九年級數(shù)學(xué)競賽講(寒假用)

九年級數(shù)學(xué)競賽專題講座

一一二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

—、內(nèi)容概述二次函數(shù)有豐富的內(nèi)容，下面從四個方面加以總結(jié)

1.定義：

形如函數(shù)y=GX2+bx+c[a豐0）稱為二次函數(shù)，對實際問題二次函數(shù)也有定義域.

2.圖像

二次函數(shù)的圖像為拋物線，一般作二次函數(shù)圖像，取五個點，先確定頂點的橫坐標(biāo)，再以它為中心向

左、向右對稱取點.

3.性質(zhì)

對y=ax2+bx+c(aw0)的圖像來講,

（1）開口方向：當(dāng)〃>0時，拋物線開口向上；當(dāng)〃<0時，拋物線開口向下。

（2）對稱軸方程：x=~—

2a

h4ac-b2

（3）頂點坐標(biāo):2a"4a-,

（4）拋物線與坐標(biāo)軸的交點情況:

若4〃c<0,則拋物線與x軸沒有交點；若/一4〃。=0,則拋物線與x軸有一個交點;

若4ac>0,則拋物線與x軸有兩個交點，分別為（士亞三l,o）,產(chǎn)"ic,o）；

2a2a

另外，拋物線與y軸的交點為（0,c）.

-Z?-VA-/?+VA_VA

（5）拋物線在x軸上截出的距離為:

2a2a同

（6）y與x的增減關(guān)系：

b

當(dāng)。>0,X>----忖，y隨x的增大而增大，X<——時,y隨x的增大而減小;

2a2a

bb

當(dāng)。<0,x>-時--，-y隨x的增大而減小，x<----時，y隨x的增大而增大.

2a2a

（7）最值:

_4ac-h2

乂4-、CHd-h

/UHJ，y有最小值，當(dāng)％=時，J最小值

2a4a

b4ac-b2

當(dāng)a<0時，y有最大值，當(dāng)％=時，）最大值

2a4a

（8）若拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為々（玉<々），則:

當(dāng)。>0時，時，y<0：x<X]或x>x2時，y>0：

當(dāng)。<0時，時，y>0；》<玉或3>々時，y<0.

4.求解析式

拋物線的解析式常用的有三種形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（?0）

（2）頂點式：y^a（x-h）2+k（a^0）,其中（人,6是拋物線的頂點坐標(biāo)。

（3）交點式：y=。。一芯）（工一》2）（。70）,交點式只在拋物線與x軸有交點時才用到，式中王、々是

拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)。

解題時，視情況利需要，一般選用這三種形式中的一種或兩種就可以了。

二、例題解析

例1設(shè)拋物線為＞=/-履+女-1,根據(jù)下列各條件，求人的值。

(1)拋物線的頂點在X軸上；

(2)拋物線的頂點在y軸上；

(3)拋物線的頂點(—1,—2)；

(4)拋物線經(jīng)過原點；

(5)當(dāng)x=l時，y有最小值；

(6)y的最小值為-1.

解：(1)k=2；(2)k=0；(3)k——I；(4)k=1；(5)k——2；(6)女=0或女=4

2

例2設(shè)直線y=履+b與拋物線y=ax的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為玉和x2,且直線與x軸交點的橫

坐標(biāo)為》3，求證：——I---=一.

%x2x3

解：山題意得王和々為方程履+b=ax?的兩個根，即ax?-履一6=0,

.kb

.?Xj+%2=—，玉/=---

aa

.1+1_%+々_k

x{x2xxx2h

直線與X軸交點的橫坐標(biāo)為：x3—

bx3kx}x2x3

例3二次函數(shù)y+》x+c,當(dāng)x時，有最大值25,而方程ax?+bx+c=0的兩根a、0,

滿足〃+/3=19,求a、b、co

解：設(shè)二次函數(shù)y=〃(x—/02+-Qw0),

?.?當(dāng)x=；時，有最大值25,即：頂點為(g,25]

y—ci(x—)~+25=cix~—cix+—ci4-25

24

由已知得：62一以+24+25=0的兩根為a、/?,滿足。3+夕=19

4

??.(a+〃)[(a+/J)?-3a0=19

根據(jù)兩根之和與兩根之積的關(guān)系解得。=-4

y=-4x2+4x+24,即。=-4,/?=4,c=24.

例4證明：無論。取任何實數(shù)值時，拋物線丁=/+(〃+1)尤+^。+；是通過一個定點，而且這些拋

物線的頂點都在一條確定的拋物線上。

111111

證明：)，=—9+(〃+1)/+_〃+_=9+x+_+〃(x+_)-(x+—)92+a(x+—)

244222

當(dāng)工=一;時，a(x+；)=0,y=0

即無論a取任何實數(shù)時，已知拋物線總通過點

T72/1\11IQ+12

又y=r+（〃+1）冗+—。+—=x+------——a

24、2y4

故拋物線的頂點坐標(biāo)為1-，，-;1）

Q+1

戶一個1

即《，消去a得，y=—（x+—>

y=--a22

I4

這條曲線是一條拋物線，即原拋物線的頂點都在一條確定的拋物線上.

例5已知拋物線卜=辦2+/+03>0）過（0,4）,（2,-2）兩點，若拋物線在x軸上截得的線段最短

時，求這時的拋物線解析式。

解：；拋物線過（0,4）,（2,—2）兩點，.?.代入解析式得6=—24—3,0=4

所以y=62+bx+c=ax?-（2a+3）x+4

42aT一16。

...此拋物線在x軸上截得的線段長可表示為

1?1

???當(dāng)一1=---4----=—2,即。=二9時，拋物線在x軸上截得的線段最短，將。==9代入。=一2〃一3,得

a2x9922

9

b=-U二拋物線的解析式是y=]x2-i2x+4

例6如果二次函數(shù)），="2+法+。的圖像的頂點坐標(biāo)是（2,4）,且直線y=x+4依次與y軸和拋物

線相交于P、Q、R三點，PQ:QR=1:3,求這個二次函數(shù)解析式。

解：???圖像的頂點坐標(biāo)是（2,4）,所以可設(shè)y=a（x—2>+4（1）

P點的坐標(biāo)是（0,4）,設(shè)Q、R點的坐標(biāo)為（x”yj和（％2，%），則到=玉+4,y2=x2+4

「22

|PQ|="（X0）2+（M—J=收+x：=&㈤，歸用=7（x2-0）+（y2-4）=8昆|

：PQ:QR=1:3且P在QR之處，，PQ:PR=PQ:（PQ+QR）=1:4

即拒卜1J:亞|引=1:4,/.|X2|=4|X1|（2）

又飛,々是拋物線與直線交點的橫坐標(biāo)

?*.a（x—2）~+4=x+4,cix~一4（4a+l）x+4a0

?/24。4-1

??a(尤-------x+4)=0

a

%?工2=4(3)

由韋達(dá)定理，得《4。+1由（3）得，%,九2同號，再由（2），得％2=4w

玉+工2=-------(4)

a

22

玉=±l,x2=±4,從（4）得〃=1或。=y=x-4x+8或y=-^x

例7—知：拋物線y=-犬+px+q交工軸于點A、B,交y軸于點C,XZACB=90°,tanZCAO—

tanZCB0=2.（1）求拋物線的解析式。

（2）設(shè)平行于x軸的直線交拋物線于點M、N,是否存在以MN為直徑且與x軸相切的圓？如果不存

在，說明理由；如果存在，求出圓的半徑。

分析：（1）欲求拋物線的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q與方程一一px—q=0的兩根有聯(lián)系,

另一方面q等于線段OC的長，而。。2=|。川?|0同,且|。川、|。耳又是方程一一〃工一夕=（）的兩根的絕

對值，這就使p與q能建立聯(lián)系，從中求出p、q；

（2）本例是存在型問題，如果存在滿足題設(shè)條件的圓，從圖形直觀看出；圓心必定在拋物線的對稱軸

上，且半徑是圓心的縱坐標(biāo)的絕對值。

解（1）設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為和％，則和％?是方程x2-px-q=0的兩個根，且玉<0<X2,

%+Z=P，x\x2=-q<0

???在R3ABC中,0C為斜邊AB上的高,

2

0C—|0A|JOBl=\x}x2\=q

又OC2=q'q，=q

因為拋物線不經(jīng)過原點，??.qwO,故q=l

由三角函數(shù)的定義和大<0<%，易得：

OC

tanZCA0=-----tanZCB0=-----=-------

AO玉BOx2

由題設(shè)，得-----—=-%1+=2,則%+12=—2%X2

x}x2x}x2

?；X,4-x2=p,x]x2=-q=-T.'.p=2

故拋物線得解析式為y=-犬+2]+1

（2）設(shè)點M、N的坐標(biāo)為（當(dāng)j）,（九4/）,則X3M4是方程r=-x2+2x+l,即―1+2x+/?-1=0的

兩個根。

/.芻+%4=2,x3x4=r-1

了

：.\MN\=\X3-X4\="(X3+X4=)4-4(r-1)=2j2-r

?.?圓與x軸相切（假設(shè)圓存在）.-.1|W|=|r|,即萬7=卜|

解方程得：4=1或々=一2.?.所求圓的半徑為1或2.

說明：本例是代數(shù)、三角、幾何的綜合題，涉及二次函數(shù)、方程、三角函數(shù)和Rt△等多方面的知識.

訓(xùn)練題

1.二次函數(shù)？=。-2）（2》+1）圖像拋物線的頂點坐標(biāo)是,對稱軸方程,與x軸交

點坐標(biāo),與y軸交點坐標(biāo)：當(dāng)了=時，y的最值等于,當(dāng)

x時，y隨x增大而減??；當(dāng)時，y>0；當(dāng)_________時，y<0?

2.函數(shù)>=（m一2）//-3，"-3是X的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，則機=。

)

8.已知：二次函數(shù)y=(2〃?-1)/一(5〃?+3)x+3〃?+5

(1)機為何值時，此拋物線必與x軸相交于兩個不同的點;

(2)機為何值時，這兩個交點再原點的左右兩邊；

(3)機為何值時，此拋物線的對稱軸是y軸;

(4)機為何值忖，這個二次函數(shù)有最大值--.

4

9.已知:二次函數(shù)y=2x2-4mx+m2的圖像與x軸有兩個交點A、B,頂點為C,若4ABC的面積為40,

求〃？的值。

10.已知拋物線y=ax?+bx+c(aw0)經(jīng)過點A(l,0),對稱軸方程是x=3,頂點為B,直線y=Ax+〃z

經(jīng)過A、B兩點，它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2,求一次函數(shù)》=日+機和二次函數(shù))?=。/+云+。

的解析式。

11.拋物線^=62+為：+￡1(。00)的圖像如圖所示：

(1)判斷a,4c/2—4ac的符號;

(2)當(dāng)|0川=|。同時，求a,仇c滿足的關(guān)系。

12.如圖，頂點坐標(biāo)為(1,9)的拋物線交x軸于點A(—2,0)、

B兩點，交y軸于點C,過A、B、C三點的。。'交y軸于

另一點D,交拋物線于另一點P,過原點O且垂直于AD的直

線交AD于點H,交BC于點G。

(1)求拋物線的解析式和點G的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線x=〃z交拋物線于點E,交直線OG于點F,

是否存在實數(shù)m,使G、P、E、F為一個平行四邊形的四個頂

點？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，請說明理由。

-一二次函數(shù)的最值問題

一、內(nèi)容概述

對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(awO),若自變量為任意實數(shù)，則取最值情況為:

,八w八b.4ac-b2

(1)當(dāng)。>0/=一五時，，y最小值二?——

,、、“八bI4ac-h2

(2)idf<0,x=~—EI'J,y最大值=———

若自變量X的取值范圍為a4x4￡(aw￡),則取最值分?！?和a<0兩種情況，由a、￡與—2

2a

的大小關(guān)系確定。

1.對于a〉0：

b

(1)當(dāng)----，因為對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，所以y的最大值為y(a),最小值為

2a

y(/?)o這里y(a)、y(B)分別是y在x=a與x時的函數(shù)值。

b

(2)當(dāng)——<?</?,因為對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，所以y的最大值為)，(/),最小值為

2a

y(a)。

b

(3)當(dāng)—</?,y的最大值為y(a)、y(￡)中較大者,y的最小值為y(---).

2a2a

2.對于〃<0

b

(1)當(dāng)。</<——,y的最大值為y(/?),最小值為y(a)。

2a

(2)當(dāng)—<a</3,y的最大值為y(a),最小值為y(夕)。

2a

bh

(3)當(dāng)——<p,y的最小值為y(a)、y(〃)中較大者,y的最大值為y(---).

2a2a

y(￡)、y(-^-)

綜上所述，求函數(shù)的最大、最小值，需比較三個函數(shù)值：y(a)、

2a

二、例題解析

例1已知和X2是方程--(4-2)%+(k2+34+5)=0的兩個實數(shù)根，求K+x??的最大值和最小

值。

4

解：由于題給出的二次方程有實根，所以AN0,解得—4m女4一一

3

y=xj+x2=(X]+Xj)~—2X]X,—_k~_10k_6

4

函數(shù)y在—4WkW隨著人的增大而減小

450

,當(dāng)人=一4時，y最大值=8；當(dāng)人=一餐時，y最小值=石

例2(1)求函數(shù)^=卜2-4卜3%在區(qū)間-24》45中的最大值和最小值。

(2)已知：且2x+y=l,求2/+i6x+3y2的最小值。

3225

解⑴若/一420,即國22,則y=f-3x-4Ay=(x-1)-y

若d-440,即2,則y=-x2-3x+4/.y=-(x+-^)2+~

由此在—2KxK5畫出草圖

3225

Ay=(x__)__(24x45),當(dāng)x=5時，y最大值=6；當(dāng)x=2時，y最小值=-6

325325

對>=—“+牙+市(—24x42),當(dāng)％=時，y最大值=彳；x=2時，y最小值=-6

325

綜上所述，x=2時，y最小值=一6；當(dāng)x=-2時，y最大值=w

1-V

(2)由2x+y=1得x=—,y=\-2x

由|y|Wl得一14x41故04x41

11Q

Az=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3=14(x+-)2+y

1191

Z為開口向上，對稱軸為x=——的拋物線，雖然有最小值一，但x=——不在04x<1的范圍內(nèi)，

777

因此不是所求的最值。

又x=0時，z=3；x=1時，z=21

...所求的最小值為3

例3有兩條拋物線y=x2-3x,y=-x2+9,通過點PQ,0)且平行于y軸的直線，分別交這兩條拋

物線于點A和B,當(dāng)『在0到3的范圍內(nèi)變化時，求線段AB的最大值。

解：：A和B的縱坐標(biāo)分別為「一3f，-產(chǎn)+9,

38]

AB=(-r+9)-(r-3t)=-2t2+3t+9=-2(r-^)2+y

...當(dāng)f==時，線段A8取得最大值—

48

,,11

例4已知二次函數(shù)y=—9——6以一/+2a有最大值一3,求實數(shù)。的值。

分析：本題是關(guān)于二次函數(shù)最值的“逆向問題”，由題設(shè)知，二次函數(shù)y=—9f-6ax—/+2。的對

稱軸是x=-2,而x的取值范圍是所以要對-幺是否在x的取值范圍內(nèi)討論求解。

3333

解：(1)若一;4—即一14。41,拋物線開口向下，當(dāng)x=—三時，y最大他=2。

3

???二次函數(shù)最大值一3,即。二一一與矛盾，舍去。

2

(2)若一區(qū)<一,,即a>l

33

當(dāng)時，y隨x增大而減小，當(dāng)彳=-；時，y最大值=-/+4。-1,

由一/+4a—1=—3,解得-a=2±V6又a>1,/.a=2+V6

(3)若一1〉g,即a<—1當(dāng)一;Wxvgfl寸，y隨x增大而增大，當(dāng)x=；時、>最大值=一/—1,

由—a2—1=—3,解得a=+V2

又a<-19*>*a-—\/2

綜上所述，。=2+"或。=一行

xY0

例5在坐標(biāo)平面匕縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，試在二次函數(shù))，=上-」~+二的圖像

10105

上找出滿足的所有整點(x,y),并說明理由。

.??x~—x+18II

解：「yWlM，即---------<|x|

AX2-X+18<10|X|①

當(dāng)xNO時，①式即為X2—X+18410X,解得2VXW9

此時，滿足條件的點有(2,2),(4,3),(7,6),(9,9)

當(dāng)x<0時，X2-X+18<-10X,解得—64x4—3

此時滿足條件的點有(-6,6),(-3,3)

綜上所述，滿足條件的整點，共有6個。

3工2+6_￥+5

例6求分式；」的最小值

—x2+X+1

2

解：令干+6x+5=6_^_j——，問題轉(zhuǎn)化為考慮函數(shù)2=/+2%+2的最小值。

"x+lx+2x+2

2

：z=x?+2x+2=(x+l)?+1，當(dāng)x=-l時，zmiil=1,ymin=4

例7已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖)，其中AF=2,BF=1.試在AB上

求一點P，使矩形PNDM有最大面積。

解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面積S=xy,2<x<4

.口/NP~BCBF口y—31

易B知CN=4—x,EM=4—y,且有--------=----，即-----=-E

CNAF4-x2

11M

==0

所以1y二——x+5?Sxy——+5x,2<x<4

所有根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=4時S111ax=12

二次函數(shù)的最值問題訓(xùn)練題例7

1.填空

(1)已知函數(shù)y=+x+；(04xK3),當(dāng)》=時，y取最大值是；當(dāng)

x=時，y取最小值是.

2

(2)已知拋物線y-ax+bx+c(aW0)的開口向上，對稱軸是直線x=2,當(dāng)玉=0,工2=V3,x3=3,

對應(yīng)的值y分別是%、為、％，則M、%、%的大小關(guān)系是.

(3)函數(shù)y=2——x-%2(0<x<4)的最大值與最小值分別是.

(4)已知二次函數(shù)y=/+2x+a(0<x<l)的最大值是3,那么。的值為.

2.設(shè)x為正整數(shù)，則函數(shù)y=/—x+J?的最小值是多少？

X

3.已知：OWxWl,函數(shù)y=-+?的最小值為〃？，試求加的最大值。

4.對于任意實數(shù)X,不等式fc?一履一i<o恒成立，求上的取值范圍。

5.如圖，半徑為1的半圓內(nèi)接等腰梯形，其下底是半圓的直徑，試求：

（1）它的周長y與腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量尤的取值范圍

（2）當(dāng)腰長為何值時，周長有最大值？這個最大值為多少？

6.已知實數(shù)a、匕滿足等式（a—2）?+〃=3,求:2的最大值和最小值。

a

7.已知：方程/一2（k—l）x+2/—124+17=0,兩根為％、x2,求x；+々2的最大值與最小值，并求

此時方程的根。

8.根據(jù)某服裝店統(tǒng)計，服裝價格每提高3%,出售服裝的件數(shù)就要降低2%,設(shè)某種服裝提價x%,結(jié)果

每天的經(jīng)營收入（價格X出售價數(shù)）為原來的y倍，

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系；

（2）要使經(jīng)營收入不降低，x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

（3）當(dāng)x是什么值時，能使經(jīng)營收入最多？

Y~+9/7Y4-1

9.求函數(shù)》=L的最值。

x2+2bx+\

圓的基本性質(zhì)

到定點（圓心）等于定長（半徑）的點的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進程

中打下深深的烙印.

圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓

的對稱性，圓既是一個軸對稱圖形，又是一中心對稱圖形.用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意：

1.熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明；

2.了解弧的特性及中介作用；

3.善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論：

【例題求解】

【例1】在半徑為1的。O中，弦AB、AC的長分別為百和近，則NBAC度數(shù)為.

思路點撥作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系.

注：由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓

弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結(jié)合起來.

圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性.

［例2］如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為()

A.V2

思路點撥所作最小圓圓心應(yīng)在對稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點，

通過設(shè)未知數(shù)求解.

【例3】如圖，己知點A、B、C、D順次在。0上，AB=B￡),BM_LAC于M,求AM=DC+CM.

思路點撥用截長(截AM)或補短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使

不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它.

【例4】如圖甲，。0的直徑為AB,過半徑0A的中點G作弦CELAB,在&上取一點D,

分別作直線CD、ED,交直線AB于點EM.

⑴求NCOA和NFDM的度數(shù)；(2)求證：△FDMs/iCOM；

(3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點，點D改取在&匕仍作直線CD、ED,分別交直

線AB于點F、M,試判斷:此時是否有△FDMsaCOM?。C

證明你的結(jié)論.

思路點撥⑴在Rt△COG中，利用

(2)證明/COM=NFDM,ZCMO=ZFMD；

(3)利用圖甲的啟示思考.

注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直

線形相合起來，認(rèn)識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時常用到直線形的

知識與方法(主要是指全等與相似).

【例5】已知：在AABC中，AD為NBAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于

點E,交AD于點F,交AE于點M,月./B=NCAE,EF：FD=4：3.

(1)求證：AF=DF；

(2)求NAED的余弦值；

(3)如果BD=1O,求—BC的面積.

DC

FN

思路點撥(1)證明NADE=/DAE；(2)作AN_LBE于N,cosZAED=—,設(shè)FE=4x,FD=3x,利

用有關(guān)知識把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運用比例線段求出x的值.

注：本例的解答，需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合

運用直線形相關(guān)知識方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵.

學(xué)歷訓(xùn)練

A組

1-D是半徑為5cm的。O內(nèi)一點，且OD=3cm,則過點D的所有弦中，最小弦AB=

2.閱讀下面材料：

對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則

稱圖形A被這個圓所覆蓋.

對于平面圖形A,如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離

都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋.

例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋.

回答下列問題：

(1)邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm：

(2)邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；

(3)長為2cm,寬為1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm.

3.世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富有生機，以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓：它們看上去多

么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性.

(1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有,是中心對稱圖形的有.

一石擊起千層浪汽不方向盤銅錢

(2)請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或徒手畫均可,

但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些).

a.是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形.

b.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

4.如圖，AB是。0的直徑，CD是弦，若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和

為（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

(第5題)

5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形的高CD為(）

16

A.2B.-C.3D.

2

6.如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關(guān)系

是()

A.AB+CD=EFB.AB+CD=FC.AB+CD<EFD.不能確定

7.電腦CPU芯片由?種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片現(xiàn)

為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05cm,

問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由(不計切割損耗).

8.如圖，已知。O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為上的一點，且AB2+OB2=BC2,求/OAC

的度數(shù).

9.不過圓心的直線/交。0于C、D兩點，AB是。0的直徑，AE±/,垂足為E,BF±/,垂足為F.

(1)在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；

(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的

過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；

(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結(jié)論.

B組

10.以AB為直徑作一個半圓，圓心為0,C是半圓上一點，且OC2=ACXBC,

則NCAB=.

11.如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在吊C的中點A'上，若BC=5,則折痕在4ABC

內(nèi)的部分DE長為.

12.如圖，已知AB為。O的弦，直徑MN與AB相交于。O內(nèi)，MC1AB于C,ND1AB于D,若MN=20,

AB=8“，貝IjMC—ND=

(第n題)(第12題)

13.如圖，已知。。的半徑為R,C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°,BD的度數(shù)為

36°,動點P在AB上，則CP+PD的最小值為.

14.如圖1,在平面上，給定了半徑為r的圓0,對于任意點P,在射線0P上取一點P',使得OPXOP，

=r\這種把點P變?yōu)辄cP'的變換叫作反演變換，點P與點P'叫做互為反演點.

(1)如圖2,。。內(nèi)外各有一點A和B,它們的反演點分別為A'和B，.

求證：NA'=ZB；

(2)如果一個圖形上各點經(jīng)過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演

圖形.

①選擇：如果不經(jīng)過點0的直線與。O相交，那么它關(guān)于。0的反演圖形是()

A.一個圓B.一條直線C.一條線段D.兩條射線

②填空：如果直線/與。O相切，那么它關(guān)于。O的反演圖形是，該圖形與圓。的位置關(guān)

系是.

15.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓0,對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點為P,

AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長.O?才一4

(第15s)

(第168)

16.如圖，已知圓內(nèi)接AABC中，AB>AC,D為區(qū)4c的中點，DE_LAB于E.

求證：BD2-AD2=ABXAC.

17.將三塊邊長均為10cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因

素，精確到0.1cm)

18.如圖，直徑為13的。0',經(jīng)過原點O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB(OA>OB)

的長分別是方程產(chǎn)+日+60=0的兩根.

(1)求線段OA、OB的長；

(2)已知點C在劣弧0A上，連結(jié)BC交OA于D,當(dāng)0C2=CDXCB時，求C點坐標(biāo);

(3)在(DO,上是否存在點P,使SAPOD=SAABD?若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，

而圓的特征，賦予角極強的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化.

根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對的圓周角相等，

可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點在圓上的位置進行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對角互補和外角等

于內(nèi)對角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來.

熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論.

注：根據(jù)頂點、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類似地，當(dāng)角的頂點在圓外

或圓內(nèi)，我們可以定義圓外角與圓內(nèi)角，這兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作

一番探討.

【例題求解】/"X

【例1】如圖，直線AB與。0相交于A,B再點，點O在AB上，點C在。O上，（/\

且/AOC=40°,點E是直線AB上一個動點（與點0不重合），直線EC交。0于另丁一0―JA

一點D,則使DE=DO的點正共有個.X/

思路點撥在直線AB上使DE=DO的動點E與。0有怎樣的位置關(guān)系？

分點E在AB上（E在。0內(nèi)）、在BA或AB的延長線上（E點在。0外）三種情況考慮，通過角度的計算，

確定E點位置、存在的個數(shù).

注：弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，''由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方

法.

【例2】如圖，已知aABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的。O與邊AB、AC、

BC分別相交于點E、F、M,對于如下五個結(jié)論：①/FMC=45°；一次/

②AE+AF=AB；③等=黑；?2BM2=BFXBA；（

⑤四邊形AEMF為矩形.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

思路點撥充分運用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗證.

注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，

作深入的探究，方能作出小正確的選擇.

【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接。。的半徑為5,對角線AC與BD的交點為E,S.AB2=AEX

AC,BD=8,求4ABD的面積.

思路點撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關(guān)鍵.

（例3圖）（例4圖）

【例4】如圖，已知AB是。O的直徑,C是。。上的一點，連結(jié)AC,過點C作直線CD1AB于D（AD<DB）,

點E是AB上任意一點（點D、B除外），直線CE交。O于點F,連結(jié)AF與直線CD交于點G.

⑴求證：AC2=AGXAF；

（2）若點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立.請畫出圖形并給予證明；若

不成立，請說明理由.

思路點撥（1）作出圓中常用輔助線證明△ACGsaAFC；

（2）判斷上述結(jié)論在E點運動的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵.

注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三

角形的判定創(chuàng)造了條件.

【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對角線AD、BE、CF相交于一點Q,設(shè)

AD與CF的交點為P.

求正⑴IKI；嘴鳴

思路點撥解木例的關(guān)鍵在于運用與圓相關(guān)的角,能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形.

(1)證明△QDEs^ACF；(2)易證。=史-,通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為

PEDE

常規(guī)問題的證明.

注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用

圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點共圓的主要方法有:

(1)利用圓的定義判定；

(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定.

學(xué)歷訓(xùn)練

A