二次函數(shù)中的數(shù)形結合

關于二次函數(shù)中的數(shù)形結合

“數(shù)”與“形”是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。

數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

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二次函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征

緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想與方法.

二次函數(shù)的圖象、性質蘊含信息豐富，能培養(yǎng)收集、整理和加工信息的能力，因此成為近年來中考的熱點.

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信息從圖象中來

____二次函數(shù)中的數(shù)形結合

第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天一．二次函數(shù)的圖象特征與系數(shù)符號的關系

1.a的作用

(1)決定開口方向：

a>0開口向上；a<0開口向下；

(2)決定開口的大?。?/p>

∣a∣越大，拋物線的開口越小．

2.b的作用：

b的作用與拋物線的頂點及a有關

（1）若b與a同號,則頂點在y軸的左邊；（2）若b與a異號，則頂點在y軸的右邊；（3）若b=0,則頂點在y軸上，

左同右異第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

3.c的作用c是拋物線與y軸交點的縱坐標．

（1）拋物線與y軸交于正半軸c>0；（2）拋物線與y軸交于負半軸c<0；（3）拋物線過原點

c=04.a+b+c的作用當x=1時,y=a+b+c

（1）拋物線與x軸交于（1，0）則a+b+c=0；（2）若x=1時y>0，則a+b+c>0

（3）若x=1時y<0，則a+b+c<05.a-b+c的作用當x=-1時,y=a-b+c

（1）若拋物線與x軸交于（-1，0)則a-b+c=0．（2）若x=-1時y>0，則a-b+c>0；（3）若x=-1時y<0，則a-b+c<0．第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天6.b2－4ac的作用

確定圖象與x軸是否相交．(1)拋物線與x軸有兩個交點△＞0

(2)拋物線與x軸有一個交點△=0

(3)拋物線與x軸沒有交點△＜0第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天二.二次函數(shù)圖象與性質的應用1.由拋物線的位置確定a，b，c的符號；由a，b，c符號確定拋物線的位置.例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，則下列關系判斷正確的是（）

A．a(chǎn)b<0 B．bc<0C．a(chǎn)+b+c>0D．a(chǎn)-b+c<0D第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天練習1．已知：a＜0,b＞0,c＞0那么拋

物線y=ax2+bx+c的頂點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限A第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.判斷同一直角坐標系的函數(shù)圖象例2拋物線y=ax2+bx+c圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=-bx-4ac+b2與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）

（2010甘肅蘭州）D第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天練習2.

在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)

y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為()A第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3.二次函數(shù)增減性

例3

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，若點A（1，y1）、B（2，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關系是（ ）A.y1＜y2

B.y1＝y(tǒng)2．

C．y1

＞y2

D．不能確定（09深圳）C第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天練習3下列四個函數(shù)圖象中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（）（2010浙江衢州）C第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天4.拋物線的平移例4把拋物線y=–x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的表達式（）（2010寧夏回族自治區(qū))A.y=–(x–1)2+3B.y=–(x+1)2+3C.y=–(x–1)2–

3D.y=–(x+1)2–

3

平移：形狀和開口方向不變，即a不變.

規(guī)律：“左加右減”；“上加下減”．B第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天練習4把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y=x2－4x＋5，則b、c的取值為（）

（2010年貴州畢節(jié)改編題）

A．b=2，c=4

B．b=1，c=2C．b=–10，c=28D.b=–10，c=24A第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

5.由圖象信息求拋物線的解析式

例5如圖，拋物線y=x2+bx+c

與x軸交于A（-1，0），

B（3，0）兩點．求該拋物線的表達式；第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天解法一∵拋物線y=x2+bx+c過點A（-1，0）和點B（3，0）∴

∴所求拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3解法二依題意得拋物線的對稱軸為：直線x=1∴設所求拋物線的解析式為y=(x-1)2+k

∵該拋物線過點B（3，0）∴4+k=0∴k=-4∴y=(x-1)2-4即y=x2﹣2x﹣3解法三拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．

∴所求拋物線的解析式為y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣3

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練習5（四川成都）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么拋物線的解析式

為

．第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

小結：

1.二次函數(shù)的圖象特征與系數(shù)符號的關系

2.二次函數(shù)圖象與性質的應用

3.巧妙地進行“數(shù)”與“形”的相互轉化

4.重視圖形信息的收集、整理和加工

5.培養(yǎng)思維能力,形成良好的數(shù)學思維習慣

回頭一看，我想說…第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天提高題1.(山西)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示.有下列結論:

①

b2－4ac＜0

②ab＞o③a-b+c=0④4a+b=0⑤當y=2時,x只能等于0.其中正確的是()A.①④B.③④C.②⑤D.③⑤B第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.

二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列幾個結論①對稱軸為直線x=2;②當y≤0時,x＜0或x＞4；③函數(shù)解析式為y=－x(x－4)；④當x≤0時，y隨x的增大而增大.其中正確的結論有________

（2010廣西百色）①③④第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3.（貴州省貴陽）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2＋bx＋c=0的兩個根（2）寫出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍．（4）若方程ax2＋bx＋c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．解：（1）x1=1x2=3（2）1＜x＜3（3）x＞2

（4）k＜2第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天知識的升華獨立作業(yè)祝你成功！

A類《分層》P38---P39的選擇題及填空題;

補充提高題

B類《分層》P38---P39的選擇題及填空題

第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

謝謝指導!

數(shù)學締造完美第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

課后練習：1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

（2010福建福州）

A．a(chǎn)＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a(chǎn)＋b＋c＞0D第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.（江西省中考題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示則關于的一元二次方程

的解為

．，；第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3．（2010河北）如圖，已知拋物線的對稱軸x=2，點A，

B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點A的坐標為（0，3），則點B的坐標為（）

A．（2，3）

B．（3，2）

C．（3，3）

D．（4，3）D第27頁,共30頁，