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文檔簡介
最新河南專升本高數(shù)真題及答案
資料僅供參考
河南省普通高等學校
選拔優(yōu)秀專科生進入本科階段學習考試
《高等數(shù)學》試卷
題號一二三四五六總分核分人
分數(shù)
單項選擇題(每題2分,共計50分)
在每小題的備選答案中選出一個正確答案,并將其代碼寫在題干后
面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者,該題無分.
1.集合{3,4,5}的所有子集共有
()
A.5B.6C.7D.8
解:子集個數(shù)2"=23=8=0。
2.函數(shù)/(x)=arcsin(r-1)+-J3-X的定義域為
()
A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]
在17—1X—IM1
解:5=>0<x<2=>Bo
3-x20
3.當x-0時,與x不等價的無窮小量是
()
A.2xB.sinA:C.ex-1D.lnQ+%)
解:根據(jù)常見等價關系知,只有2x與工比較不是等價的。應選A。
4.當x=0是函數(shù),(冗)=arctan’的()
x
A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點
hjj,.17Tl.1兀-
解:limarctan—=—;limarctan—=——=>Co
x~>o+x2io-x2
5.設/(x)在x=l處可導,且/'⑴=1,則lim/。二2〃),一/(1士“)的值為
hfOh
()
A.-1B.-2C.-3D.-4
/(l-2A)-/(l+/z)
解:lim2h)-/'(I+h)=一3r⑴=一3nC。
hA->0
6.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有尸(x)>0""(x)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),/(x)圖
形
()
A.單調(diào)遞減且為凸的B.單調(diào)遞增且為凸的
C.單調(diào)遞減且為凹的D.單調(diào)遞增且為凹的
解:/(x)>0n單調(diào)增加;f"(x)<0n凸的。應選B。
7.曲線y=l+/的拐點是()
A.(0,1)C.(0,0)D.(1,1)
解:y"=6x=0=x=0=(0,1),應選A。
x2-2
8.曲線/(%)的水平漸近線是()
3x2
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A.1B.y=-|1
C.y=—D.y=一一
-333
x2-2
解:limy=—C
3x廠一『3
[tantdt
9.lim^---()
9。X4
A.0B.一C.2D.1
2
[tanxdx
解:+L2xtanx2
lim—=>Bo
.r->02
10.若函數(shù)/(x)是g(x)的原函數(shù),則下列等式正確的是()
A.f(x)dx=g(x)+CB.Jg(x)4Zr=/(x)+C
C.g'(x)dx=f(x)+CD.=g(x)+C
解:根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關系知,Jg(x)cZr=/(x)+C。應選B。
11.JCOS(1-3X)6&=()
B.;sin(l-3x)+C
A.—sin(l-3x)+C
C.—sin(1—3x)+CD.3sin(l-3x)+C
解:Jcos(1-3x)dx=—^jcos(1-3x)d(1-3x)=-;sin(l-3x)+C=>A。
12.設丁=「?-1)。一3)分,貝!|y'(0)=()
JO
A.-3B.-1C.1D.3
解:yr-(x—l)(x-3)=>yz(0)=3=>£)。
13.下列廣義積分收斂的是(
2募廣dx
lx
?idx
C.D.
0x4x
「半收斂,應選c。
解:由P積分和,/積分的收斂性知,
14.對不定積分f.y1—■
dx,下列計算結果錯誤是
Jsinxcosx
()
A.tanx-cotx+CB.tanx---—FC
tanx
C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C
解:分析結果,就能知道選擇c。
15.函數(shù)y=/在區(qū)間[1,3]的平均值為()
A.生B,”
C.8D.4
33
3J
解:一--ff(x)dx=—[x2dx--=—=>2?o
ia
b-a216]3
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16.過Oz軸及點(3-2,4)的平面方程為()
A.3x+2y=0B.2y+z=0
C,2尤+3y=0D,2x+z=0
解:經(jīng)過Oz軸的平面可設為Ax+8),=0,把點(3-2,4)代入得2x+3y=0應選C。
也能夠把點(3,-2,4)代入所給的方程驗證,且不含z。
X~,Z2
17.雙曲線號一了一1繞z軸旋轉所成的曲面方程為()
y=0
A.工x*2y2+z-2
B.1
3434
C.區(qū)工二=1
D.
3434
22x2+y
解:把二-二=1中/換成/+y2得應選A。
3434
3-Jxy+9
18.lim()
XTOxy
y->0
A-?B-4C.0D.極限不存在
3-,移+91
解:limlim=-lim——=>Bo
A->0x-t0移(3+Jxy+9)x->03+Jxy+96
y->0_y->0>->0
19.若z=xy,()
(f.i)
A.1B.1C.D.0
解卷=xInx=e\ne=e=>C。
(e,l)
20.方程z2y-xz31所確定的隱函數(shù)為z=/(x,y),則當()
OX
z
A.---B.—D.
2y-3xz3xz-2y
dzz2
解:令尸=z2y-xz3-InF;=-z3;F;=2zy-3xz2=>^-,應
OX
選Ao
21.設C為拋物線y=,上從(o,o)到(1,1)的一段弧,貝!)「2孫必:+/力=
()
A.-1B.OC.1D.2
X=X一一i23
解:C:<2,1從o變至ULL2xydx+xdy=j4xdx-\=>C。
y二廠
22.下列正項級數(shù)收斂的是()
8\_0°_1
A.V—!—B.y——
金3〃+1〃=2〃ln〃
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81D.H
C.V——
£〃(lnn)2占n'4n
解:對級數(shù)z;、Z」^需要利用積分判別法,超出大綱范圍。級數(shù)
六〃In及六n(\nn)
001
y—有結論:當〃>1時收斂,當時發(fā)散。級數(shù)與級
£〃(ln〃)「y3〃+1金網(wǎng)^
R1
數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定--發(fā)散的,應選Co
產(chǎn)1
23.嘉級數(shù)£士(犬+1)”的收斂區(qū)間為()
/i=o3
A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)
解:令x+l=/,級數(shù)化為£占〃收斂區(qū)間為(—3,3),即
n=033〃=o\3/
%+1w(—3,3)x£(-4,2)=>Do
24.微分y”+3y+2y="入cosx特解形式應設為y*=()
xx
A.CecosxB.e~(C,cosx+C2sinx)
x2x
C.xe~(C1cosx+C2sinx)D,xe~(C1cosx+C2sinx)
解:-1+z不是特征方程的特征根,特解應設為""(Ccosx+Gsinx)。應選B。
25.設函數(shù)y=/(x)是微分方程y"+V=e2r的解,且/'(x0)=0,則/(%)在后處
(
)
A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大
值
解:有/"(%)+/(x(,)=e2與=>/"(Xo)=e2號>0nA。
得評卷人
分二、填空題(每題2分,共30分)
26.設/(x)=2x+5,貝!J/"(x)-1]=.
解:/[/(x)-1]=2(/(x)-1)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。
2〃
?
27〃.->l8im"——!=__________
解:構造級數(shù)£二,利用比值判別法知它是收斂的,根據(jù)收斂級數(shù)的必要條
?=0〃!
2〃
件
—lim—〃!=0o
3/x,x<0
28.若函數(shù)/(x)=0在x=0處連續(xù),則a=.
2x+—,x>0
2
解:limf(x)--;limf(x)=3=>Q=6。
XT(T2x->o+
29.已知曲線y=Y+x—2上點M處的切線平行于直線y=5x-l9則點M的
坐標為________
解:y'=2x+l=5=>x=2ny=4nM(2,4)。
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30.設/(x)=e2*T,則/'。甌⑼二_________
解:/5)(x)=2721ny(2007)(0)=22007e-lo
%=3f+1.dy
31.設,,則?
y—2t—1+1dx
解:@dy
lo
dx3dx
32.若函數(shù)/(x)=ax2+Z?x在x=1處取得極值2,貝!Ia=,b=
解:fr(x)=2ax+b=0=>2a+〃=0;a+b=2=>a=—2;h=4。
33.
JfM
f/'(x),fdf(x)I/?/Mr
解:J、dx=\=In|/(x)|+Co
J/(X)J/(x)
2
34.£7i-xjx=
解:[定網(wǎng)=:。
35.向量5=37+4/-1的模|方|=
解:137+4.7-祚,9+16+1=岳。
36.已知平面兀]:x+2y-5z+7=0與平面兀2:4x+3y+mz+13=0垂直,貝!|
m=______
解:%={1,2,—5};n2={4,3,m}=>4+6—5m=0=機=2。
37.設/(X+y,孫)="2+y2,貝
解:f(x+y,xy)=x2+V=(x+y)2-2xy=>f(x,y)=x2-2y。
41r-y
38.已知/=『dy^'f(x,y)dx,交換積分次序后,貝!|/=
%fV2
解:£>=<(x,y)10<y<—,y<x<
=<(x,j)10<x<,0<^<x|+|(x,^)|<x<1,0<<
v2Jg~~2
因此次序交換后為「叱(:/(%,y"+b〃@:'/(x,y)dy。
V
81x(11A
39.若級數(shù)皂-L收斂,則級數(shù)£—的和為
w=l"〃n=l\"〃+l>
cfl1W11)(11)11而「1n
解:S〃=----------+------------+???+--------------=--------------fmJlim------=0,
[%u2)[u2w3Jun+l}u]un+}〃T8〃〃+i
因此S=limS“=—o
40.微分方程y"-2y'+y=Q的通解為
解:有二重特征根1,故通解為了=。0,+。2%"(G(2為任意常數(shù))。
得評卷人
分
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三、判斷題(每小題2分,共10分)
你認為正確的在題后括號內(nèi)劃“J”,反之劃“X”.
41.若數(shù)列{%?}單調(diào),則{xn}必收斂.
()
解:如數(shù)列㈤單調(diào),但發(fā)散,應為X。
42.若函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,“上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且/(a)#/(%),則一定
/也)=0.
()
解:如y=/在[_],可滿足上述條件,但存在己=0e[—1,3],使得/''(&)=0,應
為X。
“cX—sinX由洛比達法則,.1-cosxsinx,
43.lim-------二一。:,lim-------=lim------=-1.()
XTOO%+sinxA*l+cosx-sinx
1smx
解:第二步不滿足?或巴,是錯誤的,事實上lim上皿=lim—4=1。
0ooxt8%+sinxA01sinx
應為X。
44.0<f",2Vl-^2'^<—ln2.
Jo2
()
解:S0<Vl-e-2A<1,由定積分保序性知:04「心廬萍dx〈ln24走ln2,
Jo2
應為VO
45.函數(shù)f(x,y)在點P(x,y)處可微是f(x,y)在P(x,y)處連續(xù)的充分條
件.()
解:/(x,y)在點P(x,y)處可微可得f(x,y)在點P(x,y)處連續(xù),反之不成立,
應為應為VO
得評卷人
分四、計算題(每小題5分,共40分)
46.求lim/11,.
limsin^In.r^11x~xlimxlnx
解:lim/nx=lime?nxm*
A-^0+X^0+
解:兩邊取自然對數(shù)得In|y|=21n|x|+^[ln|l-x|-In|l+x|],----(1分)
兩邊對x求導得:+———L--------(3分)
yx3|_l-xl+x_
資料僅供參考
即y'=y--1----------------(4分)
x3(x-l)3(x+l)
故色2+」-----(5分)
1+xx3(x-l)3(x+l)
48.求不定積分J[e2x+ln(l+xy\dx.
解:j[e2x+ln(l+x^dx=^e2xd(lx)+jln(l+x)dx——(1分)
=—e2v+xln(l+x)_J]xdx
——(3分)
=+xln(l+x)-J1-Jdx
--(4分)
=^e2x+xln(l+x)-x+ln(l+x)+C
o----(5分)
49.計算定積分1:j2+2cos2xdx.
2
解:132+2cos2x=2(1+cos2x)=4cosx9因此
[j2+2cos2xdx=/v4cos2xdx=f21cosx|dx-----(2分)
JoJoJo
兀
=2pco^xdx-cosxJx------(4分)
■2
=2sinx|2-2sin%P=2+2=4。-----(5
2
分)
50.設z=/(e*siny,3x2y),且/(〃,》)為可微函數(shù),求dz.
解:令e*siny=〃,3》2y=v,有z=/(〃,n),利用微分的不變性得
x2
dz=v)du+f'r(u,v)dv=f',d{esiny)+f'd(3xy)----(3分)
xx2
=f't(esinydx+ecosydy)+f'(fixydx+3xdy)------(4分)
2
=(e'sinyft'+6xyf')dx+(e*cosyf't+3xf',)dy一(5分)
51.計算JJx2dxdy,其中。為圓環(huán)區(qū)域:14%2+/<4.
D
解:積分區(qū)域。如圖07-1所示:。的邊界Y+y2=l、爐+產(chǎn)=4用極坐標
表示分別為「=1,「=2;故積分區(qū)域。在極坐標系系下為
{(r,0)10<0<2TI,1<r<2},----(2分)
故0/辦辦=r~cos2B-rdr----(3分)
D
=fcos2GJ0(2r3Jr=fcos2QdQ
JoJiJo4
1S「2nc151*2兀c,、
二一[cosQdB=一\2cos20^/0---(4分)
4JogJo
2n
=—J2n(1+cos20)i/e=—(0+-sin20)=—o—(5分)
8。8204
資料僅供參考
52.將―展開為x的幕級數(shù),并寫出收斂區(qū)間.
4-x~
解:因二^=」.....-=―1---------;—(2分)
4一片2-x2+x2(1--)2(1+*)
22
—-=y\xnXG(-i,i)o
1一%叫0
因此「7二/i1E6
xG(-2,2);---7=Z一不xG(-2,2)o―(3分)
z
I__"=0\71+±〃=o'乙)
22
XG(-2,2)—(4分)
F_1
=2不『"'"xe(-2,2)。一(5分)
n=02
53.求微分方程x2dy+(y_2xy_x2)dx=0的通解.
解:方程可化為y'+L#y=l,這是一階線性非齊次微分方程,-一(1分)
x-
它對應的齊次方程y'+—[-2xy=O的通解為〉=以2^L,-—(2分)
x
設原方程有通解y=C(x),e;,代入方程得C\x)x2e^=1,
1-1
即C'(x)-—ex,一(3分)
x
因此C(x)=e+C,(4分)
故所求方程的通解為y=Cx、'+/?!?分)
得評卷人
分五、應用題(每題7分,共計14分)
54.某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池,設計該池
容積為V立方米,底面造價每平方米。元,側面造價每平方米〃元,
問長、寬、高各為多少米時,才能使污水處理池的造價最低?
解:設長方體的長、寬分別為x,y,則高為上,又設造價為z,-—(1分)
孫
由題意可得
c,/xv2bV2bV,、八、/c八、
z=axy+2Z?(x+y)—=。孫+---+----(zx>0,y>0);---(3分)
&孫yx
而
&一夕一絲匕;絲=如一竺二;在定義域內(nèi)都有意義.
0光oyy
2bV八
&ay2-=°I~~—
令得唯一駐點x=y=/竺,----(5分)
a
I0-&"―4=0.'
y
資料僅供參考
由題可知造價一定在內(nèi)部存在最小值,故x=y=欄I就是使造價最小的取
值,此時高為;叵。
V2b
因此,排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為:陛、:陛、:因時,工
VaVaV2b
程造價最低?!?分)
55.設平面圖形D由曲線y=",直線y=e及y軸所圍成.求:
(1)平面圖形D的面積;
(2)平面圖形D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積.
解:平面圖形D如圖07-2所示:—(1分)
取x為積分變量,且xw[O,l]
(1)平面圖形D的面積為
S=j(e—e')dx---(3分)
(ex-e*)1=l。---(4分)
(2)平面圖形D繞),軸旋轉一周所生成
旋轉體的體積為
xdx-2K£xexdx
1
c%2
2兀《—-2K|xdd=Tie-2nxex+2兀fexdx
2JoioJo
o
-Tie-2Tte+2ite"()=7c(e—2)o(7分)
或匕=7iJ(Inyfdyu7i(lny)2yL—兀12\nydy
=ne-2TIJlnydy=7ie-27iyln+2兀/dy
=7te-2jte+2兀(e—1)=兀(e-2)o
得評卷人
分六、證明題(6分)
56.若/(%)在[凡加上連續(xù),則存在兩個常數(shù)相與M,對于
滿足"<玉V/<〃的任意兩點不,工2,證明恒有
m(x2-x1)<f(x2)-/(f)WM(々一%).
證明:因((犬)在國,々1有意義,從而/(x)在兇,々]上連續(xù)且可導,即/(x)
在g,/]上滿足拉格朗日中值定理的條件,——(2分)
故存在己£(為,與),使得-~~久土^=/隹),---(3分)
x2-x]
又因r(x)在&勿上連續(xù),根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知,尸(幻在腳,切
上既有最大值又有最小值,不妨設分別是最小值和最大值,從而工£(〃/)時,
有根〈V。-----(5分)
資料僅供參考
故m(x2-Xj)</(x2)-/(x1)<M{X2-XJO----(6分)
河南省普通高等學校
選拔優(yōu)秀??粕M入本科階段學習考試
高等數(shù)學試卷
核
總
題分
-*—*四五分
號人
分
資料僅供參考
數(shù)
一.單項選擇題(每題2分,共計60分)
在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案,并將其代碼寫
在題干后面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者,該題不得分.
1,函數(shù)/(x)=ln(l-x)+Jx+2的定義域為
()
A.[-2,-1]B.[-2,1]C.
[-2,1)D.(-2,1)
解:
[x+2>0
l-2cosx
2.lim
()
A.1B.0c.V2
D.Vs
02x3
一l-2cosx0
解:lim——y—===lim2
3sinx
3.點…是函數(shù)”組的
3:v+1
)
A.連續(xù)點B.跳躍間斷點C.可
去間斷點D.第二類間斷點
1101
解:lim號匚=」=-1,lim=^Mim軍吧=1=>3.
71*f(r11.io+1-o'1
3,+13*+13/3
4.下列極限存在的為
()
A.limexB.limS'nC.limcos-
Xf+cox->0XXfo+X
D.
XTEx-3
資料僅供參考
解:顯然只有癡2=2,其它三個都不存在,應
I。X
選B.
5.當0時,ln(l+,)是比1—cosx的()
A.低階無窮小B.高階無窮小C.等
階無窮小D.同階但不等價無窮小
:ln(l+x2)-x2,1-cosx=2sin2—--=>Z).
22
1+(x+1)sin---,x<-\
X+1
6.設函數(shù)/(x)=.l,-l<x<0,則f(x)
arctanx,x>0
()
A.在戶-1處連續(xù),在.。處不連續(xù)B.在戶0
處連續(xù),在.37處不連續(xù)
C.在x=T,0,處均連續(xù)D.在
X=-1,0,處均不連續(xù)
解:limj(x)=l,lim/*)=1,/(-1)=1=f(x)在"T處連續(xù);
x->-r'x+r
*J(X)=Mimf(x)=o,/(())=1=/(X)在X=o處不連續(xù);
應選A.
7.過曲線y=arctanr+e*上的點(0,1)處的法線方程
為()
A.2x-y4-1=0B?
x—2y+2=0
C.2x-y-1=0D.
x+2y—2=0
x
:V=[+[2+e=>尸(0)=2=>%法=-g=>。?
8.設函數(shù)/(%)在x=o處可導,/(X)=/(o)-3x+a(x)且
lim蛔=0貝!|尸(0)=
X9
()
資料僅供參考
A.-1B.1C.-3
D.3
/(%)/(0)3x+a(%)
解:/X0)=lim~=lim-=-3+lim^=-3,應選
XTOx-0A->0xXTO尤
c.
9.若函數(shù)/(x)=(lnx)v(x>l),貝!Jf\x)=
()
A.(lnx)zB.
(lnx)v-1+(lnx)vIn(lnx)
C.(Inx)'In(lnx)D?x(lnx)x
:./(x)=(Inx)'=exWnx)=>=(lnx)A[xln(lnx)]z=(Inx)^1+(lnx)xIn(lnx),
應選B.
1O.設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程+3”確定,則
y=sint
A.-2B.-l
C.-&立D,3企
33
解:*一的=今=2答后,應選
axcostax~cost3costsmtaxx=—n3
4
D.
11.下列函數(shù)中,在區(qū)間[T,l]上滿足羅爾中值
定理條件的是()
A.y=exB.y=ln|x|C.y=l-x2
D.y=3
x
解:驗證羅爾中值定理的條件,只有k1一滿足,
應選C.
12.曲線-3+5X.2的拐點是
()
A.x=0B.(0,-2)C.無拐點
資料僅供參考
D.x=0,y=-2
:y"=6%=0=%=0=>(0,-2)yB.
13.曲線y=1
()
A.只有水平漸進線B.既
有水平漸進線又有垂直漸進線
C.只有垂直漸進線D.既
無水平漸進線又無垂直漸進線
lim——!——=0,lim————=oozz>B.
18|1一1|f|X-1|
14.如果/(x)的一個原函數(shù)是xlnx,那么卜/(9=
()
A.Inx+CB.x2+C
C.x3lnx+CD.C-x
2ff
/(x)=(xlnx)'=l+lnxn/"(x)3=>^xf(x)clx=-JtZx=+C,
應選D.
15.rdx
Jx2-4x+3
)
Ax-3
ln+c
Ix-1
x-1
B.頡+C
x-3
C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.
ln(x-1)-ln(x-3)+C
解:f―=f^應
J廠-4x+3(x-3)(x—1)x-lj2x—\
選A.
16.設,則/的取值范圍為
Jo1+X
()
A.o</<iB-I-7-1C-°-z-7
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