2019湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷 解析版

2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

1.（3分）-W的絕對值是（）

4

A.-3B.WC.D..1

4433

2.（3分）如果分式,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x=-1

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日A2點”Ho使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X10567B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.8a-3b=5abB.（a2）3=a5C.a84-?4=a2D.cr'a—a3

6.（3分）如圖，已知4下交CZ）于點E,KBE1AF,NBED=40°,則/A的

7.（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

8.（3分）下列命題是假命題的是（)

A.〃邊形（〃23）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

9.（3分）不等式組|的整數(shù)解是（）

x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

10.（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016

年底有貧困人口9萬人,通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設2016

年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2%）=1B.9（1-x）2=1C.9（l+2x）=1D.9（1+x）2=1

11.（3分）如圖，一次函數(shù)勿=履+6（斤#0）的圖象與反比例函數(shù)（膽為常數(shù)且，"

x

W0）的圖象都經(jīng)過A（-1,2）,B（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式依+b>皿的解集是

x

（）

A.x<-1B.-l<x<0

C.x<-1s^0<x<2D.-l<x<0或x>2

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,E是AB的中點，過點E

作AC和BC的垂線，垂足分別為點。和點兒四邊形CDE尸沿著C4方向勻速運動，點

C與點A重合時停止運動，設運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與AABC的重疊

部分面積為S.則S關于，的函數(shù)圖象大致為（）

B

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：2a2-8=.

14.（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其

它沒有任何區(qū)別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為工，則。等

2

于.

15.（3分）折-遂=.

16.（3分）計算：-X、.+1=.

X-l1-X

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y=W的圖象如圖所示.已知A點坐標為（1,1）,

過點4作A4i〃x軸交拋物線于點4,過點4作AIA2〃0A交拋物線于點4,過點A2

作A2A3〃x軸交拋物線于點A3,過點A3作A3A4〃交拋物線于點4……，依次進行下

去，則點A2019的坐標為.

三、解答題（本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26

題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）（［）-3+|A/3-2|+tan600-（-2019）°

2

20.（6分）進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決

課程選擇情況條形統(tǒng)計圖課程選擇情況扇形統(tǒng)計圖

（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是;

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報。的學生約有多少人？

21.（8分）關于x的一元二次方程f-3x+&=0有實數(shù)根.

（1）求上的取值范圍；

（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（n-1）7+x+,"-3=0與方程7

-3x+k=0有一個相同的根，求此時m的值.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面。處測得

樓房頂部4的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米

到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房A8高度.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：73^1.73,72^1.41）

//樓

。說。/房

阻(60。

CEB

23.(8分)如圖，點A、B、C在半徑為8的。。上，過點8作BD〃AC,交OA延長線于

點。.連接BC,且/BC4=NO4C=30°.

(1)求證：BO是。。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

24.(8分)某商店購進4、8兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等.

(1)求購買一個A商品和一個8商品各需要多少元；

(2)商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍,

并且購買A、8商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方

案？

25.(10分)如圖，二次函數(shù)y=/+Zw+c的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點8(3,0),

與y軸交于點N,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與y軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關系表達式；

(2)當點尸在線段03(點P不與0、2重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點連接MMMB.請問：AMBN的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.

26.（12分）如圖，在等邊△A8C中，AB=6cm,動點P從點A出發(fā)以/c%/s的速度沿48

勻速運動.動點。同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點尸

到達點5時，點P、Q同時停止運動.設運動時間為以f（s）.過點P作PELAC于E,

連接尸。交AC邊于D以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE.

（1）當，為何值時，△8PQ為直角三角形;

（2）是否存在某一時刻/，使點尸在NABC的平分線上？若存在，求出，的值，若不存

在，請說明理由;

（3）求。E的長:

（4）取線段BC的中點連接尸將ABPM沿直線PM翻折，得AB'PM,連接A8',

當f為何值時，A9的值最?。坎⑶蟪鲎钚≈?

BC—2

2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的.）

1.（3分）-3的絕對值是（）

4

A.-2B.?C.-且D.A

4433

【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答.

【解答】解：|-故選：B.

44

【點評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關鍵是熟記負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

2.（3分）如果分式」」在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x=-1

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：x+l#0,

xW-1,

故選：A.

【點評】本題考查分式的有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用分式有意義的條件，本

題屬于基礎題型.

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控

制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點Halo使命軌道，成為世界首顆運

行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X105B.65X103C.6.5X104D.6.5X105

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù).確定〃

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值>1時，”是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，”是負數(shù).

【解答】解：科學記數(shù)法表示65000公里為6.5X104公里.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX1"的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,"為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及〃的值.

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.8a-3b—5abB.（a2）3—a5C.a8-ra4=a2D.a2*a—cri

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)基的乘法法則、塞的乘方法則以及同底數(shù)

事除法法則解答即可.

【解答】解：A、8a與3%不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；

B、（/）3=/,故選項8不合題意；

C、^^a4=a4,故選項C不符合題意；

D、故選項。符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了幕的運算性質(zhì)以及合并同類項的法則，熟練掌握運算法則是解

答本題的關鍵.

6.（3分）如圖，已知AB〃CO,A尸交CD于點E,且ZSED=40°,則NA的

度數(shù)是（）

ED

AB

A.40°B.50°C.80°D.90°

【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：尸，NBED=40：

ZFED=50°,

'."AB//CD,

.?.NA=NFE￡>=50°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，正確得出NFEO的度數(shù)是解題

關鍵.

7.（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,

90,88,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

【分析】先將題中的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：將小明所在小組的5個同學的成績重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，

故選：B.

【點評】本題考查了中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺?/p>

歹IJ,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（〃23）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

【分析】根據(jù)多邊形的外角和、線段垂直平分線的性質(zhì)、對頂角和矩形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、〃邊形（〃》3）的外角和是360°,是真命題；

B、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，是真命題；

C、相等的角不一定是對頂角，是假命題；

。、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；

故選：C.

【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯

誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

Q3Y

二的整數(shù)解是()

{x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

【分析】先求出不等式組的解集，再求出整數(shù)解，即可得出選項.

'2x>3x①

【解答】解:

x+4>2②

解不等式①得：xVO，

解不等式②得：-2,

不等式組的解集為-2<x<0,

...不等式組的整數(shù)解是-1,

x+4〉2

故選：B.

【點評】本題考查了解一元一次不等式的應用，能靈活運用不等式的性質(zhì)進行變形是解

此題的關鍵.

10.(3分)國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016

年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設2016

年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得()

A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2%)=1D.9(1+x)2=1

【分析】等量關系為：2016年貧困人口*(1-下降率)2=2018年貧困人口，把相關數(shù)

值代入計算即可.

【解答】解：設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：

9(1-%)2=1,

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關系是

解決本題的關鍵.

11.（3分）如圖，一次函數(shù)yi=fcc+6（左片0）的圖象與反比例函數(shù)”=皿（機為常數(shù)且，w

x

W0)的圖象都經(jīng)過A(-1,2),B(2,1）,結(jié)合圖象，則不等式履+b>皿的解集是

x

B.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式丘+%>皿的

X

解集.

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)yi=）tr+b（ZW0）的圖象在反比例函數(shù)”=皿

x

（加為常數(shù)且，"W0）的圖象上方時，x的取值范圍是：或04<2,

...不等式履+b>皿的解集是x<-I或0<x<2

x

故選：C.

【點評】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求

不等式的解集.利用數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,E是AB的中點，過點E

作AC和8c的垂線，垂足分別為點。和點凡四邊形CDEF沿著C4方向勻速運動，點

C與點A重合時停止運動，設運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與AABC的重疊

部分面積為S.則S關于，的函數(shù)圖象大致為（）

BK

CD

【分析】根據(jù)已知條件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFC。是正方形，設

正方形的邊長為“，當移動的距離時，如圖15=正方形的面積-H的面積=

a2--t2；當移動的距離＞a時，如圖2,S=S^ACH=—(2a-t)2=1^-2at+2c^,根

222

據(jù)函數(shù)關系式即可得到結(jié)論；

【解答】解：：在直角三角形ABC中，ZC=90",AC=BC,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

'：EF±BC,ED±AC,

四邊形EFC。是矩形，

是AB的中點，

：.EF=^AC,DE=LBC,

22

：.EF=ED,

二四邊形EFC￡＞是正方形，

設正方形的邊長為。，

如圖1當移動的距離時，$=正方形的面積-”的面積

2

當移動的距離時，如圖2,S=S^ACH=^-(2a-t)2=1?-2at+2a2,

22

.??S關于/的函數(shù)圖象大致為c選項，

B

CDD,

圖1

【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵

是讀懂題意，學會分類討論的思想，屬于中考常考題型.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

13.(3分)因式分解：2/-8=2(a+2)(a-2).

【分析】首先提取公因式2,進而利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案為：2(a+2)(a-2).

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題

關鍵.

14.(3分)在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其

它沒有任何區(qū)別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為工，則a等于5.

2

【分析】根據(jù)概率公式列出關于。的方程，解之可得.

【解答】解：根據(jù)題意知二—=工，

3+2+a2

解得〃=5,

經(jīng)檢驗：。=5是原分式方程的解，

,?4=5,

故答案為：5.

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.(3分)V27-V3=_2V3_.

【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=3爪-蟲=2正.

故答案為：2畬.

【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握二次根

式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般.

16.（3分）計算：—1—=1.

x-11-x

【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式

X-lX-1

=X-1

=1.

故答案為：1.

【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是

【分析】易得正三角形的中心角為120°,那么中心角的一半為60°,利用60°的正弦

值可得正三角形邊長的一半，乘以2即為正三角形的邊長.

【解答】解：如圖，圓半徑為6,求AB長.

/AOB=360°+3=120°

連接。A,OB,作OC_LAB于點C,

'：OA=OB,

：.AB=2AC,ZAOC=60°,

；.AC=OAXsin60。=6X通=3?,

2

.?.AB=2AC=6b，

故答案為：6j"§.

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，先利用垂徑定理和相應的三角函數(shù)知識

得到AC的值是解決本題的關鍵.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y=f的圖象如圖所示.已知A點坐標為（1,1）,

過點A作A4i〃x軸交拋物線于點4，過點4作AIA2〃O4交拋物線于點A2，過點上

作AM3〃X軸交拋物線于點A3,過點43作A3A4〃。4交拋物線于點A4.，依次進行下

去，則點42019的坐標為（-1010,101（）2）.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點4的坐標，求得直線4A2為y=x+2,聯(lián)立方程求

得出的坐標，即可求得A3的坐標，同理求得4的坐標，即可求得A5的坐標，根據(jù)坐標

的變化找出變化規(guī)律，即可找出點A20I9的坐標.

【解答】解：點坐標為(1,1),

直線。4為^=14(-1,1),

,：A\A2//OA,

直線A\A2為y—x+2,

解尸得尸或產(chǎn)，

y=x^Iy=lIy=4

；.A2(2,4),

/.A3(-2,4),

直線A34為y=x+6,

解了得了一2或(

y=x21y=4\y=9

."4(3,9),

；.A5(-3,9)

AA2019(-1010,10102),

故答案為(-1010,10I02).

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的圖象以及交點的坐標,

根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26

題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.(6分)([)-3+|A/3-2|+tan600-(-2019)0

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別

化簡得出答案.

【解答】解：原式=8+2-我+我-1

=9.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

20.(6分)進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決

下歹!I問題：

課程選擇情況條形統(tǒng)計圖課程選擇情況扇形統(tǒng)計圖

(1)這次學校抽杳的學生人數(shù)是40；

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)如果該校共有1000名學生，請你估計該校報D的學生約有多少人？

【分析】(D利用A項目的頻數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)計算出C項目的人數(shù)后補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中該校報O的學生數(shù)占被調(diào)查學生數(shù)的比例即可得.

【解答】解：(1)這次學校抽查的學生人數(shù)是124-30%=40(人)，

故答案為：40人；

(2)C項目的人數(shù)為40-12-14-4=10(人)

條形統(tǒng)計圖補充為：

八年級（3）班研學項目選擇情況的

條形統(tǒng)計圖

（3）估計全校報名軍事競技的學生有1000X_L=100（人）.

40

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

21.（8分）關于x的一元二次方程/-3x+左=0有實數(shù)根.

（1）求發(fā)的取值范圍；

（2）如果％是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（機-1）f+x+m-3=0與方程，

-3x+Z=0有一個相同的根，求此時m的值.

【分析】（1）利用判別式的意義得到4=（-3）2-4左）0,然后解不等式即可；'

（2）利用（1）中的結(jié)論得到火的最大整數(shù)為2,解方程7-3X+2=0解得xi=l,超=2,

把x=l和x=2分別代入一元二次方程（m-1）^x+m-3=0求出對應的m,同時滿足

m-17^0.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得△=（-3）2-4后0,

解得&w2；

4

（2）k的最大整數(shù)為2,

方程7-3x+Z=0變形為7-3x+2=0,解得xi=l,X2=2,

,一元二次方程（5-1）f+x+w-3=0與方程7-3x+%=0有一個相同的根，

.?.當x=l時，m-\+\+m-3=0,解得m=W；

2

當x=2時，4（w-1）+2+/W-3=0,解得機=1,

而用-1#0,

：.m的值為2.

2

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程/+法+c=0（e0）的根與△=/-4“c

有如下關系：當△＞（）時.，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=（）時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當△＜（）時，方程無實數(shù)根.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面。處測得

樓房頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米

到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面CO=10米，山坡的坡度i=l：V3

（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房A8高度.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：遮-1.73,aF.41）

【分析】過。作于G,于H,交AE于F,作FP_LBC于P,貝UOG=

FP=BH,DF=GP,求出/￡>CG=30°,得出FP=QG=Lc￡>=5,CG=V5DG=5?,

2

求出DF=GP=2W^+1O證出ND4F=30°=ZADF,得出AF=OF=竺返+10,得

33

出FH=UF=12+5,因此A4=??/=10+5?,即可得出答案.

23

【解答】解：過￡>作￡>G_LBC于G,DHLAB于H,交AE于F,作FP_LBC于P,如圖

所示：

則DG=FP=BH,DF=GP,

?.,坡面C￡>=10米，山坡的坡度i=l：而，

AZDCG=30°,

：.FP=DG=1-CD=5,

2

：.CG=yf3DG^5y/3,

,：ZFEP=6QQ,

：.FP=y/3EP=5,

:.EP=

3_

DF=GP=5?+10+殳反=義返+10,

33

VZAEB=60°,

：.ZEAB=30°,

VZADH=30°,

AZDAH=60°,

AZDAF=30°=ZADF,

.?.AF=O尸=22返+10,

3_

...FH=L尸=12^+5,

23

；.A"=遂尸”=10+5?,

：.AB=AH+BH=10+573+5=15+573^15+5X1.73^23.7（米）,

答：樓房AB高度約為23.7米.

【點評】此題是解直角三角形的應用--仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定

義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類

題的關鍵.

23.（8分）如圖，點A、B、C在半徑為8的。。上，過點8作8O〃AC,交OA延長線于

點。.連接8C,且/BC4=/Q4C=30°.

（1）求證：BD是。0的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理求出NCOA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NOC4,

根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/=30°,解直角三角形求出BZ）,分別求出△80。的面積

和扇形A08的面積，即可得出答案.

【解答】（1）證明：連接。B,交CA于E,

VZC=30°,ZC=kzBOA,

2

：.ZBOA=60°,

,：ZBCA=ZOAC=30Q,

AZAEO=90°,

即OBLAC,

'：BD//AC,

:.NDBE=NAEO=90°,

.??8。是(DO的切線；

(2)解：'JAC//BD,NOC4=90°,AZD=ZCAO=30°,

VZOSD=90°,OB=8,

:.BD=y[^OB=8M，

.??SP懶=SABOO-s8X873-兀義呼=32炳-^2L.

23603

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解宜角

三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中.

24.（8分）某商店購進4、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并

且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等.

（1）求購買一個A商品和一個3商品各需要多少元；

（2）商店準備購買A、8兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍,

并且購買4、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方

案？

【分析】（1）設購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，根據(jù)數(shù)

量=總價+單價結(jié)合花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等，即可

得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)設購買8商品加個，則購買A商品(80-機)個，根據(jù)A商品的數(shù)量不少于B商

品數(shù)量的4倍并且購買A、8商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關

于m的一元一次不等式組，解之即可得出〃?的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可找出各購

買方案.

【解答】解：(1)設購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要(x+10)元，

依題意，得：&_=也必，

x+10x

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意，

.*.x+10=15.

答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元.

(2)設購買8商品機個，則購買A商品(80-，")個，

’80-m〉4m

依題意,得一15(80-m)+5in>1000

15(80-m)+5ir<105C

解得：15W/nW16.

?.”為整數(shù)，

.*.m=15或16.

二商店有2種購買方案，方案①：購進4商品65個、B商品15個；方案②：購進A商

品64個、B商品16個.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)

找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不

等式組.

25.(10分)如圖，二次函數(shù)y=/+fex+c的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),

與y軸交于點N,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCC,點P是x軸上一動點，連接

CP,過點P作CP的垂線與)，軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關系表達式；

(2)當點P在線段08(點P不與0、B重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大

值？并求出這個最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點M,連接MMMB.請問：△MBN的面積是否存

在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)將點A、8的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；

(2)設。尸=x，則尸B=3-x,由△POEs/XCBP得出比例線段，可表示OE的長，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值；

(3)過點M作MH//y軸交BN于點H,由SAMNB=S"M"+SAMM7=^MH,0B即可求解.

【解答】解：(1)),??拋物線y=*+6x+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),

把A、8兩點坐標代入上式，1l-b+c=O,

I9+3b+c=0

解得：尸2,

lc=-3

故拋物線函數(shù)關系表達式為-2r-3;

(2)VA(-1,0),氤B(3,0),

.?.AB=04+03=1+3=4,

?.?正方形48C￡>中，/ABC=90°,PCI.BE,

；.NOPE+NCPB=90°,

NCPB+NPCB=90°,

：./OPE=NPCB,

又,；/EOP=NPBC=90°,

：./\POEs/\CBP,

?BCOP

,,瓦汽，

設OP=x,則PB=3-x,

???4二x,

3-xOE

：.OE=L(23)；(總)2%

4、742^16

V0<x<3,

線段0E長有最大值，最大值為

16

即。尸=5時,線段OE有最大值.最大值是-L.

216

（3）存在.

如圖，過點M作M//〃y軸交BN于點”,

；拋物線的解析式為y=W-2x-3,

，x=0,y=-3,

點坐標為（0,-3）,

設直線BN的解析式為y^kx+b,

直線BN的解析式為y=x-3,

設M(a,a1-2a-3),則”(a,a-3),

：.MH^a-3-(J-2a-3)=-a2+3<7,

.?“=3時，△M8N的面積有最大值，最大值是2工，此時M點的坐標為（3,」5）.

2824

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次

函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與

圖形性質(zhì)，會利用相似比表示線段之間的關系.利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形

結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵.

26.（12分）如圖，在等邊AABC中，AB=6cm,動點P從點A出發(fā)以/tro/s的速度沿AB

勻速運動.動點。同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P

到達點B時，點P、Q同時停止運動.設運動時間為以f(s).過點尸作PELAC于E,

連接PQ交AC邊于￡>.以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE.

(1)當r為何值時，△BPQ為直角三角形；

(2)是否存在某一時刻f,使點尸在NA8C的平分線上？若存在，求出/的值，若不存

在，請說明理由；

(3)求OE的長；

(4)取線段BC的中點M,連接將△BPM沿直線PM翻折，得^夕PM,連接,

當f為何值時，AB，的值最??？并求出最小值.

【分析】(1)當3Q=2BP時，NBPQ=90°,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(2)如圖1中，連接B尸交AC于M.證明E尸=2EM,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)證明。E=L1C即可解決問題.

2

(4)如圖3中，連接AM,AB'.根據(jù)48'-MB'求解即可解決問題.

【解答】解：(1)???△ABC是等邊三角形，

.\ZB=60°,

.?.當BQ=2BP時，NBPQ=90°,

：.6+t=2(67),

**?t=3,

.1=3時，△BPQ是直角三角形.

(2)存在.

理由：如圖1中，連接BF交AC于

E

圖1

???3尸平分NABC,BA=BC,

：.BF.LAC,AM=CM=3an,

■:EF〃BQ,

：.ZEFM=ZFBC=kzABC=30°,

2

；.EF=2EM,

??./=2?(3-Lf),

2

解得r=3.

(3)如圖2中，作尸K〃8C交AC于K.

圖2

**,△ABC是等邊三角形，

AZB=ZA=60°,

?：PK〃BC,

：.ZAPK=ZB=60°,

AZA=ZAPK=ZAKP=60°,

???ZVIPK是等邊三角形，

:?PA=PK,

*：PELAK,

：.AE=EKf

'：AP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQ,ZPDK=ZQDC,

：./\PKD^AQCDCAAS),

：.DK=DC,

:.DE=EK+DK=L(AK+CK)=LC=3(cm).

22

(4)如圖3中，連接4何，AB'

圖3

'：BM=CM=3,AB=AC,

：.AM±BC,

???AM=4AB2-BH2=3F,

"：AB'》AM-MB',

：.AB',3?-3,

：.AB'的最小值為3T-3.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸

題.

提高中小學教學質(zhì)量在于課堂

中小學課堂教學作為一種教育人的生命活動，是人生中一段重要的生命經(jīng)

歷。對此，全國著名特級教師竇桂梅深有感觸“課堂是一個值得我們好好經(jīng)營的

地方，是我們?nèi)松逕挼牡缊?。課堂就是一本人生的大書，贏在課堂，就是贏得

人生。”我們還要理直氣壯地說課堂是學校的血脈、教師的根基、學生的跑道，

教學質(zhì)量不能輸在課堂，精彩人生不能輸在課堂。全面提高中小學教學質(zhì)量就要

贏在課堂，這是奠基、這是底線、這是焦點、這是根本。

當下，我們認真審視和考量中小學課堂教學，不難發(fā)現(xiàn)教師教得苦、學生學

得累、質(zhì)量難得好的現(xiàn)象還是比較普遍，主要困境如下：

一是教學理念轉(zhuǎn)變不到位。課改的核心理念是為了每一位學生的發(fā)展，以人

為本。但在課堂教學現(xiàn)狀中我講你聽、我寫你記、我考你背仍然流通?？键c為中

心，考題為中心，考試為中心仍然盛行。穿新鞋，走老路只管教，不管學重考試,

輕能力仍然存在。

二是教學目的窄化、不明確。我們的教師應該是既傳學習之道，更傳做人之

道既授課堂學業(yè)，更授立身基業(yè)既解攻書之惑，更解成長之惑?，F(xiàn)實中有些老師

則是將“傳道授業(yè)解惑”直接演繹為知識傳授、解題訓練，考試高分是教學的唯

一目的或最為重要的目的。

三是教學目標落實不清楚。課程改革提出教學三維目標，即知識與技能，過

程與方法，情感、態(tài)度與價值觀。

四是教學內(nèi)容封閉不科學。當今的教學改革關注自然、關注社會、關注生活、

關注熱點。選拔考試突出考能力、考素養(yǎng)、考思辨。令人擔憂的是有些老師在教

材使用上拘泥教材，內(nèi)容選擇上應付考試，直接導致教師走進苦海，學生跳進題

海。

五是教學方式單一不管用。課程改革倡導“自主、合作、探究”的學習方式,

走進新課改，對話教學、問題教學、探究教學效果顯著。

六是教學效率偏低不高效。有的課堂"互動"只停留在形式上，假互動、無效

熱鬧充斥課堂。自主、合作、探究或是牽強附會，或是徒有虛名，或是無病呻吟。

表面上看起來課堂比較活躍,，實際上浪費了時間，浪費了精力，效率低下。

七是教學主體忽視不全面。一部分課堂教學，仍然存在著學生的主體作用被

忽視