空間曲線的切線與法平面

關(guān)于空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法位置.空間光滑曲線在點(diǎn)M

處的切線為此點(diǎn)處割線的極限平面.第2頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)空間曲線

的參數(shù)方程為

x

(t),y

(t),z

(t),這里假定

(t),

(t),

(t)都在[

]上可導(dǎo)

設(shè)t

t0和t

t0

t分別對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和M(x0+

x,y0+

y,z0+

z)

當(dāng)M

M0,即

t

0時(shí),

作曲線的割線MM0,

其方程為得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為

一、空間曲線的切線與法平面第3頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)空間曲線

的參數(shù)方程為

x

(t),

y

(t),

z

(t),

這里假定

(t),

(t),

(t)都在[

]上可導(dǎo)

過(guò)曲線

上t

t0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0切線方程為

向量T

(j

(t0),y

(t0),w

(t0))稱為曲線

在點(diǎn)M0的切向量.

通過(guò)點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線

在點(diǎn)M0處的法平面,其法平面方程為j

(t0)(x

x0)

y

(t0)(y

y0)

w

(t0)(z

z0)

0.一、空間曲線的切線與法平面第4頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.求圓柱螺旋線對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:由于對(duì)應(yīng)的切向量為在,故第5頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天討論:1.若曲線的方程為y

j(x),z

y(x),則切向量T

?提示:

1.曲線的參數(shù)方程可視為:

x

x,y

j(x),z

y(x),

切向量為T

(1,j

(x),y

(x)).

曲線x

(t),y

(t),z

(t)在t

t0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0的切向量為T

(j

(t0),y

(t0),w

(t0)).

2.若曲線的方程為F(x,y,z)

0,G(x,y,z)

0,則切向量T

?2.兩方程可確定兩個(gè)隱函數(shù):

y

j(x),z

y(x).切向量為T

(1,j

(x),y

(x)),而j

(x),y

(x)要通過(guò)解方程組得到.第6頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.解.

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得第7頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量第8頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線方程為不全為0.則

在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為

在該點(diǎn)的切平面.

上過(guò)點(diǎn)

M

的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上.第9頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天證:在上,得令由于曲線

的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.第10頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲面在點(diǎn)M的法向量法線方程切平面方程第11頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程第12頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,第13頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.

求橢球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程

即法線方程法向量令第14頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天解切平面方程為法線方程為例4求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面及法線方程.第15頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.

確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:

二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有第16頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6.

求曲線在點(diǎn)(1,1,1)的