浙江省杭州市蕭山區(qū)蕭山區(qū)新街初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

第22周校內(nèi)自主作業(yè)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：C．2.某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈30秒，綠燈60秒，黃燈10秒．當(dāng)人或車隨意經(jīng)過(guò)路口時(shí)，遇到紅燈的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：根據(jù)題意可得：遇到紅燈的概率，故選：A．3.一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶?jī)?nèi)液體的最大深度（如圖）．則截面圓中弦的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可由垂徑定理求得的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意得：，，∴，在中，由勾股定理，得，∵，∴，故選：C．4.如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)約分．根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可分別設(shè)出x和y，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∴．故選：B．5.函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為（）A. B.或 C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義可得且即可，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)．【詳解】解：由題意得，解得：，故選：．6.晚自習(xí)時(shí)，小敏和小聰在討論一道題目：“已知點(diǎn)O為△ABC外心，∠BOC＝126°，求∠A．”，小敏的解答為：畫△ABC以及它的外接圓O，連結(jié)OB，OC，如圖．由∠BOC＝2∠A＝126°，得∠A＝63°．而小聰說(shuō)：“小敏考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”，下列判斷正確的是（）A.小敏求的結(jié)果不對(duì)，∠A應(yīng)得54°B.小聰說(shuō)的不對(duì)，∠4就得63°C.小聰說(shuō)的對(duì)，且∠A的另一個(gè)值是117°D.兩人都不對(duì)，∠A應(yīng)有3個(gè)不同值【答案】C【解析】【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值與∠A互補(bǔ)，故＝180°﹣63°＝117°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及圓周角定理，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，弦與弦交于點(diǎn)．已知，，，則的長(zhǎng)為（）A.3 B.4或3 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握同弧所對(duì)圓周角相等和相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．設(shè)，則，由同弧所對(duì)圓周角相等可得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出，即證，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)，則∵，∴又∵，∴，∴，即，∴解得，∴的長(zhǎng)為4或3．故選：B．8.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別在和上，，為上一點(diǎn)，且滿足．連接、，若，則的長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，通過(guò)相似找出其他線段與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)長(zhǎng)為，借助于相似表示出的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出和的長(zhǎng)，最后再利用便可解決問題．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，，，，又，，．，，，則，又，是等腰直角三角形，則，，．又，．是等腰直角三角形，則，即，解得，即的長(zhǎng)為3．故選：C．二、填空題（每小題4分，共24分）9.已知扇形面積為，半徑為6，則扇形的弧長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可求出答案．【詳解】解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，由扇形面積公式可得，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)，則其頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)是，則頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：11.有兩道門，各配有2把鑰匙，這4把鑰匙分別放在兩個(gè)抽屜里，使每個(gè)抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，若從每個(gè)抽屜里任取1把鑰匙，則能打開兩道門的概率是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)第一個(gè)門的鑰匙為、，第二個(gè)門的鑰匙為、，每個(gè)抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，則設(shè)一個(gè)抽屜里放、，另一個(gè)抽屜里放、，結(jié)合題意，做樹狀圖并統(tǒng)計(jì)能打開門的結(jié)果數(shù)量，經(jīng)計(jì)算即可得到答案．【詳解】設(shè)第一個(gè)門的鑰匙為、，第二個(gè)門的鑰匙為、

每個(gè)抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，則設(shè)一個(gè)抽屜里放、，另一個(gè)抽屜里放、

畫樹狀圖為：

共有4種可能的結(jié)果數(shù)，其中從每個(gè)抽屜里任取1把鑰匙，能打開兩道門的組合為+、+，占4種組合中的2種；

∴從每個(gè)抽屜里任取1把鑰匙，能打開兩道門的概率故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握樹狀圖求概率的方法，從而完成求解．12.已知線段，點(diǎn)是它的黃金分割點(diǎn)，．求______，______．（保留根號(hào)）【答案】①.##②.##【解析】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義“把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比”，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可求出，再根據(jù)線段和差即可得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵線段，點(diǎn)是它的黃金分割點(diǎn)，，，解得，，故答案為：，．13.已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，若，則的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．先求對(duì)稱軸，確定與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，分兩種情況：①當(dāng)N在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減小，②當(dāng)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大，可得結(jié)論．詳解】解：∵∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)N在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減小，∵，∴，當(dāng)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，綜上，若，則的取值范圍是或．故答案為：或．14.如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．（）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，______．（）的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】（）如圖，在的垂直平分線上取點(diǎn)，使得，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點(diǎn)，均有，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形求出，即可求解；（）連接，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形求出，，進(jìn)而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意，準(zhǔn)確找到點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）如圖，在的垂直平分線上取點(diǎn)，使得，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點(diǎn)，均有，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則，∴四邊形為矩形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（）連接，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本題8大題，共66分）15.如圖，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，在給出的直角坐標(biāo)系中：（1）畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．（2）計(jì)算點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位置時(shí)，經(jīng)過(guò)的路徑弧的長(zhǎng)度．【答案】（1）作圖見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了作旋轉(zhuǎn)后的圖形，勾股定理，計(jì)算弧長(zhǎng)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解；【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：由勾股定理可得，，∴弧的長(zhǎng)度．16.（1）下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不確定事件？我班體育委員跑步成績(jī)?yōu)槊耄╛_____事件）個(gè)等腰三角形一定相似．（______事件）（2）在一個(gè)盒子中放有三個(gè)分別寫有數(shù)字、、的小球，大小和質(zhì)地完全相同．小明從口袋里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記為數(shù)字，將球放回后小明再?gòu)膫€(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記為數(shù)字，求的值為的倍數(shù)的概率（要求列舉法或畫樹狀圖說(shuō)明）【答案】（）不可能事件；隨機(jī)事件；（）【解析】【分析】（）根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可；根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可；（）先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；本題主要考查了事件發(fā)生的可能性大小和樹狀圖或列表格求概率，根據(jù)題意正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念和畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）解：我班體育委員跑步成績(jī)?yōu)槊?，是不可能事件；個(gè)等腰三角形一定相似，是隨機(jī)事件；故答案為：不可能；隨機(jī)；（2）畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中的值為的倍數(shù)的結(jié)果有種，∴的值為的倍數(shù)的概率的概率為．17.如圖所示，已知，．求的值．【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E，作，交于，證明，因?yàn)?，得，因?yàn)?，得，再證明，由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E，作，交于∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．18.如圖，的直徑為，弦為的平分線交于點(diǎn)D．（1）求的度數(shù)；（2）求陰影部分的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查角平分線性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理及扇形的面積，（2）中結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線及圓周角定理即可求得答案；（2）連接，根據(jù)圓周角定理求得度數(shù)，再利用扇形面積公式及三角形面積公式計(jì)算即可．【小問1詳解】∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴；【小問2詳解】如圖，連接，，，∴，∴，∴，∵，，，即陰影部分的面積為．19.新定義：同一個(gè)圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．（1）如圖，，是的等垂弦，，，垂足分別為，求證：四邊形是方形；（2）如圖，是的弦，作，，分別交于，兩點(diǎn)，連接求證：，是的等垂弦．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）連接，由圓心角、弦的關(guān)系可得，由圓周角定理可得，，可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，是的等垂弦，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，是的等垂弦，∴，∵，，∴，∴矩形是正方形；【小問2詳解】證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴、是的等垂弦．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角的性質(zhì)，圓心角、弦的關(guān)系，正方形的判定，新定義等垂弦，熟練掌握垂徑定理的定義是解題關(guān)鍵．20.如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．（1）求證：；（2）若．求和的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解（2）FB=【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=BC，可證∠ABD=∠CGB，再證△BFE∽△GFB即可；（2）根據(jù)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后證明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．【小問1詳解】證明：正方形內(nèi)接于，∴AD=BC，∴，∴∠ABD=∠CGB，又∵∠EFB=∠BFG，∴△BFE∽△GFB，∴，即；【小問2詳解】解：∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AE=BE=3，∵四邊形ABCD為正方形，∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，∵，∴△CDF∽△EBF，∴，∴DF=2BF，CF=2EF，∴3BF=BD=，3EF=，∴BF=，EF=，由（1）得FG=．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正方形性質(zhì)，弧，弦，圓周角關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接正方形性質(zhì)，弧，弦，圓周角關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)解題關(guān)鍵．21.已知關(guān)于的二次函數(shù)與一次函數(shù)，令．（1）若的圖象交于軸上的同一點(diǎn)．①求的值；②當(dāng)為何值時(shí)，的值最大，試求出該最大值．（2）當(dāng)，時(shí)，有最小值為，求的值．（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，試比較的大小．【答案】（1）①；②當(dāng)時(shí)有最大值，（2）（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）①先求出與軸的交點(diǎn)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可解得．②由得到，則，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到在的范圍內(nèi)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)有最小值，即，即可解得；（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式和性質(zhì)得到對(duì)稱軸為直線．與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則在范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，分三種情況進(jìn)行分析即可得到答案．【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，則，∴與軸的交點(diǎn)為，把代入得，解得．②∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)有最大值，．【小問2詳解】∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，且開口向上，∴在的范圍內(nèi)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)有最小值，即，解得．【小問3詳解】∵的對(duì)稱軸為直線，，∴對(duì)稱軸為直線．當(dāng)時(shí)，∴在范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，