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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選:D.2.若,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由排列數(shù)計(jì)算公式可得,解得或.由于且,故.故選:C.3.若函數(shù),則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?,則.故選:B4.從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可,因此,滿(mǎn)足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選:B.5.已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)的相切于點(diǎn),則切點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,由,得,則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,把點(diǎn)代入切線(xiàn)方程得,,即,又,所以,則,則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:A6.已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng),則不同選法的種數(shù)是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng),分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū),每人都有3種選擇,則共有種,故選:C.7.下列不等式中,對(duì)任意的不恒成立的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,故,則.故A不合題意;當(dāng)時(shí),,故B符合題意;令,則,則在上單調(diào)遞增,故,則.故C不合題意;令,則,則在上單調(diào)遞增,故,則.故D不合題意.故選:B.8.設(shè)函數(shù)(),則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗函數(shù),可得,當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)是增函數(shù),所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件;在定義域上是增函數(shù),可知恒成立,此時(shí),所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件;綜上,“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件;故選:C.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)的導(dǎo)函數(shù),若在處取得極大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,可得,得或,當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞增;或時(shí),單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,符合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減;或時(shí),單調(diào)遞增;所以在處取得極小值,不符合題意,舍去;當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減;或時(shí),單調(diào)遞增;所以在處取得極大值,符合題意.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:D10.已知函數(shù),若,且,則的最小值為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù),作出函數(shù)圖象如圖:當(dāng)時(shí),.由,得,則.令,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,,即的最小值為.故選:A.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.______.〖答案〗〖解析〗,故〖答案〗為:612.若甲、乙、丙、丁人站成一排,甲不站兩端,則不同排法的種數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗若甲、乙、丙、丁4人站成一排,先排乙、丙、丁3人,共有種,排好之后形成4個(gè)空,甲不站兩端,則有2種選擇,則不同排法的種數(shù)為.故〖答案〗為:12.13.已知函數(shù).則______;若,則______.〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)?,則,所以,因?yàn)?,則.故〖答案〗為:;.14.設(shè)函數(shù).能說(shuō)明“對(duì)于任意的,都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是______.〖答案〗-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可)〖解析〗“對(duì)于任意的,都有成立”,即函數(shù)在上單調(diào)遞增.由函數(shù),可得,令,可得,時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)是增函數(shù);時(shí),,函數(shù)是減函數(shù),故“對(duì)于任意的,都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可).故〖答案〗為:-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可).15.某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度(單位:)與跳起后的時(shí)間(單位:)存在函數(shù)關(guān)系,的圖象如圖所示,已知曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于軸,根據(jù)圖象,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為;②曲線(xiàn)在附近比在附近下降得慢;③曲線(xiàn)在附近比在附近上升得快;④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和,則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①③④〖解析〗因?yàn)?,所?對(duì)于①,因?yàn)榍€(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于軸,所以切線(xiàn)的斜率為0,即,所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為,故①正確;對(duì)于②,由題意知,所以,即曲線(xiàn)附近比在附近下降得快,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由題意知,所以,即曲線(xiàn)在附近比在附近上升得快,故③正確;對(duì)于④,由題意知且,所以,,所以,所以.即,故④正確;故〖答案〗為:①③④.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解:(1)因?yàn)椋?令,解得,.隨著x的變化,,變化情況如下表:x100極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,,,所以,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18,最小值為.17.已知函數(shù).(1)求的極值;(2)比較的大小,并畫(huà)出的大致圖像;(3)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)的定義域?yàn)?,,于是時(shí),單調(diào)遞增;時(shí),單調(diào)遞減,又,則在處取到極小值,無(wú)極大值.(2)由(1)知,在區(qū)間上單調(diào)遞減.故.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,故,所以.因?yàn)?,所以.結(jié)合(1)中的單調(diào)性,大致圖像如下:(3)的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線(xiàn)在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由(2)的圖像知,當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯桑?8.某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽,該比賽采用場(chǎng)勝制,每場(chǎng)均為單打,若某隊(duì)先勝場(chǎng),則比賽結(jié)束,要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽,每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場(chǎng)比賽,前場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次,若場(chǎng)不能決出勝負(fù),則由第位或第位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽.(1)若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽,求該隊(duì)前場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況;(2)已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽.①若場(chǎng)決出勝負(fù),列出該隊(duì)所有可能出場(chǎng)情況;②若場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù),求該隊(duì)共有幾種出場(chǎng)情況.解:(1)根據(jù)題意,該球隊(duì)前場(chǎng)比賽有種出場(chǎng)情況.(2)①因?yàn)閳?chǎng)決出勝負(fù),所以該球隊(duì)所有可能出場(chǎng)有6種情況如下:甲、乙、丙;甲、丙、乙;乙、甲、丙;乙、丙、甲;丙、甲、乙;丙、乙、甲.②由①知,前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況.所以場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí),前3場(chǎng)有6種,后1場(chǎng)有2種,該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況.場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí),前3場(chǎng)有6種,后2場(chǎng)有2種,該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況.所以場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí),該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況.19.已知函數(shù)().(1)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.①直接寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間,并求的值;②若有且只有1個(gè)零點(diǎn),直接寫(xiě)出的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性.解:(1)①由圖象知,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.因?yàn)椋裕蓤D知.即,解得②由①知,,當(dāng)時(shí),取極大值;當(dāng)時(shí),取極小值,由題意得:或,∴的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.20.已知函數(shù).(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(2)設(shè),求證:當(dāng)時(shí),;(3)對(duì)任意的,判斷與的大小關(guān)系,并證明結(jié)論.解:(1)由,得.因?yàn)椋郧€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.(2)依題意,.所以.當(dāng)時(shí),,所以.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因,所以當(dāng)時(shí),.(3)不妨假設(shè)中的定值,令,,則,,.由(2)知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以.從而在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,即.綜上,對(duì)任意的,有21.已知函數(shù),.(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,求的值;(2)設(shè)函數(shù),證明:的圖象在的圖象的上方.解:(1)因,,所以.依題設(shè),,,且.解得,.(2)令,,證明的圖象在圖象的上方,等價(jià)于證明對(duì)任意的,恒成立,等價(jià)于證明當(dāng),的最小值大于零.由,得,,令,則,且當(dāng)時(shí),.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)?,,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以,即.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.因?yàn)?,且,所以.因?yàn)?,所以.故.所以.故?duì)任意的,恒成立,即的圖象在圖象的上方.北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選:D.2.若,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由排列數(shù)計(jì)算公式可得,解得或.由于且,故.故選:C.3.若函數(shù),則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑒t.故選:B4.從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可,因此,滿(mǎn)足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選:B.5.已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)的相切于點(diǎn),則切點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,由,得,則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,把點(diǎn)代入切線(xiàn)方程得,,即,又,所以,則,則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:A6.已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng),則不同選法的種數(shù)是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng),分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū),每人都有3種選擇,則共有種,故選:C.7.下列不等式中,對(duì)任意的不恒成立的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,故,則.故A不合題意;當(dāng)時(shí),,故B符合題意;令,則,則在上單調(diào)遞增,故,則.故C不合題意;令,則,則在上單調(diào)遞增,故,則.故D不合題意.故選:B.8.設(shè)函數(shù)(),則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗函數(shù),可得,當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)是增函數(shù),所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件;在定義域上是增函數(shù),可知恒成立,此時(shí),所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件;綜上,“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件;故選:C.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù),若在處取得極大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,可得,得或,當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞增;或時(shí),單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,符合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減;或時(shí),單調(diào)遞增;所以在處取得極小值,不符合題意,舍去;當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減;或時(shí),單調(diào)遞增;所以在處取得極大值,符合題意.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:D10.已知函數(shù),若,且,則的最小值為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù),作出函數(shù)圖象如圖:當(dāng)時(shí),.由,得,則.令,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,,即的最小值為.故選:A.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.______.〖答案〗〖解析〗,故〖答案〗為:612.若甲、乙、丙、丁人站成一排,甲不站兩端,則不同排法的種數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗若甲、乙、丙、丁4人站成一排,先排乙、丙、丁3人,共有種,排好之后形成4個(gè)空,甲不站兩端,則有2種選擇,則不同排法的種數(shù)為.故〖答案〗為:12.13.已知函數(shù).則______;若,則______.〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)?,則,所以,因?yàn)?,則.故〖答案〗為:;.14.設(shè)函數(shù).能說(shuō)明“對(duì)于任意的,都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是______.〖答案〗-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可)〖解析〗“對(duì)于任意的,都有成立”,即函數(shù)在上單調(diào)遞增.由函數(shù),可得,令,可得,時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)是增函數(shù);時(shí),,函數(shù)是減函數(shù),故“對(duì)于任意的,都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可).故〖答案〗為:-1(〖答案〗不唯一,只要滿(mǎn)足即可).15.某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度(單位:)與跳起后的時(shí)間(單位:)存在函數(shù)關(guān)系,的圖象如圖所示,已知曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于軸,根據(jù)圖象,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為;②曲線(xiàn)在附近比在附近下降得慢;③曲線(xiàn)在附近比在附近上升得快;④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和,則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①③④〖解析〗因?yàn)?,所?對(duì)于①,因?yàn)榍€(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于軸,所以切線(xiàn)的斜率為0,即,所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為,故①正確;對(duì)于②,由題意知,所以,即曲線(xiàn)附近比在附近下降得快,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由題意知,所以,即曲線(xiàn)在附近比在附近上升得快,故③正確;對(duì)于④,由題意知且,所以,,所以,所以.即,故④正確;故〖答案〗為:①③④.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解:(1)因?yàn)椋?令,解得,.隨著x的變化,,變化情況如下表:x100極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,,,所以,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18,最小值為.17.已知函數(shù).(1)求的極值;(2)比較的大小,并畫(huà)出的大致圖像;(3)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)的定義域?yàn)?,,于是時(shí),單調(diào)遞增;時(shí),單調(diào)遞減,又,則在處取到極小值,無(wú)極大值.(2)由(1)知,在區(qū)間上單調(diào)遞減.故.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,故,所以.因?yàn)?,所以.結(jié)合(1)中的單調(diào)性,大致圖像如下:(3)的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線(xiàn)在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由(2)的圖像知,當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?,?8.某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽,該比賽采用場(chǎng)勝制,每場(chǎng)均為單打,若某隊(duì)先勝場(chǎng),則比賽結(jié)束,要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽,每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場(chǎng)比賽,前場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次,若場(chǎng)不能決出勝負(fù),則由第位或第位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽.(1)若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽,求該隊(duì)前場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況;(2)已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽.①若場(chǎng)決出勝負(fù),列出該隊(duì)所有可能出場(chǎng)情況;②若場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù),求該隊(duì)共有幾種出場(chǎng)情況.解:(1)根據(jù)題意,該球隊(duì)前場(chǎng)比賽有種出場(chǎng)情況.(2)①因?yàn)閳?chǎng)決出勝負(fù),所以該球隊(duì)所有可能出場(chǎng)有6種情況如下:甲、乙、丙;甲、丙、乙;乙、甲、丙;乙、丙、甲;丙、甲、乙;丙、乙、甲.②由①知,前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況.所以場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí),前3場(chǎng)有6種,后1場(chǎng)有2種,該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況.場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí),前3場(chǎng)有6種,后2場(chǎng)有2種,該球隊(duì)共有種出場(chǎng)
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