上海市16區(qū)2020學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末壓軸題匯編

目錄

2020年上海市寶山區(qū)初二下學(xué)期期末第24題............................2

2020年上海市寶山區(qū)初二下學(xué)期期末第25題............................3

2020年上海市崇明區(qū)初二下學(xué)期期末第24題............................5

2020年上海崇明區(qū)初二下學(xué)期期末第25題..............................7

2020年上海市奉賢區(qū)初二下學(xué)期期末第25題............................8

2020年上海市奉賢區(qū)初二下學(xué)期期末第26題............................9

2020年上海市虹口區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................11

2020年上海市虹口區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................13

2020年上海市黃浦區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................14

2020年上海市黃浦區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................15

2020年上海市嘉定區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................18

2020年上海市嘉定區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................19

2020年上海市建平西校初二下學(xué)期期末第24題........................20

2020年上海市建平西校初二下學(xué)期期末第25題........................21

2020年上海市金山區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................23

2020年上海市金山區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................24

2020年上海市靜安區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................25

2020年上海市靜安區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................26

2020年上海市閔行區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................28

2020年上海市閔行區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................29

2020年上海市浦東區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................30

2020年上海市浦東區(qū)初二下學(xué)期期末第27題...........................32

2020年上海市普陀區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................33

2020年上海市普陀區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................34

2020年上海市青浦區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................36

2020年上海市青浦區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................38

2020年上海市世外初二下學(xué)期期末第24題.............................39

2020年上海市世外初二下學(xué)期期末第25題.............................40

2020年上海市松江區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................42

2020年上海市松江區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................43

2020年上海市楊浦區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................44

2020年上海市楊浦區(qū)初二下學(xué)期期末第26題...........................46

2020年上海市長(zhǎng)寧區(qū)初二下學(xué)期期末第24題...........................48

2020年上海市長(zhǎng)寧區(qū)初二下學(xué)期期末第25題...........................48

2020年上海市寶山區(qū)初二下學(xué)期期末第24題

如圖I,反比例函數(shù)y=24的圖像與過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx(厚0)相交于點(diǎn)4、B,點(diǎn)4

x

的橫坐標(biāo)是一4.點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方.

(1)求％的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,4),且以點(diǎn)P、4、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，寫出點(diǎn)C

的坐標(biāo)以及此時(shí)的矩形面積；

(3)設(shè)點(diǎn)。是動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線網(wǎng)、PB與x軸分別交于點(diǎn)“、N,試

用數(shù)學(xué)方法判斷四邊形PMQN是怎樣的特殊四邊形.

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P的

坐標(biāo)為(1,4)時(shí)，以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的矩形只存在一種情況.點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第

(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線上一運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，四邊形PMQN始終保持菱形的形狀.

滿分解答

4

(1)將》=-4代入y=—，得y=-l.所以A(—4,-1).

x

將A(—4,—1)代入得一1=-4A.解得k=』.

4

因?yàn)辄c(diǎn)8與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以8(4,1).

(2)如圖2,已知A(—4,一1)、8(4,1)、P(l,4),所以4P2=52+52=50,BP2^32+32

=18,AB2=82+22=68.所以4P2+sp2=AB2.

所以ZMBP是直角三角形，NAPB=90。.

因此以點(diǎn)P、A、8、C為頂點(diǎn)的矩形，只存在一種情況，點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以C(-l,-4).

所以用C8=APPB=5&x3&=30.

圖2

44

(3)如圖3,設(shè)P(八一),那么。(見(jiàn)一一).

mm

設(shè)MN與PQ交于點(diǎn)G.

414

由P(肛一)、A(-4,-l),得直線A尸的解析式為y=—x+——1.所以M(m—4,0).

mmm

4i4

由—)、8(4,1),得直線AP的解析式為y=一一上+—+1.所以%(團(tuán)+4,0).

mmm

所以MG=NG=4.所以PQ垂直平分MM

又因?yàn)楫a(chǎn)、。兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以MN垂直平分尸Q.

所以四邊形PMQN是菱形.

圖3

2020年上海市寶山區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

如圖1,在梯形ABCQ中，AD//BC,NB=90。，如果AO=4,BC=10,點(diǎn)E在線段

AB上，將ABCE沿CE翻折，線段CB恰好和線段C￡＞重合.

(1)求梯形ABC。的高以及點(diǎn)E與點(diǎn)B之間的距離；

(2)如圖2,EFLCE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FGVBA于點(diǎn)G,求梯形AOFG

的中位線的長(zhǎng)度；

(3)動(dòng)點(diǎn)M在線段“上，當(dāng)△￡＞加為等腰三角形時(shí)，求線段CM的長(zhǎng).

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20寶山25”，可以體驗(yàn)到，4BCE與4DCE全等,4GEF與4DEF

全等.點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)M在EC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，XDEM

的三個(gè)頂點(diǎn)各有一次機(jī)會(huì)落在對(duì)邊的垂直平分線上.

滿分解答

(1)如圖3,過(guò)點(diǎn)。作于

在RSDHC中，DC=BC=]0,CH=BC-AD^10-4=6,所以。H=8.

如圖4,在RsAE。中，AO=4,設(shè)AE=x,那么EO=E8=A8-AE=8-x.

由勾股定理，得AE2+AQ2=EQ2.所以*+42=(8—

解得x=3.所以EB=8—x=5.

(2)如圖5,因?yàn)镋FLCE,所以/2+/3=90。.所以Nl+N4=90。.

又因?yàn)镹l=/2,根據(jù)等角的余角相等，得N3=/4.

又因?yàn)镹FGE=NFDE=90。,EF=EF,所以AGEFg△￡>￡：/.

所以EG=ED=5.所以GA=GE-AE=5-3=2.

如圖6,過(guò)點(diǎn)尸作FNLBCTN.

在RtaFNC中，F(xiàn)N=GA+AB=2+8=10,設(shè)FD=FG=m,那么FC=F￡>+QC=〃?+

10,NC=BC-FG=\0-m.

由勾股定理，得FM+NC2=FC2.所以lOa+aO-mpnao+MZ.解得〃?=3.

2

所以梯形AOFG的中位線=g(FG+A￡))=gxg+4)=?

(3)如圖7,在Rtz^CE中，BE=5,8c=1(),所以CE=5jL

分三種情況討論等腰三角形DEM.

①如圖7,當(dāng)EM=E0=5時(shí)，CM=CE-EM=5乖-5.

②如圖8,當(dāng)MD=ME時(shí)，可證得DM是RtADEC斜邊上的中線.

所以CM=EM=-CE=—.

22

③如圖9,當(dāng)力E=￡>何時(shí)，可證得DN//AN,CM是RSMNC的斜邊.

上面第②、③兩種情況的解題過(guò)程如下：

如圖8,當(dāng)MD=ME時(shí)，ZMDE=NMED.

根據(jù)等角的余角相等，得/MOC=NMCD所以￡>M=CM.

所以CM=EM=-CE=—.

22

如圖9,當(dāng)。E=DM時(shí)，Z2=Z5.

又因?yàn)镹1=N2,所以N1=N5.所以。W/M8.所以NMNC=NB=90°.

在RtAMNC中，MN=DN-DM=8—5=3,NC=BC-A￡)=10—4=6,所以CM=3后.

2020年上海市崇明區(qū)初二下學(xué)期期末第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0)、B(0,4),

點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為x軸上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求直線A8的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)直線C￡＞與直線AB互相垂直時(shí)，求點(diǎn)。的

坐標(biāo)；

(3)以A、C、。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形能否成為等腰

三角形？若能，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20崇明24”，拖動(dòng)點(diǎn)。在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△4CO的頂

點(diǎn)C、D各有一次機(jī)會(huì)落在對(duì)邊的垂宜平分線上，頂點(diǎn)A有兩次機(jī)會(huì)落在對(duì)邊的垂直平分線

上.

滿分解答

(1)設(shè)直線A8的函數(shù)表達(dá)式為y=Ax+4(原0).

將A(2,0)代入，得兼+4=0.解得％=—2.

所以直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4.

(2)如圖2,因?yàn)镃。垂直平分48,所以D4=C8.

設(shè)點(diǎn)￡>(x,0),根據(jù)￡>42=032列方程，得(x—2)2=f+42.

解得x=-3.所以￡>(—3,0).

(3)如圖3,在RS4O8中，。4=2,08=4,所以A8=2行.圖2

因?yàn)辄c(diǎn)C為線段48的中點(diǎn)，所以C(l,2).

分三種情況討論等腰三角形4CD

①如圖3,當(dāng)AQ=AC=石時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為(2+石，0)或(2一百.0).

②如圖4,當(dāng)D4=QC時(shí)，根據(jù)力/二。。?列方程，得(x—2)2=。-1)2+22.

解得x=-L,所以。(」.0).

22

③如圖5,當(dāng)C4=C。時(shí)，點(diǎn)C在AC的垂直平分線上，所以。(0,0),此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)

。重合.

2020年上海崇明區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

如圖1,在矩形A8C￡＞中，AB=6,BC=8,點(diǎn)P為邊AO上一動(dòng)點(diǎn)，把AABP沿8P翻

折后得到AEBP.

(1)當(dāng)點(diǎn)E恰好落在矩形對(duì)角線8。上時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)直線PE與邊BC相交于點(diǎn)尸時(shí)，AFBP是否一定是等腰三角形？請(qǐng)給出你的結(jié)

論，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)直線PE與邊BC相交于點(diǎn)F，且點(diǎn)E在線段PF上時(shí)，設(shè)AP=x,BF=y,求y

關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域.

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20崇明25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AQ上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，

當(dāng)點(diǎn)E落在矩形對(duì)角線8。上時(shí)，是直角三角形.觀察中間圖，可以體驗(yàn)到，AFBP

始終保持等腰三角形的形狀不變.觀察右圖，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)E、F兩點(diǎn)重合時(shí)，四邊形

A8FP是正方形.

滿分解答

(1)如圖2,在RtAABD中，AB=6,AQ=8,所以80=10.

在Rl△。尸E中，OE=8O—8E=10-6=4,設(shè)AP=EP=x,那么PO=8—x.

由勾股定理，得E尸+。序=巴)2.

所以f+42=(8—解得x=3.所以AP=3.

(2)△FBP一定是等腰三角形.理由如下：

如圖3,因?yàn)锳D//BC,所以N1=N3.

又因?yàn)镹l=/2,所以N2=N3.

所以PF=8凡△FBP是等腰三角形.

(3)如圖4,在RS8E尸中，BE=AE=6,BF=y,EF=^PF-PE=y-x,由勾股定理,

得"序+后產(chǎn)=8尸.所以6?+。一》)2=廣

整理，得)，=三士史.定義域是8-2萬(wàn)人6.

2x

2020年上海市奉賢區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-3x+15交x軸

于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)結(jié)AZ),過(guò)點(diǎn)C作CE〃A。交x軸于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)A、8坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)B作BF//AD交直線DE于點(diǎn)F,如果四邊形ABFD

是矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20奉賢25”，拖動(dòng)點(diǎn)C在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，四邊形

ACEO和四邊形AZJFQ始終保持平行四邊形的形狀不變，矩形ABFD只存在一種情況，此時(shí)

△4CO是直角三角形.

滿分解答

(1)由y=—3x+15,當(dāng)x=0時(shí)，y=15；當(dāng)y=0時(shí)，x=5.

所以4(5,0),8(0,15).

(2)如圖2,因?yàn)辄c(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以O(shè)C=O￡>.

因?yàn)镃E〃AO,所以NOCE=/OQA.

又因?yàn)镹COE=NDOA,所以ACOEZZXOOA.

所以0E=0A=5.所以E(—5,0).也就是說(shuō)，不論點(diǎn)C在直線A8上什么位置，點(diǎn)E

的位置都是確定的.

(3)如圖2,因?yàn)镺C=OD,OE=OA,所以四邊形ACEO是平行四邊形.所以ACHED.

如圖3,又因?yàn)?F〃A￡),所以四邊形ABFD是平行四邊形.

如果四邊形A8FD是矩形，那么NCAO=90。.

所以AO是Rt44CD斜邊上的中線，所以O(shè)A=OC=O￡>=5.

設(shè)C(肛一+15),那么OC2=m2+(—3,〃+15)2=52.

整理，得m2-9"?+20=0.解得〃h=4,或加2=5(此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，舍去).

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3).

圖2圖3

2020年上海市奉賢區(qū)初二下學(xué)期期末第26題

如圖1,四邊形A8CD中，AO〃BC,/4=90。，AD=4,DC=5,過(guò)點(diǎn)C作CE〃BO

交AQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE交C￡>于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)AB=A。時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

(2)設(shè)BC=x,四邊形BCE。的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)當(dāng)ABO尸為直角三角形時(shí)，求BC的長(zhǎng).

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20奉賢26”，拖動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是

以點(diǎn)D為圓心，半徑為5的圓，四邊形BCED始終保持平行四邊形的形狀不變.點(diǎn)擊按鈕“N

DFB=90。”,可以體驗(yàn)到，四邊形BCED是菱形.點(diǎn)擊按鈕“NBDF=90?！?可以體驗(yàn)到，4BDC

是直角三角形.

滿分解答

(1)如圖2,作8c于，，得到矩形45HC和直角三角形OHC.

在RlAOHC中，Z)H=AB=AO=4,DC=5,所以“C=3.

所以BC=BH+HC=AD+HC=4+3=1.

(2)如圖2,在RSOHC中，DC=5,HC=BC-BH^x~4.

由勾股定理，得。序=。。2一印了=52—。-4)2.

整理，得DH=，-/+8彳+9.

如圖3,因?yàn)锳E〃8C,CE//BD,所以四邊形BCE力是平行四邊形.

所以y=Swii.BBCED—BC-DH—xy1—x2+8x+9.

定義域是0〈xV9.

當(dāng)點(diǎn)C落在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，A、B兩點(diǎn)重合，此時(shí)x=BC=4Q+OC=4+5=9.

(3)分兩種情況討論直角三角形BQF.

①如圖4,當(dāng)/8尸。=90。時(shí)，8E垂直。C.

所以四邊形8CEQ是菱形.所以8Q=BC=x.

在RtZiOB”中，DH2=DB1-BH2=^-42.

在RSOC”中，DH2=DC2-CH2=52~(X-4)2.

所以;^—42=52—(X—4)2.

整理，得Zx2-8A-25=0.

解得占普，或&=土普(舍去).

所以8c=4+病.

2

②如圖5,當(dāng)NBQC=90。時(shí)，△8QC也是直角三角形.

在RSDBH中，DB2^=DH2+BH2^52-(X-4)2+42.

在RtABDC中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2.

所以<=52—(x—4)2+42+52.

整理，得f-4x-25=0.

解得Xi=2+>/^,sKx,=2—\/29(舍去).

所以8c=2+月.

圖4圖5

2020年上海市虹口區(qū)初二下學(xué)期期末第24題

如圖1,一次函數(shù)y=2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,以A8為邊作正方形

ABCD,點(diǎn)、C、。在直線AB的下方.

(1)求點(diǎn)4、B、C的坐標(biāo)；

(2)求直線CD的表達(dá)式；

(3)設(shè)直線CO與x軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形AECF

為等腰梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20虹口24”，可以體驗(yàn)到，四個(gè)直角三角形都全等，正方形A8C。

的外接矩形用NPQ也是正方形.點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第(3)題”，可以體驗(yàn)到，以A、

E、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形存在三種情況.

滿分解答

(1)由y=2x+4,得A(—2,0),8(0,4).

如圖2,構(gòu)造正方形ABCD的外接正方形MNPQ.

因?yàn)镹l+N2=90。，N2+/3=90。，所以/l=/3.

又因?yàn)?M=/N=90。，AB=BC,所以△ABMgZXBCM

所以CN=BM=OA=2,BN=AM=OB=4.

所以C(4,2).

(2)因?yàn)镃Q//A8,設(shè)直線CQ的表達(dá)式為y=2r+A

代入點(diǎn)C(4,2),得8+b=2.解得6=-6.圖2

所以直線CD的表達(dá)式為y=2x-6.

(3)由y=2x—6,得E(3,0).

分兩種情況討論四邊形AECF為等腰梯形.

①如圖3,當(dāng)FC//AE時(shí)，設(shè)等腰梯形的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)”，與FC交于點(diǎn)G.

由4(-2,0)、￡(3,0),得對(duì)稱軸G”為直線x=‘.

2

所以點(diǎn)C(4,2)關(guān)于直線x=-的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-3,2).

2

②如圖4,當(dāng)AF//CE時(shí)，點(diǎn)尸在直線AB上.設(shè)Rm,2m+4).

根據(jù)FC?3!序列方程，得(加一4)2+(2燒+4-2-=52.

解得加=1，或恤=-1(此時(shí)四邊形AEC尸為平行四邊形，舍去).

所以尸(1,6).

拓展延伸

第(3)題，問(wèn)題若改為以A、E、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則還有一種情況.

如圖5,EF//AC.

12

由4—2,0)、C(4,2),得直線AC的表達(dá)式為y=

設(shè)直線E尸的解析式為y=}+8,代入E(3,0),得1+6=0.解得6=7.

所以直線EF的解析式為y=—1.設(shè)—1).

根據(jù)4尸=。審列方程，得(〃+2)2+(2“一1)2=正+22.整理，得12〃2+竺〃=o

393

解得切=0,或〃2=—3(此時(shí)四邊形AECF為平行四邊形，舍去).

所以尸(0,—1).

2020年上海市虹口區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

如圖1,在RtZ^BC中，NC=90。，NABC=30。，AB=4,點(diǎn)。是射線CB上一點(diǎn)(點(diǎn)

。與點(diǎn)C不重合)，以A。為邊作等邊AAOE,且點(diǎn)E與點(diǎn)C在直線4。的異側(cè)，過(guò)點(diǎn)E作

EFVAB于點(diǎn)F.

(1)求證：&ACD91XAFE：

(2)聯(lián)結(jié)BE,設(shè)CQ=x,BE=y,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出定義域；

(3)當(dāng)AAQB為等腰三角形時(shí)，求△ACS的面積.

圖1備用圖

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)。在CB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到,△ACD與△4FE

始終保持全等.點(diǎn)擊屏幕左下方按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)。在射線C8上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)

到，△AQ8是等腰三角形存在兩種情況.

滿分解答

(1)如圖2,在RtAABC中，ZABC=30°,AB=4,

所以AC=2,NBAC=60。.

因?yàn)锳AOE是等邊三角形，所以ZDAE=60°.

所以N8AC=ND4E.

所以/84C—NOAF=N￡>AE—/ZMF,即Nl=/2.

又因?yàn)樗砸?FE=NC=90。.

所以"CD<(AAS).圖2

(2)如圖2,由△ACD咨△AFE,AF=AC=2,FE=CD=x.

所以F8=AB—AF=4—2=2.

在RtABE尸中，由勾股定理，得BE2=FE2+FBt

所以整理，得y=4+4.

定義域是0〈爛2G.

(3)分兩種情況討論等腰三角形AO8.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí)，/AD8是鈍角，只存在D4=C8的情況，所以/3

=ZB=30°.因此N1=30°.

在R3ACO中，AC=2,設(shè)CO=，〃，那么AQ=2m.

由勾股定理，得川+22=(2間2.

解得〃?=土亞（舍去負(fù)值）.

3

所以8。=<78—8=26-迫=拽.

33

此時(shí)SAADB=-BDAC=-.

23

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)。在線段C2的延長(zhǎng)線上時(shí)，NAB。是鈍角，只存在8A=8。=4的情

況.

此時(shí)S&ADB=—BD-AC=4.

2

2020年上海市黃浦區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

如圖1，矩形OMPN的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，M.N分別在x軸和y軸的正半軸上，OM=8,

ON=4,直線y=-；x+l分別交x軸和y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)A作C4，x軸交PN于點(diǎn)C,

過(guò)點(diǎn)8作軸交PM于點(diǎn)￡>,4c與80交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C、。作直線CD

(1)求直線CO的解析式；

(2)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E,使以8、C、D、E為頂點(diǎn)，BC為腰的梯形是等

腰梯形？若存在，求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

V

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20黃浦25”，可以體驗(yàn)到，以8、C、D、E為頂點(diǎn)，BC為腰的等

腰梯形存在兩種情況.

滿分解答

(1)由y=-gx+l,得4(2,0)，B(0,1).

又因?yàn)橐騇=8,ON=4,所以C(2,4),0(8,1).

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b(原0).

(2k+h=4k=!-

將C(2,4)、98,1)代入y=fcx+6,得。，解得42,

8Z+b=1..u

i[b=5.

所以直線CD的函數(shù)表達(dá)式為＞=-gx+5.

(2)分兩種情況討論以8、C、D、E為頂點(diǎn),8c為腰的等腰梯形.

①如圖2,當(dāng)CE//8O時(shí)，設(shè)等腰梯形的對(duì)稱軸與BO交于點(diǎn)“，與CE交于點(diǎn)G.

由8(0,1)、0(8,1),得對(duì)稱軸G”為直線x=4.

所以點(diǎn)C(2,4)關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,4).

②如圖3,當(dāng)5E//CD時(shí)，點(diǎn)E在直線48上.設(shè)E(見(jiàn)--tn+\).

2

根據(jù)。E2=BC2列方程，得("?-8戶+(」m+l-1)2=22+32.

2

整理，W5W2-64W+204=0.

解得〃?嚴(yán)出，或m=6(此時(shí)四邊形8CDE為平行四邊形，舍去).

5

所以E(.，-絲).

55

2020年上海市黃浦區(qū)初二下學(xué)期期末第26題

如圖1，矩形ABCQ中，AB=6,BC=8,點(diǎn)尸是射線8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P和點(diǎn)8不

重合).點(diǎn)E、F分別是線段BP、OP的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CF、EF.

(1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，ACE尸中有沒(méi)有長(zhǎng)度保持不變的邊？如果有，指出是哪一

條邊，并求出其長(zhǎng)度；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段8c上時(shí)，設(shè)BP=x,ZkCEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出定義域;

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,如果ACE尸是等腰三角形，求線段BP的長(zhǎng).

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20黃浦26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在8c上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，EF是“BD

的中位線，)，隨x的增大而減小.點(diǎn)擊屏幕左下方按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)P在8c上運(yùn)

動(dòng)，可以體驗(yàn)到，尸的頂點(diǎn)C、F各有一次機(jī)會(huì)落在對(duì)邊的垂直平分線上，頂點(diǎn)E有兩

次機(jī)會(huì)落在對(duì)邊的垂直平分線上.

滿分解答

(1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，EF的長(zhǎng)度保持不變.理由如下：

如圖2,聯(lián)結(jié)3D

在RSC8O中，8c=8,DC=AB=6,所以80=10.

因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是線段8P、OP的中點(diǎn)，所以EF是△P8Q的中位線.

所以EF=」8O=5.

2

(2)如圖3,取PC的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)FM.

因?yàn)辄c(diǎn)尸、M分別是OP、PC的中點(diǎn)，所以是AOPC的中位線.

所以BW=1oC=3,FM//DC.所以FM_LBC.

2

因?yàn)?P=x，點(diǎn)E是BP的中點(diǎn)，所以=

22

所以CE=BC-BE=8--x.

2

1113

所以y=S4cEF=]EC.FM=-(8--x)x3=--x+12.

定義域是0〈g8.

(3)第一步，羅列△CEF的三邊長(zhǎng)的平方.

在ACEF中，EF2=52=25,CE2=

如圖4,在RlAOCP中，OC=6,CP=\x-S\,所以。產(chǎn)=62+(X-8)2=/-16工+100.

因?yàn)辄c(diǎn)尸是0P的中點(diǎn)，所以CF2=(-DP)2-^-(x2-16x+100).

第二步，分三種情況列方程，討論等腰三角形CEP的存在性.

①如果EC=EF,那么￡C2=Ef2.所以(8-gx)=25.

解得x=6(如圖4所示),

②如果C/=C￡,那么C/^=CE2.所以:(X2-16X+100)=(8-；X

解得.三(如圖6所示).

4

③如果FC=FE=5,那么FC2=FE2.所以L(X2-16X+100)=25.

4

解得x=0,或x=16.

如圖7,當(dāng)x=0時(shí)，B、P、E三點(diǎn)重合，舍去；

如圖8,當(dāng)x=16時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，ACEF不存在，舍去.

圖6圖7圖8

2020年上海市嘉定區(qū)初二下學(xué)期期末第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y=-gx+6的圖像與x軸、y軸分別

相交于點(diǎn)A、B,且與兩坐標(biāo)系所圍成的三角形的面積為6.

(1)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示)；

(2)求b的值;

(3)如果一次函數(shù)y=-gx+b的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,機(jī))，

其中機(jī)＞0,試用含m的代數(shù)式表示AABC的面積.

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20嘉定24”，拖動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是一

條平行于y軸的射線，ZABC的面積可以通過(guò)割補(bǔ)法表示.

滿分解答

43

由3=——x+b,得點(diǎn)A(口＞,0),點(diǎn)B(0,加.

34

(2)如圖2,由SAACW=-O/VOB-b2=6,解得b=±4.

28

(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=-gx+b的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以人=—4.

所以點(diǎn)4—3,0),點(diǎn)B(0,—4).

如圖3,構(gòu)造A/WC的外接矩形CDEF.

所以ShABC=S由形CDEF—S&ADC—S^ABE-S&BCF

=5(根+4)——m-6—(m+4)=-m+10.

2020年上海市嘉定區(qū)初二下學(xué)期期末第25題

己知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a((TVa<90。)，得到線

段CE,聯(lián)結(jié)BE、CE、DE.過(guò)點(diǎn)B作交線段。E的延長(zhǎng)線于F.

(1)如圖1,當(dāng)8E="時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時(shí)，N8E尸的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)用含

a的代數(shù)式表示；如果不變，請(qǐng)求出N8EF的度數(shù)；

(3)聯(lián)結(jié)4凡求證：DE=-JlAF.

圖1備用圖

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20嘉定25”，拖動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，ABCE和

△8DE始終保持等腰三角形的形狀不變，△8EF始終保持等腰直角三角形的形狀不變，當(dāng)點(diǎn)

E落在弧上時(shí)，A8CE是等邊三角形.觀察右圖，可以體驗(yàn)到，四邊形AGF”始終保持正方

形的形狀不變，三個(gè)直角三角形是全等的.

滿分解答

(1)如圖2,因?yàn)镃E=CO=C8,當(dāng)BE=CE時(shí)，BE=CE=CB.

所以ABCE是等邊三角形.

所以N8CE=60。.所以a=NOCE=30。.

(2)的度數(shù)不發(fā)生變化.理由如下：

如圖3,由CD=CE=CB,得NCDE=NCED=6,/CE8=/C8E=y.

在四邊形8cOE中，根據(jù)內(nèi)角和等于360°,可得20+y)+90。=360。.

所以/8ED=S+y=135。.

所以NBEF=45。為定值.

(3)第一步，如圖4,作AG_L8尸交8尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作4"！?。尸于”.

又因?yàn)锽F_LDF,所以四邊形AGFH是矩形.

所以NGAH=N84￡)=90。.

所以/GAB=NH4D(如圖5所示).

又因?yàn)?8=40,/G=ZA”D=90。，所以AGAB絲△〃AO.

所以AG=AH,四邊形AGFH是正方形.所以4H=乃AF.

2

第二步，如圖6,作CM_LOE于M.

根據(jù)同角的余角相等，得/HAD=NMDC.

又因?yàn)镹A”￡>=/DWC=90°,AD=DC,所以

所以AH=OM.

第三步，由CE=C7),CMLDE,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，得。M=EM.

所以DE=2DM=2AH=&AF.

圖4圖5圖6

2020年上海市建平西校初二下學(xué)期期末第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、8兩點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M,且點(diǎn)M為線段08的中點(diǎn).

(1)求直線4M的函數(shù)解析式；|y

(2)若點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，且SAAMC=2SAAB”，求點(diǎn)C的坐、時(shí)

標(biāo)；3米

Ox

(3)點(diǎn)P在直線AB上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使四邊形8PMQ是菱形？若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20建西24”，可以體驗(yàn)到，△AMC與是等高三角形，所以

面積比等于底AC與AO之比，菱形BPMQ只存在一種情況.

滿分解答

(1)由y=-2x+12,得4(6,0),8(0,12).

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，所以M(0,6).

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y^kx+6.

代入點(diǎn)A(6,0),得6k+6=0.解得々=-1.

所以直線AM的函數(shù)解析式為)，=一》+6.

(2)如圖2,因?yàn)辄c(diǎn)例為線段08的中點(diǎn)，所以S“MO=SAABM.

2?

已知S^AMC~~S^ARM>等量代換，得SAAMC=~SAAMO.

33

如圖3,因?yàn)锳AMC與AAMO是等高三角形，所以面積比等于底AC與A。之比.

2

所以AC=-AO=4.

3

①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，OC=OA-4C=6-4=2.此時(shí)C(2,0).

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，OC=OA+AC=6+4=10.此時(shí)C(10,0).

(3)如圖4,若四邊形BPMQ是菱形，那么PQ垂直平分8M,所以)力=9.

33

將>=9代入)，=-2%+12,得一2x+12=9.解得*=-.所以尸(一，9).

2020年上海市建平西校初二下學(xué)期期末第25題

如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCZ)中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)。

重合)，點(diǎn)。是邊CC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB、PQ,且NPBC=NBPQ.。

A1；D

(1)當(dāng)QQ=QC時(shí)，求AP的長(zhǎng)；7\/

BC

(2)設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)聯(lián)結(jié)8Q,在APSQ中是否存在度數(shù)不變的角，若存在，指出這個(gè)角，并求出它的

度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

動(dòng)感體驗(yàn)

打開(kāi)幾何畫板文件名“20建西25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到,△A8P與

始終保持全等，與△CB。始終保持全等，NP8Q=45。是定值.

滿分解答

(1)如圖2,聯(lián)結(jié)BQ.作8，_LPQ于”.

因?yàn)锳/J//BC,所以

已知NPBC=NBPQ,等量代換，得

又因?yàn)锽P=BP,NBHP=/A,所以△“BPg/XABP(AAS).

所以P”=fi4,BH=BA=BC.

乂因?yàn)锽Q=3。，所以RSH8Q也RSCBQ(HL).

所以Q”=QC.所以PQ=/7/+Q”=朋+QC.設(shè)AP=x.

在RtZkP。。中，PD=AD-AP=2-x,QD=QC=^DC=\,PQ=PA+QC=x+\.

由勾股定理，得所以Q-X)2+I=(X+[)2.

解得x=2±.所以4尸=±2.

33

(2)如圖3,在RSP。。中，PD=AD-AP=2-X9QD=DC-QC=2~y,

PQ=PA+QC=x+y.

由勾股定理，得尸。2+?！?尸。2.所以Q—x)2+(2—y)2=a+y)2.

整理，得)，=上必.

(3)如圖4,因?yàn)樗?l=/2.

因?yàn)椤鳌?Qg/\C8Q,所以/3=/4.

又因?yàn)镹A8C=Z1+Z2+/3+/4=90。.

所以2/2+2/3=90。.所以N2+N3=45。.

所以/P3Q=45。，是定值.

AP________DAPDAPn

圖2圖3圖4

2020年上海市金山區(qū)初二下學(xué)期期末第24題

已知一次函數(shù))，=履+〃(后0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,2)、仇2,0),點(diǎn)