《向量的數(shù)乘運算》教案、導學案、課后作業(yè)

《6.2.3向量的數(shù)乘運算》教案

【教材分析】

實數(shù)與向量的積及它們的混合運算稱為向量的線性運算，也叫向量的初等運算，是進一

步學習向量知識和運用向量知識解決問題的基礎。實數(shù)與向量的積的結(jié)果是向量，要按大小

和方向這兩個要素去理解。向量平行定理實際上是由實數(shù)與向量的積的定義得到的，定理為

解決三點共線和兩直線平行問題又提供了一種方法。特別：向量的平行要與平面中直線的平

行區(qū)別開。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標

1.掌握實數(shù)與向量的積的定義以及實數(shù)與向量的積的三條運算律，會利用實數(shù)與向量

的積的運算律進行有關的計算；

2.理解兩個向量平行的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行；

3.通過對實數(shù)與向量的積的學習培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了

解事物運動變化的辯證思想.

數(shù)學學科素養(yǎng)

L數(shù)學抽象：向量數(shù)乘概念；

2.邏輯推理：向共線的充要條件及其應用；

3.數(shù)學運算：向量的線性運算；

4.數(shù)學建模：用已知量表示未知量中從實際問題抽象出數(shù)學模型，數(shù)形結(jié)合，運用向量

加法解決實際問題.

【教學重點和難點】

重點：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量平行的充要條件；

難點：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件.

【教學過程】

一、情景導入

我們已經(jīng)學習了向量的加法，請同學們作出￡+￡+￡和Ga）+（-a）+GG向量，并

請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本13-16頁，思考并完成以下問題

1、向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？

2、向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？

3、向量共線定理是怎樣表述的？

4、向量的線性運算是指的哪三種運算？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1、定義

實數(shù)力與向量￡的積是一個向量，記作丸2它的長度和方向規(guī)定如下：

⑴IAah|/L||?|

(2)2>°時，2a的方向與。的方向相同；當丸<°時，2a的方向與。的方向相反;

特別地，當2=0或￡=°時，0.

2、實數(shù)與向量的積的運算律

設2、3為任意向量，/、〃為任意實數(shù)，則有：

(D(2+7〃+/ia

(2)=(入/Lia).

(3)丸(〃+b)=Xa+Ab

3、向量平行的充要條件：

向量B與非零向量￡平行的充要條件是有且僅有一個實數(shù)丸，使得3=元.

四、典例分析、舉一反三

題型一向量的線性運算

例1化簡下列各式：

(1)2(3a—26)+3(a+5b)—5(4Z?-a)；

(2)|[2(2司+86)—4(4H—26)].

6

【答案】⑴14a-9&⑵-2升4〃

【解析】(1)原式=6^—46+3^+156—206+5^=143—96.

(2)原式=[(4a+166—16a+86)

6

=!(—12a+246)

6

=—2a+4Z?.

解題技巧(向量線性運算的方法)

(1)向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算.例如實數(shù)運算中的去括號、移項、合

并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類

項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).

(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，

同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律，簡化運算.

跟蹤訓練一

i—jy求俘己_@_(2_9@+(28一己).

1、設向量m=3/+2J,b=2

2、已知a與b,且5x+2y=a,3tx—y=b,求x,p

r1,2

x=-a+—bz,

5

【答案】1、一鏟.TN2v

35

〔尸ip-TT》.

【解析】1、原式6—3+可力+26—a

Oo

=t-1—1:+卜1+舁2)

b

=-2晶

=一鼻(37+2力+~(2i—J)

OO

5?一

=一3—5].

(12

x=-a+t—bt

‘5x+2尸a,9

解得4°r

2、聯(lián)立方程組.」

?>x—y=b,35人

尸聲―1TA

題型二向量線性運算的應用

例2如圖所示，四邊形/皿是一個等腰梯形，AB//DC,M,"分別是加,居的中點,

已知血=a,AD=b9DC=c9試用a,b,c表示8。，MN.

【答案】BC—a+b+c,MN=^a—b-^c.

--A--A--A--A

【解析】BC=BAAD+DC=-a-\-6+c.

一

一一

1一一1

加

小如

志期

又

--2----2-

/.MN=~a—b--c.

乙乙

解題技巧：（用已知向量表示未知向量）

用圖形中的已知向量表示所求向量，應結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關的法則和幾何圖形的

有關定理，將所求向量反復分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實質(zhì)是向量的線性

運算的反復應用.

跟蹤訓練二

1、如圖所示，D,￡分別是△Z6C的邊46,4。的中點，M,"分別是用6c的中點，已

--?--?--?--?--?

知BD=b,試用46分別表示龐，CE,MN.

ZJ[

-I「

【答案】DE=^a.CE=~^a+b.MN—75—b.

乙乙q

【解析】由三角形中位線定理，知龍平行且等于聶G故龐1

=-BC,

-?

即DE=^a.

—?—?—?—?

CE=CB+BD+DE=—a+b+^:a=-za+b.

—?—?—?—?—?—?—?

MN=MD+DBA-BN*ED+DB￡BC

=-%—6+%=-b.

424

題型三共線定理的應用

例3已知非零向量8,金不共線.

—?—?―?

⑴如果6C=2a+8/，CD=3(e「心,求證：A,B,〃三點共線;

⑵欲使衣&+會和&+?會共線，試確定實數(shù)A的值.

【答案】(1)見解析，(2)k=±l.

【解析】⑴證明：?."6=ei+。,

BD=BC+CD=2ei+8e2+3ei—3e2=5忌+。）=5AB.

：.AB,B哄線,且有公共點反

：.A,B,〃三點共線.

⑵,.,處1+/和8+A/共線，

?,?存在實數(shù)4，使4&+改=4(ei+Aa),

即(A—X)&=(4k—1)62.

\k~4=0,

???8與金不共線，，一1八解得A=±L

L幾a—1=0,

解題技巧(用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路)

⑴若6=4a(a#0),且力與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；

⑵若6=4a(aW0),且6與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.例如，若向

量四=4/C,則,/C共線，又AB與4C有公共點A,從而A,B,C三點共線，這

是證明三點共線的重要方法.

跟蹤訓練三

—?—?—?

1、已知&,白是兩個不共線的向量，若28=2?—80，CB=ei+3ezf求證：

A,B,〃三點共線；

-A-A-A

2、已知4B,尸三點共線，。為直線外任意一點，若OP=xOA+yOB,求x+y的值.

【答案】1、見解析.2、x+y=l.

―?―?

【解析】1、證明：,.?/=ei+3。，CD=2ei—a,

―?―?―?

:?BD=CD—CB=e「4a.

―?

又Z8=2&-80=2(ei—4^),

―?―?―?―?

:.AB=2BD,：.AB//BD.

?:AB與即有公共點B,

：.A,B,，三點共線.

―?—?

2、解由于4B,戶三點共線，所以向量26,〃在同一直線上，由向量共線定理可知,

—?—?

必定存在實數(shù)八使/々AAB,

―?―?―?―?

即?！敢坏?2(OB-OA),

—?―?—?

所以"三(1一A)OA+AOB,

故x=l-4,y=A,即x+y=l.

五、課堂小結(jié)

讓學生總結(jié)本節(jié)課所學主要知識及解題技巧

六、板書設計

6.2.3向量的數(shù)乘運算

1.定義例1例2例3

注意：

2.向量線性運算

七、作業(yè)

課本15、16頁練習，22頁習題6.2的8,9,12,13,14,15題.

【教學反思】

向量數(shù)乘運算以及加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算，向量的數(shù)乘運算其實是加法

運算的推廣及簡化.教學時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)

系.實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，既有大小，又有方向.特別是方向與已知向量是共線

向量，進而引出共線向量定理.這樣平面內(nèi)任意一條直線1就可以用點力和某個向量質(zhì)表示

了.共線向量定理是本章節(jié)的重要的內(nèi)容，應用相當廣泛，且容易出錯，尤其是定理的前提

條件：向量五是非零向量.共線向量的應用主要用于證明點共線或線平行等，且與后學的知

識有著密切的聯(lián)系.

《6.2.3向量的數(shù)乘運算》導學案

【學習目標】

知識目標

1.掌握實數(shù)與向量的積的定義以及實數(shù)與向量的積的三條運算律，會利用實數(shù)與向量

的積的運算律進行有關的計算；

2.理解兩個向量平行的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行；

3.通過對實數(shù)與向量的積的學習培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了

解事物運動變化的辯證思想.

核心素養(yǎng)

L數(shù)學抽象：向量數(shù)乘概念；

2.邏輯推理：向共線的充要條件及其應用；

3.數(shù)學運算：向量的線性運算；

4.數(shù)學建模：用已知量表示未知量中從實際問題抽象出數(shù)學模型，數(shù)形結(jié)合，運用向量

加法解決實際問題.

【學習重點】：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量平行的充要條件；

【學習難點】：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件.

【學習過程】

一、預習導入

閱讀課本13T6頁，填寫。

1、定義

實數(shù)％與向量￡的積是一個,記作.它的長度和方向規(guī)定如下：

⑴|癡|="||”|.

(2)2>°時，2a的方向與。的方向；當丸<°時，2a的方向與。的方向

特別地，當丸=。或2=°時，7a=6.

2、實數(shù)與向量的積的運算律

設2、B為任意向量，％、〃為任意實數(shù)，則有：

(D(2+〃)〃二2〃+.

(2)%(〃〃)=(入/Lid).

(3)丸(〃+b)=

3、向量平行的充要條件：

向量B與非零向量a平行的充要條件是.

小試牛刀

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)幾。的方向與a的方向一致()

(2)共線向量定理中，條件a#0可以去掉.)

（3）對于任意實數(shù)R和向量a,b,若ma=mb,則a=6.（）

2.若㈤=1,|引=2,且a與b方向相同，則下列關系式正確的是（）

A.b=2aB.b——2a

C.a=2bD.a=~2b

3.在四邊形中，若/8=—（切，則此四邊形是（）

A.平行四邊形B.菱形

C.梯形D.矩形

4.化簡：2(3a+46)-7a=.

【自主探究】

題型一向量的線性運算

例1化簡下列各式：

(1)2(3a—26)+3(a+56)—5(46—a)；

(2)|[2(2a+86)—4(4a—26)].

6

跟蹤訓練一

1、設向量a=3_Z+2J,b=2i—j,求+(26—a).

2、已知a與6,且5x+2尸a,3x一個6,求x,y.

題型二向量線性運算的應用

例2如圖所示，四邊形485是一個等腰梯形，AB//DC,M,"分別是次7,48的中點,

已知AS=a,AD—b,DC—c,試用a,b,c表示BC,MN.

跟蹤訓練二

1、如圖所示，D,￡分別是△26C的邊/昆/C的中點，M,"分別是陽6c的中點，已

---?---?---?---?---?

知8C=a,BD=b,試用a,6分別表示應CE,MN.

A

題型三共線定理的應用

例3已知非零向量8,均不共線.

―?―?―?

⑴如果四=&+偽，比'=28+8&,切=3(&—偽)，求證：A,B,，三點共線；

(2)欲使"8+&和&+"已共線，試確定實數(shù)"的值.

跟蹤訓練三

—?—?—?

1、已知&,白是兩個不共線的向量，若28=2?—80，CB=ex+3ez,CD=2ex~e2,求證：

A,B,〃三點共線；

-A-A-A

2、已知4B,尸三點共線，。為直線外任意一點，若OP=xOA+yOB,求x+y的值.

【達標檢測】

(2a+86)—(4a—2b)等于()

A.2a—bB.2b—a

C.b—aD.a—b

2.已知出〃是實數(shù)，a,。是向量，則下列命題中正確的為()

一、①m(a—6)=ma—mb；②(m—垃a=ma—；③若ma—mb,則a=b；④若

ma=na,貝!Jm=n.

A.①④B.①②

C.①③D.③④

3.如圖，△46C中，AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,則茄=()

C.D.--a+—^

4.對于向量a,b有下列表示：

①a=2e,b=~2e；

@a'=e\—&i,b=-28+2a；

o21

③a=4ei~~ei，b=e\——；

510

④a=e+a,b=2e\—2ei.

其中，向量a,6一定共線的有()

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②③④

5.已知ei,&是兩個不共線的向量，而3=好B+(1—與6=2臺+3。是兩個共線

向量，則實數(shù)4=.

2―.—?

6.如圖，在△/歐中，D,尸分別是比；〃的中點，AE=-AD,AB=a,AC=b.

(1)用a,6分別表示向量，而，而;

⑵求證：B,E,b三點共線.

答案

小試牛刀

1.(1)X(2)X(3)X

2.A.

3.C.

4.—a+8b.

自主探究

例1【答案】(1)14a—94⑵-2a+4b.

【解析】⑴原式=6a—46+3&+156-206+5a=14a—94

⑵原式=J(4a+166—16a+86)

o

=-(—12a+24Z?)

o

=-2d+4b.

x=^a+~^b,

5

跟蹤訓練一【答案】1、—qi—5j.2、S

O35

尸1Ta—1TA

19

【解析】1、原式=可己一6一己+.6+26—a

OO

=?-1-1}+(-1+舁22〉

3

=一3(3W+2力+~(.2i—J)

OO

5

=一4】一5/

O

k'a+?

5x+2y=a,

2、聯(lián)立方程組?解得，

3x—y=b,35

尸

1TLl1A

11

例2【答案】BC-a+b+c.MN=-a—b—~c.

【解析】BC=BA+AD+DC=~a+b+c.

"：MN=MD+DA+AN,

一

一一

1一一1

如

小的

志期

又

--2----2-

，

MN=~乙a—b--乙c.

跟蹤訓練二

--?

CE=-)a+b.

1、【答案】DEMN=~:a—b.

4

【解析】由三角形中位線定理，知理平行且等于36。，故原=；

即DE=~a.

乙

CE=CB+BD+DE=—a+b+^a=b.

—?—?—?—?—?—?—?

MN=MD+DBA-BN=^ED+DB備BC

=~~;a—b+}:a=-;a—b.

424

例3【答案】（1）見解析，（2）A=±L

―?

【解析】（1）證明：?.?/￡=&+白，

―?―?—?-?

BC~\~CD=2ei+8a+3ei—3a=5（3+62）=5AB.

：?AB,應哄線，且有公共點反

???4B,〃三點共線.

⑵+/和共線，

???存在實數(shù)4，使4ei+a=4(ei+Aa),

即(k—4)&=(4K—1)e2.

\k~4=0,

???e與。不共線，，一八解得4=±1.

UA-I=1O,

跟蹤訓練三

【答案】1、見解析.2、x+y=l.

―?-?

【解析】1、證明：?.?2=ei+3出CD=2e\—ez,

―?―?―?

:?BD=CD—CB=ei—40.

—?

又/6=2—80=2(8—4a),

―?―?—?-?

：.AB=2BD,：.AB//BD.

與初有公共點6,

：.A,B,。三點共線.

―?―?

2、解由于4B,尸三點共線，所以向量48,/雁同一直線上，由向量共線定理可知,

―?―?

必定存在實數(shù)/使/片^AB,

即。戶一物=A(OB—0心，

所以勿三(1一A)(24+AOB,

故x=l一2，y=兒，即x+尸1.

當堂檢測

1-4.BBDA

5.-2或;

6.【答案】見解析.

【解析】

--1—.—?1

解：(D；AD=4*(AB+AC)子(a+b),

：.AE-7-AD-告(a+b),

,：AF=-^-AC=-^-b,：.BF=AF-AB=-a+-^b.

⑵證明：由(1)知BF=—a+^-b,

BE=-y^l+yft=y(~a+yb),

-------9——?—?—?

：.BE^BF.：.BE與BF共線.

又BE,BF有公共點B,所以B,E,F三點共線.

《6.2.3向量的數(shù)乘運算》課后作業(yè)

基礎鞏固

1.下列各式計算正確的個數(shù)是()

@(—7)?5a=-35a；②a—26+2(a+6)=3a；③a+b—(a+6)=0.

A.0B.1C.2D.3

—?

2.如圖所示，2是△/回的邊46上的中點，則向量繆=()

/ZZII.

Z

n?，

f廠

A.BC-2BA

1

B.-BC+2BA

1

C.-BC-2BA

1

D.BC+2BA

3.已知向量a,b,且Z8=a+26,BC=-5a+6b,CD=7a—2b,則一定共線的三點是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

4.若四=3e1，CD=Te\,^\AD\=\BC\,則四邊形力四是（）

A.平行四邊形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

5.在平行四邊形/皿中，AC與BD交于氤0,￡是線段辦的中點，絲的延長線與切交于

點元若47=a,BD=b,則/鷹于（）

1121

A.4石+2萬B.3a+^b

1112

C.2石+4萬D.3a+^b

6.設8,會是兩個不共線的向量，若向量Aa+2。與8&+4改方向相反，則《=.

7.若a=—ei+30"=46+20,。=-36+120,則向量。寫為兒6+42c的形式是

―?―?―?—?―?―?―?

8.如圖所示，向量/，OB,龍的終點4B,。在一條直線上，且4。=-3口設的=0,0B=

q,OC—r,那么r用p,g怎么表示？

能力提升

9.已知向量a,6是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定可以使a,6共線的是（）

①2a—36=4e且a+26=—2e；

②存在相異實數(shù)4，n,使Xa-〃b=O；

③xa+yZ?=O（其中實數(shù)x,y滿足x+y=O）；

④已知梯形ABCD,其中不丹=。，力=瓦

A.①②B.①③

C.②D.③④

10.如圖，在△/園中，點。是區(qū)的中點，過點。的直線分別交直線48/C于不同的兩點

M,N,若AB=mAM,AC=nAN,則必+〃的值為

2

11.如圖，在△/回中，D,戶分別是比；/C的中點，AE^iAD,AB=a,AC=b.

(1)用a,6分別表示向量BF-,

⑵求證：B,E,b三點共線.

素養(yǎng)達成

-A-A-?

12.設ei,改是兩個不共線的向量，如果/6=3&—2改，6c=4a+金，。)=8&—9電

(1)求證4B,〃三點共線；

(2)試確定A的值，使和&+4&共線；

(3)若e+4a與Aa+a不共線，試求1的取值范圍.

《6.2.3向量的數(shù)乘運算》課后作業(yè)答案解析

基礎鞏固

1.下列各式計算正確的個數(shù)是()

①(-7)?5a=-35a；②a—2Z)+2(a+Z))—3a；③a+Z)—(a+6)=0.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】根據(jù)向量數(shù)乘的運算律可驗證①②正確；③錯誤，因為向量的和、差及數(shù)乘運算的

結(jié)果仍為一個向量，而不是實數(shù).

-A

2.如圖所示，〃是△/8C的邊46上的中點，則向量切=()

1

A.BC-2BA

一廠

B.—BC+3BA

f廠

C.-BC-2BA

-A-?

1

D.BC+2BA

【答案】B

f廠

【解析】,??〃是"的中點，.,?初=5為，

―?―?-?—?］―?

???CD=CB+BD=-BC+2BA.

―?—?―?

3.已知向量a,b,且A5=a+26,BC=-5a+6b,CD^la-2b,則一定共線的三點是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

［解析］AD^AC+繆=AB+BC+CD

=(a+26)+(—5a+66)+(7a—26)

=3》+66=3/8,

???4B,〃三點共線.故選A.

—?—?—?―?

4.若超=3以，切=-5以，且|必=|比1，則四邊形4故?是（）

A.平行四邊形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

【答案】C

f3ff一ff

【解析】因為四=一匚徽所以26〃。?，且|/對二回|.而Mm=|勿，所以四邊形A6切為

等腰梯形.

5.在平行四邊形相切中，AC與即交于點0,￡是線段勿的中點，烈的延長線與切交于

-A-?―?

點￡若47=劣BD=b,貝!J/詹于（）

1121

A.4a+2〃B.3a+3占

1112

C.2己+4bD.3己+3b

【答案】B

一「j_

【解析】如圖所示，:￡是勿的中點，，必=彳劭=".

3

：.AE=3EF,：.AE=^AF,

’11

在△/必中，AE=A0+0E=2a+1b,

f「21

AF=2AE=2a-\-~2b.故選B.

6.設a,改是兩個不共線的向量，若向量左?+2/與8a+A/方向相反，則A=

【答案】-4

【解析】丁A6+2改與86+4改共線，

.?.Aei+2級=A(8ei+Aa)=8Aei+入k/.

11

心=84,

幾=5,4=一5,

A[2=Ak,解得'或,

、k=4k=—\.

1

?「Aei+20與8ei+Ae2反向，>>.4=—2，4=一4.

7.若a=—ei+3a,6=4&+2/c=—3e1+12改,則向量w寫為兒6+42c的形式是一

17

【答案】一五6+沂。

【解析】若石=幾必十小。，則一6+36=41(4&+2改)+小(―3a+12a),「.一。+3/

(44l3幾2)61+(241+1242)

〃

1尸一忌

41一3幾2=—1,

解之，得j7

2人+12幾2=3.

.22=27-

8.如圖所示，向量的，OB,。6的終點4B,。在一條直線上，且/「=-3①設/=0,0B=

q,OC=r,那么r用p,q怎么表示？

c

【解析】'：OC=OB+BC,AC=—3CB=3BC,

1

:.BC='AC.

ff廠fJ.f-

0C=0B/AC=0B+5<0C—OA).

_1

/.r=q+§（Jp）■

13

-'-r^~2P+2Q-

能力提升

9.已知向量&6是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定可以使a,6共線的是()

①2a—36=4e且a+2b=~2e；

②存在相異實數(shù)34,使Xa—心=0；

③xa+yZ?=O（其中實數(shù)x,y滿足x+y=O）；

④已知梯形ABCD,其中不方a.CDb.

A.①②B.①③

C.②D.③④

【答案】A

【解析】由2a—3b=-2(a+26)得到/>=—4a,故①可以；Xa—口b=0,\a