人教版八年級數(shù)學上冊 期中試卷一

期中試卷（1）

一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在

答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15小題，

每題3分，計45分）

1.（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長可能是（）

A.2B.3C.5D.11

2.（3分）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，

不是軸對稱的是（）

A.B.凰阻

3.（3分）如圖，過AABC的頂點A,作BC邊上的高，以下作法正確的是（）

4.（3分）如圖，在AABC中，NA=50°,NC=70°,則外角NABD的度數(shù)是（）

5.（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作AABP,使之與AABC全等，從P”

P2,P：i,P,四個點中找出符合條件的點P,則點P有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（3分）如圖，已知NABC=NBAD,添加下列條件還不能判定△ABCgZSBAD的

A.AC=BDB.ZCAB=ZDBAC.ZC=ZDI）.BC=AD

7.（3分）一個正多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個正多邊形的每一個外角等于

（）

A.108°B.90°C.72°D.60°

8.（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為（）

A.12B.16C.20D.16或20

9.（3分）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個

箏形，其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：

①ACLBD；②A0=C0=1c；③aABD0△CBD,

2

其中正確的結(jié)論有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

10.（3分）如圖，在RtZsABC中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑

畫弧，分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半

2

徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則aABD

11.（3分）如圖，在AABC中，ZABC=50°,ZACB=60°，點E在BC的延長線

上，NABC的平分線BD與NACE的平分線CD相交于點D,連接AD,下列結(jié)論中

不正確的是（）

BCE

A.ZBAC=70°B.ZD0C=90°C.ZBDC=35°D.ZDAC=55°

12.（3分）如圖，在Z\ABC中,AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點,

EC=4,4ABC的周長為23,則aABD的周長為（）

A

BDc

A.13B.15C.17D.19

13.（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下

列判斷錯誤的是（）

A.AM=BMB.AP=BNC.NMAP=NMBPD.ZANM-ZBNM

14.（3分）如圖，AD是aABC的角平分線,則AB：AC等于（）

BDC

A.BD：CDB.AD：CDC.BC：ADD.BC：AC

15.（3分）如圖，z^ABC是等邊三角形，AQ=PQ,PR_LAB于點R,PS_LAC于點S,

PR=PS,則下列結(jié)論：①點P在/A的角平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；④

△BRP^AQSP.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二.解答題（共9小題）

16.（6分）如圖，在aABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點0,

ZBAC=80°,ZABC=70°.求NBAD,ZAOF.

17.（6分）如圖，AB=AD,CB=CD,求證：AC平分NBAD.

18.（7分）如圖，已知AC=AE,NBAD=NCAE,ZB=ZADE,求證：BC=DE.

19.（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC,點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂

直AB、AC于點E和F.

求證：DE=DF.

20.（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時的速度由西向東航行，在A處測得小

島C在北偏東75°方向上，兩小時后，輪船在B處測得小島C在北偏東60°方

向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時的速度向東航行,

請問是否有觸礁危險？并說明理由.

ABD東

21.（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC,分別以BC和AC為直角邊向上

作等腰直角三角形4BCD和AACE,AE與BD相交于點F,連接CF并延長交AB于

點G.求證：CG垂直平分AB.

22.（10分）如圖，在等邊aABC中，點F是AC邊上一點，延長BC到點D,使

BF=DF,若CD=CF,求證：

（1）點F為AC的中點；

（2）過點F作FE_LBD,垂足為點E,請畫出圖形并證明BD=6CE.

23.（11分）如圖，z^ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A

向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度

由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE_LAB于E,連接PQ交AB

于D.

(1)當NBQD=30°時，求AP的長;

(2)當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長;

如果變化請說明理由.

24.（12分）在等腰RtZSABC中，ZACB=90°,AC=BC,點D是BC邊上一點，BN

(1)如圖1,若CM〃BN交AD于點M.

①直接寫出圖1中所有與NMCD相等的角：—；(注：所找到的相等關(guān)系可以

直接用于第②小題的證明過程

②過點C作CG_LBN,交BN的延長線于點G,請先在圖1中畫出輔助線，再回答

線段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(2)如圖2,若CM〃AB交BN的延長線于點M.請證明：ZMDN+2ZBDN=180°.

參考答案與試題解析

一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在

答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15小題，

每題3分，計45分）

1.（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長可能是（）

A.2B.3C.5D.11

【考點】三角形三邊關(guān)系.

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷.

【解答】解：設第三邊長為x,由題意得：

7-3<x<7+3,

則4Vx<10,

故選：C.

【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第

三邊，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型.

2.（3分）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，

【考點】軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部分折疊后可重合.

3.（3分）如圖，過aABC的頂點A,作BC邊上的高，以下作法正確的是（）

【考點】三角形的角平分線、中線和高.

【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點向?qū)呉咕€，頂點和垂足之

間的線段叫做三角形的高線解答.

【解答】解：為AABC中BC邊上的高的是A選項.

故選A

【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，熟記高線的定義是解題的

關(guān)鍵.

4.（3分）如圖，在AABC中，NA=50°,NC=70°,則外角NABD的度數(shù)是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【考點】三角形的外角性質(zhì).

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得

解.

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)的，NABD=NA+NC=50°+70°=120°.

故選B.

【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，

熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作AABP,使之與AABC全等，從P”

Pz,p3,P4四個點中找出符合條件的點P,則點P有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】全等三角形的判定.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可.

【解答】解：要使4ABP與4ABC全等，點P到AB的距離應該等于點C到AB的

距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P,P：,,P,三個，

故選C

【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進行判定點

P的位置.

6.（3分）如圖，已知NABC=NBAD,添加下列條件還不能判定aABC且ABAD的

A.AC=BDB.NCAB=NDBAC.ZC=ZDD.BC=AD

【考點】全等三角形的判定.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定：SAS,AAS,ASA,可得答案.

【解答】解：由題意，得NABC=NBAD,AB=BA,

A、ZABC=ZBAD,AB=BA,AC=BD,(SSA)三角形不全等，故A錯誤；

rZABC=ZBAD

B、在AABC與ABAD中，JAB=BA，AABC^ABAD(ASA),故B正確;

ZCAB=ZDBA

'/C=ND

C、在aABC與aBAD中，ZABC=ZBAD，AABC^ABAD(AAS),故C正確;

AB=BA

'BC=AD

D、在aABC與aBAD中，ZABC=ZBAD，AABC^ABAD(SAS),故D正確；

,AB=BA

故選:A.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有:sss、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角

形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

7.(3分)一個正多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個正多邊形的每一個外角等于

()

A.108°B.90°C.72°D.60°

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】首先設此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180(n-2)=540,即可求得

n=5,再由多邊形的外角和等于360°,即可求得答案.

【解答】解：設此多邊形為n邊形，

根據(jù)題意得：180(n-2)=540,

解得：n=5,

故這個正多邊形的每一個外角等于：360°=72。.

5

故選C.

【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識.注意掌握多邊形內(nèi)角和定

理：(n-2)?180°,外角和等于360°.

8.(3分)一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為()

A.12B.16C.20D.16或20

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應該分兩種情況進行分析.

【解答】解：①當4為腰時，4+4=8,故此種情況不存在；

②當8為腰時，8-4V8V8+4,符合題意.

故此三角形的周長=8+8+4=20.

故選C.

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論,

不要漏解.

9.(3分)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個

箏形，其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：

①AC_LBD；②AO=CO=Uc；③△ABDgz^CBD,

2

其中正確的結(jié)論有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】新定義.

【分析】先證明AABD與ACBD全等，再證明AAOD與△COD全等即可判斷.

【解答】解：在4ABD與ACBD中，

'AD=CD

<AB=BC，

DB=DB

/.△ABD^ACBD(SSS),

故③正確；

/.ZADB=ZCDB,

在AAOD與△COD中，

'ADXD

<ZADB=ZCDB.

,OD=OD

/.△AOD^ACOD(SAS),

.,.ZA0D=ZC0D=90°,AO=OC,

/.AC1DB,

故①②正確；

故選D

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明aABD與4CBD

全等和利用SAS證明AAOD與△COD全等.

10.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑

畫弧，分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于UN的長為半

2

徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則aABD

的面積是（）

B

A.15B.30C.45D.60

【考點】角平分線的性質(zhì).

【分析】判斷出AP是NBAC的平分線，過點D作DELAB于E,根據(jù)角平分線上

的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可

得解.

【解答】解：由題意得AP是/BAC的平分線，過點D作DE_LAB于E,

XVZC=90°,

；.DE=CD,

.'.△ABD的面積=lB?DE=^X15X4=30.

22

故選B.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的

畫法，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）如圖，在aABC中，NABC=50°,ZACB=60°,點E在BC的延長線

上，NABC的平分線BD與NACE的平分線CD相交于點D,連接AD,下列結(jié)論中

不正確的是（）

A.ZBAC=70°B.ZD0C=90°C.ZBDC=35°D.ZDAC=55°

【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出NBAC=70°,再根據(jù)角平分

線的定義求出NABO,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出NAOB再根據(jù)對頂角相

等可得NDOC=NAOB,根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義求出NDCO,再利用三

角形的內(nèi)角和定理列式計算即可NBDC,判斷出AD為三角形的外角平分線，然后

列式計算即可求出NDAC.

【解答】解:VZABC=50°,ZACB=60°,

/.ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-50°-60°=70°,

故A選項正確，

VBD平分NABC,

.,.ZABO=1ZABC=1X5O°=25°,

22

在△ABO中，

ZA0B=180°-ZBAC-ZAB0=180°-70°-25°=85°,

，ND0C=NA0B=85°,

故B選項錯誤；

：CD平分/ACE,

ZACD=1(180°-60°)=60°,

2

/.ZBDC=180°-85°-60°=35°,

故C選項正確；

：BD、CD分別是NABC和NACE的平分線，

AAD是AABC的外角平分線，

ZDAC=1（180°-70°）=55°,

2

故D選項正確.

故選：B.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義,

熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）如圖，在aABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點，

EC=4,ZXABC的周長為23,則aABD的周長為（）

A.13B.15C.17D.19

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC,AE=CE=4,求出AC=8,AB+BC=15,

求出AABD的周長為AB+BC,代入求出即可.

【解答】解：：AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點，

：.AD=DC,AE=CE=4,

即AC=8,

VAABC的周長為23,

，AB+BC+AC=23,

.*.AB+BC=23-8=15,

二.△ABD的周長為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15,

故選B.

【點評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定

理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離

相等.

13.（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下

列判斷錯誤的是（）

Xf

A.AM=BMB.AP=BNC.ZMAP=ZMBPD.ZANM=ZBNM

【考點】軸對稱的性質(zhì).

【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對

稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，

二點A與點B對應，

?.AM=BM,AN=BN,ZANM=ZBNM,

?.?點P時直線MN上的點,

二ZMAP=ZMBP,

/.A,C,D正確，B錯誤，

故選B.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，AD是aABC的角平分線，則AB：AC等于（）

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】先過點B作BE〃AC交AD延長線于點E,由于BE〃AC,利用平行線分線

段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得.,.△BDEs^CDA,ZE=ZDAC,再利

用相似三角形的性質(zhì)可有理?=型，而利用AD時角平分線又知NE=NDAC=NBAD,

CDAC

于是BE=AB,等量代換即可證.

【解答】解：如圖

過點B作BE〃AC交AD延長線于點E,

；BE〃AC,

AZDBE=ZC,ZE=ZCAD,

/.△BDE^ACDA,

?BD=BE

"CDAC'

又：AD是角平分線，

.\ZE=ZDAC=ZBAD,

，BE=AB,

-造毀

"ACCD，

AAB：AC=BD：CD.

故選：A.

【點評】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段

成比例定理的推論.關(guān)鍵是作平行線.

15.（3分）如圖，ZSABC是等邊三角形，AQ=PQ,PRLAB于點R,PS_LAC于點S,

PR=PS,則下列結(jié)論：①點P在NA的角平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；④

△BRP^AQSP.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分NBAC,從

而判斷出①正確，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得/APQ=NPAQ,然后得到NAPQ=

ZPAR,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得QP〃AB,從而判斷出②正確，然后

證明出4APR與4APS全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得到③正確，④由

△BPR^ACPS,ABRP^AQSP,即可得到④正確.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，PR1AB,PS1AC,且PR=PS,

，P在NA的平分線上，故①正確；

由①可知，PB=PC,ZB=ZC,PS=PR,

/.△BPR^ACPS,

/.AS=AR,故②正確;

VAQ=PQ,

/.ZPQC=2ZPAC=60°=NBAC,

，PQ〃AR,故③正確；

由③得，△PQC是等邊三角形，

/.△PQS^APCS,

又由②可知，④△BRPgaQSP,故④也正確，

?.?①②③④都正確，

故選D.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準確識圖并熟

練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.解答題（共9小題）

16.（6分）如圖，在AABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點0,

ZBAC=80°,ZABC=70°.求NBAD,ZAOF.

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高.

【分析】在直角三角形中，根據(jù)兩銳角互余即可得到/BAD=20°,根據(jù)角平分線

的性質(zhì)可求出NBAO和NABO,最后由三角形外角的性質(zhì)求得NAOF=75°.

【解答】解：：AD是高，NABC=70°,

.\ZBAD=90°-70°=20°,

VAE,BF是角平分線,ZBAC=80°,ZABC=70°,

ZABO-350,ZBA0=40°,

AZAOF=ZABO+ZBAO=75°.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，三角形的高線與角平分

線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

17.（6分）如圖，AB=AD,CB=CD,求證:AC平分分BAD.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出ABAC四△DAC,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得NBAC=NDAC即可.

【解答】解：在aBAC和△DAC中，

'AB=AD

<BC=DC,

AC=AC（公共邊）

/.△BAC^ADAC(SAS),

ZBAC=ZDAC,

.".AC平分NBAD.

【點評】本題考查了角平分線定義和全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，關(guān)鍵是推

出△BAC^^DAC,全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS.

18.（7分）如圖，已知AC=AE,ZBAD=ZCAE,ZB=ZADE,求證：BC=DE.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】先通過NBAD=NCAE得出NBAC=NDAE,從而證明aABC^4ADE,得到

BC=DE.

【解答】證明：［NBAD=NCAE,

二ZBAD+ZDAC-ZCAE+ZDAC.

即NBAC=NDAE,

在4ABC和4ADE中，

"ZBAC=ZDAE

,ZB=ZADE

,AC=AE

A△ABCADE(AAS).

，BC=DE.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個三角形

全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個

三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等

時，角必須是兩邊的夾角

19.(7分)如圖，在AABC中，AB=AC,點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂

直AB、AC于點E和F.

求證:DE=DF.

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰

三角形三線合一的特性，可知道AD也是NBAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點

到角兩邊的距離相等，那么DE=DF.

【解答】證明：

證法一：連接AD.

：AB=AC,點D是BC邊上的中點

；.AD平分NBAC（三線合一性質(zhì)），

VDE,DF分別垂直AB、AC于點E和F.

.*.DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.

證法二：在aABC中，

VAB=AC

AZB=ZC（等邊對等角）…（1分）

?點D是BC邊上的中點

.\BD=DC…（2分）

VDE.DF分別垂直AB、AC于點E和F

AZBED=ZCFD=90°…（3分）

在ABED和4CFD中

"ZBED=ZCFD

???<NB=/C,

BD=DC

/.△BED^ACFD（AAS）,

.*.DE=DF（全等三角形的對應邊相等）.

A

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三

角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

20.（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時的速度由西向東航行，在A處測得小

島C在北偏東75°方向上，兩小時后，輪船在B處測得小島C在北偏東60。方

向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時的速度向東航行,

請問是否有觸礁危險？并說明理由.

C

ABD東

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【分析】作CE_LAB,利用直角三角形性質(zhì)求出CE長，和15海里比較即可看出

船不改變航向是否會觸礁.

【解答】解：作CE_LAB于E,

處測得小島P在北偏東75°方向，

.\ZCAB=15°,

..?在B處測得小島P在北偏東60°方向，

AZACB=15°,

/.AB=PB=2X18=36（海里），

VZCBD=30°,

，CE=1BC=18>15,

2

.?.船不改變航向，不會觸礁.

BED東

【點評】此題考查了解直角三角形的應用，關(guān)鍵找出題中的等腰三角形，然后再

根據(jù)直角三角形性質(zhì)求解.

21.（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC,分別以BC和AC為直角邊向上

作等腰直角三角形ABCD和AACE,AE與BD相交于點F,連接CF并延長交AB于

點G.求證：CG垂直平分AB.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形.

【分析】求證AAFC絲Z\CEB可得NACF=NBCF,根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即

可解題.

【解答】證明：：CA=CB

.\ZCAB=ZCBA

?:△AEC和4BCD為等腰直角三角形，

/.ZCAE=ZCBD=45°,ZFAG=ZFBG,

.?.NFAB=NFBA,

，AF=BF,

在三角形ACF和ACBF中，

rAF=BF

<AC=BC，

CF=CF

/.△AFC^ABCF（SSS）,

二ZACF=ZBCF

?.AG=BG,CG1AB（三線合一），

即CG垂直平分AB.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，

考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì).

22.(10分)如圖，在等邊AABC中，點F是AC邊上一點，延長BC到點D,使

BF=DF,若CD=CF,求證：

(1)點F為AC的中點；

(2)過點F作FE_LBD,垂足為點E,請畫出圖形并證明BD=6CE.

【考點】作圖一基本作圖；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】作圖題.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NABC=NACB=60°,利用NCFD=ND,則

根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到NACB=2ND,即ND=LNACB=30°,然后利用FB=FD得

2

到NFBD=ND=30°,則BF平分NABC,于是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到點F

為AC的中點；

(2)如圖，過點F作FELBD于E,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到

CF=2CE,而CD=CF,則CF=2CE,再利用BC=2CF,所以BD=6CE.

【解答】解：(1);△ABC為等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,

；CF=CD,

ZCFD=ZD,

.\ZACB=2ZD,即ND」NACB=30°,

2

VFB=FD,

/.ZFBD=ZD=30°,

；.BF平分NABC,

，AF=CF,即點F為AC的中點；

(2)如圖，

在RtaEFC中,CF=2CE,

而CD=CF,

.\CF=2CE,

在RtZ\BCF中,BC=2CF,

/.BC=4CE,

.\BD=6CE.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知

線段.作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；

過一點作已知直線的垂線）.記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

23.（11分）如圖，AABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A

向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度

由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE_LAB于E,連接PQ交AB

于D.

（1）當NBQD=30°時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；

如果變化請說明理由.

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角

形.

【專題】壓軸題；動點型.

【分析】（1）由AABC是邊長為6的等邊三角形，可知NACB=60°,再由NBQD=30°

可知NQPC=90°，設AP=x,貝?。軵C=6-x,QB=x，在RtZXQCP中，NBQD=30°,PC=1QC,

2

即6-X=L（6+X）,求出x的值即可；

2

（2）作QFLAB,交直線AB于點F,連接QE,PF,由點P、Q做勻速運動且速度

相同，可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APEg△BQF,再由AE=BF,

PE=QF且PE〃QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB,

DE=1AB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故當點P、Q運動時，線段DE

2

的長度不會改變.

【解答】解：(1),:△ABC是邊長為6的等邊三角形，

/.ZACB=60°,

VZBQD=30°,

，NQPC=90°,

設AP=x,則PC=6-x,QB=x,

，QC=QB+BC=6+x,

V^RtAQCP+,ZBQD=30°,

...PC=Uc,即6-X=L(6+X),解得X=2,

22

.\AP=2；

(2)當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變.理由如下：

作QF_LAB,交直線AB于點F,連接QE,PF,

又：PE_LAB于E,

/.ZDFQ=ZAEP=90°,

?.?點P、Q速度相同，

，AP=BQ,

「△ABC是等邊三角形，

AZA=ZABC=ZFBQ=60