2023年屆新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題06染色問題含解析

20236染色問題1.如以下圖的幾何體由三棱錐尸-力與三棱柱4qG組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的外表涂色〔底面44G不涂色〕，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有〔 〕A.6種C.12種

B.9種D.36種例2.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4B,C,D,E,F,G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有〔 〕A.192種 B.336種 C.600種 D.624種例3.6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有〔〕A.720種 B.1440種 C.2880種 D.的20種例4.將5種不同的花卉種植在如以下圖的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是〔 〕.22/D、A.420 B.180 C.64 D.25例5.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如以下圖的5塊區(qū)域力、B、C、D、E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法〔 〕A.120種 B.720種 C.840種 D.960種例6.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi),且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有〔 〕.A.40320種 B.5040種 C.20230種 D.2520種7.如以下圖，將四棱錐S-/4灰刀的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，假設(shè)只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為〔 〕A.240 B.360 C.420 D.960例8.如以下圖，將33x33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.假設(shè)相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為〔〕56 C.64 D.78例9.如圖給三棱柱的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.例10.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個局部進(jìn)展著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法例11.如以下圖的五個區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂?種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為.例12.從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如以下圖的六個相連的圓涂色，假設(shè)每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能一樣，則不同的涂色方案的種數(shù)是.34oooooo55個局部種植花，要求相鄰兩局部種植不同顏色的花，4種顏色不同的花，則不同的種植方法有種例14.現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個局部進(jìn)展著色，要求有公共邊的兩塊不能用同?種顏色,不同的涂色方法有種.15.53個涂紅色，2個涂黃色，假設(shè)恰有兩個相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種〔用數(shù)字作答〕.例16.四色猜測是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜測的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個區(qū)域，每個區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇〔四種顏色不愿定用完〕，則滿足四色猜測的不同涂色種數(shù)為17.1,2,3,4,5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域〔有公共邊〕的顏色不同，則不同的染色方法有種2例18.某城市在中心廣場建筑一個花圃，花闞分為6個局部.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.〔用數(shù)字作答〕19.4B,C,D,E尸六個區(qū)域進(jìn)展染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.假設(shè)有4種顏色可供選擇，則共有一種不同的染色方案.例20.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色〔4種顏色全部使用〕,要求每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂一樣的顏色，則不同的涂色方法有種.〔用數(shù)字作答〕例21.給如圖染色，滿足條件每個小方格染?種顏色，有公共邊的小方格顏色不能一樣，則用4種顏色染色的方案有_5種顏色染色的方案共有_種.例22.如圖，用四種不同的顏色給三棱柱48C-48”C”的六個頂點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂?種顏色.假設(shè)每個底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不一樣，則不同的涂色方法共有種；假設(shè)每條棱的兩個端點(diǎn)涂不同的6染色問題例1.如以下圖的幾何體由三棱錐尸-48c與三棱柱48C-4qG組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個兒何體的外表涂色〔底面431cl不涂色〕，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有〔 A.6種 B.9種C.12種 D.36種【解析】先涂三棱錐尸一力8c的三個側(cè)面，有C；C；C：=6種狀況，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有C；C：C；=2種情6x2=12種不同的涂法.應(yīng)選：C.例2.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4B,C,D,E,F,G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有〔 〕A.192種 B.336種 C.600種 D.624種【解析】EF,G4,3,2種涂法，當(dāng)力與尸一樣時，力有1種涂色方法，此時/有2種涂色方法，①假設(shè)。與尸一樣，則。有13種涂色方法；2種涂色方法.4x3x2x1x2x0x3+1x2)=240種涂色方法.G一樣時，/1種涂色方法，①假設(shè)。與尸一樣，則。有122種涂色方法；C2821種涂色方法.4x3x2xlx(lx2x2+2x2x1)=192種涂色方法.當(dāng)月既不同于下又不同于G時、再有1種涂色方法.8與尸一樣，則。與月一樣時，。有2種涂色方法，。與/不同時，。和。均只有1種涂色方法；881種涂色方法，C12種涂色方法；(力)假設(shè)。與尸不同，則必與力一樣，。有1種涂色方法，此時。有2種涂色方法.故此時共有4x3x2xlxlx[(lx2lxl)4-lx(lx2lx2)168種涂色方法.240+192+168=600種涂色方法.應(yīng)選：C.例3.現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有( )A.720種【解析】

B.1440種 C.2880種 D.4320種依據(jù)題意分步完成任務(wù)：3616種不同方法；131515種不同方法；43、12414種不同方法;23、1、43313種不同方法；51、22414種不同方法;61、2、53313種不同方法；所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320種.應(yīng)選：D.例4.將5種不同的花卉種植在如以下圖的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是〔 〕.A.420【解析】

B.180 C.64 D.25由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)展區(qū)域/5種涂法，84種涂法，A,325x4x3x2=120種，/135x4x3=60種，180種不同的涂色方案.應(yīng)選：B.例5.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如以下圖的5塊區(qū)域/、B、。、D、E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法〔 〕A.120種【解析】

B.720種 C.840種 D.960種5種顏色可選，84種顏色可選，。有3種顏色可選，假設(shè)。同色，E4種顏色可選；CB同色，E4種顏色可選；假設(shè)C與A、4都不同色，則。有2種顏色可選，此時E4種顏色可選，故共有5x4x3x(4+4+2x4)=960種.5種顏色時，有4=120種涂色方法；4ZC,BC,AE,BE,5H=600共有44=240種涂色方法，120+600+240=960種涂色方法.應(yīng)選：D.例6.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有( ).A.40320種 B.5040種 C.20230種 D.2520種【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，有C=7種方法,再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，共有4種方法，由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次,7乂屋所以不同的涂色方法，共有二區(qū)=2520種不同的涂法.2應(yīng)選：D.例7.如以下圖，將四棱錐SXASD的每?個頂點(diǎn)染上?種顏色，并使同?條棱上的兩端異色，假設(shè)只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為〔 〕A.240 B.360 C.420 D.960【解析】由題設(shè)，四棱錐S/8Q?的頂點(diǎn)S、月、8所染的顏色互不一樣，它們共有5x4x3=60種染色方法.51,2,3,4,5,S、4、81、2、3,2,345,3種染法；4,35,25,34,2種染法.S、48已染好時，C.7種染法，故不同的染色方法有60x7=420〔種〕.應(yīng)選：C例8.如以下圖，將33x33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.假設(shè)相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為〔〕A.33 B.56 C.64 D.78【解析】1011記分隔邊的條數(shù)為L,首先將方格依據(jù)按圖分三個區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊,11111156條分隔邊，即￡=56,其次證明：￡>56,將將方格的行從上至下依次記為4,4,…,％3,列從左至右依次記為瓦，鳥，…鳥3,行4中方格〔4〕,列與中方格消滅的顏色個數(shù)記為“BJ,三種顏色分別記為對于一種顏色,，設(shè)〃值〕J4J色方格時，=否則5〔4，引=。類似的定義所以〕〕+b〔B,S〕］=〔j〕，i=! i=l/=1 〕j=\由于染c,色的格有;x33?=363個，設(shè)含有J色方格的行有〃個，列有6個，則勺色的方格確定再這個。b列的穿插方格中，從而ab363，所以〃〔cj=々+方>2y/ab2J36338=>n〔cj〕>39〔j=1,2,3〕①，由于在行4中有〃〔4〕種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，類似的，在列印中有〃〔4〕種顏色的方格，于是至少有〃〔與〕-1條分隔邊，則八233〃4〕一

￡〔瓦〕T〕=3〔〃〔4+〃〔瓦〕卜66②r=l /=1 /=IZr=l /=1 /=IJ=I

〔 CJ-66③下面分兩種情形爭論，⑴有一行或一列全部方格同色,G33GJ36311q色方格，于是“4)211+3344④由①③④得八〃億)+“°2)+〃同-66244+39+39-66=56,⑵沒有一行也沒有一列的全部方格同色，則對任意1</<33均有〃(4“2,〃(與)N2,從而，由式②知：33L>^(/?(^)+//(5.))-66>33x4-66=66>56,?=i綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.應(yīng)選：B.例9.如圖給三棱柱48。-。斯的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.【解析】首先先給頂點(diǎn)4鳳。染色，有彳=24種方法，再給頂點(diǎn)。染色，①假設(shè)它和點(diǎn)3染同一種顏色，點(diǎn)E和點(diǎn)。染一樣2種方法，假設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)。染不同顏色，則點(diǎn)E有21種方法,則的染色方法一2+2xl=431種方法，點(diǎn)￡C顏色E111種方法；假設(shè)最終后與。一樣，則歹有2種方法，則共有2種方法；點(diǎn)。與點(diǎn)。顏色一樣，則點(diǎn)。有1種方法，則點(diǎn)￡2種方法，則點(diǎn)尸有22x2=4種B1+2+4=7種方法,所以點(diǎn)D,E,F4+7=1124x11=264種方法.故答案為：264例10.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個局部進(jìn)展著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法先排1,有5 種方法;n,iv,in11,1V4x45x4x4=80種.U,IV4x3x35x4x3x3=180種.80+180=260L故答案為：260例11.如以下圖的五個區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為.【解析】分三種狀況:用四種顏色涂色，有團(tuán)=24種涂法；用三種顏色涂色，有2團(tuán)=48種涂法;用兩種顏色涂色，有4=12種涂法；24+48+12=84.故答案為：84例12.從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如以下圖的六個相連的圓涂色，假設(shè)每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能一樣，則不同的涂色方案的種數(shù)是.OOOCXDO【解析】從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色有4種選法.由于每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能一樣，分兩類：一類是，前三個圓用3種顏色，有團(tuán)=6種方法，后3個圓也有3種顏色，有C；C；=4種方法，此時不同6x4=24方法；3232C；C；=6方法.4x(24+6)=120種方法.故答案為：120例13.如圖一個正方形花圃被分成5份.假設(shè)給這5個局部種植花，要求相鄰兩局部種植不同顏色的花，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花, 則不同的種植方法有【解E局部種植，有4種不同的種植方法;4局部種植，又3種不同的種植方法;對。局部種植進(jìn)展分類:42種不同的種植方法,B24x3x2x2=48(種),42種不同的種植方法,1種不同的種植方法，81種不同的種植方法,4x3x2x1x1=24〔種〕72種種植方法.故答案為：72.例14.現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個局部進(jìn)展著色，要求有公共邊的兩塊不能用同?種顏色,不同的涂色方法有種.1415【解析】依題意，I、II、IH區(qū)域有共同邊顏色互不一樣，I、II、III、IV挨次著色，則區(qū)域I5種著色方法，n4III3種著色方法，IVII、III相鄰，因此區(qū)域IV3種著色方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法種數(shù)為5x4x3x3=180.故答案為：180例15.現(xiàn)將如以下圖的5個小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中3個涂紅色，2個涂黃色，假設(shè)恰有兩個相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種〔用數(shù)字作答〕.【解析】當(dāng)涂紅色兩個相鄰的小正方形在兩端時是有4 片=4,當(dāng)涂紅色兩個相鄰的小正方形在不在兩端時是有4；=2,4+2=6種.故答案為：6.例16.四色猜測是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜測的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個區(qū)域，每個區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇〔四種顏色不愿定用完〕，則滿足四色猜測的不同涂色種數(shù)為【解析】設(shè)五個區(qū)域分別為43,C,2E,依題意由公共邊的兩個區(qū)域顏色不同，用四種顏色進(jìn)展涂色則有兩個區(qū)域顏色一樣，4C,AE,8E同色，有涂色方法3團(tuán)=72；或用三種顏色涂色，則有2組顏色同色，C同色，8E同色，有涂色方法彳=24,依據(jù)分類加法原理，共有涂色方法72+24=96.故答案為：96.例17.如圖，將標(biāo)號為1,2,3,4,5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的?種，使得相鄰區(qū)域〔有公共邊〕的顏色不同，則不同的染色方法有種【解析】對于],有三種顏色可以安排；23顏色一樣，有兩種安排方法，4有兩種安排，53x2x2x1=12；232有兩種，352一樣時，4524有一種，此時共有3x[2x(2+l)]=18,12+18=30種染色方法.故答案為：30.例18.某城市在中心廣場建筑一個花圃，花圃分為6個局部.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.(用數(shù)字作答)由題意，6個局部.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色一樣的花，2、53、64、6同色，2工=48種栽種方法；2、43、6同色，m=24種栽種方法；3、52、44、6同色，2團(tuán)=48種栽種方法；48+24+48=120種栽種方法.故答案為：120例19.給圖中力，B,GD,E尸六個區(qū)域進(jìn)展染色，每個區(qū)域只染?種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.假設(shè)有4種顏色可供選擇，則共有一種不同的染色方案.【解析】解：要完成給圖中4、B、C、D、E、尸六個區(qū)域