函數(shù)的概念和圖象（八大題型）（原卷版）

5.1函數(shù)的概念和圖象課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過對函數(shù)概念的理解，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（2）通過求簡單函數(shù)的定義域，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).（3）通過函數(shù)圖象的畫法及圖象的應(yīng)用提升數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng).（1）進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。（2）能用集合與對應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用。（3）了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域。（4）理解函數(shù)圖象是點的集合，能熟練作出一些初等函數(shù)的圖象知識點01函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，下列對應(yīng)法則不可以作為從到的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．知識點02函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則．在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．【即學(xué)即練2】（2023·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為．知識點03函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【即學(xué)即練3】（2023·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).知識點04函數(shù)的圖像將自變量的一個值作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個點.當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)為，即，所有這些點組成的圖形就是函數(shù)的圖象.【即學(xué)即練4】（2023·廣東江門·高一校考期中）如下圖可作為函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．題型一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖圖形，其中能表示函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

例2．（2023·浙江嘉興·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)（

）A．至少有1個 B．至多有1個 C．僅有1個 D．可能有無數(shù)多個例3．（2023·高一課時練習(xí)）下列等式中的變量不具有函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例4．（2023·山西太原·高一太原五中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域是例5．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為．例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為.變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為.變式3．（2023·遼寧大連·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域．題型三：抽象函數(shù)求定義域例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．例8．（2023·吉林長春·高一長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例9．（2023·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·福建廈門·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．變式5．（2023·河南鄭州·高一鄭州四中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例10．（2023·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開學(xué)考試）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是．例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是．例12．（2023·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是.變式7．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的范圍是.變式8．（2023·高一單元測試）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．題型五：同一函數(shù)的判斷例13．（多選題）（2023·貴州六盤水·高一?？茧A段練習(xí)）與為相等函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例14．（多選題）（2023·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）下列各選項給出的兩個函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有（

）A．與B．與C．與D．與例15．（多選題）（2023·江西上饒·高一?？计谥校┫铝懈鬟x項給出的兩個函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有（

）A．與B．與C．與D．與變式9．（多選題）（2023·河南南陽·高一河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四組函數(shù)，表示相同函數(shù)的一組是（）A．，（）B．，C．，D．，題型六：給出自變量求函數(shù)值例16．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則.例17．（2023·吉林長春·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，由下列表格給出，則．123424314321例18．（2023·陜西西安·高一西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).則.變式10．（2023·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，，則．變式11．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)對任意正實數(shù)都有，已知，則.變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義域為的函數(shù)和，則.變式13．（2023·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：(1)對任意的恒有成立；(2)當(dāng)時，．則的值是．題型七：求函數(shù)的值域例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).例20．（2023·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).例21．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．變式14．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:(1)，(2)，(3)，(4)變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).變式16．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求a的取值范圍.變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)定義域為，求的取值范圍；(2)若函數(shù)值域為，求的取值范圍.題型八：函數(shù)的圖象例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在圖中的三個圖形中，是函數(shù)圖象的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3）例23．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的圖像是（

）A． B． C． D．例24．（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)與的圖像如下圖，則函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．變式18．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，給出下列四個圖形，如下圖所示，其中能表示從集合到的函數(shù)關(guān)系的有(

)個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式19．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．變式20．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．變式21．（2023·高一課時練習(xí)）2020年9月我校正式成為市爭創(chuàng)特色學(xué)校的項目學(xué)校（“非遺文創(chuàng)”特色），其中“江南傳統(tǒng)民居木作技藝”是一項非遺保護(hù)項目，現(xiàn)有木料形狀圖如下，那么旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)的圖像的是（

）A． B． C． D．變式22．（2023·全國·高一課堂例題）作出函數(shù)的圖象．變式23．（2023·全國·高一課堂例題）試畫出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)，.一、單選題1．（2023·天津北辰·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，與相同的函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）杭州亞運會火炬如圖（1）所示，小紅在數(shù)學(xué)建?；顒訒r將其抽象為圖（2）所示的幾何體.假設(shè)火炬裝滿燃料，燃燒時燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關(guān)于時間的函數(shù)的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·福建廈門·高一廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C．0 D．7．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．或 B．或 C． D．8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對任意的，存在，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·福建南平·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中哪個與函數(shù)不是同一個函數(shù)（

）A． B． C． D．.10．（2023·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．對于任何一個函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．表示當(dāng)時，函數(shù)的值，這是一個常量11．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．12．（2023·高一課時練習(xí)）下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)（）的值域是D．，且，則的最小值是3三、填空題13．（2023·廣西南寧·高一南寧市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域為．14．（2023·廣西柳州·高一柳州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.15．（2023·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為．16．（2023·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.四、解答題17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知(1)求和；(2)求函數(shù)的值域．18．（2023·