人教版數(shù)學九年級上冊教案第二十四章圓

第二十四章圓

單元要點分析

教學內(nèi)容

1.本單元數(shù)學的主要內(nèi)容.

(1)圓有關的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周

角.

(2)與圓有關的位置關系：點與圓的位置關系，直線與圓的位

置關系，圓與圓的位置關系.

(3)正多邊形與圓.

(4)弧長與扇形面積：弧長與扇形面積，圓錐的側(cè)面積與全面

積.

2.本單元在教材中的地位與作用.

學生在學習本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明

等方式相識了很多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的閱歷.本

章是在學習了這些直線型圖形的有關性質(zhì)的根底上,進一步來探究一

種特別的曲線——圓的有關性質(zhì).通過本章的學習，對學生今后接著

學習數(shù)學，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學思想、歸納的數(shù)學思想起

著良好的鋪墊作用.本章的學習是高中的數(shù)學學習，尤其是圓錐曲線

的學習的根底性工程.

教學目的

1.學問與技能

(1)理解圓的有關概念，探究并理解垂徑定理，探究并相識圓

心角、弧、弦之間的相等關系的定理，探究并理解圓周角與圓心角

的關系定理.

(2)探究并理解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系：理

解切線的概念，探究切線與過切點的直徑之間的關系，能斷定一條

直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線.

(3)進一步相識與理解正多邊形與圓的關系與正多邊的有關計

算.

(4)嫻熟駕馭弧長與扇形面積公式及其它們的應用；理解圓錐

的側(cè)面綻開圖并嫻熟駕馭圓錐的側(cè)面積與全面積的計算.

2.過程與方法

(1)主動引導學生從事視察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等

活動.理解概念，理解等量關系，駕馭定理及公式.

(2)在教學過程中，激勵學生動手、動口、動腦，并進展同伴

之間的溝通.

(3)在探究圓周角與圓心角之間的關系的過程中，讓學生形成

分類討論的數(shù)學思想與歸納的數(shù)學思想.

(4)通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，相識直線與圓、圓與圓的位置關

系，使學生明確圖形在運動改變中的特點與規(guī)律，進一步開展學生

的推理實力.

(5)探究弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積與全面積的計算公

式并理解公式的意義、理解算法的意義.

3.情感、看法與價值觀

經(jīng)驗探究圓及其相關結(jié)論的過程，開展學生的數(shù)學思索實力；通

過主動引導，扶植學生有意識地積累活動閱歷，獲得勝利的體驗；利

用現(xiàn)實生活與數(shù)學中的素材，設計具有挑戰(zhàn)性的情景,激發(fā)學生求知、

探究的欲望.

教學重點

1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩

條弧及其運用.

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也

相等及其運用.

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這

條弧所對的圓心角的一半及其運用.

4.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對

的弦是直徑及其運用.

5.不在同始終線上的三個點確定一個圓.

6.直線L與。。相交od<r;直線L與圓相切od=r;直線L

與OO相離od>r?及其運用.

7.圓的切線垂直于過切點的半徑及其運用.

8.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利

用它解決一些詳細問題.

9.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一

點與圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運用.

10.兩圓的位置關系：d與門與n之間的關系：外離。4口+口;

外切odf+Q；相交oIr2rli（水門+心；內(nèi)切od=|rx-r2|;

內(nèi)含od<|r2-ri|.

11.正多邊形與圓中的半徑R、邊心距r、中心角6之間的等量

關系并應用這個等量關系解決詳細題目.

12.n°的圓心角所對的弧長為1=黑，n°的圓心角的扇形面

積是S扇形=嚼及其運用這兩個公式進展計算.

13.圓錐的側(cè)面積與全面積的計算.

教學難點

1.垂徑定理的探究與推導及利用它解決一些實際問題.

2.弧、弦、圓心有的之間互推的有關定理的探究與推導并運用

它解決一些實際問題.

3.有關圓周角的定理的探究及推導及其它的運用.

4.點與圓的位置關系的應用.

5.三點確定一個圓的探究及應用.

6.直線與圓的位置關系的斷定及其應用.

7.切線的斷定定理與性質(zhì)定理的運用.

8.切線長定理的探究與運用.

9.圓與圓的位置關系的斷定及其運用.

io.正多邊形與圓中的半徑R、邊心距八中心角e的關系的應

用.

11.n的圓心角所對的弧長L=鬻及S扇形=嚼的公式的應

180360

用?

12.圓錐側(cè)面綻開圖的理解.

教學關鍵

1.主動引導學生通過視察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學活

動探究定理、性質(zhì)、“三個”位置關系并推理證明等活動.

2.關注學生思索方式的多樣化，留意學生計算實力的培育與進

步.

3.在視察、操作與推導活動中，使學生有意識地反思其中的數(shù)

學思想方法，開展學生有條理的思索實力及語言表達實力.

單元課時劃分

本單元教學時間約需13課時，詳細安排如下：

24.1圓3課時

24.2與圓有關的位置關系4課時

24.3正多邊形與圓1課時

24.4弧長與扇形面積2課時

教學活動、習題課、小結(jié)3課時

24.1圓

第一課時

教學內(nèi)容

1.圓的有關概念.

2.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對的兩條弧及其它們的應用.

教學目的

理解圓的有關概念，理解垂徑定理并敏捷運用垂徑定理及圓的概

念解決一些實際問題.

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有

關概念.利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線

都是它的對稱軸.通過復合圖形的折疊方法得出猜測垂徑定理，并輔

以邏輯證明加予理解.

重難點、關鍵

1.重點：垂徑定理及其運用.

2.難點與關鍵：探究并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些

實際問題.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學口答下面兩個問題（提問一、兩個同學）

1.舉誕生活中的圓三、四個.

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

老師點評（口答）：（1）如車輪、杯口、時針等.（2）圓規(guī)：固

定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓.

二、探究新知

從以上圓的形成過程，我們可以得出：

在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另

一個端點所形成的圖形叫做圓.固定的端點O叫做圓心，線段OA

叫做半徑.

以點。為圓心的圓，記作讀作“圓O”.

學生四人一組討論下面的兩個問題：

問題1：圖上各點到定點（圓心O）的間隔有什么規(guī)律？

問題2:到定點的間隔等于定長的點又有什么特點？

老師提問幾名學生并點評總結(jié).

（1）圖上各點到定點（圓心。）的間隔都等于定長（半徑r）;

（2）到定點的間隔等于定長的點都在同一個圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為。，半徑為r的圓可以

看成是全部到定點O的間隔等于定長r的點組成的圖形.

同時，我們又把

①連接圓上隨意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC,AB;

②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB;

③圓上隨意兩點間的局部叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點

的弧記作AC”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”.大于半圓的?。ㄈ鐖D

所示ABC叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）AC或BC叫做劣弧.

④圓的隨意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫

做半圓.

（學生活動）請同學們答復下面兩個問題.

1.圓是軸對稱圖形嗎？假如是，它的對稱軸是什么？你能找到

多少條對稱軸？

2.你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進展溝通.

(老師點評)1.圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找

到多數(shù)多條直徑.

3.我是利用沿著圓的隨意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸

問題的.

因此，我們可以得到：|圓是軸對稱圖形，其對稱軸是隨意一條過

圓心的直線.

(學生活動)請同學按下面要求完成下題：

如圖，AB是。O的一條弦，作直徑CD,使CD1AB,垂足為

M.

(1)如圖是軸對稱圖形嗎？假如是，其對稱軸是什么？

(2)你能發(fā)覺圖中有哪些等量關系？說一說你理由.

(老師點評)

(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.

(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直徑CD平分弦AB,并

且平分AB及AOB.

這樣，我們就得到下面的定理：|垂直于弦的直徑平分弦，并且下

分弦所對的兩秦豕廠

下面我們用邏輯思維給它證明一下：

已知：直徑CD、弦AB且CD1AB垂足為M

求證：AM=BM,AC^BC,AD=BD.

分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構成的兩個三角形全等.

因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可.

證明：如圖，連結(jié)OA、OB,貝iJOA=OB

在RtAOAM與RtAOBM中

=/.RtAOAM^RtAOBM/.AM=BM.?.點A與

OM=0M

點B關于CD對稱

關于直徑CD對稱

「?當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，AC與BC重合,

AO與8。重合.

進一步，我們還可以得到結(jié)論：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條疣

(本題的證明作為課后練習)

例1.如圖，一條馬路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦(即圖中C。，點O

是的圓心，其中CD=600m,E為C。上一點，且OE1CD,垂

足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.

分析：例1是垂徑定理的應用，解題過程中運用了列方程的方法,

這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法確定要

駕馭.

解：如圖，連接OC設彎路的半徑為R,則OF=(R-90)m

?/OE1CD.\CF=-CD=1X600=300(m)

22

依據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2

解得R=545這段彎路的半徑為545m.

三、穩(wěn)固練習

教材P86練習P88練習.

四、應用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位

下水面寬AB=60m,水面到拱頂間隔CD=18m,當洪水泛濫時，

水面寬MN=32m時是否須要實行緊急措施？請說明理由.

分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m是否須要實行緊

急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R,然后運用幾何代

數(shù)解求R.

解：不須要實行緊急措施

設OA=R,在RtaAOC中，AC=30,CD=18

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324解得R=34

連接OM,設DE=x,在RtaMOE中，ME=16

342=162+(34-x)2162+342-68X+X2=342

x2-68x+256=0

解得X]=4,X2=64(不合設)/.DE=4不需實行緊急

措施.

五、歸納小結(jié)(學生歸納，老師點評)

本節(jié)課應駕馭：

1.圓的有關概念；

2.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.

3.垂徑定理及其推論以及它們的應用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94復習穩(wěn)固1、2、3.

2.車輪為什么是圓的呢？

3.垂徑定理推論的證明.

4.選用課時作業(yè)設計.

第一課時作業(yè)設計

一、選擇題.

1.如圖1,假如AB為。。的直徑，弦CDJ_AB,垂足為E,那么

下列結(jié)論中錯誤的是()

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBAD

D.AC>AD

2.如圖2,。。的直徑為10,圓心。到弦AB的間隔OM的長為

3,則弦AB的長是()

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。。中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，

下列結(jié)論中不正確的是

A.AB1CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BD

D.PO=PD()

(1)(2)(3)

二、填空題

1.如圖4,AB為。O直徑，E是中點，OE交BC于點D,BD=3,

AB=10,貝!JAC=.

2.P為。。內(nèi)一點，OP=3cm,。。半徑為5cm,則經(jīng)過P點的最

短弦長為；最長弦長為.

3.如圖5,OE、OF分別為。O的弦AB、CD的弦心距，假如OE=OF,

那么_____(只需寫一個正確的結(jié)論)

(4)(5)

三、綜合進步題

1.如圖，AB為。O的直徑，CD為弦，過C、D分別作CNJ_CD、

DM1CD,分別交AB于N、M,圖中的AN與BM相等嗎？

說明理由.

2.如圖，在。O中，直徑AB與弦CD相交于點E,AE=2,

EB=6,ZDEB=30°,求弦CD長.

3.(開放題)AB是。。的直徑，AC、AD是。。的兩弦，

已知AB=16,AC=8,AD=8,求/DAC的度數(shù).

答案：

-*、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：過點。作OE1CD于點E,貝(JCE=DE,

JLCN//OE//DM.

/.ON=OM,/.OA-ON=OB-OM,/.AN=BM.

2.過O作OF1CD于F,如右圖所示

?/AE=2,EB=6,/.OE=2,/.EF=V3,OF=1,連結(jié)OD,

在RtaODF中，42=12+DF2,DF=V15,」.CD=2厲.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示：

?/AB=16,AC=8,AD=8V3,：.-AC=-(-AB),

222

/.ZCAB=60°,同理可得NDAB=30°,/.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：NDAC=60°+30°=90°.

24.1圓(第2課時)

教學內(nèi)容

1.圓心角的概念.

2.有關弧、弦、圓心角關系的定理：在同圓或等圓中，相等的

圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

3.定理的推論：在同圓或等圓中，假如兩條弧相等，那么它們

所對的圓心角相等，所對的弦相等.

在同圓或等圓中，假如兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等,

所對的弧也相等.

教學目的

理解圓心角的概念：駕馭在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有

一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，

及其它們在解題中的應用.

通過復習旋轉(zhuǎn)的學問，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角與旋轉(zhuǎn)

的學問探究在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，最終應用它

解決一些詳細問題.

重難點、關鍵

1.重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,

所對弦也相等及其兩個推論與它們的應用.

2.難點與關鍵：探究定理與推導及其應用.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下題.

已知△OAB,如圖所示，作出繞O點旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的

圖形.

老師點評：繞。點旋轉(zhuǎn)，O點就是固定點，旋轉(zhuǎn)30°,就是旋

轉(zhuǎn)角/BOB，=30°.

二、探究新知

如圖，ZAOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角.

（學生活動）請同學們按下列要求作圖并答復問題：

如圖，在。。中，分別作相等的圓心角NAOB與NA'OB'

將圓心角NAOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到NA'OB'的位置，你能發(fā)覺

哪些等量關系？為什么？

AB=A'B',AB=A'B'理由如下：

..?半徑OA與O'Az重合，KZAOB=ZA,OB'

二.半徑OB與OB'重合

...點A與點A'重合，點B與點B'重合

AB與A?重合，弦AB與弦A'B'重合

/.AB=A'B',AB=A，B'

因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相

等

在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等

呢？請同學們?nèi)缃駝邮肿饕蛔?

(學生活動)老師點評：如圖1,在。。與。O'中，分別作相

等的圓心角NAOB與/A'O'B'得到如圖2,滾動一個圓，使O

與O'重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度，使得OA與

O'A，重合.

(1)(2)

你能發(fā)覺哪些等量關系？說一說你的理由？

我能發(fā)覺：AB=A'B',AB=AZBZ.

如今它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了，這就是又回到了我們

的數(shù)學思想上的化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面

的定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等二

同樣，還可以得到：

在同圓或等圓中，假如兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等,

所對的弦也相等.

在同圓或等圓中，假如兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等,

所對的弧也相等.

(學生活動)請同學們?nèi)缃褓n予說明一下.

請三位同學到黑板板書，老師點評.

例1.如圖，在OO中，AB、CD是兩條弦，OE1AB,OF1

CD,垂足分別為EF.

(1)若NAOB=/COD,則OE與OF的大小有什么關系?

為什么？

(2)若OE=OF,則AB與CO的大小有什么關系？

AB與CD的大小有什么關系？為什么？

NAOB與NCOD呢？

分析：(D要說明OE=OF,只要在直角三角形AOE與直角三

角形COF中說明AE=CF,即說明AB=CD,因此，只要運用前面所

講的定理即可.

(2)-/OE=OF,.?.在RtZkAOE與RtZkCOF中,

又有AO=CO是半徑，.?.RSAOE&RtACOF,/.AE=CF,/.

AB=CD,

又可運用上面的定理得到AB=CD

解：(1)假如NAOB=/COD,那么OE=OF理由是：

?/ZAOB=ZCOD/.AB=CD

,/OE1AB,OF1CD，AE=；AB,CF=|CD

AE=CF

%VOA=OC/.RtAOAE^RtAOCF/.OE=OF

(2)假如OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=/COD

理由是：

?/OA=OC,OE=OF/.RtAOAE^RtAOCF/.

AE=CF

X-/OEIAB,OF1CD/.AE=|AB,CF=；CD/.

AB=2AE,CD=2CF

/.AB=CD/.AB=CD,ZAOB=/COD

三、穩(wěn)固練習

教材P89練習1教材P90練習2.

四、應用拓展

例2.如圖3與圖4,MN是。(3的直徑，弦AB、CD相交于

MN上的一點P,ZAPM=/CPM.

(1)由以上條件，你認為AB與CD大小關系是什么，請說明

理由.

(2)若交點P在。O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加

以證明；若不成立，請說明理由.

(3)(4)

分析：(1)要說明AB=CD,只要證明AB、CD所對的圓心角

相等，只要說明它們的一半相等.(2)上述結(jié)論仍舊成立，它的證明

思路與上面的題目是一模一樣的.

解：⑴AB=CD

理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、

F

VZAPM=ZCPM/.Z1=Z2OE=OF

連結(jié)OD、OB且OB=OD/.RtAOFD^RtAOEB

DF=BE

依據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

（2）作OE_LAB,OF1CD,垂足為E、F

v/APM=ZCPNKOP=OP,ZPEO=ZPFO=90°.'.RtA

OPE^RtAOPF/.OE=OF

連接OA>OB、OC、OD易證RtAOBE^RtAODF,Rt

△OAE^RtAOCF

???Z1+Z2=Z3+Z4.\AB=CD

五、歸納總結(jié)（學生歸納，老師點評）

本節(jié)課應駕馭：

1.圓心角概念.

2.在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一

組量相等，那么它們所對應的其余各組量都局部相等，及其它們的

應用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94-95復習穩(wěn)固4、5、6、7、8.

2.選用課時作業(yè)設計.

第二課時作業(yè)設計

一、選擇題.

1.假如兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等；B.這兩個圓心

角所對的弧相等

C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等；D.以上說法都

不對

2.在同圓中，圓心角/AOB=2/COD,則兩條弧AB與CD

關系是()

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能

確定

3.如圖5,。。中，假如AB=2AC,那么().

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

(5)(6)

二、填空題

1.交通工具上的輪子都是做圓的，這是運用了圓的性質(zhì)中的

2.一條弦長恰好為半徑長,則此弦所對的弧是半圓的.

3.如圖6,AB與DE是。。的直徑，弦AC//DE,若弦BE=3,

貝弦CE=.

三、解答題

1.如圖，在。。中，C、D是直徑AB上兩點，且AC=BD,

MC1AB,ND1AB,M、N在。O上.

(1)求證：AM=BN;

(2)若C、D分別為OA、OB中點，貝口用=政7=皿成立嗎？

2.如圖，以口ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別

交BC、AD于E、F,若ND=50°,求0的度數(shù)與政的度數(shù).

3.如圖，NAOB=90°,C、D是AB三等分點，AB分別交

OC、OD于點E、F,

求證：AE=BF=CD.

第1題圖第2題圖第3題圖

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圓的旋轉(zhuǎn)不變形2.g或|3.3

三、1.(1)連結(jié)OM、ON,在RtAOCM與RtAODN中OM=ON,

OA=OB,

?/AC=DB,/.OC=OD,/.Rt△OCMRt△ODN,Z

AOM=/BON,AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度數(shù)為80°,EF的度數(shù)為50°.

3.連結(jié)AC、BD,VC>D是AB三等分點，「.AC=CD=DB且

ZAOC=-X9O°=30

3

?/OA=OC,/.ZOAC=ZOCA=75°,又/AEC=/OAE+N

AOE=450+30°=75°,

/.AE=AC,同理可證BF=BD,/.AE=BF=CD

24.1圓(第3課時)

教學內(nèi)容

1.圓周角的概念.

2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相

等，都等于這條弦所對的圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所

對的弦是直徑及其它們的應用.

教學目的

1.理解圓周角的概念.

2.理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓

周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

3.理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直

角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

4.嫻熟駕馭圓周角的定理及其推理的敏捷運用.

設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，

運用數(shù)學分類思想賜予邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定

理推論的正確性，最終運用定理及其推導解決一些實際問題.

重難點、關鍵

1.重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題.

2.難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理.

3.關鍵：探究圓周角的定理的存在.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們口答下面兩個問題.

1.什么叫圓心角？

2.圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)絡呢？

老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角.

（2）在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.

剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，假如頂點不

在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關

系呢？這就是我們今日要討論，要討論，要解決的問題.

二、探究新知

問題：如圖所示的OO,我們在射門嬉戲中，設E、F是球門，

設球員們只能在〃所在的。O其它位置射門，如圖所示的

A、B、C點.通過視察，我們可以發(fā)覺像NEAF、ZEBF>ZECF

這樣的角，它們的頂點在圓上并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

如今通過圓周角的概念與度量的方法答復下面的問題.

1.一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？

2.同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生改變？

3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關系？

(學生分組討論)提問二、三位同學代表發(fā)言.

老師點評：

1.一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多數(shù)多個.

2.通過度量，我們可以發(fā)覺，同弧所對的圓周角是沒有改變的.

3.通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半.

下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有

改變，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半

(1)設圓周角/ABC的一邊BC是。。的直徑，如圖所示

?/ZAOC是△ABO的夕卜角/.ZAOC=ZABO+ZBAO

?「OA=OBZABO=ZBAO/.ZAOC=ZABOZ

ABC=-ZAOC

2

（2）如圖，圓周角/ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩

側(cè)，

那么NABC=；/AOC嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過

程.

老師點評：連結(jié)BO交。。于D,

同理NAOD是△ABO的外角，NCOD是△BOC的外角，

那么就有NAOD=2/ABO,ZDOC=2ZCBO,因此/AOC=2

ZABC.

（3）如圖，圓周角/ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同

側(cè)，

那么/ABC=；/AOC嗎？請同學們獨立完成證明.

老師點評：連結(jié)OA、OC,連結(jié)BO并延長交。。于D,

那么NAOD=2/ABD,ZCOD=2/CBO,

而ZABC=ZABD-ZCBO=-ZAOD-1ZCOD=-ZAOC

222

如今，我假如在畫一個隨意的圓周角NAB'C,同樣可證得它

等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的.

從（1）、（2）、（3）,我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半.

進一步，我們還可以得到下面的推導:

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦

是直徑.

下面，我們通過這個定理與推論來解一些題目.

例1.如圖，AB是。。的直徑，BD是。O的弦，延長BD到

C,

使AC=AB,BD與CD的大小有什么關系？為什么？

分析：BD=CD,因為AB=AC,所以這個aABC是等腰，

要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是NBAC

的平分線即可.

解：BD=CD理由是：如圖24-30,連接AD

VAB是。O的直徑/.ZADB=90°即AD1BC又7

AC=AB/.BD=CD

三、穩(wěn)固練習

1.教材P92思索題.

2.教材P93練習.

四、應用拓展

例2.如圖，已知aABC內(nèi)接于OO,NA、/B、NC的對邊分

別設為a,b,c,。。半徑為R,求證：^L-=-^-=-￡-=2R.

sinAsinBsinC

分析：WW-￡-=-^-=-￡-=2R,

sinAsinBsinC

只要證明‘'=2R,2）=2R,-￡-=2R,

sinAsinBsinC

BpsinA=—,sinB=—,sinC=—,

2R2R2R

因此，特別明顯要在直角三角形中進展.

證明：連接co并延長交。。于D,連接DB

VCD是直徑「.ZDBC=90°

%VZA=ZD在RtaDBC中，sinD=—,即2R=-^-

DCsinA

同理可證：上=2R,，一=2R.?.，_=上=工.=2區(qū)

sinBsinCsinAsinBsinC

五、婦納小結(jié)（學生歸納，老師點評）

本節(jié)課應駕馭：

1.圓周角的概念；

2.圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角

相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半；

3.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的

弦是直徑.

4.應用圓周角的定理及其推導解決一些詳細問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P95綜合運用9、10、11拓廣探究12、13.

2.選用課時作業(yè)設計.

第三課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.如圖1,A、B、C三點在0O上，ZAOC=100°,貝IJ/ABC

等于（）.

A.140°B.110°C.120°D.130°

2.如圖2,/I、/2、/3、N4的大小關系是（）

A.N4<N1<N2<N3B.Z4<Z1=/3<Z2

C.Z4<z1<Z3Z2D.Z4<Z1<Z3=Z2

3.如圖3,AD是。O的直徑，AC是弦，OB_LAD,若OB=5,

且/CAD=30°,貝IJBC等于

A.3B.3+百C.5--D.5

2

()

(1)(2)

⑶

二、填空題

1.半徑為2a的。。中，弦AB的長為2ga,則弦AB所對的

圓周角的度數(shù)是_______.

2.如圖4,A、B是。O的直徑，C、D、E都是圓上的點，則

Zl+Z2=.

3.如圖5,已知4ABC為OO內(nèi)接三角形，BC=1,Z

A=60°,則。O半徑為.

三、綜合進步題⑷⑸

1.如圖，弦AB把圓周分成1：2的兩局部，已知。。半徑為1,

求弦長AB.

2.如圖，已知AB=AC,ZAPC=60°

(1)求證：4ABC是等邊三角形.(2)若BC=4cm,求。O

的面積.

3.如圖，0c經(jīng)過坐標原點且與兩坐標軸分別交于點A與點B,

點A的坐標為(0,4),M是圓上一點，ZBMO=120°.

(1)求證：AB為。C直徑.(2)求。C的半徑及圓心C的

坐標.

第1題圖第2題圖第3題圖

答案:

—1.D2.B3.D

二、1.120°或60。2.90°3,與

三、1.百

2.(1)?/ZABC=ZAPC=60°,又=AC,

/.ZACB=ZABC=60°,Z\ABC為等邊三角形.

(2)連結(jié)OC,過點。作OD_LBC,垂足為D,

在RtAODC中，DC=2,ZOCD=30°,設OD=x,則

OC=2x,.'.4X2-X2=4,.\OC=-73

3

3.(1)略⑵4,(-273,2)

點與圓的位置關系

教學目的

(一)教學學問點

理解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條

直線上的三個點作圓的方法，理解三角形的外接圓、三角形的外心等

概念.

(二)實力訓練要求

1.經(jīng)驗不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探究過程，培

育學生的探究實力.

2.通過探究不在同一條直線上的三個點確定一個圓的問題，進

一步體會解決數(shù)學問題的策略.

（三）情感與價值觀要求

1.形成解決問題的一些根本策略，體驗解決問題策略的多樣性,

開展理論實力與創(chuàng)新精神.

2.學會與人合作，并能與別人溝通思維的過程與結(jié)果.

教學重點

1.經(jīng)驗不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探究過程，并

能駕馭這個結(jié)論.

2.駕馭過不在同一條直線上的三個點作圓的方法.

3.理解三角形的外接圓、三角形的外心等概念.

教學難點

經(jīng)驗不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探究過程，并能過

不在同一條直線上的三個點作圓.

教學方法

老師指導學生自主探究溝通法.

教具打算

投影片三張

第一張：（記作§3.4A）

第二張：（記作§3.4B）

第三張：（記作§3.4C）

AAAL.XE1

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］我們知道經(jīng)過一點可以作多數(shù)條直線，經(jīng)過兩點只能作一條

直線.那么，經(jīng)過一點能作幾個圓？經(jīng)過兩點、三點……呢？本節(jié)課

我們將進展有關探究.

n.新課講解

i.回憶及思索

投影片（§3.4A）

1.線段垂直平分線的性質(zhì)及作法.

2.作圓的關鍵是什么？

［生］1.線段垂直平分線的性質(zhì)是：線段垂直平分線上的點到線段

兩端點的間隔相等.

作法：如下圖，分別以45為圓心，以大于;長為半徑畫弧,

在的兩側(cè)找出兩交點GD,作直線CD,則直線8就是線段

4s的垂直平分線，直線8上的任一點到力與B的間隔相等.

［師］我們知道圓的定義是：平面上到定點的間隔等于定長的全部

點組成的圖形叫做圓.定點即為圓心，定長即為半徑.依據(jù)定義大家

覺得作圓的關鍵是什么？

［生］由定義可知，作圓的問題本質(zhì)上就是圓心與半徑的問題.因

此作圓的關鍵是確定圓心與半徑的大小.確定了圓心與半徑，圓就隨

之確定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圓，使它經(jīng)過已知點4,你能作出幾個這樣的圓？

(2)作圓，使它經(jīng)過已知點4、8.你是如何作的？你能作出幾個

這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為

什么？

(3)作圓，使它經(jīng)過已知點4、B、(%4、B、。三點不在同一條直

線上).你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？

［師］依據(jù)剛剛我們的分析已知，作圓的關鍵是確定圓心與半徑，

下面請大家互相交換意見并作出解答.

［生］(1)因為作圓本質(zhì)上是確定圓心與半徑，要經(jīng)過已知點Z作圓,

只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來.所以以點A以外的隨

意一點為圓心，以這一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個

圓.由于圓心是隨意的.因此這樣的圓有多數(shù)個.如圖(1).

(2)已知點4、B都在圓上，它們到圓心的間隔都等于半徑.因

此圓心到2、B的間隔相等.依據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線

的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的間隔相等，

則圓心應在線段AB的垂直平分線上.在AB的垂直平分線上隨意取

一點，都能滿意到力、B兩點的間隔相等，所以在的垂直平分

線上任取一點都可以作為圓心，這點到，的間隔即為半徑.圓就確

定下來了.由于線段的垂直平分線上有多數(shù)點，因此有多數(shù)個圓

心，作出的圓有多數(shù)個.如圖(2).

(3)要作一個圓經(jīng)過4B、C三點，就是要確定一個點作為圓心,

使它到三點的間隔相等.因為到4、8兩點間隔相等的點的集合是

線段的垂直平分線，到A。兩點間隔相等的點的集合是線段

的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點滿意到4B、。三點

的間隔相等，就是所作圓的圓心.

因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出

一個滿意條件的圓.

［師］大家的分析很有道理，原委應當怎樣找圓心呢？

3.過不在同一條直線上的三點作圓.

投影片(§3.4C)

作法圖示

1.連結(jié)40、BC

2.分別作2氏的

垂直

平分線DE與FG,DE

與

戶G相交于點O

3.以。為圓心，OA

為半徑作圓

。。就是所要求作的圓

他作的圓符合要求嗎？與同伴溝通.

［生］符合要求.

因為連結(jié)AE,作AB的垂直平分線ED,則ED上隨意一點到4

石的間隔相等；連結(jié)8G作石。的垂直平分線尸G,則bG上的任

一點到A。的間隔相等.即與產(chǎn)G的滿意條件.

［師］由上可知，過已知一點可作多數(shù)個圓.過已知兩點也可作多

數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點可以作一個圓，并且只能作一個

圓.

不在同始終線上的三個點確定一個圓.

4.有關定義

由上可知，經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三

角形的外接圓(circumcircleoftriangle),這個三角形叫這個圓的內(nèi)

接三角形.

外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外

(circumcenter).

m.課堂練習

已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外

接圓，它們外心的位置有怎樣的特點？

解：如下圖.。為外接圓的圓心，即外心.

銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊

上，鈍角三角形的外心在三角形的外部.

iv.課時小結(jié)

本節(jié)課所學內(nèi)容如下：

1.經(jīng)驗不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探究過程.

方法.

3.理解三角形的外接圓，三角形的外心等概念.

V.課后作業(yè)

習題3.6

VI.活動與探究

如下圖，8所在的直線垂直平分線段AB.怎樣運用這樣的工

具找到圓形工件的圓心？

解：因為4、8兩點在圓上，所以圓心必與4、石兩點的間隔相

等，又因為與一條線段的兩個端點間隔相等的點在這條線段的垂直

平分線上，所以圓心在8所在的直線上.因此運用這樣的工具可以

作出圓形工件的隨意兩條直徑.它們的交點就是圓心.

板書設計

§3.4確定圓的條件

一、1.回憶及思索（投影片§3.4A）

2.做一做（投影片§3.4B）

3.過不在同一條直線上的三點作圓.

4.有關定義

二、課堂練習

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

直線與圓的位置關系

教學目的

（一）教學學問點

1.理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關系.

2.理解切線的概念，探究切線與過切點的直徑之間的關系.

（二）實力訓練要求

1.經(jīng)驗探究直線與圓位置關系的過程，培育學生的探究實力.

2.通過視察得出“圓心到直線的間隔d與半徑r的數(shù)量關系”

與“直線與圓的位置關系”的對應與等價，從而實現(xiàn)位置關系與數(shù)量

關系的互相轉(zhuǎn)化.

（三）情感與價值觀要求

通過探究直線與圓的位置關系的過程，體驗數(shù)學活動充溢著探究

與創(chuàng)建，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論確實定性.

在數(shù)學學習活動中獲得勝利的體驗，熬煉克制困難的意志，建立

自信念.

教學重點

經(jīng)驗探究直線與圓位置關系的過程.

理解直線與圓的三種位置關系.

理解切線的概念以及切線的性質(zhì).

教學難點

經(jīng)驗探究直線與圓的位置關系的過程，歸納總結(jié)出直線與圓的三

種位置關系.

探究圓的切線的性質(zhì).

教學方法

老師指導學生探究法.

教具打算

投影片三張：

第一張：（記作§3.5.1A）

第二張：（記作§3.5.1B）

第三張：（記作§3.5.1C）

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］我們在前面學過點與圓的位置關系，請大家回憶它們的位置

關系有哪些？

［生］圓是平面上到定點的間隔等于定長的全部點組成的圖形.即

圓上的點到圓心的間隔等于半徑；圓的內(nèi)部到圓心的間隔小于半

徑；圓的外部到圓心的間隔大于半徑.因此點與圓的位置關系有三

種，即點在圓上、點在圓內(nèi)與點在圓外.也可以把點與圓心的間隔與

半徑作比擬，若間隔大于半徑在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑

在圓內(nèi).

［師］本節(jié)課我們將類比地學習直線與圓的位置關系.

n.新課講解

1.復習點到直線的間隔的定義

［生］從已知點向已知直線作垂線，已知點與垂足之間的線段的長

度叫做這個點到這條直線的間隔.

如下圖，。為直線48外一點，從。向48引垂線，。為垂足，

則線段即為點。到直線力石的間隔.

2.探究直線與圓的三種位置關系

［師］直線與圓的位置關系，我們在現(xiàn)實生活中隨處可見，只要大

家留意視察，這樣的例子是很多的.如大家請看課本113頁，視察

圖中的三幅照片，地平線與太陽的位置關系怎樣？作一個圓，把直尺

的邊緣看成一條直線，固定圓，平移直尺，直線與圓有幾種位置關系？

［生】把太陽看作圓，地平線看作直線，則直線與圓有三種位置關

系；把直尺的邊緣看成一條直線，則直線與圓有三種位置關系.

［師］從上面的舉例中，大家能否得出結(jié)論，直線與圓的位置關系

有幾種呢？

［生］有三種位置關系：

［師］直線與圓有三種位置關系，如下圖：

它們分別是相交、相切、相離.

當直線與圓相切時（即直線與圓有唯一公共點），這條直線叫做圓

的切線.

當直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交.

當直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離.

因此，從直線與圓有公共點的個數(shù)可以斷定是哪一種位置關系，

你能總結(jié)嗎?

［生］當直線與圓有唯一公共點時，這時直線與圓相切；

當直線與圓有兩個公共點時，這時直線與圓相交；

當直線與圓沒有公共點時，這時直線與圓相離.

［師］能否依據(jù)點與圓的位置關系，點到圓心的間隔d與半徑r作

比擬，類似地推導出如何用點到直線的間隔d與半徑r之間的關系

來確定三種位置關系呢？

［生］如上圖中，圓心。到直線/的間隔為d,圓的半徑為r,當

直線與圓相交時，d<r,當直線與圓相切時，d=r,當直線與圓相離

時,d>r,因此可以用d與r間的大小關系斷定直線與圓的位置關系.

［師］由此可知：推斷直線與圓的位置關系有兩種方法.一種是從

直線與圓的公共點的個數(shù)來斷定;一種是用d與「的大小關系來斷定.

投影片(§3.5.1A)

(1)從公共點的個數(shù)來推斷：

直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共

點時，直線與圓相切；直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離.

(2)從點到直線的間隔d與半徑r的大小關系來推斷：

dvr時，直線與圓相交；d=r時，直線與圓相切；時，直

線與圓相離.

投影片(§3.5.1B)

［例1］已知母△26。的斜邊A0=8cm,ZC=4cm.

⑴以點。為圓心作圓，當半徑為多長時，與。。相切?

⑵以點。為圓心，分別以2cm與4cm的長為半徑作兩個圓，

這兩個圓與分別有怎樣的位置關系？

分析：依據(jù)d與門間的數(shù)量關系可知：d=r時相切；dvr時相

交；時相離.

解：(1)如上圖，過點。作月8的垂線段8.

AC=4cm,AB=8cm;.,.cosZ=任^=,，ZA=60°.

AB2

CZ?=^4C^in^4=4sin60°=273(cm).

因此，當半徑長為2gcm時，45與。。相切.

⑵由⑴可知，圓心。到的間隔d=26cm,

.?.當r=2cm時，d>r,。。與40相離；當r=4cm時，d<ry

。。與48相交.

3.議一議(投影片§3.5.1C)

(1)你能舉誕生活中直線與圓相交、相切、相離的實例嗎？

(2)上圖⑴中的三個圖形是軸對稱圖形嗎？

假如是，你能畫出它們的對稱軸嗎？

(3)如圖(2),直線8與。。相切于點力，直徑與直線8

有怎樣的位置關系？說一說你的理由.

對于(3),小穎與小亮都認為直徑40垂直于8.你同意他們的

觀點嗎？

［師］請大家發(fā)表自己的想法.

［生］(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圓，筷子看作直線，這時

直線與圓相交;

自行車的輪胎在地面上滾動，車輪為圓，地平線為直線，這時直

線與圓相切；

雜技團中騎自行車走鋼絲中的自行車車輪為圓，地平線為直線，

這時直線與圓相離.

(2)圖⑴中的三個圖形是軸對稱圖形.因為沿著d所在的直線折

疊，直線兩旁的局部都能完全重合.對稱軸是d所在的直線，即過圓

心。且與直線/垂直的直線.

(3)所謂兩條直線的位置關系，即為相交或平行，相交又分垂直與

斜交，直線8與0。相切于點直徑45與直線8垂直，因為

圖⑵是軸對稱圖形，是對稱軸，所以沿4石對折圖形時，與

力。重合，因此NA4C=N期。=90°.

［師］因為直線8與。。相切于點4,直徑48與直線8垂直，

直線8是。。的切線，因此有圓的切線垂直于過切點的直徑.

這是圓的切線的性質(zhì)，下面我們來證明這個結(jié)論.

在圖⑵中，AB與8要么垂直，