2020-2021學(xué)年遂寧市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年遂寧市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1,直線/過(guò)點(diǎn)（3,2）且斜率為-4,則直線2的方程為（）

A.%+4y—11=0B.4%+y—14=0

C.x—4y+5=0D.4%+y—10=0

2.若圓第2+y2_2%+4y+1=0上至少有兩個(gè)點(diǎn)到直線2%+y-c=0的距離等于1,則實(shí)數(shù)c的

取值范圍為（）

A.(0,3佝B.[-V5,V5]C.(-3V5,3A/5)D.(0,V5)

3.將圓區(qū)|平分的直線的方程可以是（)

A.0B.0C.0D.□

4.已知樣本數(shù)據(jù)1,2,4,3,5,下列說(shuō)法不正確的是（)

A.平均數(shù)是3B.中位數(shù)是4C.極差是4D.方差是2

5.如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,4D的中點(diǎn)，則EF與平面BCD的

位置關(guān)系是（)

A.相交

B.平行

C

C.在平面內(nèi)

D.不能確定

6.某人射擊5槍,命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（）

A3

A-5D

C七-點(diǎn)

%—y>0

7.設(shè)變量X,y滿足約束條件2x+yW2,則目標(biāo)函數(shù)z=|3x+y|的最大值為（)

ly+2>0

A.4B.6C.8D.10

8.如圖的三視圖表示的幾何體是（）

A.圓臺(tái)

B.棱錐O

C.圓錐

D.圓柱

9.已知兩定點(diǎn)6（—1,0）、52（1，0）和一動(dòng)點(diǎn)P，若I&F2I是IPF1I與IPF2I的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

方程為（）

丫2“2丫2.,22.,2.,2丫2

A.-+^=1B.土+匕=1C.Yt—匕=1D.匕+二=1

1694316943

10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體4BCD—a'B'C'D',且力B=2,AD=2,AA'=1,則異面

直線4B與C'D夾角的余弦值為（）

11.點(diǎn)P在直線x+y—4=0上，。為原點(diǎn)，則|喈|的最小值為（）

A.2B.腐C.喳&D.版

12.已知命題P：“若a＞?。?，則l°gi°+，則命題P的原命題，逆命題，否命題,

22

逆否命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知直線a久—y+5=0與直線（3a—l）x+ay+a=0互相垂直，貝!|a=.

14.為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的

間隔為.

15.在區(qū)間［-?？缮想S機(jī)取一個(gè)數(shù)雷，使得歸-歸-可比1成立的概率為

16.若直線y=fc(x-2)+4與圓％2+(y-I)2=4相切，則實(shí)數(shù)々=

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知平面a//平面/?,m,九是異面直線，m//a,mt，.

且21zu,11n,

求證:

(2)/18.

..54

18.在448c中,cosA=——,sinB=

(1)求cosC的值；

(2)設(shè)BC=15.求△ABC的面積.

19.對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得

到這M名學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù).據(jù)此作出頻數(shù)和頻率統(tǒng)計(jì)表及頻率分布直方圖

如下：

分組頻數(shù)頻率蛀

組斷

[10,15)50.25

[15,20)12n

[20,25)mP

[25,30]10.05

合計(jì)M11015202530次數(shù)

(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高一學(xué)生有720人，試估計(jì)他們參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的人數(shù);

(3)若參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)不少于20的學(xué)生可被評(píng)為“優(yōu)秀志愿者”，試估計(jì)每位志

愿者被評(píng)為“優(yōu)秀志愿者”的概率.

20.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出雙萬(wàn)元)與銷售額y(萬(wàn)元)

之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

X24568

y3040605070

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；

(2)求回歸直線方程；

(3)據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí)，銷售收入y的值.

注：①參考公式：線性回歸方程系數(shù)公式》=雜優(yōu)詈，弓=亍—最；

乙—TLXJ

②參考數(shù)據(jù)：2—e=145,2,療=13500,￡巳%%=1380.

21.如圖，四邊形PC8M是直角梯形,NPC8=90°,PM"BC,PM=AC=1,BC=2,4ACB=120°,

AB1PC,直線力M與直線PC所成的角為60。.

(I)求證：平面PAC_L平面4BC；

(n)求銳二面角M-AC-B的余弦值.

22.已知點(diǎn)4、B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),直線4”、BM相交于點(diǎn)M,且它們的

斜率之積為一

(I)求點(diǎn)M的軌跡T的方程；

(□)設(shè)過(guò)點(diǎn)E(-l,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交軌跡7于C、D兩點(diǎn)，若線段CD的垂直

平分線與無(wú)軸交于點(diǎn)F，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程，考查點(diǎn)斜式和一般式的互化，屬于基礎(chǔ)題.

直接由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，化為一般式得答案.

解：???直線I過(guò)點(diǎn)(3,2)且斜率為-4,

由直線方程的點(diǎn)斜式得：y—2=—4(%—3),

整理得：4%+y-14=0.

故選：B.

2.答案：C

解析：

本題考查圓上的點(diǎn)到直線距離問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離公式，解題關(guān)鍵是通過(guò)圖象找出圓心到已知直

線的距離的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到己知

直線的距離d,畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象和題意列出關(guān)于d的不等式，求出不等式的解集即可得到c的取

值范圍.

解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x-1)2+(y+2)2=4,

得到圓心坐標(biāo)為(1,一2),半徑r=2,

根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖所示：

因?yàn)閳A心到直線2x+y—c=0的距離d=詈

根據(jù)圖象可知：當(dāng)0Wd<3時(shí)，

圓上至少有兩個(gè)點(diǎn)到直線2尤+y+c=。距離等于1,

即04<3,

解得，一3病<c<3小，

則滿足題意的c的取值范圍是(-3年34)，

故選：C.

3.答案：D

解析：試題分析：圓心回，將圓區(qū)平分的直線必過(guò)圓心，經(jīng)判斷可知其直線方程可以是s.

考點(diǎn)：直線與圓.

4.答案:B

解析：

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)1,2,4,3,5,分別求出它的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差即可.

本題考查了求簡(jiǎn)單的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

解：樣本數(shù)據(jù)1,2,4,3,5,它的平均數(shù)是元=*x(1+2+3+4+5)=3,A正確；

按從小到大的順序排列后，排在中間的數(shù)是3,故中位數(shù)是3,B錯(cuò)誤；

極差是5-1=4,C正確；

方差是

s2=|X[(1-3)2+(2-3)24-(4-3)2+(3-3)2+(5-3)2]=2,￡>正確.

故選：B.

5.答案：B

解析：解：,??空間四邊形4BCD中，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，

EF//BD,

■■■EFC平面BCD,BDu平面BCD,

???￡77/平面BCD.

故選：B.

由己知得￡T〃BD,由此能證明〃平面8CD.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題.

6.答案：A

解析：

本題主要考查了古典概型的應(yīng)用，以及排列組合的知識(shí)，屬于中檔題.

先求出總可能數(shù)，然后把連中的2槍捆在一起排列即可求出答案.

解：根據(jù)題意共有俏=10種情況，

則3槍中恰有2槍連中，只需要把連中的2槍捆在一起和另一槍中的插入剩余2個(gè)不中槍的空隙中,

共有題=6種情況，

故所求概率為P=^=|,

故選A.

7.答案：C

x-y>0

解析：解：作出變量刈y滿足約束條件2%+y<2對(duì)

,y+2>0

應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

由z=|3x+y|,平移z=|3x+y|,由圖象可知當(dāng)z=

|3x+y|經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí),直線z=|3x+y|取得最大值，

由得4（-2,一2）

此時(shí)z的最大值為z=|-3X2-2|=8,

故選：C.

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法，要熟練掌握目標(biāo)

函數(shù)的幾何意義.

8.答案：A

解析：解：由題意，該幾何體為圓臺(tái)；

故選A.

三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，該幾何

體為圓臺(tái).

三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，本題考

查了學(xué)生的空間想象力.

9.答案:B

解析：

本題主要考查了應(yīng)用橢圓的定義以及等差中項(xiàng)的概念求橢圓方程，關(guān)鍵是求a,b的值，本題屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)I6F2I是|P&|與IPF2I的等差中項(xiàng)，得到2I&F2I=|P&|+\PF2\,即|P0|+\PF2\=4,得到點(diǎn)P在

以F],尸2為焦點(diǎn)的橢圓上，已知a，c的值，做出6的值，寫(xiě)出橢圓的方程.

解：???&(-1,0)、4(1，。)，

??.|F/2l=2,

:|&尸2|是|P川與|P4I的等差中項(xiàng)，

???2|a凡=仍尸1|+伊61，

即IP&I+IP&I=4,

???點(diǎn)P在以尸2為焦點(diǎn)的橢圓上，

2ci—4fCL=2,c—1,

???b2—3,

22

.?.橢圓的方程是土+匕=1.

43

故選：B.

10.答案：D

解析：解：由題意可知4(0,0,1),5(2,0,0),￡>(0,2,0),C'(2,2,l),

則而=(2,0,—1)，F(xiàn)K=(-2,0,-1)>

所以異面直線4B與C'D夾角的余弦值為要黑=叁犁=3.

\AiB\\C'D\V5XV55

故選：D.

求出福，而，由向量的夾角公式，即可求異面直線4B與C'。夾角的余弦值.

本題考查利用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

1L答案：C

解析：試題分析：由題可知，過(guò)。向直線工+y-4=0做垂線，垂足為點(diǎn)P,此時(shí)|OP|取得最小值,

由點(diǎn)到直線的距離公式美卜巧—=粵=地；

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

12.答案：C

解析：解：由bglaC/oglb+l得JogLa-/0gJ_b=，ogLf<l，即?且&>口，b>0,

22222bb2

若a>b>。，則導(dǎo)>，原命題為真命題，則逆否命題為真命題.若?且a>0,b>0,

b2b2

當(dāng)a=3,b=4時(shí)，滿足且a>0,b>0,但a>6>0不成立，.?.逆命題為假命題，則否命題也為

D2

假命題.

故命題p的原命題，逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選C.

13.答案：?；?；

解析：解:由a(3a-1)一a=0,解得a=0或|.

故答案為：0或|.

根據(jù)直線a久—y+5=0與直線(3a—l)x+ay+a=0互相垂直與斜率之間的關(guān)系即可得出.

本題考查了直線相互垂直與斜率之間的關(guān)系方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：25

解析：解：由已知得：

分段的間隔為：甯=25.

40

故答案為：25.

利用系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)求解.

本題考查系統(tǒng)抽樣的分段間隔的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)的合理

運(yùn)用.

"I

15.答案：-

J-X-3<聲：-工

解析：設(shè)施磷=歸#1|一|需一那則河礴」舐—ZTE"草，當(dāng)出雷三獸時(shí)，.理礴打成

?X室":三筆

、e署一工：1

立部=-------=一

VV

【考點(diǎn)定位】本題把絕對(duì)值不等式和幾何概型相結(jié)合來(lái)考查概率的運(yùn)算，體現(xiàn)了幾何概型“無(wú)處不

在”的特點(diǎn)，考查了分類討論思想和運(yùn)算能力.

16.答案：得

解析：解：??,直線y=憶(％—2)+4與圓％2+(y-1)2=4相切，

???圓心(0,1)到直線y=k(x-2)+4的距離d=r,

即暇善=2,解得k=總

故答案為：5

根據(jù)直線與圓相切,得到圓心到直線的距離d=r,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來(lái)判斷，屬于中檔題.

17.答案：證明：(1)記/與a的交點(diǎn)為4

由直線m和直線外一點(diǎn)4確定一個(gè)平面y,

記a與y的交線為a,夕與y的交線為b.

因?yàn)槠矫鎍〃平面0,平面an平面y=a,平面￡C平面y=b,所以

a//b

因?yàn)閞n〃a,mcy,any-a,所以m〃a,

因?yàn)閍〃匕，m//a,所以

又因?yàn)閎u0,所以...(7分)

(2)因?yàn)閞i是異面直線，且由(1)可知ni〃6,

所以在平面0內(nèi)，n與b相交，

記交點(diǎn)為T,因?yàn)镮1爪，m//b,所以216,

又因?yàn)閆in,bC\n-T,be/?,nu0,

所以Z10....(14分)

解析：(1)記l與a的交點(diǎn)為4,由直線m和直線外一點(diǎn)4確定一個(gè)平面y,記a與y的交線為a,￡與y的

交線為b.推導(dǎo)出a〃b,m//a,m//b,由此能證明機(jī)〃￡.

(2)推導(dǎo)出m〃b,在平面0內(nèi)，71與b相交，記交點(diǎn)為T.推導(dǎo)出Z16,由此能證明11

本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.答案：解：(1)△中,vcosA——卷,sinB=sinA-V1-cos2X=—,cosB=V1—sin2B=

3

5’

5312463

故cosC=—cos(i4+8)=—cosAcosB+sinAsinB=—(—G)'g+G'g=

DfAC,15AC

(2)BC=15,由正弦定理可得一二=一不，即文=丁，AC=13.

、，sinAsinB石g

.-.A力BC的面積S=-BC-AC-sinC=--15-13-V1-cos2c=--15-13?—=24.

22265

解析：⑴由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin/和cosB的值，再利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余

弦公式求得cosC=-COS(T4+8)的值.

⑵由條件利用正弦定理求得AC的值，可得△A8C的面積S=^BC-AC-sinC的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式，正弦定理的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

19.答案：解：(1)根據(jù)頻率分布表，得：

?M?--=0.25,

???樣本容量為M=20,

m=20—5—12—1=2,

.??對(duì)應(yīng)的頻率為P=看=0.1,

(2)參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的頻率為0.6,

???估計(jì)參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的人數(shù)為：

720x0.6=432(人)；

(3)參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在20以上的頻率為：0.1+0.05=0.15,

樣本中可評(píng)為“優(yōu)秀學(xué)生”的頻率為：p=0.15,

.??估計(jì)小明被評(píng)為“優(yōu)秀學(xué)生”的概率為0.15.

解析：本題考查頻率分布表與直方圖及用樣本估計(jì)總體.

(1)根據(jù)頻率分布表，利用頻率=^^的關(guān)系，求出M、m,p、n以及a的值;

樣本谷里.

(2)利用參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的頻率，求出對(duì)應(yīng)的頻數(shù);

(3)求出參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在20以上的頻率即可估計(jì)總體中的概率.

20.答案：解：(1)根據(jù)表中所給的五對(duì)數(shù)據(jù)，得到五個(gè)有序數(shù)對(duì)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)，得

到散點(diǎn)圖.

/c、—2+4+5+6+8廣—30+40+60+50+70廠八

(2),?,x=-------------=5,y=--------------------=50,

根據(jù)參考數(shù)據(jù)：芨=1參=145,芨=i參=13500,2L陽(yáng)%=1380.

由線性回歸方程系數(shù)公式6=零斗呼，S=y_C；

,*,b—6.5

a=y-b~x=50—6.5x5=17.5

???回歸直線方程為y=6.5x+17.5

(3)當(dāng)x=9時(shí)，預(yù)報(bào)y的值為y=9x6.5+17.5=76(萬(wàn)元).故銷售收入為76萬(wàn)元

解析：(1)根據(jù)表中所給的五對(duì)數(shù)據(jù)，得到五個(gè)有序數(shù)對(duì)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖.

(2)先做出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的

系數(shù)，再做出a的值，協(xié)會(huì)粗線性回歸方程.

(3)把所給的乂的值代入線性回歸方程，求出y的值，這里的y的值是一個(gè)預(yù)報(bào)值，或者說(shuō)是一個(gè)估計(jì)

值.

本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出這組變量是線性相關(guān)的，進(jìn)而正確運(yùn)

算求出線性回歸方程的系數(shù)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(I)因?yàn)镻C148,PC1BC,ABCBC=B；

所以PC1平面4BC.

又因?yàn)镻Cu平面P8C,所以平面PAC_L平面ABC

(H)在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作Cx1CB,

建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz(如圖)

X

由題意有C(0,0,0),做今―go),

設(shè)P(0,0,Zo)(z°>0),則M(O,l,Zo),AM=z0)?

CP=(0,0,ZQ).

由直線AM與直線PC所成的解為60。得

AMCP=\AM\\'CP|cos60%=73+zo-zo-p

解得Zo=1.

所以詼=(0,1,1)，C4=(y,-|,0)

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為元=Q1，V1，Z1),

貝e亙=。，即信+z：°n.

s?cz=o-5yl=°

取%1=1,得元=(i,遮，一遍).

平面4BC的法向量取為訪=(0,0,1)

設(shè)而與元所成的角為。，貝！JcosJ=二：=一尊

因?yàn)槎娼荕-AC-8的平面角為銳角，

故二面角M-ac-B的平面角的余弦值為叵.

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解析：(I)證明PC1平面ABC,然后證明平面PAC