專 題 17.14勾股定理中考真題專練（鞏固篇） （專項練習）

專題17.14勾股定理中考真題專練（鞏固篇）（專項練習）

一、單選題

1.（2021?西藏?中考真題）如圖，在放△ABC中，/A=30。，NC=90。，A3=6,點P是

線段4c上一動點，點M在線段AB上，當AM=gA8時，PB+PM的最小值為（）

A.3百B.2幣C.2石+2D.3石+3

2.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在R/AABC中，4CB=9（）o,AC=8,BC=6,

將邊BC沿CN折疊，使點3落在A8上的點8'處，再將邊AC沿CM折疊，使點A落在C夕

的延長線上的點4處，兩條折痕與斜邊A8分別交于點MM,則線段A"的長為（）

9

3.（2021?湖北黃石?中考真題）如圖，在油AABC中，ZACB=90°,按以下步驟作圖：①

以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交84、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓

心，以大于:"N的長為半徑作弧，兩弧相交于點尸；③作射線3P,交邊AC于。點.若

AB=10,BC=6,則線段8的長為（）

4.（2021?陜西?中考真題）如圖，AB.BC、CD、OE是四根長度均為5cm的火柴棒，點

A、C、E共線.若AC=6cm,CDIBC,則線段CE的長度為（)

A.6cmB.7cmC.60cmD.8cm

5.（2021?貴州銅仁?中考真題）如圖，在MA43C中，ZC=90°,45=10,BC=8,按下

列步驟作圖：步驟1：以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧分別交AC、A3于點。、E.步

驟2：分別以點。、E為圓心，大于;DE的長為半徑作弧，兩弧交于點步驟3：作射

線A"交8C于點則他的長為（）

A.6B.36C.46D.60

6.（2021.山東棗莊?中考真題）如圖，三角形紙片ABC,AB=AC,ZBAC=90°,點E為

3

AB中點，沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點E已知EF=],則

BC的長是（）

C.3D.3后

7.（2020.山東煙臺.中考真題）如圖，△。4人為等腰直角三角形，OAi=l,以斜邊OA2

為直角邊作等腰直角三角形OA2A3,再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4,…，按

此規(guī)律作下去，則OAn的長度為（)

A.（0）nB.（V2）C.（—）nD.（—）nJ

22

8.（2020.廣西.中考真題）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去鬧

（讀物〃，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1

的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙以＞的距離為2寸，點C和點。距離門檻A8都為1尺（1

尺=10寸），則A3的長是（）

D.104寸

9.（2020?陜西?中考真題）如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,

C都在格點上，若8。是△ABC的高，則8。的長為（）

C.—D.—y/\3

1313

10.（2020.河北?中考真題）如圖，從筆直的公路/旁一點尸出發(fā)，向西走6km到達/；從P

出發(fā)向北走6km也到達/.下列說法錯誤的是（）

A.從點戶向北偏西45。走3km到達/

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏東45。

D.從點P向北走3km后，再向西走3km到達/

11.（2020?重慶?中考真題）如圖，三角形紙片ABC,點。是BC邊上一點，連接AQ,把

沿著AD翻折,得到AAED,DE與AC交于點G,連接BE交AD于點F.若DG=GE,AF=3,

BF=2,AAOG的面積為2,則點尸到8c的距離為（）

12.（2020?貴州銅仁?中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為2白，則它的邊長為（）

A.2B.3C.4D.4后

二、填空題

13.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）已知，在A48C中，ZA=45°,A8=4&，BC=5,則AA3C

的面積為一.

14.（2021.青海西寧?中考真題）如圖，AABC是等邊三角形，45=6,N是A3的中點，AD

是8c邊上的中線,M是AO上的一個動點,連接BM,MN,則3M+MN的最小值是

15.（2021?西藏?中考真題）如圖.在RAABC中，NA=90。，AC=4.按以下步驟作圖：（1）

以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交線段54,BC于點M,N；(2)以點C為圓心，

B例長為半徑畫弧，交線段CB于點D；(3)以點。為圓心，例N長為半徑畫弧，與第2步

中所面的弧相交于點E；(4)過點E畫射線CE,與AB相交于點F.當AF=3時，BC的

長是.

16.(2021.遼寧朝陽?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為(5,0),點M

的坐標為(0,4),過點M作仞7〃》軸，點P在射線上，若AMA尸為等腰三角形，則點

P的坐標為.

17.(2021.遼寧錦州?中考真題)如圖，在△ABC中,AC=4,ZA=60°,NB=45。,BC邊

的垂直平分線OE交4B于點D,連接C￡>,則AB的長為.

18.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖，點A,B,C,。在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，直線

/經(jīng)過點C,O,將AA8C沿/平移得到AMNO,M是A的對應(yīng)點，再將這兩個三角形沿/翻

折，P，Q分別是A,M的對應(yīng)點.已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1,則PQ的長為

19.（2021?四川眉山?中考真題）如圖，AABC中，AB=AC=5,BC=6,AO平分4AC交

BC于點。，分別以點A和點C為圓心，大于;4c的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點

N,作直線MN,交AO于點E,則OE的長為.

20.（2021.浙江?中考真題）由沈康身教授所著，數(shù)學家吳文俊作序的《數(shù)學的魅力》一書

中記載了這樣一個故事：如圖，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地?/p>

分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分）.則圖中AB的長應(yīng)是.

21.（2020?四川?中考真題）如圖，海中有一小島A,它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤

魚群由西向東航行.在B點測得小島A在北偏東60。方向上，航行12海里到達。點，這時

測得小島A在北偏東30。方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行

海里就開始有觸礁的危險.

22.（2020?遼寧營口?中考真題）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為6,AD1BC,垂足為

點2點E和點尸分別是線段AD和AB上的兩個動點，連接CE,EF,則CE+E尸的最小值

為.

23.（2020?湖南婁底?中考真題）由4個直角邊長分別為m6的直角三角形圍成的“趙爽弦

圖''如圖所示，根據(jù)大正方形的面積M等于小正方形的面積（〃-與2與4個直角三角形的面積

2必的和證明了勾股定理/+從=02,還可以用來證明結(jié)論：若。>0、6>0且a?+從為定

值，則當。b時，時取得最大值.

24.（2020.內(nèi)蒙古通遼.中考真題）如圖，在中，NACB=90。,AC=BC,點P在斜邊

A8上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,ZPCg=90°,則PA2,PB2,pc2三者之間

的數(shù)量關(guān)系是.

Q

B

25.（2020?湖南邵陽?中考真題）如圖，線段4?=l（）cm,用尺規(guī)作圖法按如下步驟作圖.

（1）過點B作的垂線，并在垂線上取8C=gA8；

（2）連接AC,以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AC于點E；

（3）以點A為圓心，AE為半徑畫弧，交A8于點O.即點。為線段A8的黃金分割點.

則線段AQ的長度約為cm（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

夜=1.414,73=1.732,75=2,236）

26.（2020.湖北黃岡.中考真題）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有

池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深幾何？"（注：丈、

尺是長度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一

個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向

水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.則水池里水的深度是尺.

27.（2020?江蘇揚州?中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中

國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題："今有竹高一丈，末折抵

地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處

折斷,竹梢觸地面處離竹根3尺,試問折斷處離地面多高？答:折斷處離地面尺高.

《九章算術(shù)》中的F-

也：“今有竹商一丈.本折祗地.

2極三尺,問折者高幾何？-趣

客是：有一根竹子原南一丈（一

丈T0尺），中部有一處折斷，

竹梢觸地面處離什根3尺.試問

折斷處焉地面多高？

%

28.（2020?山東聊城?中考真題）如圖，在直角坐標系中，點A（l,l）,8（3,3）是第一象限角平

分線上的兩點，點C的縱坐標為1,且C4=C6,在y軸上取一點O,連接AC,BC,AD,

BD,使得四邊形AC3。的周長最小，這個最小周長的值為

29.（2020?浙江溫州?中考真題）如圖，在aABC和^DCE中，AC=DE,NB=NDCE=90。,

點A,C,D依次在同一直線上，旦AB〃DE.

(1)求證：△ABCg/SDCE；

(2)連結(jié)AE,當BC=5,AC=12時;求AE的長.

30.（2021?江蘇鹽城?中考真題）如圖，點A是數(shù)軸上表示實數(shù)。的點.

（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實數(shù)的血的點戶；（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)利用數(shù)軸比較正和。的大小，并說明理由.

-10

31.(2021?浙江臺州?中考真題)如圖，在四邊形A8C。中，AB=AD=20,BC=DC=\0^2

(1)求證：AABC四△AOC；

(2)當NBC4=45。時，求NBA。的度數(shù).

32.(2021?湖南長沙?中考真題)如圖，在AABC中，AD1BC,垂足為。，BD=CD,延

長3c至E,使得CE=C4,連接AE.

(1)求證：ZB=ZACB；

(2)若AB=5,4)=4,求△ABE的周長和面積.

33.(2021?廣東深圳?中考真題)如圖，已知ZBAC=60。，A￡)是角平分線且AD=10,作

的垂直平分線交AC于點尸，作?！阓LAC,則ADEF周長為.

B

D

EC

34.（2021?廣西柳州?中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船AB同時收到某事故

漁船的求救訊息，已知此時救助船8在A的正北方向，事故漁船戶在救助船A的北偏西30。

方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里.

（1）求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離；

（2）若救助船A,B分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事

故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達.

參考答案

1.B

【解析】

【分析】

作8點關(guān)于AC的對稱點后，連接步M交AC于點P,則PB+PM的最小值為的長，過

點8'作877_LA8交H點，在BB'H中,B，H=3￡,HB=3,可求M/7=l,在RtXMHB

中，8M=2j7,所以尸B+PM的最小值為2近.

【詳解】

解：作8點關(guān)于AC的對稱點8,連接B7W交AC于點尸，

：.BP=BP,BC=BC,

：.PB+PM=B'P+PM>B'M,

的最小值為UM的長，

過點8作8HLA8交，點，

B'

八

VZA=30°,ZC=90°,

：.ZCBA=60°t

?.?AB=6,

:?BC=3,

：.BB'=BC+B'C=6f

在RfABBH中,ZB,BH=60°,

?：N88”=30。，

???BH=3,

由勾股定理可得：B'H=\IB'B2-BH2=>/62-32=3>/3?

：.AH=AB-BH=3t

\9AM=-AB

3f

：.AM=2,

：.MH=AH-AM=],

在中，B,M=>JB'H2-MH2=-I2=2幣,

：.PB+PM的最小值為2幣,

故選：B.

【分析】本題考查軸對稱一最短路線問題，涉及到解直角三角形，解題的關(guān)鍵是做輔助線,

找出PB+PM的最小值為B'M的長.

2.B

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出A8=10,利用等積法求出。7=彳，從而得4V=與，再證明/M0C=

NNCM=45。,進而即可得到答案.

【詳解】

解：,/ZACB=90°,AC=8,BC=6

AB=^AC2+BC2=762+82=10，

Sz1ABe=yxABxCN=|xACxBC

.,.C^=y,

，:AN=>jAC2-CN2=卜一倍J=y,

?.?折疊

：.AM=A'M,ZBCN=ZB'CN,ZACM=ZA'CM,

?/ZBCN+ZB'CN+ZACM+NA'CM=90°,

：.ZB'CN+ZA'CM=45°,

Z.ZMCN=45°,fiCN1AB,

ZNMC=NNCM=45°,

MN=CN——,

32248

???4M=AM=AN—MN=-

555

故選B.

【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運用折疊的性質(zhì)是

本題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

【分析】

由尺規(guī)作圖痕跡可知，BD是NABC的角平分線，過D點作DH±AB于H點，設(shè)DC=DH=x

則AC=AC-OC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在RtZSAZW中，由勾股定理得到

(8-x)2=X2+42,由此即可求出x的值.

【詳解】

解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，8。是NA8C的角平分線，

過Q點作于4點，

"：ZC=ZDHB=90°,

：.DC=DH,

AC=4AB2-BC2=-JIO2-62=8'

設(shè)DC=DH=x,則AO=AC-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在RtAADH中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2,

代入數(shù)據(jù)：(8-X)2=X2+42,解得X=3,故C￡>=3,

故選:A.

【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，在角的內(nèi)部角平分線上的點到角兩邊的距離相等,

勾股定理等相關(guān)知識點，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解決本題的關(guān)鍵.

4.D

【解析】

【分析】

分別過從。作A石的垂線，垂足分別為尸、G,證明AfiFCgACG。，即可證明8F=CG,

進一步計算即可得出答案.

【詳解】

解：分別過仄。作AE的垂線，垂足分別為人G,

V,CD1.BC,

；?ZBCF+NFBC=90。,ZBCF+ZGCD=90°.

???ZFBC=ZGCDf

在△8FC和△CG￡>中；

/BFC=NCGD

<Z.FBC=4GCD,

BC=CD

:?&BFC，CGD,

/.BF=CG,

■:AB=BC=CD=DE=5cm,

???△ABCQCDE均為等腰三角形，

'/AC=6cm,

FC=—AC=3cm,

2

BF=VBC2-FC2=,52-32=4cm，

CE=2CG=2BF=2x4=8cm,

故選：D.

【分析】本題主要考查等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識

點，正確畫出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【分析】

過點尸作尸GJ_A8于點G,根據(jù)作圖信息及角平分線的性質(zhì)可推出FC=FG,再利用等面積

法求出FC=3,最后由勾股定理即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：過點尸作尸GL4B于點G,

由尺規(guī)作圖可知，A尸平分/BAC,

ZC=90°,

：.FC±AC,

:.FC=FG,

在R/AA8C中，ZC=90°,A8=10,BC=8,

AC=7AB2-SC2=>/102-82=6，

,S’ABC=S’ACF+S“ABF?

-AC-BC=-AC-FC+-AB-FG,

222

BP^x6x8=ix6-FC+|xlO-FG,

解得/C=3,

在Rt/SAFC中，由勾股定理得AF=ylAC2+FC2=^=3后:

故選:B.

【分析】本題考查了角平分線的作法與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握角平分線的作法與性質(zhì)及

利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】

折疊的性質(zhì)主要有：1.重:疊部分全等；2.折痕是對稱軸,對稱點的連線被對稱軸垂直平分.由

折疊的性質(zhì)可知4=/E4尸=45。,所以可求出/AFB=90。，再直角三角形的性質(zhì)可知

防=34反所以4?=4。,的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長.

【詳解】

解：?.?沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，

.?.NB=/EAF=45°,

.-.^AFB=90°,

?.?點E為AB中點，且/AFB=90。，

EF=-AB,

2

?/ELLF=—3,

2

3

.?.AB=2EF=-x2=3,

2

在ARtABC中，AB=AC,AB=3,

BC=7AB2+AC2=V32+32=3近，

故選B.

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，求出

/AFB=90。是解題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】

利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案.

【詳解】

解：?.?△OA1A2為等腰直角三角形，OA|=1,

/.0A2=V2;

,.?△OA2A3為等腰直角三角形，

OAj=2=(A/2)2；

,.,△OA3A4為等腰直角三角形，

；.OA4=2應(yīng)=(a)3.

???AOA4A5為等腰宜角三角形，

4

OA5=4=(>/2),

.?.OAn的長度為（&）%

故選：B.

【分析】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解

題關(guān)鍵.

8.C

【解析】

【分析】

畫出直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)OA=OB=AD=BC=x，過D作DEJLAB于E,

則DE=10,OE=-CD=1,AE=x-l.

2

在RtAADE中，

AE2+DE2=AD2-即（x-爐+1（）2=x）,

解得Wl=.

故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸.

故選：C.

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理計算4c的長，利用面積和差關(guān)系可求AABC的面積，由三角形的面積法求高

即可.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC=j2?+32=岳，

1117

*.*S&43C=3x3--x1x2—x1x3—x2x3=—,

2222

17

：.-ACBD=-,

22

AV13BD=7,

13

故選：D.

【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.A

【解析】

【分析】

根據(jù)方位角的定義及勾股定理逐個分析即可.

【詳解】

解：如圖所示，過P點作AB的垂線PH,

選項A：：BP=AP=6km,且/BPA=90。，,Z\PAB為等腰直角三角形，/PAB=/PBA=45。，

又PH,AB,.1△PAH為等腰直角三角形，

PH=—PA=3\/2km,故選項A錯誤；

2

選項B：站在公路上向西南方向看，公路/的走向是南偏西45。，故選項B正確；

選項C：站在公路上向東北方向看，公路/的走向是北偏東45。，故選項C正確；

選項D：從點尸向北走3km后到達BP中點E,此時EH為4PEH的中位線，故EH=gAP=3,

故再向西走3km到達/,故選項D正確.

故選：A.

【分析】本題考查了方位角問題及等腰直角三角形、中位線等相關(guān)知識點，方向角一般以觀

測者的位置為中心，所以觀測者不同，方向就正好相反，但角度不變.

11.B

【解析】

【分析】

首先求出的面積.根據(jù)三角形的面積公式求出。尺設(shè)點尸到8。的距離為〃，根據(jù)g

?BD>h=y?BF>DF,求出8。即可解決問題.

【詳解】

解：VDG=GE,

；.S21Az)G=SAEG=2,

.".SAADE=4,

由翻折可知，^ADB^^ADE,BE工AD,

：.S^ABD=SaADE=4,ZBFD=90°,

/.1(AF+DF)BF=4,

.,.g(3+QF)2=4,

：.DF=\,

"-DB=y]BF2+DF2=712+22=5)

設(shè)點尸到8。的距離為〃，

則^■?8Z>/2=gd)F,

；.仁辿,

5

故選：B.

【分析】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運算等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

12.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可.

【詳解】

根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)：

設(shè)它的邊長為X,可得：/=圖一+(2揚2,

解得：x=4,x=-4（舍去），

故選：C.

【分析】本題主要考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，運用勾股定理列出方程求解是解答

此類問題的常用方法.

13.2或14#14或2

【解析】

【分析】

過點B作AC邊的高8Z）,RtAABC中，/A=45。，AB=4貶,BD=AD=4,在RsBQC中，

BC=4,得。。=產(chǎn)于=5,①△ABC是鈍角三角形時，②△48C是銳角三角形時，分別求

出AC的長，即可求解.

【詳解】

解：過點8作AC邊的高80,

根4皮>中，ZA=45°,AB=4s/i，

:.BD=AD=4,

在RtABDC中，BC=5,

:.CD=^52-42=3>

①AABC是鈍角三角形時，

AC=AD-CD=1,

^AABC=24C,BD=—xlx4=2；

②AAfiC是銳角三角形時，

AC=AD+CD=1,

SAABC=；A。8￡>=gx7x4=14,

故答案為：2或14.

【分析】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想.

14.3G

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化BM,的值，從而找出

其最小值，進而根據(jù)勾股定理求出CM即可求出答案.

【詳解】

解：連接CM與4。交于點M,連接（根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離

最短），AO是3c邊上的中線即C和8關(guān)于AD對稱，則BM+MN=CN,則CN就是BM+MN

的最小值.

:△ABC是等邊三角形，AB=6,N是48的中點，

AC=AB=6AN=1AB=3,CN工AB,

CN=yjAC2-AN2=>/62-32=727=3>/3■

即BM+MN的最小值為3店.

故答案為：3g.

【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對

稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用.

15.46

【解析】

【分析】

利用基本作圖得到NFCB=N2,則FC=/8,再利用勾股定理計算出CF=5,則48=8,

然后利用勾股定理可計算出8C的長.

【詳解】

解：山作法得/尸C8=/B,

：.FC=FH,

在Rt4ACF中，

；/A=90。，AC=4,4F=3,

???8=律彳=5,

/.BF=5,

：.AB=AF+HF=3,

在Rt&ABC中，BC=VAC24-AB2=V42+82=4逐.

故答案為4途.

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)

合幾何圖形的基本性質(zhì)作圖，逐步操作即可.

41

16.（―,4）或（歷，4）或（10,4）

【解析】

【分析】

分三種情況：①②MP=MA,③AM=AP,分別畫圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和

兩點的距離公式，即可求解.

【詳解】

解：設(shè)點P的坐標為（x,4）,

分三種情況：①尸M=以，

???點4的坐標為（5,0），點M的坐標為（0,4）,

.,.PM=x,fl4=^42+（5-jc）2

\"PM=PA,

>'?x=^42+（5-x）2,解得：x=^,

.?.點P的坐標為（歷，4）;

@MP=MA,

MP=x,MA="2+52=,

'：MP=MA,

；.x=741，

...點尸的坐標為（曲,4）；

:點A的坐標為（5,0），點M的坐標為（0,4）,

.'.AP—^42+（x-5）2,M4="+52=如，

'：AM=^AP,

；?西+（X-5）2=而，解得：x/=10,X2=0（舍去），

點尸的坐標為（10,4）:

綜上，點尸的坐標為（弓，4）或（向,4）或（10,4）.

41

故答案為：（而，4）或（歷,4）或（10,4）.

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握坐標與圖形特征，利

用坐標特征和勾股定理求線段的長是解題的關(guān)鍵.

17.2+2G

【解析】

【分析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。8=OC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/A￡>C=90。，根據(jù)

含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出49,根據(jù)勾股定理求出。C,進而求出A8.

【詳解】

解：是8c的垂直平分線，

：.DB=DC,

：.ZDCB=ZB=45°,

：.NAOC=NDCB+ZB=90°,

,//A=60°,

NACO=30。，

：.AD=^AC=2,

由勾股定理得：DC=^AC2-AD2="2-2?=2g,

:.DB=DC=26

.?.AB=AO+￡>B=2+2V5,

故答案為：2+2省.

【分析】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

18.V10

【解析】

【分析】

連接尸。，AM,根據(jù)即可解答.

【詳解】

山圖形變換可知：PQ=AM,

由勾股定理得：AM—712+32=V10-

??PQ~yj]0.

故答案為：710.

【分析】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題

的關(guān)鍵.

19.-

8

【解析】

【分析】

先山等腰三角形性質(zhì)求出CO以及4。再利用作圖方式確定MN垂直平分AC,得到

CE=AE,最后利用勾股定理即可求解.

【詳解】

解：：中，AB=AC=5,BC=6,AE>平分々AC

OC=：BC=3,且（等腰三角形“三線合一”）

AD=^AC--CDr=752-32=4>

由分別以點A和點C為圓心，大于：AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N,作直線

2

MN,可知，MN垂直平分AC,

如圖，連接CE,

AE=CE,

：.CE=AE=AD-DE=4-DE,

在用AEZX7中，CE=DE2+CD?,

：.（4-D￡,）2=DE2+32,

7

解得：DE=-；

8

7

???OE的長為g；

o

故答案為：:

O

【分析】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖線段的垂直平分線、線段的垂宜平分

線的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，要求學生理解并掌握相關(guān)概念，能熟練運用勾股定理求直角三

角形的線段長或建立兩線段之間的關(guān)系等.

20.07

【解析】

【分析】

根據(jù)裁剪和拼接的線段關(guān)系可知CC>=6，BD=CE=\,在RrZXACD中應(yīng)用勾股定理即可

求解.

【詳解】

解：???地毯平均分成了3份,

每一份的邊長為，

V33

，co=6

在心"。中，,根據(jù)勾股定理.可得4￡)=Jc。？一4C?=6，

根據(jù)裁剪可知BO=CE=1，

AB=AD-BD=M-1,

故答案為：\/2—1-

【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)裁剪找出對應(yīng)面積和線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.4.5

【解析】

【分析】

過A作于點C,求出NCA。、NC48的度數(shù)，求出NBA。和NABQ,根據(jù)等角對

等邊得出AO=3￡>=12,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出CD,根據(jù)勾股定理求出AC

即可.

如圖，過A作ACL8。于點C,則AC的長是A到8。的最短距離，

,：ZCAD=30°,/048=60°,

ZBAD=60°-30°=30°,ZABD=90°-60°=30°,

NABD=ABAD,

.*.B/）=A￡>=I2海里，

VZCAD=30°,ZACD=90°,

.,.CD=gA￡>=6海里，

由勾股定理得：AC=7122-62=6X/3（海里），

如圖，設(shè)漁船還需航行x海里就開始有觸礁的危險，即到達點。時有觸礁的危險，

在直角△AD'C中，由勾股定理得：（6-x）2+（6石）2=10.52.

解得x=4.5.

漁船還需航行4.5海里就開始有觸礁的危險.

故答案是：4.5.

【分析】本題主要考查方位角及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到角的度數(shù)，然后利用特殊角

的關(guān)系及勾股定理進行求解即可.

22.3G

【解析】

【分析】

過C作CF_LAB交A￡>于E,則此時，CE+E尸的值最小，且CE+EF的最小值為CF,根據(jù)

等邊三角形的性質(zhì)得到BF=^AB=；x6=3,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過C作C凡LAB交AD于匕

則此時，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值為CF,

:△ABC為等邊三角形，邊長為6,

.,.8F=448=1x6=3,

22

CF=《BC?-BF。=>/62-32=3上,

...CE+EF的最小值為36,

故答案為：3月.

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形.

23.=

【解析】

【分析】

設(shè)a?+從為定值女,貝Ue：=/+〃=1,先根據(jù)"張爽弦圖"得出2"=々-（a-。）,,再利用平

方數(shù)的非負性即可得.

【詳解】

設(shè)a?+〃為定值k，則/jJ+b'k

由“張爽弦圖”可知，2ab=c2-(a-b)2=k-(a-b)2

即"二U)

2

要使而的值最大,則(。-力2需最小

又；(a-〃)2wo

.?.當時，(a-勿2取得最小值，最小值為o

則當a=人時，必取得最大值，最大值為g

故答案為：=.

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平方數(shù)的非負性，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

24.PA2+PB2=2PC2

【解析】

【分析】

把AP?和PB?都用PC和CD表示出來，結(jié)合RtAPCD中，可找到PC和PD和CD的關(guān)系,

從而可找到PA?,PB2,PC?三者之間的數(shù)量關(guān)系；

【詳解】

解：過點C作CD_LAB,交AB于點D

???△ACB為等腰直角三角形，CD±AB,

；.CD=AD=DB,

VPA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD?PD+PD2,

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-2CD?PD+PD?,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

.".PA2+PB2=2PC2,

故答案為PA2+PB2=2PC2.

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線，利用三

線合一進行論證.

25.6.18

【解析】

【分析】

根據(jù)作圖得△ABC為直角三角形，CE=BC=^AB=5cm,AE=AD,

根據(jù)勾股定理求出AC,再求出AE,即可求出AD.

【詳解】

解：由作圖得△ABC為直角三角形，CE=BC=^AB=5cm,AE=AD,

；?AC=y/AB2+BC2=7102+52=5舊cm,

AE=4C-CE=54-5=5（石

AC=AE=5（逐-1卜6.18cm.

故答案為：6.18

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，勾股定理等知識，根據(jù)作圖步驟得到相關(guān)已知條件是解題關(guān)

鍵.

26.12

【解析】

【分析】

首先設(shè)水池的深度為X尺，則這根蘆葦?shù)拈L度為（X+1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程”+52=

（X+1）2即可.

【詳解】

設(shè)這個水池深X尺，

由題意得，x2+52=（x+1）2,

解得:x=12

答：這個水池深12尺.

故答案為：12.

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程

的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確

的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

【解析】

【分析】

竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊為(10-x)尺，利用

勾股定理解題即可.

【詳解】

解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10-x)尺，

根據(jù)勾股定理得：X2+32=(10-X)2,

91

解得：%=-;

91

故答案為：--

【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運

用勾股定理解題.

28.4+2-

【解析】

【分析】

先求出AC=BC=2,作點B關(guān)于y軸對稱的點E,連接AE,交y軸于D,此時AE=AD+BD,

且AD+BD值最小，即此時四邊形AC3O的周長最??；作FG〃y軸，AG〃x軸，交于點G,

則GF1AG,根據(jù)勾股定理求出AE即可.

【詳解】

解：點C的縱坐標為1,

；.AC〃x軸，

?.?點4(1,1),8(3,3)是第一象限角平分線上的兩點，

ZBAC=45°,

CA=CB,

/BAC=/ABC=45。，

ZC=90°,

BC〃y軸，

AC=BC=2,

作點B關(guān)于y軸對稱的點E,連接AE,交y軸于D,止匕時AE=AD+BD,且AD+BD值最小,

,此時四邊形AC83的周長最小，

作FG〃y軸，AG〃x軸，交于點G,則GFLAG,

；.EG=2,GA=4,

在RtAAGE中，

AE^y]AG2+EG2=442+2?=26，

/.四邊形AC3O的周長最小值為2+2+2石=4+2行.

【分析】本題考查了四條線段和最短問題.由于AC=BC=2,因此本題實質(zhì)就是求AD+BD最

小值，從而轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題，這是解題關(guān)鍵.

29.(1)見解析；(2)13

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運用

兩直線平行內(nèi)錯角相等再通過AAS以及勾股定理進行求解.

【詳解】

解：(1)AB//DE

，NBAC=NCDE

在AABC和△DCE中

2B=ZDCE

■Z.BAC=NCDE

AC=DE

?,.△ABC^ADCE

(2)由(1)可得BC=CE=5

在直角三角形ACE中

AE=YIAC2+CE2->/122+52=13

【分析】本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，熟練掌握判定定理運用以及

平行的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.

30.(1)見解析；(2)a>近,見解析

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理構(gòu)造直角三角形得出斜邊為血，再利用圓規(guī)畫圓弧即可得到點P.

(2)在數(shù)軸上比較，越靠右邊的數(shù)越大.

【詳解】

解：(1)如圖所示，點尸即為所求.

【分析】本題考查無理數(shù)與數(shù)軸上一一對應(yīng)的關(guān)系、勾股定理、尺規(guī)作圖法、熟練掌握無理

數(shù)在數(shù)軸上的表示是關(guān)鍵.

31.(1)見詳解：(2)60°

【解析】

【分析】

(1)通過SSS證明△ABCg/SAEJC,即可；

(2)先證明AC垂直平分8。,從而得ABOC是等腰宜角三角形，求出80=10,從而得8/X20,

△ABD是