安徽池州市2024屆高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

安徽池州市2024屆高三最后一卷數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3202．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．4．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．5．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．27．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或98．若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數(shù)為 D．為純虛數(shù)9．設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．10．設集合，集合，則=（）A． B． C． D．R11．關于函數(shù)，有下列三個結(jié)論:①是的一個周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域為.則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于空間兩條不同直線m、n，兩個不同平面、，有下列四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號為______.14．已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________．15．已知，則__________.16．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點A（1，0）的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且OM+ON=t18．（12分）己知圓F1：(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3)，圓F1：(x-1)1+y1=(4-r)1．（1）證明：圓F1與圓F1有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；（1）已知點Q(m，0)(m<0)，過點E斜率為k(k≠0）的直線與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k1，是否存在實數(shù)m使得k(k1+k1)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．19．（12分）已知中，內(nèi)角所對邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設，求的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設且.（1）求點的坐標；（2）求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)中點在軸上，設出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.3、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.4、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．5、A【解析】

設，延長至，使得，連，可證，得到（或補角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎題.7、C【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎題．8、D【解析】

將復數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.9、A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．10、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算11、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出．【詳解】①因為，所以是的一個周期，①正確；②因為，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯誤；③因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當時，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域為，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用．12、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③④【解析】

由直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關系是平行、相交或異面，①錯；②若且，則或者，②錯；③若，設過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點睛】本題考查直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關系，掌握空間線線、線面、面面位置關系是解題基礎．14、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.15、【解析】

首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案是.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關系式，倍角公式，誘導公式，屬于簡單題目.16、【解析】

利用復數(shù)的乘法運算求出，再利用共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x24+【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當直線MN的斜率存在時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到x1+x2、x1x試題解析：（1）∵e=22，??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標準方程為x2（2）由題意知，當直線MN斜率存在時，設直線方程為y=k(x-1)，M(x聯(lián)立方程x24+因為直線與橢圓交于兩點，所以Δ=16k∴x又∵OM∴因為點P在橢圓x24+即2k又∵|OM即|NM|<4化簡得：13k4-5k2∵t2=1-當直線MN的斜率不存在時，M(1,??62∴t∈[-1,??考點：橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系．18、（1）見解析，（1）存在，【解析】

（1）求出圓和圓的圓心和半徑，通過圓F1與圓F1有公共點求出的范圍，從而根據(jù)可得點的軌跡，進而求出方程；（1）過點且斜率為的直線方程為，設，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達定理以及，，可得，根據(jù)其為定值，則有，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以，因為圓的半徑為，圓的半徑為，又因為，所以，即，所以圓與圓有公共點，設公共點為，因此，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，所以，，，即軌跡的方程為；（1）過點且斜率為的直線方程為，設，由消去得到，則，，①因為，，所以，將①式代入整理得因為，所以當時，即時，.即存在實數(shù)使得.【點睛】本題考查橢圓定理求橢圓方程，考查橢圓中的定值問題，靈活應用韋達定理進行計算是關鍵，并且觀察出取定值的條件也很重要，考查了學生分析能力和計算能力，是中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后運用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：，且為銳角（2）【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，基本不等式的應用，三角函數(shù)的值域等，考查了學生運算求解能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當時，，，當時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎題.21、（1）乙同學正確（2）分布列見解析，【解析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點代入驗證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負相關關系，故甲不正確，，代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表：“理想數(shù)據(jù)”有3個，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.，，于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關系，以及離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.22