2020屆中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破考點(diǎn)17特殊的平行四邊形（含解析）

2020屆中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破

考點(diǎn)17特殊的平行四邊形

&知識(shí)整告

一、矩形的性質(zhì)與判定

i.矩形的性質(zhì):

（1）四個(gè)角都是直角；

（2）對(duì)角線相等且互相平分；

（3）面積=長(zhǎng)X寬=2SA46D=4SAAO8.（如圖）

2.矩形的判定：

（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

（2）有三個(gè)角是直角；

（3）對(duì)角線相等的平行四邊形.

二、菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)：

（1）四邊相等；

（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;

（3）面積=底、高=對(duì)角線乘積的一半.

2.菱形的判定：

（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；

（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；

（3）四條邊都相等的四邊形.

三、正方形的性質(zhì)與判定

1.正方形的性質(zhì)：

（1）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

（2）對(duì)角線相等且互相垂直平分；

（3）面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)

2.正方形的判定：

（1）定義法：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形:

（2）一組鄰邊相等的矩形；

（3）一個(gè)角是直角的菱形；

（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分.

（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個(gè)角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個(gè)角都

是直角.

五、中點(diǎn)四邊形

（1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.

（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.

（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.

（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.

也重點(diǎn)考向.

考向一矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有自己?jiǎn)为?dú)的性質(zhì)，即：矩形的四個(gè)角都是直角;

矩形的對(duì)角線相等.

2.利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半.

3.矩形的判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

典例引領(lǐng)

典例1（2019?陜西初三期中）如圖，矩形A8C。的對(duì)角線交于點(diǎn)O,若/氏4。=55。，則等

于

【答案】B

【解析】?.,四邊形ABC。是矩形，：.OA=OB.：.ZBAO=ZABO=55°.

：.ZAOD=ZBAO+ZABO=550+55°=\10°.故選B.

典例2（2019.阜陽(yáng)市第九中學(xué)初二期中）如圖，矩形ABCO的對(duì)角線AC與數(shù)軸重合（點(diǎn)C在正

半軸上），AB=5,BC=12,點(diǎn)A表示的數(shù)是-1,則對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)表示的數(shù)

A.5.5B.5C.6D.6.5

【答案】A

【解析】連接8。交AC于應(yīng)如圖所示：

?.?四邊形ABCD是矩形，NB=90,AE=LAC,

2

AC=>]AB2+BC2=V52+122=13,?■-AE=6.5，

?.?點(diǎn)4表示的數(shù)是T,...04=1,，OE=AE-OA=5.5,...點(diǎn)E表示的數(shù)是5.5,

即對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)表示的數(shù)是5.5；故選A.

變式拓展

1.（2019?陜西師大附中初三月考）如圖，四邊形A8C。的對(duì)角線互相平分，要使它成為矩形，那

么需要添加的條件是

A.AB=BCB.AC垂直BOC.ZA=ZCD.AC=BD

2.（2019?云南初二期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,并且

ND4C=60°,NAO3=15°,點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)EO交于BC點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)。

向點(diǎn)A移動(dòng)過(guò)程中（點(diǎn)E與點(diǎn)。，A不重合），則四邊形ARCE的變化是

A.平行四邊形T菱形一平行四邊形T矩形一平行四邊形

B.平行四邊形T矩形T平行四邊形T菱形一平行四邊形

C.平行四邊形一矩形T平行四邊形一正方形T平行四邊形

D.平行四邊形一矩形一菱形一正方形一平行四邊形

考向二菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，具有自己?jiǎn)为?dú)的性質(zhì)，即：菱形的四條邊都相等;

菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

2.菱形的判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形；

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

典例引領(lǐng)

典例3菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)邊分別相等

C.一組鄰邊相等D.對(duì)角線互相平分

【答案】C

【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行比較，可發(fā)現(xiàn)A,B,D兩者均具有，而C只有

菱形具有平行四邊形不具有，故選C.

【名師點(diǎn)睛】有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

典例4如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，且滿(mǎn)足AO=CO,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件

,使四邊形ABC。成為菱形.（只需添加一個(gè)即可）

【答案】BO=DO（答案不唯一）

【解析】四邊形A8CO中，AC、8?；ハ啻怪保羲倪呅蜛8C。是菱形，需添加的條件是：AC.BD

互相平分（對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）.故答案為：BO=DO（答案不唯一）.

變式拓展

3.已知菱形的一條對(duì)角線與邊長(zhǎng)相等，則菱形的鄰角度數(shù)分別為

A.45°,135°B.60°,120°

C.90°,90°D.30°,150°

4.如圖，在△ABC中，是NBAC的平分線，交AB于E,。尸〃交AC于F,求證:

四邊形AEDF是菱形.

nr

考向三正方形的性質(zhì)與判定

1.正方形的性質(zhì)=矩形的性質(zhì)+菱形的性質(zhì).

2.正方形的判定：以矩形和菱形的判定為基礎(chǔ)，可以引申出更多正方形的判定方法，如對(duì)角線互相

垂直平分且相等的四邊形是正方形.證明四邊形是正方形的一般步驟是先證出四邊形是矩形或菱

形，再根據(jù)相應(yīng)判定方法證明四邊形是正方形.

典例引領(lǐng)

典例5（2020?寧夏初二期中）面積為9cm2的正方形以對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形面積為

A.18cm2B.20cm2

C.24cm2D.28cm2

【答案】A

【解析】；正方形的面積為9cm1.?.邊長(zhǎng)為3cm,根據(jù)勾股定理得對(duì)角線長(zhǎng)=律淳=3及cm,

A以3行為邊長(zhǎng)的正方形的面積=（3&『=18cm?.故選A.

典例6（2019?重慶初三期中）如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=BC=4,把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45。得到△4OE,過(guò)點(diǎn)C作CFLAE于凡OE交CF于G,則四邊形AOGF的周長(zhǎng)是

A.8B.4+40C.8+->/2D.80

【答案】D

【解析】如圖，連接AG,

VZB=90°,AB=BC=4,：.ZCAB=ZACB=45°,AC=4近，；把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到

△AOE,：.AD=AB=4,N￡4。=/048=45°,/.ZMB=90°,CD=AC-AD=4^2-4,

；/8=90°=/F48,CFLAE,二四邊形ABCF是矩形，且A8=8C=4,

，四邊形A8CF是正方形，：.AF=CF=AB=4=AD,NAFC=/FC8=90。，

/.ZGCD=45°,且/GQC=90°,:.NGCD=NCGD=45。,；.CO=G￡>=4血-4,

'：AF=AD,AG=AG,:.Rt4AGF經(jīng)Rt4AGD(HL),：.FG=GD=4^2-4,

/.四邊形ADGF的周^=AF+AD+FG+GD=4+4+4Q-4+40-4=80,故選D.

變式拓展

5.（2019?山東初三期中）如圖，在正方形A8C。內(nèi)一點(diǎn)E連接BE、CE,過(guò)C作CFLCE與BE

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接。尸、DE.CE=CF=l,DE=瓜,下列結(jié)論中：①ACBE也△COP；②B尸

1DF；③點(diǎn)。到CF的距離為2；④S㈣.DECL0+1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

6.（2020?陜西初三期末）如圖，在正方形ABCC中，BE=FC,CF=2FD,AE、BF交于點(diǎn)G,

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.AELBFB.AE=BF

4

C.BG=—GED.S四邊形C￡GF=SABG

考向四中點(diǎn)四邊形

1.中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形;

中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.

典例引領(lǐng)

典例7如圖，任意四邊形ABCO中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形

EFG〃的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且AC=8O時(shí)，四邊形EFGH為菱形

B.當(dāng)E,F,G,，是各邊中點(diǎn)，且ACLBO時(shí)，四邊形EFGH為矩形

C.當(dāng)E,F,G,”不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,”不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFG”不可能為菱形

【答案】D

【解析】A.當(dāng)E,F,G,”是四邊形488各邊中點(diǎn)，且AC=B。時(shí)，存在EF=FG=GH=HE,故

四邊形EFGH為菱形，故A正確；

B.當(dāng)E,F,G,”是四邊形A8CD各邊中點(diǎn)，且ACL8O時(shí)，存在NEFG=NFGH=NGHE=9。：

故四邊形EFG/7為矩形，故B正確；

C.如圖所示，當(dāng)E,F,G,，不是四邊形各邊中點(diǎn)時(shí)，若E/〃HG,EF=HG,則四邊形E尸GH

為平行四邊形，故C正確；

D.如圖所示，當(dāng)E,F,G,H不是四邊形48CZ）各邊中點(diǎn)時(shí)，若EF=FG=GH=HE,則四邊形EFG”

為菱形，故D錯(cuò)誤，故選D.

E___?

A

H

C

G

B

變式拓展

7.順次連接下列四邊形的四邊中點(diǎn)所得圖形一定是菱形的是

A.平行四邊形B.菱形

C.矩形D.梯形

8.如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCO各邊中點(diǎn)所得四邊形EFG4叫中點(diǎn)四邊形.若四邊形

ABCQ的面積記為與，中點(diǎn)四邊形EFG”的面積記為S2,則，與S2的數(shù)量關(guān)系是

A.SI=3S2B.2sI=3S2

C.SI=252D.3SI=4S2

、聲點(diǎn)沖交

1.如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,ZADB=30°,A8=4,貝I」0C=

A.5B.4C.3.5D.3

2.（2018?貴陽(yáng)市云巖區(qū)華文實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考）如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)

O,已知NAO￡>=120。，AC=16,則圖中長(zhǎng)度為8的線段有

3.如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)4重合，則折痕EF

的長(zhǎng)為

4.如圖，菱形ABC。的對(duì)角線交于點(diǎn)O,AC=8cm,BD=6cm,則菱形的高為

5555

5.（2018?貴陽(yáng)市云巖區(qū)華文實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考）如圖，在菱形A8CO中，NADC=72°,AO的垂直

平分線交對(duì)角線8。于點(diǎn)P,垂足為E,連接CP,則/CP8的度數(shù)是

A.108°B.72°C.90°D.100°

6.（2018?貴陽(yáng)市云巖區(qū)華文實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,

C。上，且BE=CF.連接AE,BF,AE與BF交于點(diǎn)G.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.AE=BF

C.NAEB+NBFC=90°D.AE1.BF

7.如圖，矩形ABC。中將其沿E尸翻折后，。點(diǎn)恰落在B處，ZBFE=65°,則.

8.(2018?陜西初三期末)如圖，尸為正方形ABCQ內(nèi)一點(diǎn)，且8P=2,PC=3,ZAPB=135°,將

繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACPB,連接PP,貝UAP=_______.

9.如圖，在ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.

(1)求證：四邊形A8CZ)是矩形;

(2)求8。的長(zhǎng).

10.(2020?內(nèi)蒙古初三期末)如圖，4ABC中，AB=AC=\,ZBAC=45°,AAEF是由AABC繞點(diǎn)A

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE,CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ACQE為菱形時(shí)，求5。的長(zhǎng).

BC

11.(2020.呼和浩特市第十三中學(xué)初二期中)如圖，AABC中，點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

O作直線MN//BC,交NACB的平分線于點(diǎn)E,交NACB的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由：

(2)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AEC尸是矩形？并說(shuō)出你的理由：

(3)在(2)的條件下，當(dāng)AABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形.直接寫(xiě)出答案，

不需說(shuō)明理由.

直通中考

1.(2019?重慶)下列命題正確的是

A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

B.四條邊相等的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

2.（2019?天津）如圖，四邊形ABCO為菱形，A，8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2,0）,（0,1）,點(diǎn)C,

。在坐標(biāo)軸上，則菱形A8CD的周長(zhǎng)等于

A.75B.4>/3C.475D.20

3.（2019?安徽）如圖，在正方形中，點(diǎn)E,尸將對(duì)角線AC三等分，且AC=12,點(diǎn)尸在正

方形的邊上，則滿(mǎn)足PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是

4.（2019?湖北孝感）如圖，正方形A8CZ）中，點(diǎn)EF分別在邊CD,AO上，BE與CF交于點(diǎn)G.若

BC=4,OE=AF=1,則GF的長(zhǎng)為

5.（2019?天津）如圖，正方形紙片43co的邊長(zhǎng)為12,我是邊CO上一點(diǎn)，連接AE.折疊該

紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,得到折痕BE,點(diǎn)F在AD上.若OE=5,

則GE的長(zhǎng)為.

6.（2019?浙江杭州）如圖，把某矩形紙片ABCZ）沿EF、G”折疊（點(diǎn)E、H在AO邊上，點(diǎn)F、

G在3c邊上），使得點(diǎn)8、點(diǎn)C落在AO邊上同一點(diǎn)尸處，A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4點(diǎn)，。點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)為以點(diǎn)，若？FPG90?,八4丘的面積為4,△￡）中”的面積為1,則矩形ABCD的面積等

于.

7.（2019?湖北十堰）如圖，己知菱形A8CD的對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O,E為BC的中點(diǎn)，若OE=3,

則菱形的周長(zhǎng)為

8.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E,尸分別在A。，CD±.,且。E=CF,4尸與BE相

交于點(diǎn)G.

（1）求證：BE=AF；

(2)若A8=4,DE=1,求AG的長(zhǎng).

9.（2019?湖南懷化）已知：如圖，在。ABCD中，AELBC,CFLAD,E,尸分別為垂足.

（1）求證：△ABE0XCDF；

（2）求證：四邊形AEC尸是矩形.

10.（2019?湖南岳陽(yáng)）如圖，在菱形4BC。中，點(diǎn)E.F分別為AD.C。邊上的點(diǎn)，DE=DF,求證:

Z1=Z2.

11.（2019?福建）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、上的一點(diǎn)，KDF=BE.求證:

AF=CE,

12.(2019?江西)如圖，四邊形ABCD,AB=CD,AD=BC,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OA=OD.求

證：四邊形ABC。是矩形.

13.(2019?浙江寧波-10分)如圖，矩形E/G”的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABC。的邊AD,BC上,

頂點(diǎn)F,”在菱形ABC。的對(duì)角線BO上.

(1)求證：BG=DE；

(2)若E為A。中點(diǎn)，F(xiàn)H=2,求菱形ABCQ的周長(zhǎng).

1.【答案】D

【解析】結(jié)合選項(xiàng)可知，添加AC=BZ),

1?四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，???四邊形ABCD是平行四邊形,

?：AC=BD,根據(jù)矩形判定定理對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，.?.四邊形A8CD是矩形,故選D.

2.【答案】A

【解析】點(diǎn)E從。點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)NE0ZX15。時(shí)，四邊形A尸CE為平行四邊形，當(dāng)N

及2=15。時(shí)，ACLEF,四邊形AFCE為菱形，

當(dāng)15。＜/后0￡＞＜75。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

當(dāng)/EOO=75。時(shí)，ZAEF=90°,四邊形AFCE為矩形，

當(dāng)75。＜/￡'。。＜105。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，故選A.

3.【答案】B

【解析】如圖，由題意知AB=8C=4C,

???AB=BC=AC,^ABC為等邊三角形，即ZB=60。，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，

ZBAD=186—66102故選B.

4.【解析】,..QE〃AC,DF//AB,

四邊形AEDF為平行四邊形，

：.ZFAD=ZEDA,

是N84C的平分線，：.4EAD=4FAD,：.ZEAD=ZEDA,

：.AE=ED,二四邊形尸是菱形.

5.【答案】B

【解析】?.,四邊形A8CO是正方形，.??BCnCQ,ZBCD=90°,

?：CF1CE,：.ZECF=ZBCD=90°,:.NBCE=NDCF,

BC=CD

在ABCE與ADCF中，,NBCE=NDCF,.?.△BCE段ADCF(SAS),故①正確；

CE=CF

VABCE^ADCF,AZCBE=ZCDF,：.ZDFB=ZBCD=90°.：.BF±ED,

故②正確，

過(guò)點(diǎn)。作。交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

'1M

B

：/EC尸=90°,FC=EC=l,；.NCFE=45°,

VZDFM+ZCFB^90°,：.ZDFM=ZFDM^45°,：.FM=DM,，由勾股定理可求得：EF=0,

.?.由勾股定理可得：。尸=2,

?/E舁+BE2=2BE2=BF2,二DM=FM=近,故③錯(cuò)誤,

△BC%△QCF,SXBCE=S&DCF,

故④錯(cuò)誤，故選B.

6.【答案】C

【解析】在正方形A8CO中，AB=8C,/A8E=/C=90,

又〈BE=CF,:.△ABE^ABCF(SAS),：.AE=BF,NBAE=NCBF,

：.ZFBC+ZBEG=ZBAE+ZBEG=90°,：.ZBGE=90°,J.AEVBF.故4、B正確；

AB3

CF=2FD,：.CF:CD=2:3,,:BE=CF,AB=CD,：.—=一，

BE2

ZEBG+ZABG^ZABG+ZBAG=90°,：.NEBG=NBAG,

BGAD3

VZ￡GB=ZAB￡=90°,:.△BGEs^ABE,：.—?=?—==，故C不正確，

GEBE2

/\ABE^/S.BCF,；.SA48E=SA8FC,；?SAA8E-SABEG=SA/LSA8EG,二5四邊道CEG/=SAA8G，

故。正確.故選c.

7.【答案】C

【解析】???順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得圖形一定是平行四邊形,

當(dāng)對(duì)角線相等時(shí)，所得圖形一定是菱形，故選C.

8.【答案】c

【解析】如圖，設(shè)AC與E”、FG分別交于點(diǎn)N、P,BD與EF、"G分別交于點(diǎn)K、Q,

是4B的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，：.EF//AC,

同理可證:AEBKs/\ABM,/\AEN^/\EBK,

S&EBK10c.S四邊形￡KMN1ete—r4HS四邊形KQM1

-=—,SAAEN=S&EBK，??------------=—,I可理nJfJ----------=—

'△ABM48M2'ABCM2

S四邊形QGPM1S四邊形HQMN1.S四邊形EFGH1

=

,，,?-Q=

^ADCM2S&DAM3四邊形A8CO2

?..四邊形A8c。的面積記為SI,中點(diǎn)四邊形EFG”的面積記為S2,則Si與$2的數(shù)量關(guān)系是

SI=2S2.故選C.

考點(diǎn)沖關(guān)

------

1.【答案】B

【解析】???四邊形A8c。是矩形，；.AC=8。，OA^OC,N8W=90。，?/ZADB=30°,工

AC=BD=2AB=S,；.0C=LC=4.故選B.

2

2.【答案】D

【解析】：AC=16,四邊形A8CD是矩形，

ADC^AB,BO^DO=-BD,A0=0C=-AC=8,BD=AC,

22

，BO=OD=AO=OC=8,

VZAOD^\20°,：.ZAOB=600,，△4B0是等邊三角形，

：.AB=AO=S,：,DC=S,即圖中長(zhǎng)度為8的線段有A。、CO、BO、DO、AB、DC共6條,故選D.

3.【答案】B

【解析】如圖，連接4E根據(jù)折疊的性質(zhì)，得E尸垂直平分AC,則AF=CE設(shè)AF=x,則

25

BF=4-x,在中，根據(jù)勾股定理，得f=9+(4—x)2,解得了=彳.

O

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=5,貝i」AO=2.5.

在RtZXAOR中，根據(jù)勾股定理，得。尸=稱(chēng)，

O

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以證明OE=OF,則七/=￡.故選B.

4.【答案】B

【解析】,菱形A8CD的對(duì)角線AC=8cm,BP=6cm,：.AC±BD,04=—AC=4cm,0B=一

22

80=3cm,根據(jù)勾股定理，AB=yJOA'+OB2=742+32=5(cm).設(shè)菱形的高為力，則菱

11?424

形的面積=AB/=—ACB。，即5〃=—x8x6,解得。=——，即菱形的高為一cm.故選B.

2255

5.【答案】B

【解析】如圖，連接4尸，..?在菱形ABCZ)中，ZADC=12°,8。為菱形A8CZ)的對(duì)角線，

I

ADP=NCDP=-ZADC=36°.

2

的垂直平分線交對(duì)角線8。于點(diǎn)P,垂足為E,；.PA=PD.

，ZDAP=ZADP=36°.：.ZAPB=ZDAP+ZADP=72°.

又?.,菱形ABCD是關(guān)于對(duì)角線8。對(duì)稱(chēng)的，NCP8=/APB=72。.故選B.

D

6.【答案】C

【解析】：AO//3C,:.NDAE=NAEB,'：BE=CF,AB=BC,NABE=NBCF,.?.△ABE安LBCF,

：.AE=BF,NDAE=NBFC,；NFBC+NBFC=90°,NAEB=NBFC,：.ZFBC+AEB^90°,：.AE

±BF,所以A、B、。三個(gè)選項(xiàng)正確，NAEB=NBFC,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.

7.【答案】50°

【解析】如圖所示，

由矩形A8C?？傻肁D〃8C,；.N1=NBFE=65°,由翻折得/2=/1=65。，

/.ZAEB=180°-Z1-Z2=180°-65o-65o=50°.故答案為：50°.

8.【答案】1

【解析】?.?△BP'C是由ABPA旋轉(zhuǎn)得到，二乙4尸B=NCP'8=135°,NABP=NCBP',BP=BP,AP=CP',

：NA8P+/P8c=90。，：.ZCBP'+ZPBC^°,即/F8/>=90。，二△8PP是等腰直角三角形，

ZBP'P=45°,,.,/A/'8=/CP'8=135°,ZPP'C=90°,VHP=2,：.PP'=^BP2+BP'272-

；PC=3,CP'=Jpc?_ppQ==I,：,AP^CP'=\,故答案為1.

B

P'

9.【解析】（1）；A8=6,8c=8,AC=10,J.AB^B^AC2,：.ZABC^90°,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，A8CO是矩形.

（2）?..四邊形ABCD是矩形，：.BD=AC=\O.

10.【解析】（1）?.?△4E尸是由△A8C繞點(diǎn)4按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，

：.AE=AB,AF^AC,/EAF=NBAC,

：.ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,BPZEAB=ZFAC,

AC=AB

在AAC/7和AABE中，＜ZCAF=NBAE,：.^ACF^/\ABE,

AF^AE

：.BE=CF.

（2）?.,四邊形ACDE為菱形，A8=AC=1,:.DE=AE=AC=AB=1,AC//DE,

：./AEB=NABE,NABE=NBACH5°,NAE8=/ABE=45°,

.??△/18后為等腰直角三角形，；.8￡'=&4。=&,；.8/：＞=8F-。后=夜—1.

11.【解析】（1）OE=OF,理由如下：

因?yàn)镃E平分NAC8,所以N1=N2,又因?yàn)镸N〃BC,所以N1=N3,所以N3=/2,所以EO=CO,

同理，F(xiàn)O=CO,所以O(shè)E=O只

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如卜；

因?yàn)镺E=OR點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，所以四邊形AECF是平行四邊形，又因?yàn)镃尸平分NBC4的

外角，所以N4=N5,又因?yàn)镹1=N2,所以Nl=/2,Z2+Z4=-xl80°=90°,即NECF=90°,

2

所以平行四邊形AEC尸是矩形.

（3）當(dāng)△A8C是直角三角形時(shí)，即NAC8=90。時(shí)，四邊形AECF是正方形，理由如下：

由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形力ECF是矩形，又因?yàn)?AC8=90。，CE,

CN分別是乙4cB與NACB的外角的平分線，所以Nl=/2=/3=N4=N5=45。，所以ACLMN,

所以四邊形AECF是正方形.

直通中考

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1.【答案】A

【解析】A.有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形滿(mǎn)足判定條件；B.四條邊都相等的四邊形是

菱形，故B錯(cuò)誤；C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤：對(duì)角線相等且相互平分

的四邊形是矩形，則D錯(cuò)誤；故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查J'矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形：

2.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；3.有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形；4.對(duì)角線相

等的平行四邊形是矩形.

2.【答案】C

【解析】???菱形A8CO的頂點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,1),

：.AO=2,OB=\,AC1BD,

由勾股定理知：AB=y/BCP+OA2=Vl2+22=V5-

?.?四邊形A8CD為菱形，

:.AB=DC=BC=AD=y/i,

菱形ABC。的周長(zhǎng)為：475,故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，得出AB的長(zhǎng)足解

題關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】如圖，過(guò)E點(diǎn)作關(guān)于48的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則當(dāng)D,P,F三點(diǎn)共線時(shí)PE+P尸取最小值，

VZEAP=45°,：.^EAE'=90°,

^'：AE=EF=AE'=4,

?■PE+PF的最小值為E'F=^AF2+AE'2=A/82+42=780，

???滿(mǎn)足陪"=9=庖，

在邊AB上存在兩個(gè)尸點(diǎn)使PE+PF=9,

同理在其余各邊上也都存在兩個(gè)P點(diǎn)滿(mǎn)足條件，

???滿(mǎn)足PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是8,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑，有一定難度，巧妙的運(yùn)

用求最值的思想判斷滿(mǎn)足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】正方形A8CZ)中，；BC=4,

：.BC=CD=AD=4,ZBCE=ZCDF=90Q,

\"AF=DE=\,:.DF=CE=3,:.BE=CF=5,

BC=CD

在和△€!)尸中，＜ZBCE=ZCDF,

CE=DF

:./XBCE芻4CDF(SAS),:.NCBE=NDCF,

'：ZCBE+ZCEB=ZECG+ZCEB=90°=ZCGE,

BCCG

cosZCBE=cosZECG=-----=,

BECE

4CG121213

一=-----，CG——，GF-CF-CG-5--=—,

53555

故選A.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函

數(shù)，證明△8CEZ4CDF是解本題的關(guān)鍵.

49

5.【答案】—

13

【解析】如圖，令A(yù)E與B尸的交點(diǎn)為死

在正方形A8CD中，NBAD=ND=90°,

H

，ZBAM+ZFAM=90°,

在RtA4DE中，AE=7AD2+DE2=A/122+52=13'

,/由折疊的性質(zhì)可得△ABE&AGM，

：.AB=BG,NFBA=NFBG,

...8尸垂直平分AG,

；.AM=MG,NA仞8=90°，

ZBAM+ZABM=9Q°,

ZABM=ZFAM,

l\ARMs△FAO.

AMAB.AM12

^E~~AE513

60120

?AM=—,.".AG------

1313

120_49

GE=13

1T-T3

【名師點(diǎn)睛】本題考查了正方形與折疊，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形相似的判定

和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】675+10

【解析】"：A'E//PF,：.ZA'EP=ZD'PH,

又,.?/A=NA'=90°,ND=NO'=90°,/.ZA'=ZD',，△AEP?△OP”,

乂；A8=C￡>,AB^A'P,CD^D'P,：.A'P^DP,

設(shè)A'P=D'P=x,

12

：SA/VEP：SAZ>PH=4：1,：.A'E=2D'P=2x,：.S&AEP=-XAExA'P-x2xxxx4,

22

X>0.，x=2,：.A'P=D'P=2,：.A'E=2D'P=4,

?*-EP=+A產(chǎn)="2+2?=2后-

APH=-EP=>f5,：.DH=D'H=-A'P=\,

22

/.AO=AE+EP+PH+￡>"=4+2石+石+1=5+35

AB=A'P=2，

S矩形4g8=A8XAZ)=2X(3^5+5)=6^5+