二元一次方程的整數(shù)解

關(guān)于二元一次方程的整數(shù)解（一）二元一次方程：1．定義：只含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1，這樣的方程稱為二元一次方程。(linearequationoftwounknown)[｀l(xiāng)ini?]

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第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2．二元一次方程的一般式：3．二元一次方程解的概念：使二元一次方程的左右兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天4、二元一次方程的正整數(shù)解問題。

一般來說，二元一次方程有無窮多解，但在某些特殊條件下，解就可能是有限個(gè)了。一般地，我們更關(guān)心二元一次方程的（正）整數(shù)解。第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于二元一次方程2x+y=8，若x=2時(shí)y=———，

則是方程2x+y=8的一個(gè)正整數(shù)解.x=2y=44x=1y=6x=3y=2注意：一般地，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。但在實(shí)際問題中經(jīng)常會(huì)遇到求方程的正整數(shù)解。請(qǐng)你寫出二元一次方程2x+y=8的其它正整數(shù)解———————

。知識(shí)拓展第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

7第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天挑戰(zhàn)自己,你一定行(1)已知方程是二元一次方程,則a=b=(2)如果

{X=3y=1是二元一次方程kx+y=7的解,則k=3-32第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

3.求二元一次方程的正整數(shù)解：

方法一.先求出整數(shù)解的通解，

再解不等式組

方法二.用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù),

求這個(gè)未知數(shù)的取值范圍，再用觀察法直接寫出正整數(shù)解.第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

不定方程(組)是數(shù)論中的一個(gè)古老分支，其內(nèi)容極其豐富．我國對(duì)不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國剩余定理．近年來，不定方程的研究又有新的進(jìn)展．學(xué)習(xí)不定方程，不僅可以拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能．

如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么，一般來說，它的解往往是不確定的.第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天求不定方程x-y=2的正整數(shù)解．

解:我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以這個(gè)方程的正整數(shù)解有無數(shù)組，它們是其中n可以取一切自然數(shù)．

因此，所要解的不定方程有無數(shù)組正整數(shù)解，它的解是不確定的．第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天定理如果a，b是互質(zhì)的正整數(shù)，c是整數(shù)，且方程ax+by=c①有一組整數(shù)解x0，y0則此方程的一切整數(shù)解可以表示為

其中t=0，±1，±2，±3，…．證因?yàn)閤0，y0是方程①的整數(shù)解，當(dāng)然滿足ax0+by0=c，

②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．設(shè)x＇，y＇是方程①的任一整數(shù)解，則有ax＇+by＇=c.③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整數(shù)．

將y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇，y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整數(shù)解，命題得證．

第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天求方程123x+57y=531的全部正整數(shù)解。解：方程兩邊同除以3得：41x+19y=177,所以∵x、y是整數(shù)，取x=2得y=5∴方程123x+57y=531的整數(shù)解為：因此方程123x+57y=531只有一組整數(shù)解(評(píng)注：本題是通過先探求一個(gè)特解，由特解寫出通解，再由通解求出整數(shù)解，這也是求二元一次不定方程整數(shù)解的一般步驟。)第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例題6求不定方程的正整數(shù)解。例題講解：

解：由題意可知:0＜7z≤23

故0＜z≤3;即z=1,2,3.(1)當(dāng)z=1時(shí),,其自然數(shù)解為x=2,y=4;x=5,y=2.(2)當(dāng)z=2時(shí),,其自然數(shù)解為x=3,y=1.(3)當(dāng)z=3時(shí),,顯然無自然數(shù)解.

所以原方程的自然數(shù)解為:(評(píng)注:此類三元一次不定方程的正整數(shù)解的求法是通過系數(shù)最大的未知數(shù)的約束條件和分類討論的方法解答。)

第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第20頁,