勾股定理的證明方法和相關故事

關于勾股定理的證明方法和相關故事勾股定理簡介勾股定理是余弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理“（畢達哥拉斯發(fā)現了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發(fā)現勾股定理的時間都比我國晚，我國是最早發(fā)現這一幾何寶藏的國家。目前初二學生學，教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a^2+b^2=c^2。勾股定理是余弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理“（畢達哥拉斯發(fā)現了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發(fā)現勾股定理的時間都比我國晚，我國是最早發(fā)現這一幾何寶藏的國家。目前初二學生學，教材的證明方法采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a^2+b^2=c^2。第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天勾股數組滿足勾股定理方程a^2+b^2=c^2;的正整勾股定理數組(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一組勾股數組。由于方程中含有3個未知數，故勾股數組有無數多組。勾股數組的通式：a=M^2-N^2

b=2MN

c=M^2+N^2

(M>N,M,N為正整數）第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天勾股定理定理如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那么A^2+B^2=C^2；即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。古埃及人用這樣的方法畫直角如果三角形的三條邊A，B，C滿足A^2+B^2=C^2;，還有變形公式：AB=根號（AC^2+BC^2），如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等于斜邊c的平方那么這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）古埃及人畫直角三角形第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天勾股定理的來源畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。畢達哥拉斯在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明[1]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。常用勾股數組(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25)有關勾股定理書籍《數學原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同濟大學出版社《優(yōu)因培教數學》北京大學出版社《勾股書籍》新世紀出版社《九章算術一書》

《優(yōu)因培揭秘勾股定理》江西教育出版社《幾何原本》（原著：歐幾里得）人民日報出版社第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式A^2+B^2≥2AB可以證明下面的結論：三個正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一。畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天加菲爾德證明勾股定理的故事1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是加菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”加菲爾德答道：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”加菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。如下：解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長的的正方形面積。勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，a^2+b^2=c^2;說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;=a的平方+b的平方=9+16=25即c=5則說明斜邊為5。第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證明方法1這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（ElishaScottLoomis）的PythagoreanProposition（《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。有人會嘗試以三角恒等式（例如：正弦和余弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環(huán)論證）。證法1作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上。過點C作AC的延長線交DF于點P.∵D、E、F在一條直線上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180°―90°=90°又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形?！唷螦BC+∠CBE=90°∵RtΔABC≌RtΔEBD，∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，BC=BD=a.∴BDPC是一個邊長為a的正方形。同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則A^2+B^2=C^2.

第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證明方法2作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP∥BC，交AC于點P.過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°。∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2.第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證明方法3作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再作一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90°，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90°，∴∠ABG+∠CBJ=90°,∵∠ABC=90°，∴G,B,I,J在同一直線上，a^2+b^2=c^2.第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證明方法4作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積∴即a^2;+b^2;=c^2;第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證法5(歐幾里得的證法)《幾何原本》中的證明在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形。其證明如下：設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應的，同理可證B、A和H?！螩BD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。因為AB和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須相等于△FBC。因為A與K和L是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=AB^2。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC^2。把這兩個結果相加，AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC。由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是個正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證法6（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，圖1即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，這就是勾股定理的結論。第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證法七（趙爽弦圖）在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）^2;=c^2;化簡后便可得：a^2;+b^2;=c^2;亦即：c=(a^2;+b^2;)1/2

勾股定理的別名勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。我國是發(fā)現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發(fā)現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天證法8（達芬奇的證法）達芬奇的證法三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個“洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關系式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結AD，因為對稱的緣故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明顯，圖三中角A'和角D'都是直角。證明：第一張紙片多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE第三張紙片中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因為S1=S2所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF·OE=C'D'·D'E'則OF^2+OE^2=E'F'^2;因為E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2;勾股定理得證第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天勾股數定義勾股數又名畢氏三元數凡是可