七年級數(shù)學(xué)研究性活動-鑲嵌教師版

觀察以以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？第一頁第二頁第三頁第四頁觀察以以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？第一頁第二頁第三頁第四頁鑲嵌：用形狀相同或不同的平面封閉圖形把一塊地既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里叫做平面鑲嵌。多邊形的鑲嵌有兩類情況：〔1〕有些圖案中的多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上?！?〕有些鑲嵌中的多邊形頂點不落在另一個多邊形的邊上。即項點與頂點重合，邊與邊重合。我們在初中僅探討第二種情況。第一頁第二頁第三頁第四頁如果讓你設(shè)計幾種地板圖案要解決如下問題：問題1：如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面？問題2：如果允許用幾種正多邊形組合起來鑲嵌〔討論頂點與頂點重合的情況〕，由哪幾種正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？第一頁第二頁第三頁第四頁1、什么是平面鑲嵌？2、你能只用一種多邊形〔如正三角形，正四邊形，正六邊形〕拼成一個地面嗎？〔用自制的正三角形，正方形，正六邊形紙片進(jìn)行實驗〕3、你能只用一種正五邊形拼成一個地面嗎？〔用自制的正五邊形進(jìn)行實驗〕4、為什么正五邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個地面條件是什么？5、試用數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)，只用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，有幾種方法？6、任意的三角形，任意的四邊形均可鑲嵌成一個地面嗎？閱讀課本，思考以下問題，并用紙片進(jìn)行拼圖試驗∴解得僅用正多邊形進(jìn)行鑲嵌，要嵌成一個平面，必須要求在公共頂點上所有內(nèi)角和為360度。令正多邊形的邊數(shù)為n,個數(shù)為m,那么有第一頁第二頁第三頁第四頁〔1〕正三角形的平面鑲嵌60°60°60°60°60°60°注：n指邊數(shù)，k指同一頂點的正多邊形個數(shù)。第一頁第二頁第三頁第四頁〔2〕正方形的平面鑲嵌90°注：n、k分別指同一頂點的正多邊形邊數(shù)、個數(shù)。第一頁第二頁第三頁第四頁〔3〕正六邊形的平面鑲嵌120°120°120°注：n指邊數(shù)，k指同一頂點的正多邊形個數(shù)。第一頁第二頁第三頁第四頁因為正五邊形的內(nèi)角不能組成360°的角，而正三角形的內(nèi)角能組成360°的角。而三角形的內(nèi)角為180度，兩個180度為360度，任意四邊形的內(nèi)角和為360度，所以三角形，四邊形均可鑲嵌成平面。第一頁第二頁第三頁第四頁第一頁第二頁第三頁第四頁只用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，只有〔6，6，6〕；〔4，4，4，4〕；〔3，3，3，3，3，3〕三種情形。那么，如果用兩種正邊形進(jìn)行鑲嵌，又有幾種情況呢？請嘗試1〕試用正三角形與正方形進(jìn)行平面鑲嵌，〔先用紙片進(jìn)行實驗，再理論解釋〕2〕試用正三角形與正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌，先理論探討有幾種情況，再用紙片進(jìn)行拼圖設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形，n個正方形的角，那么記作〔3，3，3，4，4〕①②注意：同一個組合會有不同的鑲嵌效果第一頁第二頁第三頁第四頁第一頁第二頁第三頁第四頁設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形，n個正六邊形的角，那么記作〔3，3，3，6〕；〔3，3，6，6〕〔3，3，3，6〕見第三頁〔3，3，6，6〕見第四頁(1)、正多邊形的頂點在另一個正多邊形的邊上60°90°60°60°頂點與頂點重合的情形〔1〕正三角形與正方形①②注：m、n分別指同一頂點處正三角形、正方形的個數(shù)。圖案注意：同一個組合會有不同的鑲嵌效果120°120°60°60°(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌圖案〔Ⅰ〕第一頁第二頁第三頁第四頁(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌圖案〔Ⅱ〕60°60°120°60°60°每個頂點處正六邊形1個，正三角形4個.第一頁第二頁第三頁第四頁第一頁第二頁第三頁第四頁1、如果用正三角形與正十二邊形，如何鑲嵌？2、如果用正四邊形與正八邊形，如何鑲嵌？3、如果用三個正多邊形，又有幾種情況呢？Page2－34、如果一個正多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上，要滿足何種條件呢，才可鑲嵌成一個平面呢？Page4－5相關(guān)答案請見第一至第六頁。思考與引伸第五頁如果一個正多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上，要滿足何種條件，才可鑲嵌成一個平面呢？因為正多邊形的內(nèi)角和為，一條邊上有k個內(nèi)角，由于這些內(nèi)角和為180度，有記作〔3，3，3〕(4，4，4，4)圖形見第五頁第一頁第二頁第三頁第四頁第五頁(1)、正多邊形的頂點在另一個正多邊形的邊上60°90°60°60°第一頁第二頁第三頁第四頁第五頁(3)三種正多邊形的平面鑲嵌第一頁第二頁第三頁第四頁第五頁(3)三種正多邊形的平面鑲嵌正十二邊形與正三角形的平面鑲嵌正十二邊形與正方形、正五邊形的平面鑲嵌正八邊形與正方形的平面鑲嵌圖例第一頁第二頁第三頁第四頁第五頁資料1：用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌只有以下這17組解。有書記載說明這17組解是1924年一個叫波爾亞的人給出的。實際上早在此之前，西班牙阿爾漢布拉宮的裝飾已經(jīng)一個不少地制出了這些圖樣，真是令人嘆為觀止。第一頁第二頁資料2：石子路鑲嵌圖案最多的圖林在北京故官御花園內(nèi)，有許多顏色不同的細(xì)石子砌成的各種美麗圖案的花石子路，據(jù)統(tǒng)計全園花石子路上的圖案約有900幅，可以說是中國擁有石子路鑲嵌圖案最多的圖林了。這些石子路圖案的組成，是把全園作為一個整體來考慮設(shè)計的，因此顯得極為統(tǒng)一協(xié)調(diào)。但是每幅圖案又有它的獨(dú)立的面貌，內(nèi)容各異，圖案的內(nèi)容有人物、風(fēng)景、花卉、博古等，種類繁多。其中的“頤和春色”、“關(guān)黃對刀”、“鶴鹿同春”等圖案，造型優(yōu)美，動態(tài)活潑、構(gòu)圖別致，色彩清楚，沿路欣賞，美不勝收。第一頁第二頁整體設(shè)計說明：網(wǎng)絡(luò)搭臺，數(shù)學(xué)唱戲應(yīng)用建構(gòu)主義理論，教師創(chuàng)立一個鑲嵌專題網(wǎng)站+BBS，創(chuàng)造一個網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的自主學(xué)習(xí)環(huán)境，利用powerpoint,nteopschool等軟件，讓學(xué)生在做中學(xué)，學(xué)中做，強(qiáng)調(diào)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)生自主學(xué)習(xí)策略及其自我監(jiān)控，并探討在這種環(huán)境下，教師如何進(jìn)行有效的教學(xué)過程控制。牛配資牛配資svc92svt簽字后交給這位耿兄弟。他們住的那深巷子出租房里放這么多銀子不平安，先由咱們酒店里代為保管著吧！”又轉(zhuǎn)頭對耿正兄妹三人說：“你們什么時候需要了，就隨時來??！”耿正趕快說：“這感情好的，但我們約定的薪金加上這些銀子，也遠(yuǎn)沒有這么多?。∧趺醋屜壬鼍哌@么大的數(shù)目呢？”酒店老板哈哈大笑，說：“就這么多吧！二十四是三‘八’之疊加，而‘八’諧音‘發(fā)’，寓意‘發(fā)家’！所以啊，這自古以來，人們就把二百四十兩紋銀看作是大禮一份，寓意大吉大利大發(fā)大順！討個吉利吧，作為我們酒店上下人等對你們兄妹仨今后創(chuàng)業(yè)之路的祝福啦！”做證人的老者聽到這里，手捋胡須安詳而笑了。當(dāng)下，酒店老板就在那張二百四十兩紋銀的收據(jù)上簽了字，然后恭恭敬敬地親手交給耿正。耿正推辭一番之后，接了裝好。一名伙計過來對酒店老板說：“老板，飯菜已經(jīng)準(zhǔn)備好了！”老板點點頭，招呼老者和耿正兄妹三人：“來來來，大家快坐了吃飯吧！我們一起喝幾杯！”又轉(zhuǎn)頭吩咐伙計：“拿一大壇最好的陳茅臺來！”老者連連擺手，說：“我已經(jīng)吃過了。你們快吃吧，我這就告辭了！”老板說：“再少吃一點兒嘛，或者只喝一杯酒也行！”老者還是連連擺手說：“我年紀(jì)大了，晚上不可以多食兒的，更不可以貪杯噢！這時辰實在是不早了，你們快吃吧，我走了！”老板不好再勸，就和耿正兄妹三人一起送老者出來。走出酒店門口時，大家望望左右，寬闊的街面上已經(jīng)沒有一個行人。但老者并不急于道別，反而站住不走了，大家有點兒不解地望著這位和顏悅色的老人。只見他略沉吟一下，對老板說：“這自古說了，冤家宜解不宜結(jié)。我看哪，這吳員外今兒個應(yīng)該是真服氣了。倘假設(shè)他能接受教訓(xùn)，從此以后不再為富不仁，倒也不是壞事。依我看不如這樣吧，等他帶人來給酒店掛牌匾的時候，你派一個伙計來喊我一聲。咱們和他坐在一起吃個飯吧！還有啊，記著也叫上這兄妹仨。他們以后還要在咱這景德鎮(zhèn)上打拼呢，什么人也得結(jié)交哇！高潔的蓮花雖說‘出污泥而不染’，而其雪白的蓮藕畢竟還是生長在污泥中的呢！所以啊，必須得適應(yīng)了，才能生長得好！”酒店老板笑了，說：“好的！”又轉(zhuǎn)頭看看耿正兄妹三人。耿正說：“就聽老先生的吧！”老者這才高快樂興地告