2022屆高中數(shù)學新人教A版必修第一冊 第3章 3

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

學習任務(wù)核心素養(yǎng)

1.了解函數(shù)模型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、

1.通過建立函數(shù)模型解決實際問題，培養(yǎng)

分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)

數(shù)學建模素養(yǎng).

模型）的廣泛應(yīng)用.

2.借助實際問題中的最值問題，提升數(shù)學

2.能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的

運算素養(yǎng).

函數(shù)模型解決實際問題.（重點、難點）

【合作探究?釋疑難］疑難問題解惑?學科素養(yǎng)形成

C類型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用

【例1】城鎮(zhèn)化是國家現(xiàn)代化的重要指標，據(jù)有關(guān)資料顯示，1978—2013年，我國城

鎮(zhèn)常住人口從1.7億增加到7.3億.假設(shè)每一年城鎮(zhèn)常住人口的增加量都相等，記1978年后

第f（限定f<50）年的城鎮(zhèn)常住人口為&）億.寫出用）的解析式，并由此估算出我國2022年的

城鎮(zhèn)常住人口數(shù).

［解］因為每一年城鎮(zhèn)常住人口的增加量都相等，所以火f）是一次函數(shù)，設(shè)式。=燈+6,

其中左,〃是常數(shù).

注意到2013年是1978年后的第2013—1978=35年，因此

,0）=1.7,即長=17

1/35）=7.3,'1354+匕=7.3,

解得k=0.16,6=1.7.因此

-f）=0.16f+1.7,fGN且f<50.

又因為2022年是1978年后的第2022-1978=44年，而且<44）=0.16X44+1.7=8.74,

所以由此可估算出我國2022年的城鎮(zhèn)常住人口為8.74億.

廠.......?辰思領(lǐng)悟..........................

一次函數(shù)模型的特點和求解方法

（1）一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線.

（2）解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解.

［跟進訓練］

1.如圖所示，這是某通訊公司規(guī)定的打某國際長途電話所需要付的電話費y（元）與通話

時間/（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖象.根據(jù)圖象填空：

①通話2分鐘，需要付電話費元；

②通話5分鐘，需要付電話費元；

③如果r23,則電話費y(元)與通話時間f(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為.

①3.6②6③y=1.2/(/23)[①由圖象可知，當忘3時，電話費都是3.6元.

②由圖象可知，當f=5時，y=6,需付電話費6元.

③易知當f23時,圖象過點(3,3.6),(5,6),待定系數(shù)求得y=1.2r(f23).]

類型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用

【例2】某農(nóng)家旅游公司有客房160間，每間房單價為200元時，每天都客滿.已知

每間房單價每提高20元，則客房出租數(shù)就會減少10間.若不考慮其他因素，旅游公司把每

間房單價提到多少時，每天客房的租金總收入最高？

[解]設(shè)每間房單價提高x個20元時，每天客房的租金總收入為)，元.

因為此時每間房單價為200+20X元，而客房出租數(shù)將減少10x間，即為160-lOx間，

因此

^=(200+20x)(160-10%)

=200(10+力(16-x)

=200(-x2+6x+160)

=200[-(x-3)2+169]

=-200(x-3)2+33800.

從而可知，當x=3時，y的最大值為33800.

因此每間房單價提到200+20X3=260元時，每天客房的租金總收入最高.

廠.......思領(lǐng)悟?............................

二次函數(shù)模型的解析式為g(x)=av2+bx+c(aW0).在函數(shù)建模中，它占有重要的地

位.在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性

等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值常常結(jié)合二次函

數(shù)的圖象來解答.

[跟進訓練]

2.A,8兩城相距100km,在兩地之間距A城xkm處。地建一核電站給A,B兩城供

電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km,已知每個城市的供電費用與供電

距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)4=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10

億度/月.

(1)把A,B兩城月供電總費用y(萬元)表示成x(km)的函數(shù)，并求定義域；

(2)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用最小.

［解］⑴由題意設(shè)A城的月供電費用為v，則力=2X20/.

2

設(shè)B城的月供電費用為以，則y2=AX10X(100-x),

.?.A、8兩城月供電總費用'=2*20/+2*10*(100-%)2.

VA=0.25,

),=5N+*100-x)2(l0WxW90).

⑵由y=5x2+^(100—X)2=-yjt2—500%+25000

_15Q100)?50000

則當*=與時，)，最小.

故當核電站建在距4城號km時，才能使供電總費用最小.

n類型3分段函數(shù)模型的應(yīng)用

【例3】(對接教材P93例題)為了鼓勵大家節(jié)約用水，自2013年以后，某市實行了階

梯水價制度，其中每戶的綜合用水單價與戶年用水量的關(guān)系如下表所示.

分檔戶年用水量/m3綜合用水單價/(元?m-3)

第一階梯0—220（含）3.45

第二階梯220—300（含）4.83

第三階梯300以上5.83

記戶年用水量為xnr，時應(yīng)繳納的水費為式x)元.

(1)寫出兀0的解析式；

(2)假設(shè)居住在該市的張明一家某一年共用水260n?,則張明一家該年應(yīng)繳納水費多少

元？

嘗試與發(fā)現(xiàn)

由每一階梯綜合用水單價不同，思考用哪類函數(shù)刻畫戶年用水量x與應(yīng)繳納的水費7U)

的關(guān)系.

［解］(1)不難看出，兀0是一個分段函數(shù)，而且:

當0<xW220時，有y(x)=3.45x;

當220aW300時，有

危)=220X3.45+(x-220)X4.83

=4.83L303.6:

當心>300時，有

危)=220X3.45+(300—220)X4.83+。-300)X5.83

=5.83x—603.6.

3A5xf04W220,

因此/(x)=<4.83x—303.6,220<v^300,

.5.83%--603.6,x>300.

(2)因為220<260W300,所以

7(260)=4.83X260-303.6=952.2,

因此張明一家該年應(yīng)繳納水費952.2元.

「......?成思領(lǐng)悟.........................

分段函數(shù)模型的應(yīng)用

(1)現(xiàn)實生活中有很多問題都是用分段函數(shù)表示的，如出租車計費、個人所得稅等，分

段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.

(2)分段函數(shù)的每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，因此可以先將其看成幾個問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

［跟進訓練］

3.已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到8地，在B

地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地.

(1)把汽車離開4地的距離x(千米)表示為時間f(小時)的函數(shù)；

(2)求汽車行駛5小時與A地的距離.

［解］⑴汽車以60千米/時的速度從A地到B地需2.5小時，這時x=60f:當2.5<fW3.5

時，x=150;汽車以50千米/時的速度返回4地需3小時，這時x=l50—50(f-3.5)=-50f

+325.則所求函數(shù)的解析式為

'60f,00W2.5,

x=\150,2.5<忘3.5,

.-50/+325,3.54W6.5.

(2)當t=5時，x=-50X5+325=75,

即汽車行駛5小時離A地75千米.

［當堂達標?夯基礎(chǔ)］課堂知識檢測?小結(jié)問題點評

1.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間r變化的圖象如圖所示，那么圖象所

對應(yīng)的函數(shù)模型是（）

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.分段函數(shù)模型D.無法確定

C［由s與f的圖象，可知，分4段，則函數(shù)模型為分段函數(shù)模型.J

2.一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y與單價x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.如果購買1000

噸，則每噸800元，購買2000噸，則每噸700元，那么一客戶購買400噸，其價格為每噸

（）

A.820元B.840元

C.860元D.880元

C［設(shè)y=fcv+8,則1000=800%+6且2000=700k+4解得A=-10,b=9000,

則y=-10x+9000.當y=400時，即400=-10x+9000,得x=860（元）.］

3.某品牌電動車有兩個連鎖店，其月利潤（單位：元）分別為y=—5N+900x—16000,

J2=300X-2000,其中x為銷售量.若某月兩店共銷售了110輛電動車，則最大利潤為（）

A.110007CB.22000元

C.33000元D.40000元

C［設(shè)兩個店分別銷售出x與110-X輛電動車，則兩店月利澗L=一5爐+900X一16000

+300（110-x）-2000=-5x2+600.r+15000=-5（x-60）2+33000,所以當x=60時，兩店

的月利潤取得最大值，為33000元.］

4.某人從A地出發(fā)，開汽車以80千米/小時的速度經(jīng)2小時到達B地，在B地停留2

小時，則汽車離開A地的距離y（單位：千米）是時間f（單位：小時）的函數(shù)，該函數(shù)的解析式

是.

80f,0WfW2,

［答案］y=

160,2＜忘4

5.某商店進貨單價為4