2025屆新高考數(shù)學精準突破復習 空間位置關系的判斷與證明

2025屆新高考數(shù)學精準突破復習空間位置關系的判斷與證明考情預覽

明確考向1.[空間線線位置關系](2021·浙江卷)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點,則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1√解析:法一連接AD1(圖略),則易得點M在AD1上,且AD1⊥A1D.因為AB⊥平面AA1D1D,A1D?平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AD1∩AB=A,AD1,AB?平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1,又D1B?平面ABD1,所以A1D與D1B異面且垂直.在△ABD1中,由中位線定理可得MN∥AB,所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角,所以MN與平面BB1D1D不垂直,所以選項A正確.故選A.2.[空間平面的平行與垂直](2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D√解析:如圖,對于選項A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項A正確;對于選項B,因為平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項B錯誤;對于選項C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項C錯誤;對于選項D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C與平面B1EF有公共點B1,所以平面A1C1D與平面B1EF不平行,故選項D錯誤.故選A.(1)求證:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱錐P-ABC的體積.4.[空間面面垂直的判定](2023·全國甲卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(1)證明:因為A1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC.因為∠ACB=90°,所以AC⊥BC,又A1C,AC?平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又因為BC?平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)設AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.(2)解:如圖,過點A1作A1O⊥CC1,垂足為O,因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O?平面ACC1A1,所以A1O⊥平面BB1C1C,所以A1O為四棱錐A1-BB1C1C的高.考法聚焦

講練突破熱點一空間點、線、面的位置關系判斷空間直線、平面位置關系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷,解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、正四面體等模型中觀察線、面的位置關系,并結合有關定理進行判斷.典例1

(1)(2023·河南焦作模擬)設m,n,l是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A.若m?α,n∥β,α⊥β,則m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,m∥n,則n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α∥β√解析:(1)若m?α,n∥β,α⊥β,則m與n的位置關系可能是平行、相交或異面,故A錯誤;若m∥α,α∩β=n,則m與n的位置關系可能是平行或異面,故B錯誤;若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,則m⊥β,因為m∥n,所以n⊥β,故C正確;因為m⊥n,m⊥α,n∥β,所以α與β相交或平行,故D錯誤.故選C.(2)(2023·浙江紹興模擬預測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段CD1上的動點,則(

)A.AP∥平面BC1D B.AP∥平面A1BC1C.AP⊥平面A1BD D.AP⊥平面BB1D1√解析:(2)如圖,連接AD1,AC,A1C1,A1B,BC1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由AA1與CC1平行且相等得四邊形ACC1A1是平行四邊形,則A1C1∥AC,又AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C內兩條相交直線,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,又AP?平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1.故選B.(1)根據(jù)定理判斷空間線面位置關系,可以舉反例,也可以證明,要結合題目靈活選擇.(2)求角時,可借助等角定理先利用平行關系找到這個角,然后把這個角放到三角形中去求解.熱點訓練1

(1)(2022·四川瀘州模擬)已知O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O關于平面A1B1C1D1的對稱點,則下列說法中正確的是(

)A.O1C1與A1C是異面直線B.O1C1∥平面A1BCD1C.O1C1⊥ADD.O1C1⊥平面BDD1B1√解析:(1)連接A1C,AC1,交于點O,連接A1C1,B1D1,交于點P.連接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由題可知,O1在平面A1C1CA上,所以O1C1與A1C共面,故A錯誤;在四邊形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四邊形OO1C1C為平行四邊形,所以O1C1∥OC.因為OC?平面A1BCD1,O1C1?平面A1BCD1,所以O1C1∥平面A1BCD1,故B正確;由正方體的性質可得A1C1⊥B1D1,因為O1B1=O1D1,所以O1P⊥B1D1,又因為O1P∩A1C1=P,O1P,A1C1?平面O1A1C1,所以B1D1⊥平面O1A1C1,又O1C1?平面O1A1C1,所以B1D1⊥O1C1,又因為B1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD與BD所成角為45°,顯然O1C1與AD不垂直,故C錯誤;顯然O1C1與O1B1不垂直,而O1B1?平面BDD1B1,所以O1C1與平面BDD1B1不垂直,故D錯誤.故選B.(2)(多選題)(2023·廣東廣州統(tǒng)考三模)如圖,在矩形AEE1A1中,點B,C,D與點B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點,且AA1>AB.若把矩形AEE1A1卷成以AA1為母線的圓柱的側面,使線段AA1,EE1重合,則(

)A.直線AB1與DC1異面B.直線AB1與CD1異面C.直線B1C1與平面CDD1垂直D.直線CD1與平面ADC1垂直√√解析:(2)對于A,因為點B,C,D與點B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點,取O,O1分別為下底面和上底面的圓心,根據(jù)對稱性可知直線AB1∥DC1,故A不正確;對于B,連接CD1,直線AB1與CD1既不平行也不相交,故直線AB1與CD1為異面直線,故B正確;對于C,因為點B,C,D與點B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點,連接DD1,D1C,DC,BC,AB,AD,BB1,A1C1,A1B1,BD,由圓柱的性質知,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以四邊形D1DCC1為平行四邊形,所以DC∥D1C1,同理BC∥B1C1,因為BD為圓O的直徑,所以CD⊥BC,即DC⊥B1C1,又因為DD1⊥底面A1B1C1,B1C1?底面A1B1C1,所以DD1⊥B1C1,DD1∩DC=D,DD1,DC?平面CDD1,所以B1C1⊥平面CDD1,故C正確;熱點二空間平行、垂直關系的證明(1)平行關系及垂直關系的轉化(2)利用向量證明空間位置關系①利用向量證明平行問題.a.線線平行:方向向量平行.b.線面平行:平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直.c.面面平行:兩平面的法向量平行.②利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法.線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直面面垂直問題兩個平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直典例2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點,N為B1C1的中點,H是A1B1的中點,P是BC1與B1C的交點,Q是A1N與C1H的交點.(1)求證:A1C⊥BC1;證明:(1)法一連接AC1(圖略),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以AA1⊥AB.又∠BAC=90°,則AB⊥AC,因為AA1∩AC=A,AA1,AC?平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1.因為A1C?平面ACC1A1,所以AB⊥A1C.因為AC?平面ABC,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,又AC=AA1=2,所以四邊形AA1C1C為正方形,所以A1C⊥AC1.因為AB∩AC1=A,AB,AC1?平面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1,因為BC1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.(2)求證:PQ∥平面A1CM.證明:(2)法一連接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M為AB的中點,H為A1B1的中點,所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四邊形BMA1H是平行四邊形,所以BH∥A1M.因為BH?平面A1CM,A1M?平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H為A1B1的中點,所以四邊形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因為AA1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四邊形MHC1C為平行四邊形,所以C1H∥CM.因為C1H?平面A1CM,CM?平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因為C1H∩BH=H,C1H?平面BHC1,BH?平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ?平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.(1)證明線線平行的常用方法:①三角形的中位線定理等平面幾何中的定理;②平行線的傳遞性;③線面平行的性質定理;④面面平行的性質定理;⑤線面垂直的性質定理.(2)證明線線垂直的常用方法:①等腰三角形三線合一等平面幾何知識;②勾股定理的逆定理;③利用線面垂直證線線垂直.熱點訓練2

(2023·廣東深圳模擬預測)在正三角形ABC中,E,F,P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足AE