奧數(shù)4升5第3講行程之多人多次相遇教師版

行程之多人多次相遇行程之多人多次相遇第三講教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)行程問題是各種競(jìng)賽與小升初入學(xué)考試必考大題，其中多人多次相遇問題是行程問題中的難點(diǎn)，本講從一般的相遇與追及問題出發(fā)，討論在環(huán)形線路、變速變向等多種行程問題，并引伸到與行程問題相類似的鐘面問題?；仡櫥疖囘^橋、流水行程等問題；環(huán)形路線上的相遇和追及問題；速度行程問題與比例關(guān)系；鐘面上的行程問題。專題回顧專題回顧一條船順?biāo)叫?8千米，再逆水航行16千米，共用了5小時(shí)；這知船順?biāo)叫?2千米，再逆水航行24千米，也用5小時(shí)。求這條船在靜水中的速度。這道題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，我們條件摘錄整理如下：順?biāo)嫠畷r(shí)間48千米16千米5小時(shí)32千米24千米比較條件可知，船順?biāo)叫?8千米，改為32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，這就是在相同的時(shí)間里，船順?biāo)谐淌悄嫠谐痰?6÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可轉(zhuǎn)換為“順?biāo)叫?6×2=32（千米），這樣船5小時(shí)一共順?biāo)叫?8+32=80（千米），船順?biāo)贋?0÷5=16千米，船逆水速為16÷2=8（千米）。船靜水速為（16+8）÷2=12（千米）。甲、乙二人分別從、兩地同時(shí)出發(fā)，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他們的第四次相遇點(diǎn)與第五次相遇點(diǎn)的距離是150米，求、兩點(diǎn)間的距離為多少米？

（法一）畫圖分析知甲、乙速度比為：，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（個(gè)全程），甲走了：3×7＝21（份）在點(diǎn)，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（個(gè)全程），甲走了：3×9＝27（份）在點(diǎn),已知是150米，所以的長度是150÷6×（3+7）＝250（米）。（法二）也有不畫圖又比較快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余數(shù)為1則在的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余數(shù)為7則在的位置，表示速度基數(shù)，

，（米），即全程為250米?！就卣埂浚?8年首屆奧數(shù)網(wǎng)杯）電子玩具車與在一條軌道的兩端同時(shí)出發(fā)，相向而行。已知比的速度快，根據(jù)推算，第次相遇點(diǎn)與第次相遇點(diǎn)相距58厘米，這條軌道長_厘米。、兩車速度比為；第次相遇點(diǎn)的位置在：；第次相遇點(diǎn)的位置在：所以這條軌道長（厘米）經(jīng)典精講經(jīng)典精講環(huán)形跑道行程環(huán)形跑道行程如下圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長300米的正方形。甲、乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。如果甲每分走90米，乙每分走當(dāng)甲看到乙的時(shí)候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最多有米長。當(dāng)甲、乙之間的距離等于300米時(shí)，即甲追上乙一條邊（米）需（分），此時(shí)甲走了（條）邊，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。但是甲只要再走條邊就可以看到乙了，即甲從出發(fā)走條邊后可看到乙，共需（分），即分秒。甲乙兩名選手在一條河中進(jìn)行劃船比賽，賽道是河中央的長方形，其中米，米，已知水流從左到右，速度為每秒1米，甲乙兩名選手從處同時(shí)出發(fā)，甲沿順時(shí)針方向劃行，乙沿逆時(shí)針方向劃行，已知甲比乙的靜水速度每秒快1米，（、邊上視為靜水），兩人第一次相遇在邊上的點(diǎn)，，那么在比賽開始的5分鐘內(nèi)，兩人一共相遇幾次？（5次）設(shè)乙的速度為米/秒，則可列得方程：解得：。所以甲的速度為米/秒。甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。5分鐘內(nèi)，甲游了3圈還多20秒，乙游了2圈還多秒。多余的時(shí)間不夠合游一圈，所以兩人合游了5圈。所以兩人共相遇了5次。（2005年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》優(yōu)秀小讀者評(píng)選活動(dòng)）有一種機(jī)器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長400厘米，短跑道長300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下圖)。機(jī)器人甲按逆時(shí)針方向以每秒6厘米的速度在長跑道上跑動(dòng)，機(jī)器人乙按順時(shí)針方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑動(dòng)。如果甲、乙兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，那么當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人在跑道上第迎面相遇時(shí)，機(jī)器人甲距離出發(fā)點(diǎn)點(diǎn)多少厘米?第一次在點(diǎn)相遇，甲、乙共跑了400厘米(見左下圖)。第二次在點(diǎn)相遇（要排除甲還沒有第二次上長跑道時(shí)可能發(fā)生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(見右上圖)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用時(shí)間(400+700+700)÷(6+4)=180(秒)，甲跑了6×180=1080(厘米)，距點(diǎn)400×3—1080=120(厘米)。注：處理多次相遇問題時(shí)，有一種常見思考方法——分段考慮。（第五屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”決賽）如圖，甲、乙兩只蝸牛同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，甲沿長方形逆時(shí)針爬行，乙沿逆時(shí)針爬行．若，，，且兩只蝸牛的速度相同，則當(dāng)兩只蝸牛間的距離第一次達(dá)到最大值時(shí)，它們所爬過的路程的和為多少?很顯然，在這幅地圖上最長的距離是長方形的對(duì)角線，如果兩只蝸牛同時(shí)處于一條對(duì)角線的兩端，那么這是這兩只蝸牛之間的距離達(dá)到最大值.對(duì)角線有兩條所以也應(yīng)該分為兩種情況：情況一；甲在點(diǎn)，乙在點(diǎn)，這種情況下乙走了整數(shù)圈，甲走了若干圈又一條短邊，一條長邊，設(shè)乙走了圈，甲已走了圈.則可以列出不定方程：化簡為，由于等式右邊是24的倍數(shù)，所以x至少應(yīng)該取12，此時(shí)，兩只蝸牛共走了816。情況二：甲在點(diǎn)，乙在點(diǎn)，這種情況下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，設(shè)兩只蝸牛分別行走了圈和圈，則可以列出不定方程：化簡為，是方程的最小解，此時(shí)，兩只蝸牛一共行走了788.顯然情況二最先發(fā)生，所以當(dāng)兩只蝸牛間的距離第一次達(dá)到最大值時(shí)，它們所爬過的路程的和為788。事實(shí)上兩只蝸牛在走過情況二之后各走了14，就變成了情況一的情形，如果在討論兩種情況之前就想到這一點(diǎn)，就可以少討論一種情況了。一個(gè)圓周長厘米，個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，只爬蟲，，分別在這個(gè)點(diǎn)上。它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行，速度分別是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？（法一）先來詳細(xì)討論一下：⑴先考慮與這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置。 開始時(shí),他們相差厘米,每秒鐘能追上的路程為5-3=2(厘米)；(秒) 因此，秒后與到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，要追上一圈，也就是追上厘米,需要(秒)。 與到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是，，，，， ⑵再看看與什么時(shí)候到達(dá)同一位置。 第一次是出發(fā)后(秒)， 以后再要到達(dá)同一位置是追上一圈,需要(秒)。 與到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是，，，，，…… 對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后秒3只爬蟲到達(dá)同一位置。（法二）本題的數(shù)學(xué)模型，其實(shí)是一個(gè)數(shù)被除余，這個(gè)數(shù)被除余6。設(shè)兩個(gè)商分別為和，那么可得到等量關(guān)系式，整理得到，和是滿足條件的最小自然數(shù)組。所以只爬蟲出發(fā)后60秒多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置。如圖，在長為490米的環(huán)形跑道上，、兩點(diǎn)之間的跑道長50米，甲、乙兩人同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)反向奔跑．兩人相遇后，乙立刻轉(zhuǎn)身與甲同向奔跑，同時(shí)甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．結(jié)果當(dāng)甲跑到點(diǎn)時(shí)，乙恰好跑到了點(diǎn)．如果以后甲、乙的速度和方向都不變，那么當(dāng)甲追上乙時(shí)，從一開始算起，甲一共跑了多少米。相遇后乙的速度提高20％，跑回點(diǎn)，即來回路程相同，乙速度變化前后的比為，所以所花時(shí)間的比為。設(shè)甲在相遇時(shí)跑了6單位時(shí)間，則相遇后到跑回點(diǎn)用了5單位時(shí)間。設(shè)甲原來每單位時(shí)間的速度，由題意得：解得：。從點(diǎn)到相遇點(diǎn)路程為，所以。兩人速度變化后，甲的速度為，乙的速度為，從相遇點(diǎn)開始，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行一圈，∴甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）。注：對(duì)于環(huán)形跑道問題，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（這是指同地出發(fā)的情況，不同地，則注意兩地距離在其中的影響）。另外，本題涉及量化思想，即將比中的每一份看作一個(gè)單位，進(jìn)一步來說，一個(gè)時(shí)間單位乘以一個(gè)速度單位，得到一個(gè)路程單位。（法二）設(shè)相遇處為點(diǎn)：因?yàn)榧浊昂笏俣缺葹?，乙前后速度比?所以，乙先后在處的時(shí)間比為,也即甲先后兩段路程與所用的時(shí)間比也是，則甲所行段路程與段路程之比為。所以，的路程為（米），BC的路程為（米）所以，在1個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的速度為：甲是（米）；乙是（米）。則甲追上乙的時(shí)間需要（單位時(shí)間）所以，甲一共行全程是（米）烏龜和蝸牛賽跑，跑道是周長300厘米的等邊三角形。它們從三角形的同一頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，烏龜每分鐘行50厘米，蝸牛每分鐘行46厘米，它們每到三角形的一個(gè)頂點(diǎn)都要休息1烏龜追上蝸牛有三種情況：⑴蝸牛在某頂點(diǎn)剛休息完，正準(zhǔn)備走時(shí)，烏龜?shù)竭_(dá)該頂點(diǎn)(追上蝸牛)。此時(shí)，烏龜比蝸牛多走一周，本來應(yīng)多休息3次，但因?yàn)闉觚斣谧詈笠粋€(gè)頂點(diǎn)尚未休息，而蝸牛已經(jīng)休息完了，所以烏龜比蝸牛多休息2次。⑵蝸牛在某頂點(diǎn)休息了一會(huì)兒，但還沒休息完，烏龜?shù)竭_(dá)該點(diǎn)(追上蝸牛)。此時(shí)，因?yàn)槲伵Ｗ詈笠淮芜€沒休息完，所以烏龜比蝸牛多休息2次多，但不足3次。⑶烏龜在途中追上蝸牛(包括烏龜、蝸牛同時(shí)到達(dá)某頂點(diǎn))。此時(shí)，烏龜比蝸牛多休息3次。這三種情況到底發(fā)生哪種，這要根據(jù)烏龜、蝸牛的速度，每條邊的長，到達(dá)每個(gè)頂點(diǎn)休息的時(shí)間等因素來確定。假設(shè)烏龜比蝸牛恰好多休息2次(即第⑴種情況)。設(shè)烏龜不算休息時(shí)間共行了分鐘，因?yàn)槲伵Ｉ傩菹?次(2分鐘)，所以蝸牛共行分鐘。根據(jù)烏龜比蝸牛多行1周(300厘米)，可得方程，①解得(分)。因?yàn)闉觚?分鐘走一條邊長，98是2的整數(shù)倍，烏龜剛好走到一個(gè)頂點(diǎn)，所以假設(shè)成立(即第⑴種情況成立)。烏龜休息了(分)，烏龜追上蝸牛共用(分)。為什么要先假設(shè)第⑴種情況?而不假設(shè)第⑵⑶種情況呢?事實(shí)上，我們先假設(shè)第⑵種情況，解出烏龜行走的時(shí)間t后，要檢驗(yàn)行走t分后，烏龜是否剛好走到一個(gè)端點(diǎn)。如果是，假設(shè)成立；如果不是，假設(shè)就不成立。例如，如果將例題中三角形周長改為330厘米，其它條件不變，那么解得(分)，烏龜共行(厘米)，因?yàn)槊窟呴L110厘米，5275不是110的整數(shù)倍，所以第⑴種情況不成立。為了說明問題，在例題中我們?cè)偌僭O(shè)烏龜比蝸牛恰好多休息3次(即第⑶種情況)。類似地，可以得到方程，②解得(分)。烏龜走2分鐘休息1分鐘，。共休息54分鐘。由此得烏龜追上蝸牛共用(分)。我們檢驗(yàn)一下出發(fā)后分鐘，烏龜是否追上蝸牛。烏龜走了分鐘，共走(厘米)；蝸牛少休息3次，實(shí)際走了分鐘，共走(厘米)。(厘米)，烏龜正好比蝸牛多走一周，烏龜在邊上距點(diǎn)厘米處追上蝸牛。從檢驗(yàn)結(jié)果看，經(jīng)過分鐘，烏龜確實(shí)追上了蝸牛，但這不是烏龜?shù)?次追上蝸牛，而是第7次追上蝸牛了!①式的解(分)，②式的解(分)。由前面的解題過程知道，烏龜走分鐘時(shí)在某頂點(diǎn)第1次追上蝸牛，此時(shí)蝸牛剛休息完，正準(zhǔn)備走。當(dāng)烏龜休息1分鐘準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)，蝸牛已經(jīng)走出46厘米，因?yàn)闉觚敱任伵Ｗ叩每?，所以在下一個(gè)頂點(diǎn)處烏龜又追上正在休息的蝸牛。因?yàn)樽咄暌粭l邊烏龜需2分鐘，蝸牛需分鐘，所以烏龜走了100分鐘時(shí)第2次追上蝸牛，這時(shí)蝸牛還要休息云分鐘才出發(fā)。同理，烏龜走102，104，106，108分鐘時(shí)，分別第3，4，5，6次追上蝸牛，不同的是，烏龜追上蝸牛時(shí)，蝸牛在該頂點(diǎn)已經(jīng)休息了的時(shí)間越來越少(每次減少分鐘)。烏龜?shù)?次追上蝸牛時(shí)，蝸牛剛剛休息了(分)，也就是說，在該點(diǎn)烏龜比蝸牛晚出發(fā)分鐘，烏龜出發(fā)時(shí)蝸牛已走了(厘米)。烏龜2分鐘比蝸牛多走8厘米，多走6厘米需分鐘，所以烏龜從該點(diǎn)出發(fā)分鐘，走了(厘米)時(shí)第7次追上蝸牛。通過上面的分析，這類題目的解法就越來越清楚了，我們歸納一下。為敘述方便，將烏龜走一條邊所需時(shí)間記為。先按第⑴種情況列方程，求出烏龜追上蝸牛所需總時(shí)間中，走路需要的時(shí)間。若是的整數(shù)倍，則第⑴種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時(shí)間。若不是的整數(shù)倍，再按第⑶種情況列方程，求出烏龜追上蝸牛所需要的時(shí)間。在與之間若有的整數(shù)倍的數(shù)，其中最小的記為，則第⑵種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時(shí)間。在與之間若沒有的整數(shù)倍的數(shù)，則第⑶種情況成立，烏龜追上蝸牛共需時(shí)間,其中表示不大于的最大整數(shù)。鐘面行程問題鐘面行程問題【前鋪】某小組在下午6點(diǎn)多開了一個(gè)會(huì)，剛開會(huì)時(shí)小張看了一下手表，發(fā)現(xiàn)那時(shí)手表的分針和時(shí)針垂直。下午7點(diǎn)之前會(huì)就結(jié)束了，散會(huì)時(shí)小張又看了一下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時(shí)針仍然垂直，那么這個(gè)小組會(huì)共開了分鐘?！痉治觥糠轴樏糠昼娹D(zhuǎn)圈，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)圈。分針要比時(shí)針多轉(zhuǎn)圈，需要（分）小明在1點(diǎn)多鐘時(shí)開始做奧數(shù)題，當(dāng)他做完題時(shí)，發(fā)現(xiàn)還沒到2：30，但此時(shí)的時(shí)針和分針與開始做題時(shí)正好交換了位置，你知道小明做題用了多長時(shí)間，做完題時(shí)是幾點(diǎn)嗎？在不到1.5小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，時(shí)針與分針正好交換了一下位置，說明兩針在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)了一圈，則經(jīng)分鐘。兩針在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)了一圈，所以時(shí)針實(shí)際轉(zhuǎn)了圈，所以開始做作業(yè)時(shí)分針在時(shí)針前圈，做完作業(yè)時(shí)時(shí)針在分針前圈，2點(diǎn)的時(shí)候，時(shí)針在分針前圈，所以還要經(jīng)過小時(shí)，即分，小明所以做完作業(yè)時(shí)是2點(diǎn)分。某工廠的一只走時(shí)不夠準(zhǔn)確的計(jì)時(shí)鐘需要69分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間）時(shí)針與分針才能重合一次。工人每天的正常工作時(shí)間是8小時(shí)，在此期間內(nèi)，每工作一小時(shí)付給工資4元，而若超出規(guī)定時(shí)間加班，則每小時(shí)付給工資6元。如果一個(gè)工人照此鐘工作小時(shí)，那么他實(shí)際上應(yīng)得工資多少元？時(shí)鐘的一圈有60小格，分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走格。時(shí)針和分針從一次重合到下一次重合，分針應(yīng)比時(shí)針多走一圈，因此需要時(shí)間（分鐘）。于是依題設(shè)可知，計(jì)時(shí)鐘的分鐘相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的69分鐘。從而用此鐘計(jì)時(shí)的8小時(shí)，實(shí)際上應(yīng)該是（小時(shí)），那么工人實(shí)際上應(yīng)得的工資為元。注：在鐘面追及與相遇問題中，通常使用的單位有：圈數(shù)、角度、格數(shù)（一般用小格為單位）本題雜糅了其他應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系（分段算工資），單就鐘面問題，應(yīng)該問到“實(shí)際時(shí)間用了多少小時(shí)”就結(jié)束；把一個(gè)綜合應(yīng)用題根據(jù)數(shù)量關(guān)系拆分開來看問題，這是一種高級(jí)的審題能力，也是一種很好的解題思路，這樣才能保證思路清晰。（2006年北京市“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)）一個(gè)掛鐘每天慢30秒。一個(gè)人在3月23日12時(shí)校正了掛鐘，到4月2日14時(shí)至15時(shí)之間，掛鐘的時(shí)針與分針重合在一起時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間應(yīng)該是4從3月23日12時(shí)30×10÷60=5（分）此時(shí)掛鐘顯示11時(shí)55分。因?yàn)闀r(shí)針與分針兩次重合時(shí)間為（分）；所以從標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間4月 （分）；相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間 (分)≈2時(shí)15分57秒所求時(shí)刻為14時(shí)15分57秒。附加題目附加題目（第五屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”決賽）小王8點(diǎn)騎摩托車從甲地出發(fā)前往乙地，8點(diǎn)15追上一個(gè)騎車人．小李開大客車8點(diǎn)15從甲地出發(fā)前往乙地，8點(diǎn)半追上這個(gè)騎車人．小張8點(diǎn)多也從甲地開小轎車出發(fā)前往乙地，速度是小李的1.25倍．當(dāng)他追上騎車人后，速度提高了20％．結(jié)果小王、小李、小張三人一同于9點(diǎn)整到達(dá)乙地．小王、小李、騎車人的速度始終不變．騎車人從甲地出發(fā)時(shí)是幾點(diǎn)幾分，小張從甲地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn)幾分幾秒？不妨設(shè)從甲地到乙地的距離為單位“1”，小王從甲地到乙地一共用了1小時(shí)，所以小王的速度為1，小李從甲地到乙地一共用了45分鐘（即小時(shí)），所以小李的速度為，小王追上騎車人時(shí)，走了總路程的，而小李追上騎車人時(shí)，走了總路程的，可見騎車人在兩次被追上之間走了總路程的，所以騎車人的速度為，因?yàn)轵T車人8點(diǎn)15被小王追上時(shí)已經(jīng)走了總路程的四分之一，所以騎車人的出發(fā)時(shí)間是小時(shí)以前，即7點(diǎn)30分。如圖，、兩地位于圓形公路一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)。一天上午8點(diǎn)甲從出發(fā)，沿順時(shí)針方向步行，同時(shí)乙從出發(fā)，騎自行車沿逆時(shí)針方向行進(jìn)。8點(diǎn)40分時(shí)乙將自行車放在路邊，自己改為步行。當(dāng)甲走到自行車停放地點(diǎn)時(shí)，就騎上自行車?yán)^續(xù)前進(jìn)。結(jié)果在點(diǎn)的時(shí)候兩人同時(shí)到達(dá)地。已知兩人步行速度相同，都是每小時(shí)5千米，而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，求乙騎車的速度。根據(jù)題意，可知乙騎了小時(shí)，步行了小時(shí)。由于甲乙步行速度相同，所以甲應(yīng)步行小時(shí)后騎上自行車，騎了小時(shí)后到達(dá)地。因?yàn)榧椎穆烦淌且业穆烦痰?倍，所以乙騎小時(shí)，步行小時(shí)等于甲騎小時(shí)，步行小時(shí)。而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，所以甲騎小時(shí)相當(dāng)于乙騎小時(shí)。5×(-)÷(-)=(千米/小時(shí))，所以乙騎車的速度是千米/小時(shí)。如圖，長方形的長與寬的比為，、為邊上的三等分點(diǎn)，某時(shí)刻，甲從點(diǎn)出發(fā)沿長方形逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，乙、丙分別從、出發(fā)沿長方形順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．甲、乙、丙三人的速度比為．他們出發(fā)后分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線第一次構(gòu)成長方形中最大的三角形，那么再過多少分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線第二次構(gòu)成最大三角形？長方形內(nèi)最大的三角形等于長方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長方形的某條邊重合，并且另一個(gè)點(diǎn)恰好在該長方形邊的對(duì)邊上。所以我們只要討論三個(gè)人中有兩個(gè)人在長方形的頂點(diǎn)上的情況。將長方形的寬等分，長等分后，將長方形的周長分割成段，設(shè)甲走段所用的時(shí)間為個(gè)單位時(shí)間，那么一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，乙、丙分別走段、段，由于、、兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時(shí)間的時(shí)候，甲、乙、丙三人最多也只能有個(gè)人走了整數(shù)段。所以我們只要考慮在整數(shù)單位時(shí)間，三個(gè)人運(yùn)到到頂點(diǎn)的情況。對(duì)于甲的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間（單位時(shí)間）……地點(diǎn)對(duì)于乙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間（單位時(shí)間）……地點(diǎn)對(duì)于丙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論：時(shí)間（單位時(shí)間）……地點(diǎn)需要檢驗(yàn)的時(shí)間點(diǎn)有、、、、……個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲和丙重合無法滿足條件。個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲在上，三人第一次構(gòu)成最大三角形．所以一個(gè)單位時(shí)間相當(dāng)于分鐘。個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲、乙、丙分別在、、的位置第二次構(gòu)成最大三角形。所以再過分鐘。三人所在位置的點(diǎn)的連線第二次構(gòu)成最大三角形？鞏固精練鞏固精練周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行。在他們第10次相遇后，王兩人每共走1圈相遇1次，用時(shí)480÷(55+60)=4(分)，到第10次相遇共用40分鐘，王老師共走了55×40=2200（米），要走到出發(fā)點(diǎn)還需走480×5-2200=200（米）。有甲乙兩只鐘表，甲表8時(shí)15分時(shí)，乙表8時(shí)31分。甲表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每9小時(shí)快3分（每標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的9小時(shí)，甲表分針多走3小格），乙表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每7小時(shí)慢3分（每標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的7小時(shí)，乙表分針少走3小格）。至少要經(jīng)過幾小時(shí)，兩種表的指針指在同一時(shí)刻？起始時(shí)間時(shí)，乙表領(lǐng)先甲表16格，以后每63小時(shí)，甲表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘多走3×7=21格，乙表少走3×9=27格，甲表比乙表多走48小格，所以只要小時(shí)，甲表和乙表重合。一個(gè)圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發(fā)點(diǎn)30厘米處與甲第一種情況是表示回到點(diǎn)后又走到是30厘米，設(shè)點(diǎn)是起始點(diǎn)，乙的爬行速度是厘米/秒，乙爬到點(diǎn)走了厘米，所用時(shí)間為秒。乙反向后在離出發(fā)點(diǎn)30厘米處與甲相遇，所用時(shí)間是秒，即從出發(fā)開始計(jì)算，乙爬行時(shí)間是秒，而甲爬行時(shí)間是秒，所以，可列出等量關(guān)系式：+=，解得（厘米/秒）。第二種情況是從走到走了40厘米，即從到到還有30厘米。則有方程：解得：(厘米/秒)，但是在這種情況下乙的初速度大于甲的速度，也就是說，在乙還沒有反向爬行前，乙一直領(lǐng)先于甲，所以乙與甲的第一次相遇，應(yīng)該發(fā)生在乙返回途中，相遇點(diǎn)距離出發(fā)點(diǎn)的距離小于15厘米，所以這種情況應(yīng)該被排除。正方形場(chǎng)地，邊長米，甲從點(diǎn)、乙從點(diǎn)同時(shí)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每分鐘甲行135米，乙行120米，每過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)要多用5秒。出發(fā)后，甲與乙相會(huì)需多長時(shí)間?在何處相會(huì)?假設(shè)甲與乙休息次數(shù)相同(即第(1)種情況)。設(shè)甲不算休息共行了秒。根據(jù)甲比乙多行80米，可得方程：解得(秒)。甲走一條邊需(秒)，因?yàn)?，所以甲正好走?條邊，假設(shè)成立。甲休息了9-1=8(次)，甲追上乙共需：(秒)即6分鐘。甲走了9條邊，追上的位置在點(diǎn)。

游泳比賽是一個(gè)集競(jìng)技游泳、跳水、花樣游泳和水球?yàn)橐惑w的大型項(xiàng)目。在２００８年北京奧運(yùn)會(huì)上，游泳比賽共設(shè)４６個(gè)小項(xiàng)，其中競(jìng)技游泳３４項(xiàng)、跳水８項(xiàng)、水球和花樣游泳各２項(xiàng)，金牌之多僅次于田徑比賽。

奧運(yùn)會(huì)競(jìng)技游泳主要采用四種姿勢(shì)比賽，即自由泳、仰泳、蛙泳和蝶泳。自由泳俗稱“爬泳”，是競(jìng)技游泳中速度最快的泳姿，行進(jìn)時(shí)兩臂輪流由前向后滑行，動(dòng)作像爬行。

仰泳俗稱“背泳”，游進(jìn)時(shí)，兩腿交替上下打水，由大腿發(fā)力帶動(dòng)小腿，上踢下壓，以提高身