專題12 定點(diǎn)問題（講義）-2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題突破140分高三數(shù)學(xué)之解析幾何（教師版）

第第頁專題12定點(diǎn)問題在解析幾何中，動(dòng)直線或動(dòng)曲線不論如何變化總是經(jīng)過某定點(diǎn)，探求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為“定點(diǎn)問題”．定點(diǎn)問題的主要考查形式有①圓錐曲線中的直線過定點(diǎn)問題；②圓錐曲線中的圓過定點(diǎn)問題；一、圓錐曲線中定點(diǎn)問題的解題策略：1.參數(shù)法：①動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y=kx+t，由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk，得y=k(x+m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(?m,0)．②動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).2.特殊法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).二、方法總結(jié)—平移齊次解決定點(diǎn)問題1、平移齊次法概念在圓錐曲線的綜合問題中,如果一條直線l與曲線交于A,B兩點(diǎn)﹐點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，且或?yàn)槎ㄖ?則直線l必過定點(diǎn).在求該定點(diǎn).如圖﹐需要將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至點(diǎn)P處,在新坐標(biāo)系下求解,這種先平移坐標(biāo)系﹐再構(gòu)建齊次關(guān)系,最后用韋達(dá)定理表示斜率關(guān)系的方法,叫做平移齊次法.2、平移齊次解決定點(diǎn)問題的步驟如下.(1)將坐標(biāo)系平移到以點(diǎn)為原點(diǎn)處;(2)在新坐標(biāo)系下寫出曲線與直線的方程:曲線，直線；(3)將曲線方程作齊次化處理,并寫成關(guān)于的二次方程的形式:;(4)設(shè)，，用韋達(dá)定理表示斜率和或斜率積:;(5)得到直線在新坐標(biāo)系中過的定點(diǎn)；(6)將定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為原坐標(biāo)系中的點(diǎn).題型【一】、直線過定點(diǎn)的問題求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．例1、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點(diǎn).【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，，因此，解得，所以直線的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線與交于定點(diǎn).例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，，離心率.是右焦點(diǎn)，過點(diǎn)任作直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）試探究直線與直線的交點(diǎn)是否落在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）根據(jù)題中條件，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，得到，，表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，計(jì)算為定值，即可得出結(jié)果.（1），，則，設(shè)焦距為，離心率，，，因此所求的橢圓方程為（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，由得，，，直線方程是，直線方程是，由，可得，解得：此直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上.例3、如圖所示，設(shè)橢圓M：的左頂點(diǎn)為A，中心為O，若橢圓M過點(diǎn)，且AP⊥OP．(1)求橢圓M的方程；(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的最大值；(3)過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝1，求證：直線DE過定點(diǎn)．【解析】（1）根據(jù)題意可得kAP·kOP＝－1，可求出，再由橢圓M過點(diǎn)P，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程可求出，從而可求出橢圓方程，（2）求出直線AP的方程，設(shè)，再求出點(diǎn)Q到直線AP的距離，從而可表示出△APQ面積，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果，（3）解法1：單參數(shù)法，由題意易得，直線AD的方程為y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出直線DE的方程，從而可求得結(jié)果，解法2：設(shè)直線DE的方程為x＝ty＋s，將其代入x2＋3y2＝1，利用根與系數(shù)關(guān)系，再由k1k2＝1，可求出，從而可求得結(jié)果.（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－a，0），所以，解得a＝1．又因?yàn)闄E圓M過點(diǎn)P，所以，解得，所以橢圓M的方程為．（2）由題意易求直線AP的方程為，即x－y＋1＝0．因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓M上，故可設(shè)，又，所以，當(dāng)，即時(shí)，，取得最大值．（3）法一：單參數(shù)法由題意易得，直線AD的方程為y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，得，設(shè)D（xD，yD），則，即，所以．設(shè)E（xE，yE），同理可得，．又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，所以故直線DE的方程為．令y＝0，可得．故直線DE過定點(diǎn)（－2，0）．法二：雙參數(shù)法設(shè)D（xD，yD），E（xE，yE）．若直線DE垂直于y軸，則xE＝－xD，yE＝y(tǒng)D，此時(shí)與題設(shè)矛盾，若DE不垂直于y軸，可設(shè)直線DE的方程為x＝ty＋s，將其代入x2＋3y2＝1，消去x，得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，則．又，可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，所以，，化簡得，解得s＝－2或s＝－1．又DE不過點(diǎn)A，即s≠－1，所以s＝－2．所以DE的方程為x＝ty－2．故直線DE過定點(diǎn)（－2，0）．例4、（2023·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過軸上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過分別作直線的垂線，垂足為，兩點(diǎn)，證明：直線，交于一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)橢圓半焦距為，∵離心率為，∴.由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大.∴，∴.又，解得，，.∴橢圓的方程為：；（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然不適合題意；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線為，∵四邊形為矩形，∴，交于線段的中點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，，直線為：，聯(lián)立，得，，∴，，設(shè)，，則，，聯(lián)立，得，將，代入整理得.將代入，得.綜上，直線、交于定點(diǎn).題型【二】、圓過定點(diǎn)的問題例5、（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點(diǎn)P(2,0)的直線l與拋物線E:y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M作直線MN⊥y(1)求拋物線E的方程；(2)若C為E上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)，且直線AC,BC與直線x=?2交于點(diǎn)D,R，證明：以DR為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M，N坐標(biāo)，結(jié)合PM⊥PN，可求得p的值，得解.（2）設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程求出直線AC的方程，令x=?2，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)R坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為T(a,0)，利用DT?【詳解】（1）由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，將x=my+2代入y2=2px，消去x得設(shè)A(x1,y1)，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴xM=即M(pm2+2,pm)∴垂足N的坐標(biāo)為(0,pm)，則PM=(pm2∵PM⊥PN，∴PM?PN∴?2p+p2=0，又p>0故拋物線E的方程為y2（2）

設(shè)C(t24,t)，y1+y則kAC=y1?t令x=?2，則y=t+4∴D(?2,ty1由拋物線的對(duì)稱性可知，若以線段DR為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為T(a,0)，則DT=(a+2,?ty1?8∴(a+2)∴(a+2)∴a=22?2或∴以DR為直徑的圓過定點(diǎn)(22?2,0)和例6、（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓M：的切線l(直線l的斜率存在且不為零)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓是否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).【解析】（1）由題意可知，離心率，拋物線的焦點(diǎn)為，即該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，故，故，所以橢圓C的方程為；（2）直線l的斜率存在且不為零，故設(shè)直線為，依題意，圓M：，圓心為，半徑，由直線l與圓M：相切，得圓心到直線l的距離，化簡得，即.設(shè)，聯(lián)立方程，得，則，，故，則，故，即，故以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).例7、（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，試探究：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)x(2)存在，定點(diǎn)M【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義及其離心率即可求出橢圓的方程；（2）直線l與橢圓聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),將x=4與直線l聯(lián)立即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)Mx0,0，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M，即可知MP?MQ【詳解】（1）由橢圓的定義可知△，ABF2的周長為4a=8，即∵ca=1又∵a2=b故橢圓C的方程為：x2（2）將y=kx+mx24∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，∴Δ=∴4k此時(shí)xP=?4km∴P由y=kx+mx=4得Q假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M，設(shè)Mx0,0MP=?4kMP整理得x0對(duì)任意實(shí)數(shù)m，k恒成立，則x0故在x軸上存在定點(diǎn)M1,0，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M例8、（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.由消去,得,所以設(shè),則.所以.所以.①因?yàn)橹本€和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)綜上可知,以為直徑的圓過定點(diǎn).題型【三】、綜合問題例9、（2024上·湖北孝感·高二應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）動(dòng)點(diǎn)G到點(diǎn)的距離比到直線的距離小2.(1)求G的軌跡的方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F作斜率為，的兩條直線分別交C于M，N兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，其中.設(shè)線段和的中點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)F作，垂足為D，試問：是否存在定點(diǎn)T，使得線段的長度為定值.若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及定值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，，長度恒為2.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出軌跡方程.（2）聯(lián)立直線與G的軌跡方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線，并求出直線所過定點(diǎn)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)G到點(diǎn)的距離比到直線的距離小2，則點(diǎn)G到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，因此點(diǎn)G的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為（），由，得，所以G的軌跡的方程為.（2）顯然直線的方程為，直線的方程為，其中，且，由消去y并整理得，該方程的判別式，設(shè)，，則，，點(diǎn)，同理，的斜率，直線的方程為，即，，所以，因此直線：過定點(diǎn)，又，則點(diǎn)D在以為直徑的圓上，所以存在定點(diǎn)，使得線段的長度為定值2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：經(jīng)過圓錐曲線上滿足某條件的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的直線過定點(diǎn)問題，先求出這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，即可推理計(jì)算解決問題.例10、（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在曲線上.(1)設(shè)曲線的離心率為，點(diǎn)到直線的距離為，求證：；(2)設(shè)過定點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線與相交于點(diǎn)，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）根據(jù)條件直接求出及，代入化簡即可證明結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與曲線的方程，再求出的方程，再利用曲線的對(duì)稱性并結(jié)合韋達(dá)定理求解作答，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題