2023-2024學(xué)年重慶市部分學(xué)校高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2重慶市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知向量，則（）A.1 B.2 C.6 D.1或者2〖答案〗D〖解析〗由已知，又，所以，解得1或者2.故選：D.2.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，所以，所以.故選：B.3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.且 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，解得或，又，所以.故選：A.4.若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所?故選：A.5.如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：，由可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，到兩點(diǎn)的距離之和為2，而，所以點(diǎn)在線段上，故，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：D.6.在中，，則的最大角與最小角的和是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗結(jié)合，不妨設(shè)，，，根據(jù)大邊對(duì)大角可知：，由余弦定理可得：，又因?yàn)?，所以，所以，所以的最大角與最小角之和為.故選：C.7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，其共軛?fù)數(shù)為，虛部為.故選：B.8.在中，，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.三邊均不相等的三角形C.等邊三角形 D.等腰（非等邊）三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，，又，只有一解，不合題意；對(duì)于B，，又，則有兩解，符合題意；對(duì)于C，，則不存在，無(wú)解，不合題意；對(duì)于D，，又，則有兩解，符合題意.故選：BD.10.銳角三角形的內(nèi)角分別是A，B，C，.則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，函數(shù)在上單增，且，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，因?yàn)殇J角三角形，可得，則，因?yàn)椋?，又在上單調(diào)遞增，所以，同理可得，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；則可得，且；易知；所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，為定值，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長(zhǎng)和半徑的式子，即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，為定值，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在中，，，，且O是的外心，則______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則在方向上的投影向量為，因?yàn)闉榈耐庑?，所以，所?故〖答案〗為：.13.若滿足條件，，的有兩個(gè)，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理得：，因有兩解，即給定x值，由求出的角B有兩個(gè)，它們互補(bǔ)，當(dāng)時(shí)，，角B唯一確定，只有一解，則，即有，而當(dāng)時(shí)，是直角三角形，只有一解，有兩解，則必有，即，有，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根記為，則__________.〖答案〗〖解析〗由韋達(dá)定理可得，，故.故〖答案〗為：.四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知向量與夾角為60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由題設(shè)，則（2）由，所以.16.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)橄蛄?，且，所以，由正弦定理可知：，又，所以，所以，則，又，所以.（2）因?yàn)?，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面積為.17.在中，.（1）求的大小；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理可得，所以，又，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍?18.如圖，已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．（1）求的值；（2）求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．解：（1）延長(zhǎng)交與，由是正三角形的中心，得為的中點(diǎn)，則，由，，得，又三點(diǎn)共線，所以，即．（2）是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則，，由，則，，，解得，，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，邊上的中線長(zhǎng)為6.（1）若，求；（2）求面積的最大值.解：（1）由有，故，由正弦定理可得，故，即，又，故，若，則，故，則為直角三角形，設(shè)，則，則，解得，故.（2）由（1）可得，則，設(shè)，則，由余弦定理可得，即，由可得，故，故，當(dāng)時(shí)取得最大值，為.重慶市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知向量，則（）A.1 B.2 C.6 D.1或者2〖答案〗D〖解析〗由已知，又，所以，解得1或者2.故選：D.2.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，所以，所以.故選：B.3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.且 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，解得或，又，所以.故選：A.4.若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所?故選：A.5.如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：，由可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，到兩點(diǎn)的距離之和為2，而，所以點(diǎn)在線段上，故，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：D.6.在中，，則的最大角與最小角的和是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗結(jié)合，不妨設(shè)，，，根據(jù)大邊對(duì)大角可知：，由余弦定理可得：，又因?yàn)?，所以，所以，所以的最大角與最小角之和為.故選：C.7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，其共軛?fù)數(shù)為，虛部為.故選：B.8.在中，，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.三邊均不相等的三角形C.等邊三角形 D.等腰（非等邊）三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.滿足下列條件的三角形有兩個(gè)解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，，又，只有一解，不合題意；對(duì)于B，，又，則有兩解，符合題意；對(duì)于C，，則不存在，無(wú)解，不合題意；對(duì)于D，，又，則有兩解，符合題意.故選：BD.10.銳角三角形的內(nèi)角分別是A，B，C，.則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，函數(shù)在上單增，且，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，因?yàn)殇J角三角形，可得，則，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，同理可得，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；則可得，且；易知；所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，為定值，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長(zhǎng)和半徑的式子，即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，為定值，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在中，，，，且O是的外心，則______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則在方向上的投影向量為，因?yàn)闉榈耐庑模?，所?故〖答案〗為：.13.若滿足條件，，的有兩個(gè)，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理得：，因有兩解，即給定x值，由求出的角B有兩個(gè)，它們互補(bǔ)，當(dāng)時(shí)，，角B唯一確定，只有一解，則，即有，而當(dāng)時(shí)，是直角三角形，只有一解，有兩解，則必有，即，有，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根記為，則__________.〖答案〗〖解析〗由韋達(dá)定理可得，，故.故〖答案〗為：.四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知向量與夾角為60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由題設(shè)，則（2）由，所以.16.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)橄蛄?，且，所以，由正弦定理可知：，又，所以，所以，則，又，所以.（2）因?yàn)?，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面積為.17.在中，.（1）求的大?。唬?）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理可得，所以，又，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍?18.如圖，已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．（1）求的值；（2）求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．解：（1）延長(zhǎng)交與，