y,0)經(jīng)過一個傳播變換成一個新的復(fù)振幅分布U(x,y,z)。這種變換滿足我們前面對系統(tǒng)的定義，而表征系統(tǒng)特征的傳遞函數(shù)為：“自由傳播系統(tǒng)”存在傳遞函數(shù)，因此是線性空不變系統(tǒng)。當(dāng)空間頻率時，當(dāng)空間頻率時，“自由傳播系統(tǒng)”實際上是一個低通濾波器。4.衍射