橢圓及其標準方程（第1課時）高二上學期數(shù)學人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

圓錐曲線橢圓及其標準方程

學習目標:(1分鐘)1.了解橢圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程．知識探究:結(jié)論:平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡為橢圓.常數(shù)必須大于兩定點的距離.1.橢圓定義:

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距|F1F2|=2c.2.有關定義的幾點說明:①橢圓定義中提到的常數(shù)一般用2a表示,焦距一般用2c表示;平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.②橢圓定義的數(shù)學表達式：|MF1|+|MF2|=2a

(2a>|F1F2|)3.橢圓定義再理解:平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.思考:在同樣的繩長下,①兩定點間距離較長,則所畫出的橢圓較

;②兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較

.由此可知,橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關.扁圓橢圓線段不存在例.用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。1.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡.2.到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡.3.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡.解:(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點M的軌跡為橢圓.(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2).(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故點M的軌跡不成圖形.鞏固概念:變式:用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓.1.動點P到兩定點F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和為9,則動點P的軌跡為（）A.橢圓B.線段F1F2

C.直線F1F2D.不能確定A2.動點P到兩定點F1(-4,0),F2(4,0)的距離和是7,則動點P的軌跡為（）A.橢圓B.線段F1F2

C.直線F1F2D.無軌跡DBDB知識探究2:橢圓標準方程及其推導如何建立適當平面直角坐標系?建系通常遵循的原則:對稱”、“簡潔”.OxyOxyOxyMF1F2方案一Oxy方案二F1F2MOxy

如圖所示,

F1、F2為兩定點,且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a解:以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2

的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0).設M(x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a

且2a>2c橢圓標準方程及其推導:(2a>2c)的動點M的軌跡方程.兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上.①橢圓的焦點在x軸②焦點坐標為F1(-c,0)、F2(c,0)③

a2=b2+c2F1F2M0xy思考:當橢圓的焦點在y軸上時,它的標準方程是怎樣的呢?橢圓的標準方程⑴它表示：OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的幾點說明：1.橢圓標準方程的形式:左邊是平方+平方,右邊是1.2.橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2.3.橢圓的標準方程中:x2與y2的分母哪一個大,則焦點在哪一條軸上，大分母為a2

，小分母為b2.橢圓的標準方程焦點位置看大小,焦點隨著大的跑！分母哪個大,焦點就在哪個軸上標準方程相同點焦點位置的判斷不同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關系a2-c2=b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)12yoFFMxy

xoF2F1M1.判定下列橢圓