幾何光學(xué)的基本定律和費(fèi)馬原理

關(guān)于幾何光學(xué)的基本定律和費(fèi)馬原理2§1-1幾何光學(xué)的基本定律和費(fèi)馬原理光線與波面幾何光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律費(fèi)馬原理第2頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天3一、光線與波面1.光線：形象表示光的傳播方向的幾何線。［注］①同力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)一樣，光線僅是一種抽象的數(shù)學(xué)模型。它具有光能，有長(zhǎng)度，有起點(diǎn)、終點(diǎn)，但無(wú)粗細(xì)之分，僅代表光的傳播方向。無(wú)數(shù)光線構(gòu)成光束。光沿光線方向傳播時(shí)，位相不斷改變。2.波面：光傳播中，位相相同的空間點(diǎn)所構(gòu)成的平面或曲面。［注］①波面即等相位面，也是一種抽象的數(shù)學(xué)模型。

波面為平面的光波稱為平面光波（如平行光束）；為球面的稱為球面光波（如點(diǎn)光源所發(fā)光波）；為柱面的稱為柱面光波（如縫光源所發(fā)光波）第3頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4波面光線波面光線球面波

平面波3.光線與波面的關(guān)系

在各向同性介質(zhì)中，光線總是與波面法線方向重合。即光線與波面總是垂直的。第4頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天5二、幾何光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律1、光的直線傳播定律：光在各向同性的均勻介質(zhì)中沿直線傳播。［注］：非均勻介質(zhì)中，光以曲線傳播，向折射率增大方向彎曲實(shí)例：物體的影子、針孔成象、日食、月食實(shí)例：夏日柏油路上的倒影、海市蜃樓第5頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天62、光的獨(dú)立傳播定律和光路可逆原理:［注］適用于強(qiáng)度不太大，相干性較差的光線傳播來(lái)自不同方向的光線在介質(zhì)中相遇后，各保持原來(lái)的傳播方向和強(qiáng)度繼續(xù)傳播。光沿反方向傳播時(shí)，必定沿原光路返回。即在幾何光學(xué)中，任何光路都是可逆的。第6頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天7

入射光線、反射面的法線和反射光線三者處在同一平面上，入射光線和反射光線分居于入射點(diǎn)界面法線的兩側(cè)，入射角等于反射角。3、反射定律：en界面SR漫反射（故，我們才能在各個(gè)角度看見物體）第7頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天8

其中：n21稱為介質(zhì)2相對(duì)于介質(zhì)1的相對(duì)折射率4、折射定律入射光線折射光線

i

入射角折射角

enn1n2分界面

入射光線、折射光線和分界面的法線en三者同處在一個(gè)平面上，入射角i和折射角

有下述關(guān)系：——斯涅耳公式，1621（見附錄1）［注］絕對(duì)折射率：一種介質(zhì)相對(duì)于真空的折射率第8頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天9第9頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天105、幾何光學(xué)定律成立的條件（1）必須是均勻介質(zhì)，即同一介質(zhì)的折射率處處相等，折射率不是位置的函數(shù)。（2）必須是各向同性介質(zhì)，即光在介質(zhì)中傳播時(shí)各個(gè)方向的折射率相等，折射率不是方向的函數(shù)。（3）光強(qiáng)不能太強(qiáng)，否則巨大的光能量會(huì)使線性疊加原理不再成立而出現(xiàn)非線性情況。（4）光學(xué)元件的線度應(yīng)比光的波長(zhǎng)大得多，否則不能把光束簡(jiǎn)化為光線。6、折、反射在大氣現(xiàn)象中的應(yīng)用虹、霓（副虹）、日食、月食、海市蜃樓（見附錄2）第10頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天111.光程——在均勻介質(zhì)中，光在介質(zhì)中通過(guò)的幾何路程

l與該介質(zhì)的折射率n的乘積：三、費(fèi)馬原理

光在均勻介質(zhì)中總是沿直線傳播的，光在非均勻介質(zhì)中又是怎樣傳播的？費(fèi)馬借助光程的概念，回答了該問(wèn)題。物理意義：光程表示光在介質(zhì)中通過(guò)真實(shí)路程所需時(shí)間內(nèi),在真空中所能傳播的路程。分區(qū)均勻介質(zhì):折射率連續(xù)變化介質(zhì):介質(zhì)中折合到真空中第11頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天122.費(fèi)馬原理1658年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（P.Fermat1601-1665)概括了光線傳播的三定律，發(fā)表了“光學(xué)極短時(shí)間原理”，經(jīng)后人修正，稱為費(fèi)馬原理。

過(guò)去表述：光沿所需時(shí)間為極值的路徑傳播?，F(xiàn)在表述：光沿光程取極值的路徑傳播。［注］極值：極小值、極大值、恒定值數(shù)學(xué)表述：（由變分原理）每一可能路徑都是空間的坐標(biāo)函數(shù),而光程又隨路徑而變化,是函數(shù)的函數(shù)——泛函*,其改變稱為變分，數(shù)學(xué)過(guò)程是相應(yīng)的求導(dǎo)。*泛函與復(fù)合函數(shù)（附錄4）第12頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天13光程為極值的例子:(1)光程為極小值——直線傳播定律、反射定律、折射定律（后做證明）(2)光程為恒定值——回轉(zhuǎn)橢球凹面鏡AB［析］橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)自其一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出、經(jīng)鏡面反射后到達(dá)另一焦點(diǎn)的光線，其光程相等。第13頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天14(3)光程為極大值回轉(zhuǎn)拋物凹面鏡ABB.內(nèi)切于回轉(zhuǎn)橢球面的凹球面鏡由A點(diǎn)發(fā)出過(guò)D點(diǎn)符合反射定律的光線，必過(guò)橢球另一焦點(diǎn)B，光線的光程ADB比任何路徑的光程ACB都大.ABDC焦點(diǎn)發(fā)出的光，反射后變?yōu)槠叫泄?，?huì)聚在無(wú)窮遠(yuǎn)處，光程為極大值。第14頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天153.由費(fèi)馬原理導(dǎo)出幾何光學(xué)定律在均勻介質(zhì)中折射率為常數(shù)1).直線傳播定律：所以光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播而由公理：兩點(diǎn)間直線距離最短的極小值為直線ABAB第15頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天16由費(fèi)馬原理知，A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’設(shè)從A點(diǎn)發(fā)出的光線入射到分界面xoz，在C點(diǎn)反射到B點(diǎn)2)反射定律

第16頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天17由(2)知，z=0，說(shuō)明入射點(diǎn)C一定在xoy平面內(nèi)，即D(x,0,0)，由此入射光線、法線，反射光線在同一平面內(nèi)。由(1)也即：得：A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’第17頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天18當(dāng)x1≠x2時(shí)，x一定x1在x2之間，因而入射光線和反射光線分居法線兩側(cè)。即，光垂直入射到分界面，三線重合.當(dāng)x1＝x2＝x時(shí)A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’3)折射定律（見附錄或課本P5）

討論：第18頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天19小

結(jié)一、光線與波面在各向同性介質(zhì)中，光線與波面總是垂直的二、幾何光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律光的直線傳播、反射、折射、光的獨(dú)立傳播和光路可逆三、費(fèi)馬原理光沿光程取極值的路徑傳播n2n1第19頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天20作業(yè)一、P261.11.2（第二問(wèn)需聯(lián)系普物力學(xué)實(shí)驗(yàn)）1.6二、P5例1.1

n

第20頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天21附錄1：折射定律的得出—斯涅耳

大約是在1621年，荷蘭萊頓的斯涅耳通過(guò)實(shí)驗(yàn)確立了開普勒想發(fā)現(xiàn)而沒(méi)有能夠發(fā)現(xiàn)的折射定律．

當(dāng)時(shí)斯涅耳注意到了水中的物體看起來(lái)象漂浮的現(xiàn)象，并試圖揭開其中的奧秘．由此便引出了他對(duì)折射現(xiàn)象的研究．第21頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天22

在總結(jié)托勒密、開普勒等前人的研究成果后，斯涅耳做了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)．斯涅耳發(fā)現(xiàn)，從空氣到水里的一條光線在水中所走的長(zhǎng)度，同該光線如按未偏離其原始方向而本來(lái)會(huì)通過(guò)的路程成一定的比．他指出，折射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，入射光線和

折射光線分別位于法線兩側(cè)，入射角的正弦和折射角的正弦的比值對(duì)于一定的兩種媒質(zhì)來(lái)說(shuō)是一個(gè)常數(shù)．這個(gè)常數(shù)是第二種媒質(zhì)對(duì)第一媒質(zhì)的相對(duì)折射率，斯涅耳的這一折射定律（也稱斯涅耳定律）是從實(shí)驗(yàn)中得到的，未做任何的理論推導(dǎo)，雖然正確，但卻從未正式公布過(guò)．只是后來(lái)惠更斯和伊薩克·沃斯兩人在審查他遺留的手稿時(shí)，才看到這方面的記載．

第22頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天23

1、虹、霓的成因附錄2：折、反射在大氣現(xiàn)象中的應(yīng)用笛卡兒1637年第一次從數(shù)學(xué)上闡明了產(chǎn)生虹霓的成因，牛頓1666年解釋了它的彩色來(lái)源。后來(lái)發(fā)現(xiàn)虹霓光都是偏振光。（1）

虹是太陽(yáng)光線從水滴上部入射經(jīng)水滴一次反射2次折射形成的，（一次虹）。（2）霓是太陽(yáng)光線從水滴下部入射經(jīng)水滴二次反射，二次折射形成的（二次虹）。第23頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天24第24頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天25（3）色彩的排列

人們常見的是一次虹，偶而能見到兩次虹并列懸掛在空中。當(dāng)光弧環(huán)對(duì)觀測(cè)者所張的角半徑約42度，光環(huán)的彩色排序是內(nèi)紫外紅時(shí)，稱為虹。

在虹的外面，有時(shí)還出現(xiàn)較虹弱的彩色光環(huán)，光環(huán)對(duì)觀測(cè)者所張的角半徑約為52度，彩色環(huán)的排序與虹相反即內(nèi)紅外紫，稱為霓或副虹。

由于固定夾角的限制，當(dāng)太陽(yáng)在我們頭上時(shí)（例如正午），折射的光線進(jìn)不到眼睛，所以看不到彩虹。必須到下午4點(diǎn)以后，彩虹才會(huì)在山巒或城市的天際線上出現(xiàn)，而且越接近傍晚，彩虹的位置越高。

第25頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天26如果各層間隔較大，且折射率是間斷遞變的，則光線以折線彎曲傳播。如果各層間隔較小，且折射率是連續(xù)遞變的，則光線以光滑曲線傳播。由圖折射光線總是向折射率大的方向彎曲。2、海市蜃樓（1）光在折射率遞變的介質(zhì)層上的軌跡第26頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天27當(dāng)在某一層i，使

，光線則平射，此時(shí)的(由此可求哪一層開始全反射)（2）海平面上

由于水蒸汽濃度隨海平面高度增加而減少，因而折射率隨海平面高度增加而減少。

在一定的條件下（風(fēng)速、濕度等），可能在某一層發(fā)生全反射，光線向下入射而形成海市唇樓。第27頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天28（3）在沙漠里

沙漠上溫度隨高度而遞減，水蒸汽濃度隨高度而增加，因而折射率隨高度而增加。

在一定條件下，在某一層發(fā)生全反射而形成沙漠海市唇樓。第28頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天29這是全反射類型的海市蜃樓現(xiàn)象，本質(zhì)是地表空氣層溫度與大氣空氣溫度的差異達(dá)到一定程度引起的比光折射程度還大的全反射現(xiàn)象。天空（白色背景）在界面處的發(fā)生的反射影像，看起來(lái)就像是水了。原理就是太陽(yáng)光從光密介質(zhì)（大氣，高折光指數(shù)，溫度較低比如40度）進(jìn)入光疏介質(zhì)（地表空氣薄層，低折光指數(shù)，溫度較高比如80度），發(fā)生的全反射。第29頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天30

3、日食、月食第30頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天31第31頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天32附錄3:利用費(fèi)馬原理證明折射定律A,B是xoy平面內(nèi)的兩個(gè)固定點(diǎn)，且在不同的介質(zhì)中，則光線的軌道如何？由A經(jīng)C到B的光程為：A(x1,y1,o)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyi1i2n1n2第32頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天33由費(fèi)馬原理知，(1)(2)由（2）式知，

，說(shuō)明入射點(diǎn)一定在

平面內(nèi)，即

，因此，入射光線，法線，折射光線在同一平面內(nèi)（

平面）第33頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天34由（1